Производная в курсе алгебры средней школы
Южно-Сахалинский Государственный Университет
Кафедра математики
Курсовая работа
Тема: Производная в курсе алгебры средней школы
|Автор: |Меркулов М. Ю. |
|Группа: |411 |
|Руководитель: |Чуванова Г. М. |
|Оценка: | |
Южно-Сахалинск
2002г
Введение
В первой главе курсовой работы речь пойдет о понятии производной, ее
истории и областях ее применения. Во второй главе будет детально рассмотрен
курс изучения производной трех учебников по алгебре и началам анализа для
10-11кл. : Алимова, Башмакова и под редакцией Колмогорова. Цель курсовой
работы – раскрыть понятие производной, рассмотреть систему ее изучения в
учебниках средней школы, охарактеризовать особенности изложения материала и
дать рекомендации по поводу использования этих учебников.
Производная и ее применение
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17
столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского
математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в
ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается
наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась
кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться
в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого
Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли
Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1-2. Понятие производной
Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в
промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение
?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при
?x > 0, называется производной от функции f(x).
y'(x)=[pic]
1-3. Правила дифференцирования и таблица производных
|C' = 0 |(xn) = nxn-1 |(sin x)' = cos x |
|x' = 1 |(1 / x)' = -1 / x2|(cos x)' = -sin x |
|(Cu)'=Cu' |(?x)' = 1 / 2?x |(tg x)' = 1 / cos2 x |
|(uv)' = u'v + uv' |(ax)' = ax ln x |(ctg x)' = 1 / sin2 x |
|(u / v)'=(u'v - uv') |(ex)' = ex |(arcsin x)' = 1 / ? (1-|
|/ v2 | |x2) |
| |(logax)' = (logae)|(arccos x)' = -1 / ? |
| |/ x |(1- x2) |
| |(ln x)' = 1 / x |(arctg x)' = 1 / ? (1+ |
| | |x2) |
| | |(arcctg x)' = -1 / ? |
| | |(1+ x2) |
2. Геометрический смысл производной
2-1. Касательная к кривой
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к
точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN,
если точку N неограниченно приближать по кривой к M.
Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При
некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на
кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x, его
значению соответствует значение функции y0 + ?y = f(x0 + ?x).
Соответствующая точка - N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и
обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox.
Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет приближаться к
0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться
вокруг точки M, а угол ? - меняться. Если при ?x > 0 угол ? стремится к
некоторому ?, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным
направлением оси абсцисс угол ?, будет искомой касательной. При этом, ее
угловой коэффициент:
[pic]
То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно
тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox
касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).
Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное
определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция
задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут
равны частным производным f по x и y.
2-2. Касательная плоскость к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость,
содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности,
проходящим через M - точку касания.
Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо
обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности
некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями
x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).
Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в
тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство
инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение
по t:
[pic]
Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:
[pic]
Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим
дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:
F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0
и для частного случая z = f(x, y):
Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0)
Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a)
гиперболического параболоида
[pic]
Решение:
Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1
Уравнение искомой плоскости:
Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a
3. Использование производной в физике
3-1. Скорость материальной точки
Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении
материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент
времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ?t = t - t0 и
вычислим приращение пути: ?s = f(t0 + ?t) - f(t0). Отношение ?s / ?t
называют средней скоростью движения за время ?t, протекшее от исходного
момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ?t > 0.
Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ?t) - это
величина =?v / ?t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент
времени t будет предел среднего ускорения:
[pic]
То есть первая производная по времени (v'(t)).
Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s
= A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после
начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.
Решение:
v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t =
2;
1,8 = 0,18t; t = 10 c
3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре
Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1 -
T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q,
причем отношение
[pic]
для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного
вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q =
f(T). Тогда ?Q = f(t + ?T) - f(T). Отношение
[pic]
называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ?T], а предел этого
выражения при ?T > 0 называется теплоемкостью данного вещества при
температуре T.
3-3. Мощность
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на
него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс
обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится
понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы,
вводят понятие мощности:[pic].
4. Дифференциальное исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа
математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является
изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком
направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при
введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при
повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное
оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных
задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных,
которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В
экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение
показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль,
максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель
представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким
образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению
экстремума функции.
По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в
ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по
одному из достаточных условий экстремума:
1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.
Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -,
то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не
меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки
x0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет
максимум, если f ''(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.
Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график
функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на
этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).
Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли
которой может быть смоделирована зависимостью:
?(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Решение:
?'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 > qextr = 4
При q < qextr = 4 > ?'(q) < 0 и прибыль убывает
При q > qextr = 4 > ?'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может
производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) =
p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить,
а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же
фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет
выпуск на пределе своих производственных мощностей.
