Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики

3. Аналіз діючих підручників та тестів.

Порівняльна характеристика тем.

Останній час тема «Показникова і логарифмічна функція»

вивчається в середній школі за підручником під редакцією А.Н.Колмогорова.

На сьогоднішній день з’явився новий підручник авторами якого є М.І. Шкіль,

З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по іншому.

Проведемо порівняльну характеристику вивчення данної теми в згаданих

підручниках.

Тема: «Показникова функція».

|Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |

|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |

|аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |

| |кл.» |

|(1 Показникова функція |(1 Поняття показникової функції. |

|n.1.Степінь з ірраціональним |n.1. Означення і графік |

|показником |показникової функції. |

|Фіксують додатнє число а і ставлять|Дається означення: Функція [pic], |

|кожному числу [pic] число [pic]. |де а>0, [pic] називається |

|Цим самим отримують числову функцію|показниковою (з основою а). |

|[pic], визначену на множені Q |Вивчення показникової функції |

|раціональних чисел. Зазначається, |починається з функції [pic], |

|що при а=1 функція [pic] стала, |потім розглядається [pic], |

|так як [pic] для будь-якого |будуються їхні графіки і |

|раціонального числа. |порівнюються. Далі розглядається |

|Будуються графіки функцій [pic] і |функція [pic]. Порівнюються графіки|

|[pic] і порівнюються. Далі |функції [pic] і [pic]. З графікив |

|описується як визначається число |зчитуються спільні властивості. |

|[pic] для ірраціональних [pic] при |Далі порівнюються графіки функцій |

|а>1, в загальних рисах. Аналогічно |[pic]([pic]) і [pic]([pic]). З |

|описується визначення числа [pic], |графіків зчитуються властивості |

|для [pic]. Крім цього вважають, що |функцій. |

|[pic] для будь-якого [pic] і | |

|[pic][pic]для [pic][pic][pic] | |

|n.2. Властивості показникової |n.2. Загальні властивості |

|функції. |показникової функції. |

|Означення: Функція, задана формулою|D(y)=R |

|[pic] (де a>0, [pic]), називається |[pic] |

|показниковою з основою а. |якщо x=0, показникова функція [pic]|

|Формулюються основні властивості: | |

|Область визначення множина R |Зазначені вище властивості |

|дійсних чисел. |доводяться, розглядаються всі |

|Область значень множина R+ всіх |можливі випадки. Далі наводяться |

|додатніх дійсних чисел. |властивості без доведення. |

|При [pic] функція зростає на всій |якщо [pic] [pic] і [pic] то [pic]. |

|числовій прямій; при [pic] функція |якщо [pic] і [pic], то якеб не було|

|спадає на множині R. |додатнє число N, існує, і до того ж|

|При будь-яких дійсних значеннях х і|єдине, таке значення х, що [pic] |

|у справедливі рівності | |

| | |

|[pic] | |

|[pic]; | |

|[pic] | |

|[pic] | |

|[pic]. | |

| |n.3. Властивості графіка |

| |показникової функції. |

| |Графік розміщений у верхній |

| |півплощині, тобто там де ординати |

| |додатні. |

| |Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, |

| |перетинає графік і до того ж тільки|

| |в одній точці. |

| |Крива проходить через точку (0;1), |

| |тобто коли х=0, функція чисельно |

| |дорівнює 1. |

| |З двох точок графіка вище розміщена|

| |та , яка лежить правіше, тобто в |

| |міру просування зліва на право він |

| |піднімається вгору. |

| |На графіку є точки, які лежать вище|

| |будь-якої прямої, паралельної осі |

| |0х. На графіку є точки, що лежать |

| |нижче будь-якої прямої, проведеної |

| |у верхнії півплощині паралельно осі|

| |Х. |

| |Будь-яка пряма, що паралельна осі Х|

| |і лежить у верхній півплощині, |

| |перетинає графік, і при чому в |

| |одній точці. |

| |n.4.Приклади застосування |

| |властивостей показникової функції. |

| |В цьому пункті наводяться приклади |

| |вправ на показникову функцію і |

| |варіанти їх розв’язування. |

| |n.5. Використання показникової |

| |функції під час вивчення явищ |

| |навколишнього середовища |

| |Задача про радіоактивний розпад. |

| |Задача про зміну атмосферного |

| |тиску. |

| |Задача про розмноження бактерій. |

| |Задача про вакуумування. |

| |Задача про приріст деревини. |

| |Всі запропоновані задачі наводяться|

| |з розв’язанням. |

| |n.6. Основні показникові |

| |тотожності. |

| |Для будь-яких дійсних значень х і у|

| |справедливі рівності: |

| |[pic] |

| |[pic]; |

| |[pic] |

| |[pic] |

| |[pic] |

|(2 Розв’язування показникових |(2 Розв’язування показникових |

|рівнянь і нерівностей. |рівнянь і нерівностей. |

|n.1. Рівняння. |n.1. Показникові рівняння. |

|Розглядається найпростіше |Показниковим називають рівняння, в |

|показникове рівняння [pic], [pic] і|яких невідоме входить лише до |

|[pic]. Кажуть, що у випадку [pic] |показників степенів при сталих |

|або [pic] рівняння не має |основах. Найпростішим рівнянням є |

|розв’язків. |[pic] [pic] і [pic][pic]. Говорять,|

|Нехай [pic]. Функція [pic] на |що загального методу розв’язування |

|проміжку [pic] зростає при [pic] |показникових рівнянь немає. |

|(спадає при [pic]) і набуває |Виділяють кілька типів показникових|

|додатних значень. Застосувавши |рівнянь і наводять схеми (приклади)|

|теорему про корінь, дістаємо, що |їх розв’язання. |

|рівняння при будь-якому [pic], |Найпоширеніший спосіб: зведення |

|[pic], має єдиний корінь. |обох частих показникового рівняння |

|Щоб його знайти треба [pic]подати |до спільної основи. Приклади. |

|у вигляді [pic]. Очевидно, що [pic]|Спеціальні способи розв’язання: |

|є розв’язком рівняння [pic] , |зведення до спільного показника. |

|демонструється на графіку функції. |А також показникове рівняння |

|Розглядається 4 приклади. |перетворюють відомими методами: |

| |заміни, зведення до квадратного |

| |рівняння, а потім вже |

| |використовують певну схему. |

|n.2. Нерівності і системи рівнянь. |n.2. Розв’язування нерівностей, які|

|Розв’язання найпростійших |містять показникову функцію. |

|показникових показникових |Найпростішими є нерівності виду |

|нерівностей грунтується на відомій |[pic]. Під час розв’язування |

|властивості функції [pic]; ця |використовують властивість |

|функція зростає, якщо [pic], і |монотонності показникової функції. |

|спадає, якщо [pic]. Розглядаються |І кажуть, що для [pic] |

|приклади. |розв’язування даної нерівності |

| |зведеться до розв’язування |

| |нерівності [pic], а для [pic] |

| |зводиться до розв’язування |

| |нерівності [pic]. Приклади |

| |розв’язання нерівностей. |

Тема: «Логарифмічна функція».

|Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |

|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |

|аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |

| |кл.» |

|(1 Логарифми і їх властивості. |(1 Логарифми. |

|n.1.Логарифм. |n.1. Поняття логарифма. |

|Даэться означення: Логарифмом числа|Дається означення: Корінь рівняння |

|b за основою а називається |[pic], де a>0, a[pic]1, називають |

|показник степеня, до якого слід |логарифмом числа N за основою а. |

|піднести основу а, щоб отримати |Логарифмом числа N за основою а |

|число b. |(a>0, a[pic]1) називається показник|

|Тут же зазначається, що формулу |степеня х, до якого треба піднести |

|[pic] ( де b>0, a[pic]1) називають |а, щоб дістати число N. |

|основною логарифмічною тотожністю. |Далі наводиться логарифмічна |

| |рівність [pic] і показникова |

| |рівність [pic] і зазначається, що |

| |ці рівності визначають одне і теж |

| |співвідношення. Наводяться три |

| |основні задачі: |

| |Знайти число N за даним його |

| |логарифмом b і за основою а. |

| |Знайти основу а за даним числом N і|

| |його логарифмом b. |

| |Знайти логарифм від даного числа N |

| |за данною основою а. |

| |Далі наводять приклади. |

| |n.2. Основна логарифмічна |

| |тотожність. |

| |Розглядається показникова рівність|

| |[pic](1). За означенням логарифма |

| |[pic](2), [pic](3). Рівність (3) |

| |називається основною логарифмічною |

| |тотожністю. |

|n.2. Основні властивості логарифма.|n.3. Основні властивості логарифма.|

| | |

|Для будь-яких a>0 (a(1) і будь-яких|Т.1. Логарифм добутку двох додатних|

|додатніх х і у виконуються рівності|множників дорівнює сумі їх |

| |логарифмів, тобто [pic] де [pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |Т.2. Логарифм частки двох додатних |

