Способ определения живучести связи (вероятности связности)

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ.

Определению живучести связи (вероятности связности) между двумя

конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ [1-5]. Однако расчет

точного ее назначения сопряжен с большими вычислительными трудностями.

Представляет интерес найти простой способ определения вероятности связности

сети, который позволял бы оперативно и вручную проводить на стадии

проектирования оценку различных вариантов их построения.

Рассмотрим сеть той же мостиковой структуры, что и в [1] (рис.1). Для

простоты будем полагать вероятности исправного функционирования всех ребер

сети одинаковыми и равными р , а неисправного функционирования - равными

q=1-p. Для оценки живучести воспользуемся методом прямого перебора

состояний элементов сети связи [5]. На основании биноминального закона

вероятность пребывания сети связи в состоянии, когда i любых ребер сети

отказали,[pic], где [pic]- биноминальный коэффициент; N – число ребер сети.

Например, для сети, изображенной на рис. 1, живучесть связи р13

зависит от следующей

совокупности независимых событий: исправного состояния сети в целом –

вероятность этого события равна р3; повреждения любого одного ребра сети –

вероятность [pic] одновременного повреждения любых двух ребер сети, за

исключением двух случаев, когда оба ребра подходят к узлу 1 или к узлу 3 –

вероятность[pic] одновременного повреждения трех ребер сети, подходящих к

узлу 2 или 4 – вероятность 2р2q3.

Суммируя все вероятности независимых событий, получаем искомое

выражение :

[pic]

что полностью совпадает полученными результатами в [1].

Аналагично для всех остальных пар узлов сети рис. № 1.

[pic]

[pic]

Из анализа видно, что

[pic]

Связанной сетью являются сеть, в которой любой из узлов соединен с

остальными узлами сети. Вероятность связанности сети рис. № 1

[pic]

так как эта сеть допускает все одиночные повреждения ребер и восемь двойных

повреждений ребер. Вероятность связности сети меньше или равна живучести

связи между любой парой узлов сети, в данном случае рс2).

Например для шестиугольника (n=6) без резервирования связей можно

построить четыре различных графа с d=2, 3, 4, 5. Вероятности связности этих

графов определяется следующими выражениями:

При d=2 (рис. 3,а)

[pic] (5)

при d=3 (рис. 3,б)

[pic] (6)

при d=4 (рис. 3,в)

[pic] (7)

При n=8 можно построить шесть различных графов с d=2…..7; вероятность

связности этих графов определится следующими выражениями:

d=2 (рис. 4,а)

[pic] (8)

d=3 (рис. 4,б)

[pic] (9)

d=4 (рис. 4,в)

[pic](10)

Расчетные формулы для рс при d=5 и 6 из-за громоздкости не

приводятся.

На рис 5 и 6 представлены зависимости вероятности связности сети с

n=6, 8 соответственно при различных d (сплошные линии), построенные по

формулам (5) – (10). Из рисунков видно, что увеличение вероятности

связности сети с увеличением d при неизменном p объясняется тем , что с

увеличением d возрастает разветвленность сети связи.

К сожалению, ловольно трудно получить аналитическое выражение для

вероятности связности сети рассматренного семейство графов при различных d

и n, за исключением полносвязных сетей с d = n – 1 [см.выражение (1) –

(4)]. По этому целесобразно определять верхнюю груницу вероятности

связности графов. Если граф связный, то в нем не может быть изолированных

вершин. В этом случае каждой вершине должна быть инцидента по крайней мере

одна ветвь.

Пусть Ai – событие, когда не существует неповрежденных ветвей,

инцидентных вершине i, p(Ai) – вероятность этого события; 1 – p(Ai) –

вероятность дополнительного события, когда существует по крайней мере одна

целая ветвь, инцидентная вершине i, Поэтому вероятность того, что у всех

вершин есть по крайне мере одна целая ветвь, т.е. есть связана, ограничена

неравенством:

[pic] (11)

На рис. 5,6 представлены зависимости (11) для n=6, и d=2…..7

(штриховые линии). Сравнение кривых показывает, что верхнюю границу

вероятности связности сети, особенно при больших d.

Таким образом, полученная простая верхняя оценка вероятности

связности равнопрочных сетей связи дает шорошее приближение к точному

значению вероятности связности сети при больших значениях d.

-----------------------

1

2

3

4 Рис № 1.

n=3

4

5

7

10

p

0 0,2 0,4 0,6 0,8

1

0,8

0,6

0,4

0,2

рс

а) б)

в)

Рис 3

а) б)

в)

Рис 4

рс

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

p

Рис. 5

5

4

3

d=2

Рис. 6

рс

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 ?†??????????????

1

p

5

4

3

d=2

6

7