4-2. Эластичность спроса
Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел
[pic]
Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая
эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос
реагирует на изменение цены. Если |ED|>1, то спрос называется эластичным,
если |ED|f
(x0) при x>x0, то функцию f (x) называют непрерывной. Вообще, в этом пункте
автор очень углубляется в математический анализ и довольно скрупулезно
разбирает свойство непрерывности и предельный переход. У Башмакова
предельный переход объясняется на примерах, не вдаваясь в подробности.
3. Вычисление производной
3-1. Правила дифференцирования
Напомним основные правила дифференцирования:
сумма: (u + v)’ = u’ + v’
коэффициент: (Cu)’ = Cu’
произведение: (uv)’ = u’v + uv’
частное: (u / v)'=(u'v - uv') / v2
В учебниках Башмакова и Колмогорова все эти формулы выводятся, каждый шаг
объясняется. Учебник Алимова содержит доказательства только двух первых
формул, зато к каждой формуле есть по 1-2 примера.
В учебнике Колмогорова рассматривается формула производной сложной функции
(гл 2, §16):
f(g(x))’ = f ’(g(x))g’(x)
Вначале автор дает определение сложной функции, затем выводит формулу и
приводит несколько примеров нахождения производной сложных функций. Алимов
решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее
частный случай – линейную замену аргумента:
(f(kx + b))’ = kf ‘(kx + b)
Эта формула, конечно, гораздо менее емкая, зато ее доказательство короче и
менее абстрактно. Башмаков же включил в учебник обе формулы.
3-2. Производные элементарных функций
Проблема заключается в том, что если тема «производные» дается перед
рассмотрением каких-либо элементарных функций, то производные этих функций
придется рассматривать позже, что может отвлечь от сути. С другой стороны,
помещая производные в самый конец учебника, сложность материала может
повышаться неравномерно, что может сказаться на успеваемости.
Башмаков посвящает вычислению производной через приращения целый пункт, где
выводит 5 формул (для линейной функции, квадрата, куба, гиперболической
функции, корня). С этого пункта и начинается собственно вычисление
производных. Далее, после рассмотрения правил дифференцирования, выводится
формула производной степени. Производные показательной и логарифмической
функций рассматривается в соответствующей главе, а производные
тригонометрических функций вовсе исключены из курса.
В учебнике Колмогорова формулы производных показательной и логарифмической
функций также выводятся и применяются в решении задач позже. Однако,
производные тригонометрических функций, уже изученных к этому моменту,
даются в главе «производная» в виде отдельного пункта. Кстати говоря, в
ходе вывода формулы производной синуса, доказывается следующее утверждение:
lim (sin (x) / x) = 1
Доказательство усложнено тем, что переменная выступает как угол и длина,
необходим переход от длины дуги к длине отрезка. Он обосновывается довольно
расплывчато, но объяснения интуитивно вполне понятны. Имея в распоряжении
формулу производной синуса, нетрудно найти производные остальных функций.
Алимов рассматривает степенную функцию перед правилами дифференцирования, а
формулы производных других элементарных функций (показательной,
логарифмической, тригонометрических) – после и в отдельном пункте.
Доказательство приводится только для синуса, но для каждой функции есть
решенная задача. Удобство заключается в том, что все элементарные функции и
правила дифференцирования рассматриваются последовательно и нет
необходимости возвращаться к уже пройденному материалу.
4. Исследование функций
4-1. Возрастание и убывание функций
В начале раздела о исследовании функций в учебнике Башмакова приводятся две
теоремы: о том, что функция имеющая на промежутке производную, тождественно
равную 0, постоянна на этом промежутке и признак монотонности функции.
Затем идет формулировка признаков возрастания / убывания функции – они
находятся в начале разделов учебников Алимова и Колмогорова. Колмогоров
доказывает эти признаки на основе формулы Лагранжа:
Алимов доказательство не приводит. Затем идут примеры, наглядно
показывающие, как находить промежутки возрастания / убывания.
4-2. Экстремумы функций
Основополагающими теоремами в этом пункте являются: необходимое условие
экстремума (производная в точке экстремума должна быть равна 0), признаки
максимума / минимума функции. Согласно просматривающемуся стилю авторов,
Колмогоров методично доказывает каждую теорему, Алимов делает упор на
рассмотрение задач, а Башмаков по возможности в доказательствах и
рассуждениях обходится без формул, предпочитая рассказ о свойствах
производной.
Замечу, что Башмаков выделил пункт для рассмотрения т. н. особых точек. Это
точки, в которых производная не существует, но функция может быть
непрерывной. Колмогоров рассматривает их в пункте «применение
непрерывности» . Кроме того, там же рассматривается важнейший метод
исследования поведения функции – метод интервалов.
