Пропускная способность канала

Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Кафедра Радиоуправления

Пояснительная записка к курсовой

работе по курсу

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

на тему

Пропускная способность канала.

Выполнил студент гр.5313

Алмазов А.И.

Руководитель: _____________

Оценка _____________

Комиссия ________ ( _______

)

________ ( _________ )

________ ( _________ )

Казань 2002

Оглавление.

1. Задание…………………………………………………………………..3стр.

2. Введение…………………………………………...……………………4стр.

3. Теоретическая часть…………...……………………………………….5стр.

4. Практическая часть………………………………..…………………..11стр.

5. Заключение………………………………………………..…………...14стр.

6. Литература…………………………………………….……………… 15стр.

Задание.

В канале действует аддетивный белый гаусовский шум. Отношение

сигнал/шум (Pc/Pш) меняется с 25 до 15 дБ, с шагом 1дБ. F=1,5 кГц; Vк=8*103

сим/с.

Рассчитать:

1) Изменение пропускной способности канала.

2) Изменение избыточности ? двоичного кода, необходимой для сведения

ошибки декодирования к сколь угодно малой величине.

Построить графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и ?= f(Pc/Pш).

Введение.

Поставленная задача интересна тем, что мы сможем проследить изменение

пропускной способности канала с изменением отношения сигнал/шум . Можно

определить пропускную способность С канала в расчете на один символ

Ссимвол=maxI(A,B),бит/символ

или в расчете на единицу времени (например, на секунду):

С=maxI’(A,B)=( Ссимвол , биит/с.

В данном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого

мы воспользуемся формулой определяющей пропускную способность канала в

расчете на единицу времени.

С=Fklog2(1+Pc/Pш),

А для того чтобы определить избыточность передаваемой информации

воспользуемся теоремой Шеннона. При условии если теорема Шеннона будет

выполняться, то избыточность ? будет равняться 0, значит информация

передаётся без потерь. Если нет, то ? будет больше нуля (?>0). Т.е. чем

меньше величина ?, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.

Теоретическая часть.

Пропускная способность канала связи.

В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость

определяется по формуле:

I’(А,В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А).

(1)

Величина H(A|B) - это потери информации при передаче ее по каналу. Ее

также называют ненадежностью канала. H(B|A) - энтропия шума; показывает,

сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала по

каналу иллюстрирует рис. 1.

[pic]

Рис. 1. Передача информации по каналу с помехами

Здесь I’(A,B)=v*I(A,B) - скорость передачи информации по каналу.

Как видно из формулы (1), эта скорость зависит не только от самого

канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не может

характеризовать канал как средство передачи информации.

Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени

( символов из алфавита объёмом m. При передачи каждого символа в среднем по

каналу проходит количество информации

I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A),

(2)

где А и В- случайные символы на входе и выходе канала. Из четырёх

фигурирующих здесь энтропий Н(А)- собственная информация передаваемого

символа определяется источником дискретного сигнала и не зависит от

свойств канала. Остальные три энтропии в общем случае зависят как от

источника сигнала, так и от канала.

Величина I(A,B) характеризует не только свойства канала, но и свойства

источника информации. Пусть на вход канала можно подавать сигналы от

различных источников информации с различными распределениями P(A). Для

каждого источника I(A,B) примет свое значение. Максимальное количество

информации, взятое по всевозможным Р(А), характеризует только канал и

называется пропускной способностью (ПС) канала в расчете на один символ:

[pic]бит/символ,

где максимизация производится по всем многомерным распределениям

вероятностей Р(А).

Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицу

времени:

[pic]бит/с, (3)

где v - количество символов, переданное в секунду.

В качестве примера вычислим пропускную способность дискретного

симметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного перехода

- p.

[pic]

Рис. 2. Модель двоичного симметричного канала без памяти

Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать: Ссим=max(H(B)-

H(B|A)). Распишем H(B|A). Исходя из условий задачи вероятность правильной

передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность ошибочной передачи одного

символа p/(1-m), где m - число различных символов, передающихся по каналу.

Общее количество верных передач - m; общее количество ошибочных переходов -

m*(m-1). Отсюда следует, что:

[pic].

Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения вероятности в

ансамбле А, а определяется только переходными вероятностями канала. Это

свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.

Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:

[pic]. (4)

Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу

времени:

[pic]. (5)

Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в

двоичных единицах в единицу времени

С=([1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)]

(6)

Зависимость С/( от р согласно (6) показана на рис.3

[pic]

рис.3 Зависимость пропускной способности двоичного симметричного

канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.

При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой

вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить

совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2

последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют

обрывом канала.

Пропускная способность непрерывного канала связи.

Вычисляется аналогично пропускной способности дискретного канала.

Непрерывный сигнал дискретизируется во времени с помощью отсчетов согласно

теореме Котельникова и информация, проходящая по каналу за время Т, равна

сумме количества информации, переданной за один отсчет. Поэтому общая ПС

канала равна сумме ПС на один такой отсчет:

[pic], (7)

где U - переданный сигнал; Z - сигнал на выходе канала с наложенными на

него шумами; N - шум; Z=U+N.

Пусть U и N - случайные величины с плотностью распределения вероятности

w, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Для таких сигнала и

шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]:

[pic].