|[pic] |чисел (дробу) дорівнює різниці |

|[pic] |логарифмів діленого і дільника |

|[pic] |(чисельника і знаменника), тобто |

|Далі наводиться формула переходу |[pic], де [pic] [pic] |

|від однієї основи логарифма до |Наслідок: Логарифм дробу, чисельник|

|іншої [pic] |якого дорівнює одиниці, дорівнює |

|Далі дається означення десяткового |логарифму знаменника взятого з |

|логарифма на описовому рівні: |протилежним знаком. |

|Десятковим називається логарифм за |Т.3. Логарифм степеня додатного |

|основою10 і позначається [pic]. Але|числа дорівнює показнику степеня, |

|більш конкретно на десяткових |помноженому на логарифм основи |

|логарифмах не зупиняються. |цього степеня, тобто [pic], де m - |

| |будь-яке число, [pic] |

| |Т.4. Логарифм кореня з додатного |

| |числа дорівнює логарифму |

| |підкореневого виразу, поділеного на|

| |показник кореня, тобто [pic] |

| |5. [pic] |

| |[pic] |

| |Всі властивості доводяться. |

| |n.4. Деякі важливі тотожності, що |

| |містять логарифми. |

| |[pic] |

| |[pic] |

| |[pic] |

| |Всі тотожності доводяться. |

| |n.5. Потенціювання |

| |Перетворення за допомогою якого за |

| |даним логарифмом числа (виразу) |

| |визначають саме число (вираз), |

| |називають потенціюванням. |

| |n.6. Перехід від однієї основи |

| |логарифма до іншої. |

| |Вводиться формула [pic] |

| |n.7. Натуральні логарифми з основою|

| |е називають натуральним, або |

| |неперовим. [pic] |

|(2 Логарифмічна функція |(2 Логарифмічна функція |

|Функція задана формулою [pic], |n.1. Поняття логарифмічної функції:|

|називається логарифмічною з основою| |

|а. |Функцію [pic], називають |

|Перечисляють основні властивості |логарифмічною функцією за основою а|

|цієї функції. Властивості |(a>0 ,a(1). Зазначається, що графік|

|аналогічні до перших трьох |функції [pic] можна дістати з |

|властивостей логарифмічної функції |графіка функції [pic], симетрично |

|наведені у підручнику Шкіля М.І. |відобразивши останній відносно |

|Далі зазначається, що графіки |прямої у=х. |

|показникової і логарифмічної, що | |

|мають однакову основу, симетричні |n.2. Властивості логарифмічної |

|відносно прямої у=х. Потім |функції. |

|розглядаються приклади застосування|Область визначення логарифмічної |

|властивостей логарифмічної функції.|функції множина всіх додатніх |

|На цьому вивчення теми логарифмічна|чисел. |

|функція в підручнику під редакцією |Область значень- множина всіх |

|Колмогорова закінчується. |дійсних чисел. |

| |Логарифмічна функція на всій |

| |області визначення R+ зростає, якщо|

| |a>1 і спадає, якщо 00 (a(1) |

| |виконуються рівності |

| |[pic] |

| |[pic] |

| |[pic], якщо [pic] |

| |[pic], якщо [pic] |

| |для будь-якого [pic] і будь-якого |

| |p(R [pic] |

| |Далі розглядаються властивості для |

| |випадків [pic] і [pic]; властивості|

| |логарифмів чисел за основою [pic]; |

| |Властивості логарифмів чисел за |

| |основою [pic]. |

| |Наводяться приклади вправ та їх |

| |розв’язання. |

|(3 Розв’язування логарифмічних |(3 Розв’язування логарифмічних |

|рівнянь і нерівностей. |рівнянь і нерівностей. |

|Найпростіше логарифмічне рівняння |n.1. Логарифмічні рівняння. |

|[pic]. Логарифмічна функція |Приклади розв’язування |

|зростає (або спадає) на проміжку |логарифмічних рівнянь. |