4-3. Схема исследования функций
Колмогоров:
1) Нахождение области определения
2) Проверка на четность / нечетность
3) Нахождение точек пересечения с осями
4) Нахождение промежутков знакопостоянства
5) Нахождение промежутков возрастания и убывания
6) Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках
7) Исследование поведения функции в окрестностях «особых» точек и
бесконечности
Башмаков и Алимов исследуют функцию только на монотонность.
5. Приложения производной
5-1. Применение производной в физике
Ранее уже был рассмотрен механический смысл производной – как найти
скорость (ускорение – производная от скорости – вторая производная
функции). Учебник Башмакова показывает, как производная используется также
при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс,
кинетическая энергия. Разъясняется суть понятия дифференциала:
дифференциалом функции называют произведение производной на приращение
аргумента. Рассказывается, как с помощью дифференциала можно найти заряд,
работу, массу тонкого стержня, теплоту.
Колмогоров также приводит примеры использования производной в физике:
нахождение мощности, линейной плотности. Также он объясняет с помощью
производной принцип действия параболических телескопов.
5-2. Приближенные вычисления
Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике Колмогорова и
Башмакова. Авторы указывают на сходство графиков функции и касательной и
значения будут ненамного различаться при достаточно малом приращении. Эта
тема носит практический характер. Рассмотрены несколько примеров.
Заключение
Принимая в расчет вышеизложенное, я могу дать такую характеристику этим
учебникам:
Учебник под редакцией Колмогорова характеризуется большим объемом материала
по производной и высокой степенью детальности. Как следствие – высокий
уровень подготовки и некоторая сложность в понимании. Этот учебник по праву
наиболее часто используется в обычных школах.
Учебник Алимова делает больший упор на практическую сторону. В тексте много
примеров решения задач, некоторые пункты даже целиком состоят из них. К
каждому пункту прилагается большой набор задач для самостоятельного
решения. Доказательства – слабая сторона учебника, т. к. они кратки, а
зачастую их нет совсем. Некоторые аспекты темы опущены.
В учебнике Башмакова материал излагается крайне сжато, но последовательно и
доказательства более просты и понятны. Все абстрактные математические
понятия находят свои житейские прототипы и рассматриваются на конкретных
примерах. Учебник больше подходит для самостоятельного изучения материала.
Литература
|М. Я. Выгодский |Справочник по высшей математике |
|И. Н. Бронштейн, |Справочник по математике для инженеров и |
|К. А. Семендяев |учащихся ВТУЗов |
|И. М. Уваренков, |Курс математического анализа,т.1 |
|М. З. Маллер | |
|В. А. Дударенко, |Математический анализ |
|А.А. Дадаян | |
|Н. С. Пискунов |Дифференциальное и интегральное исчисления|
|Т. И. Трофимова |Курс физики |
|О. О. Замков |Математические методы в экономике |
|А. В. Толстопятенко | |
|Ю. Н. Черемных | |
|А. С. Солодовников |Математика в экономике |
|В. А. Бабайцев | |
|А. В. Браилов | |
|И. Г. Шандра | |
|Под редакцией |Алгебра и начала анализа |
|А.М Колмогорова | |
|Ш. А. Алимов |== << == |
|Ю. М. Колягин | |
|Ю. В. Сидоров | |
|Н. Е. Федорова | |
|М. И. Шабунин | |
|М. И. Башмаков |== << == |
Содержание:
Введение
Глава 1. Производная и ее применение
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
1-2. Понятие производной
1-3. Правила дифференцирования и таблица производных
2. Геометрический смысл производной
2-1. Касательная к кривой
2-2. Касательная плоскость к поверхности
3. Использование производной в физике
3-1. Скорость материальной точки
3-2. Теплоемкость при данной температуре
3-3. Мощность
4. Дифференциальное исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
4-2. Эластичность спроса
4-3. Предельный анализ
5. Производная в приближенных вычислениях
5-1. Интерполяция
5-2. Формула Тейлора
5-3. Приближенные вычисления
Глава 2. Производная в школьном курсе алгебры
1. Структура учебников
2. Понятие производной
2-1. Определение производной
2-2. Геометрический смысл производной
2-3. Непрерывность функции и предельный переход
3. Вычисление производной
3-1. Правила дифференцирования
3-2. Производные элементарных функций
4. Исследование функций
4-1. Возрастание и убывание функций
4-2. Экстремумы функций
4-3. Схема исследования функций
5. Приложения производной
5-1. Применение производной в физике
5-2. Приближенные вычисления
Заключение
Список использованной литературы
-----------------------
x
x+?x
?x
?y
M
?
?
N
[pic] |