Отсюда следует:

[pic].

ПС в расчете на секунду будет равна:

[pic], (8)

поскольку при дискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну секунду

мы получим 2F отсчетов, где F - верхняя частота спектра сигнала.

Подчеркнем, что формула (8) имеет такой вид только при условии, что

плотности распределения вероятностей w(U) и w(N) подчиняются нормальному

закону.

Формула (8) имеет важное значение, т.к. указывает на зависимость ПС

канала от его технических характеристик - ширины полосы пропускания и

отношения мощности сигнала к мощности шума.

Чтобы выяснить как зависит пропускная способность от ширины полосы

пропускания выразим мощность шума в канале через его одностороннюю

спектральную мощность N0. Имеем Рш=N0F; поэтому

С=F*log(1+ Pc/N0*F )=F*loge*ln(1+Pc/N0*F)

(9)

При увеличении F пропускная способность С, бит/с, сначала быстро

возрастает, а затем асимптотически стремится к пределу:

C?=Lim(Pc/N0)*loge

(10)

Результат (10) получается очень просто, если учесть, что при |(|С, то таких способов кодирования и

декодирования не существует.

Модель:

Н(А) Н’(В)

Н’(А)с, то такого кода не существует.

Теорема указывает на возможность создания помехоустойчивых кодов.

Н’(А)< Н’(В)

Н’(В)=VkH

Декодер выдаёт на код каналов Vk символов в секунду. Если в канале

потерь нет, то Vk=с.

При НС невозможна безошибочная передача сообщений по данному каналу, если

же H’(A)<С, то ошибки могут быть сведены к сколь угодно малой величине.

Таким образом, величина С - это предельное значение скорости безошибочной

передачи информации по каналу

Практическая часть.

Пропускная способность гауссовского канала определяется [1, стр.118]:

[pic].

Отношение сигнал/шум падает по условию задания с 25 до 15 дБ. Поэтому С

также будет уменьшаться. Необходимо уменьшать С/Ш с 25 до 15 дБ с шагом 1

дБ и вычислить по формуле 11 значений С. При этом надо учесть, что в

формуле отношение С/Ш - Pc/Pш - дано в разах, поэтому данные в дБ

необходимо пересчитать в разы: [pic]; отсюда [pic].

С помощью программы MathCAD получили результаты подсчётов:

С1=1,246*104 бит/с

С2=1,197*104 бит/с

С3=1,147*104 бит/с

С4=1,098*104 бит/с

С5=1,048*104 бит/с

С6=9,987*103 бит/с

С7=9,495*103 бит/с

С8=9,003*103 бит/с

С9=8,514*103 бит/с

С10=8,026*103 бит/с

С11=7,542*103 бит/с

Производительность кодера H’(B)=vк*H(B) должна быть меньше пропускной

способности канала С, иначе неизбежны потери информации в канале.

Максимальное значение энтропии двоичного кодера Hmax=H(B)=log2=1 бит. Если

С уменьшается, то для избежания потерь информации можно уменьшать H(B) так,

чтобы H’(B) оставалась все время меньше С. Если же H(B)<1, это означает,

что кодовые символы не равновероятны и зависимы друг от друга, т.е.

используется избыточный (помехоустойчивый) код. Избыточность этого кода

вычисляется по формуле:

[pic].

(11)

Итак, пропускная способность канала С определяет предельное значение

производительности кодера H’(B): H’(B)

значение энтропии кодера:

[pic]

По условию Vk=8*103 сим/с

В численном виде это выглядит так:

С/Vk1=1,558 бит/сим

С/Vk 2=1,496 бит/сим

С/Vk 3=1,434 бит/сим

С/Vk 4=1,372 бит/сим

С/Vk 5=1,31 бит/сим

С/Vk 6=1,248 бит/сим

С/Vk 7=1,187 бит/сим

С/Vk 8=1,125 бит/сим

С/Vk 9=1,064 бит/сим

С/Vk 10=1,003 бит/сим

В этих случаях энтропию Н(В) можно брать любой, вплоть до максимальной

(Hmax=1 бит/сим).

С/Vk 11=0,943 бит/сим

Т.к. в 11-ом случае условие H’(B)

так же не выполняется. Для того чтобы избежать потерь информации, вводим

избыточные символы.

Следующим шагом будет вычисление избыточности ? кода, по формуле (11):

?=0,057

Чтобы было более наглядно, построим графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и

?= f(Pc/Pш).

График зависимости с=f(Pc/Pш) :

[pic]

График зависимости ?= f(Pc/Pш).

[pic]

Заключение.

В результате проведённой работы, мы можем сделать вывод, что с

уменьшением отношения сигнал/шум пропускная способность канала также

уменьшается, что приводит к потери информации. Для того чтобы избежать

возникновение ошибок, мы вводили избыточные символы. Избыточность этого

кода ?=0,057.

Сделаем вывод, что в результате проведенного расчета поставленная

задача была полностью решена.

Литература.

1. Зюко А.Г., Кловский Д.Д. и др. Теория передачи сигналов. -М.:

Радио и Связь, 1986.

2. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. -М.:

Радио и связь, 1990.

3. Методическое пособие по курсовой работе ТЭС.

-----------------------

ИС

КОДЕР

КАНАЛ