Моделирование дискретной случайной величины и исследование ее параметров
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РЭС (РТС)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По курсу «Методы проектирования и оптимизации РЭA»
Вариант №7
|Выполнил: |Проверил: |
| | |
|ст.гр. РТз – 98 – 1 |Карташов В. И. |
|Чернов В.В. |____________________ |
|Шифр 8209127 | |
Харьков 2003
Задание 1. Выполнить моделирование на ЭВМ базовой случайной величины
(БСВ) Х. Получить выборки реализаций БСВ объемом n = 170, 1700. Для каждого
случая найти минимальное и максимальное значения, оценить математическое
ожидание и дисперсию. Сравнить полученные числовые характеристики с
теоретическими значениями.
Решение
Базовой называют случайную величину, равномерно распределенную на
интервале (0,1). Моделирование производится при помощи функции rnd(m)
пакета MathCad 2000, возвращающей значение случайной величины, равномерно
распределенной в интервале 0[pic]x[pic]m.
а) для выборки объемом 170 (рис. 1.1): Xmin = 0.0078, Xmax = 0.996.
Первый начальный момент (математическое ожидание) равен среднему
арифметическому значений выборки:
МХ = [pic]0.502 ,
(1.1)
второй центральный момент (дисперсия):
D = [pic] 0.086 ,
(1.2)
среднеквадратичное отклонение:
? = [pic]0.293 .
(1.3)
[pic]
Рисунок 1.1 Выборка объемом 170.
Для выборки объемом 1700 (рис. 1.2): Xmin = 0.0037, Xmax = 0.998,
МХ = [pic]0.505 ,
(1.4)
D = [pic] 0.085 ,
(1.5)
? = [pic]0.292
. (1.6)
[pic]
Рисунок 1.2 Выборка объемом 1700.
Теоретически значения математического ожидания и дисперсии БСВ
рассчиты-ваются из определения плотности распределения вероятности:
pравн(x) =
[pic] , (1.7)
математическое ожидание:
Mx = [pic]0.5 ,
(1.8)
дисперсия:
Dx = [pic][pic]
=[pic]0.083 ,
(1.9)
что хорошо совпадает с результатами моделирования (1.1) – (1.5).
Задание 2. Получить выборку реализаций БСВ объемом n = 1700. Построить
гистограмму распределений и сравнить ее с плотностью распределения
равномерно распределенной случайной величины.
Решение
а) выборка получается аналогично Заданию 1(рис. 2.1):
[pic]
Рисунок 2.1 Выборка объемом 1700
Приняв Xmin = 0, Xmax = 1, разбиваем интервал на q = 10 равных промежутков,
каждый из которых равен:
?X = [pic].
(2.1)
Количества выборок, попадающих в каждый из интервалов, частоты
попадания, оценки плотности сведены в табл. 2.1. Гистограмма распределений
представлена на рис. 2.2. Как видно, она достаточно хорошо совпадает с
равномерным законом распределения (1.7).
Таблица 2.1 Результаты оценки плотности распределения
|Номер|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|интер| | | | | | | | | | |
|-вала| | | | | | | | | | |
|Диапа|0-0.1|0.1-0|0.2-0|0.3-0|0.4-0|0.5-0|0.6-0|0.7-0|0.8-0|0.9-1|
|-зон | |.2 |.3 |.4 |.5 |.6 |.7 |.8 |.9 | |
|значе| | | | | | | | | | |
|-ний | | | | | | | | | | |
|Коли-|151 |174 |149 |189 |190 |161 |166 |182 |177 |161 |
|честв| | | | | | | | | | |
|о | | | | | | | | | | |
|попа-| | | | | | | | | | |
|даний| | | | | | | | | | |
|Часто|0.089|0.102|0.088|0.111|0.112|0.095|0.098|0.107|0.104|0.095|
|-та | | | | | | | | | | |
|по-па| | | | | | | | | | |
|да-ни| | | | | | | | | | |
|я Pi | | | | | | | | | | |
|Оцен-|0.888|1.024|0.876|1.112|1.118|0.947|0.976|1.071|1.041|0.947|
|ка | | | | | | | | | | |
|плот-| | | | | | | | | | |
|ности| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
|pi | | | | | | | | | | |
[pic]
Рисунок 2.2 Гистограмма распределений
Задание 3. Получить выборку БСВ объемом n = 1700, По этой выборке
проверить свойства независимости полученной случайной последовательности
(вычислить 10 значений коэффициента корреляции).
Решение
а) снова получим выборку значений БСВ объемом n = 1700 (рис. 3.1):
[pic]
Рисунок 3.1 Выборка объемом 1700
б) значения математического ожидания и дисперсии:
M = [pic]0.512 ,
(3.1)
D = [pic] 0.088 .
(3.2)
в) функция корреляции:
R(j) = [pic] ,
(3.3)
значения R(j) для j = 1…10 приведены в табл. 3.1 , значение R(0) = 0.088
совпадает с дисперсией.
Таблица 3.1 Значения функции корреляции:
|j |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|R(j) |-9.6·|3.53·|2.7·1|4.24·|-1.73|6.61·|4.11·|6.74·|3.95·|1.12·|
| |10-4 |10-3 |0-4 |10-3 |·10-3|10-4 |10-4 |10-5 |10-4 |10-3 |
Задание 4. Выполнить моделирование случайной величины, распределенной
по закону Релея. Объем выборки n = 17, ?2 = 27.
Решение
Ддя получения случайной величины с заданным законом распределения из
БСВ применим метод обратной функции:
а) для распределения Релея
p(x) =
[pic] (4.1)
случайная величина
? = F(x) = [pic]
(4.2)
равномерно распределена в интервале 0…1, и может быть задана с помощью БСВ.
Решив уравнение (4.2) относительно x, получаем случайную величину,
распределенную по закону (4.1):
?i = [pic] ,
xi = [pic] ,
(4.3)
где ?i – значения выборки БСВ
Результат моделирования случайной величины xi представлен на рис. 4.1:
[pic]
Рисунок 4.1 Выборка случайной величины, распределенной по закону Релея
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М. Физматгиз, 1962. – 246 с.
2. Тихонов В. И. и др. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. М.
– Сов. радио, 1970. – 600 стр.
3. Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Радиотехнические расчеты на ПК: Справочник.
М. – Радио и связь, 1988. – 304 с. |