|[pic] і набуває на цьому проміжку |Логарифмічними називають рівняння, |

|всіх дійсних значень |які містять змінну під знаком |

|(демонструється на графіку). За |логарифма. Найпростіше рівняння |

|теоремою про корінь звідси |[pic] де [pic] і [pic], [pic]- |

|випливає, що для будь-якого |будь-яке число. Воно має єдиний |

|[pic]дане рівняння має і притому |розв’язок [pic], який можна дістати|

|тільки один розв’язок. З означення |за допомогою потенціювання. |

|логарифма числа випливає, що [pic]і|Розв’язування рівняння [pic](1) |

|є таким розв’язком. Приклади. |рівносильно системі [pic], інакше |

| |кажучі рінвосильне кожній із |

| |змішаних систем [pic], [pic]. |

| |Тобто для розв’язування рівняння |

| |(1) досить розв’язати рвняння [pic]|

| |і його розв’язки підставити в |

| |систему нерівностей [pic], яка |

| |задає область визначення рівняння. |

| |Говориться і про можливість втрати |

| |коренів і появі стороніх коренів та|

| |розглядають це на прикладі. |

| |Розглядаються приклади |

| |розв’язування рівнянь різними |

| |способами (потенціювання, |

| |логарифмування). |

| |Розглядаються також |

| |показниково-логарифмічні рівнняня. |

|Логарифмічні нерівності та системи|n.2. Розв’язування систем |

|логарифмічних рівнянь і нерівностей|логарифмічних рівняннь. |

|розглядаються тільки на прикладах, |При розв’язуванні систем |

|і нічого про них не говориться. |логарифмічних рівнянь |

| |використовуються ті самі способи, |

| |що й при розв’язуванні алгебраїчних|

| |систем. |

| |n.3. Логарифмічні нерівності. |

| |Логарифмічні нерівності виду |

| |[pic](1). |

| |Кажуть, що якщо [pic], то (1) |

| |рівносильна системі [pic] |

| |а якщо [pic], то (1) рівносильна |

| |системі [pic]. |

| |Розв’язуються приклади. |

Провівши порівняльну характеристику вивчення тем показникова і

логарифмічна функції в обох підручниках, можна зробити слідуючи висновки:

1. В обох підручниках тема «Показникова функція» і «Логарифмічна

функція» вивчаються на основі одних і тих понять.

2. Понятійний апарат більш ширший в новому підручнику під редакцією

М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у

10-11 кл.». В підручнику під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і

початки аналізу у 10-11 кл.» понятійний апарат дуже вузький. Тому

для глибокого і досконалого вивчення заданих тем бажано

використовувати новий підручник.

3. Більш строгий виклад теорії спостерігається в підручнику під

редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки

аналізу у 10-11 кл.». В ньому доводяться всі властивості і

розглядаються всі можливі випадки з доведенням. В підручнику А.Н.

Колмогорова у доведення властивостей не дуже заглиблюються. Детально

доводяться лише базові властивості. Все інше дається без доведення.

4. Розв’язування показникових, логарифмічних рівнянь і нерівностей

більш широко і доступно викладено в підручнику під редакцією

М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у

10-11 кл.» тому його бажано використовувати для більш поглибленого

вивчення даної теми.

В підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук

«Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» властивості і теореми

доводяться детальніше, тому він може бути використаний для

самостійного вивчення тем учнями.

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011