История доказательства Великой теоремы Ферма
Южно-Сахалинский Государственный Университет
Кафедра математики
Реферат
Тема: История доказательства Великой теоремы Ферма
|Автор: |Меркулов М. Ю. |
|Группа: |411 |
Южно-Сахалинск
2003г
Суть теоремы
Проблема,о которой пойдет речь в этом реферате выглядит довольно простой
потому, что в основе ее лежит математическое утверждение, которое всем
известно, — теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат,
построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
Благодаря этому пифагорову заклинанию, теорема запечатлелась в мозгу
миллионов, если не миллиардов, людей. Это — фундаментальная теорема,
заучивать которую заставляют каждого школьника. Но несмотря на то, что
теорема Пифагора доступна пониманию десятилетних, она является
вдохновляющим началом проблемы, при решении которой потерпели фиаско
величайшие умы в истории математики.
Теорема Пифагора дает нам соотношение, которое выполняется для всех
прямоугольных треугольников и, следовательно, определяет прямой угол. В
свою очередь, прямой угол определяет перпендикуляр, т.е. отношение
вертикали к горизонтали, а в конечном счете — отношение между тремя
измерениями нашего мира. Математика — через прямой угол — определяет самую
структуру пространства, в котором мы живем. Это очень глубокая мысль.
В символьной записи теорема Пифагора утверждает, что для катетов x y и
гипотенузы z прямоугольного треугольника:
x2 + y2 = z2.
Пифагоровы тройки представляют собой комбинации из трех целых чисел,
удовлетворяющих соотношению Пифагора x2 + y2 = z2. Например, соотношение
Пифагора выполняется при x=3, y=4 и z=5:
З2 + 42 = 52, 9 + 16 = 25.
Пифагорейцы мечтали найти и другие пифагорейские тройки, другие квадраты,
из которых можно было бы сложить третий квадрат больших размеров. Еще одна
пифагорова тройка: x=5, y=12 и z=13:
52 + 122 = 132, 15 + 144 = 169.
Приведем пифагорову тройку из больших чисел: x=99, y=4900 и z=4901. По мере
того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже и
находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод
отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек
существует бесконечно много. Рассмотрим уравнение, очень похожее на
уравнение Пифагора, но отличающееся от него тем, что все числа входят в
кубе:
x3 + y3 = z3.
Найти целочисленные решения уравнения Пифагора, т.е. пифагоровы тройки,
было сравнительно легко, но стоит лишь степени измениться с 2 на 3 (т.е.
заменить квадраты кубами), как решение уравнения, столь похожего на
уравнения Пифагора, в целых числах, по-видимому, становится невозможным.
Поколения математиков исписывали страницу за страницей в своих блокнотах в
тщетной надежде найти решение уравнения в целых числах.
Более того, если степень повысить с 3 до любого большего целого числа (т.е.
до 4, 5, 6, ...), то найти целочисленное решение такого уравнения, по-
видимому, также невозможно. Иначе говоря, у более общего уравнения
xn + yn = zn,
где n больше 2, решения в целых числах не существует. Всего лишь изменив 2
в уравнении Пифагора на любое целое число бульшее 2, мы вместо сравнительно
легко решаемого уравнения получаем задачу умопомрачительной сложности.
Великий математик XVII века француз Пьер де Ферма сделал удивительное
заключение: он утверждал, что знает, почему никому не удавалось найти
решение общего уравнения в целых числах. По его словам, причина заключалась
в том, что такого решения не существует.
Биография Ферма
Пьер де Ферма родился 20 августа 1601 года в городе Бомон-де-Ломань на юго-
западе Франции. Его отец, Доминик Ферма, был состоятельным торговцем кожей,
поэтому Пьер имел счастливую возможность получить престижное образование во
французском монастыре Грансельва, а затем, в течение некоторого времени
учиться в университете Тулузы. Не сохранилось никаких документов,
свидетельствующих о том, что юный Ферма проявил блестящие способности к
математике.
Под давлением семьи Ферма поступил на гражданскую службу и в 1631 году был
назначен советником парламента Тулузы (conseiller au Parlement de Toulouse)
— заведующим отдела прошений.
Ферма избрал стратегию неукоснительного исполнения возложенных на него
обязанностей и не беспокоился о себе. У него не было особых политических
амбиций, и он делал все от него зависящее, чтобы по возможности оставаться
в стороне от кипения парламентских страстей. Всю энергию, которую ему
удавалось сохранить после исполнения служебных обязанностей, Ферма отдавал
математике, и в свободное время Ферма с наслаждением предавался своему
увлечению. По существу, Ферма был истинным ученым-любителем, человеком,
которого Э. Т. Белл назвал «князем любителей». Но математический талант его
был столь велик, что Джулиан Кулидж в своей книге «Математика великих
любителей» исключил Ферма из числа любителей на том весьма веском
основании, что тот «был настолько велик, что должен считаться
профессионалом».
Несмотря на настойчивые просьбы знакомых и друзей, Ферма упорно отказывался
публиковать свои доказательства. Публикация результатов и признание ничего
не значили для него. Ферма получал удовлетворение от сознания того, что он
в тиши своего кабинета без помех может создавать новые теоремы. Но скромный
и замкнутый гений не был чужд озорству. В сочетании с его отстраненностью
это иногда проявлялось при общении Ферма с другими математиками, когда он
поддразнивал своих коллег: направляя им письма с формулировками последних
теорем, он неизменно умалчивал о доказательствах. Ферма бросал своим
современникам вызов, испытывая их способность найти недостающее
доказательство.
То, что Ферма никогда не раскрывал своих доказательств, вызывало у его
коллег чувство горького разочарования. Рене Декарт называл Ферма
«хвастуном», а англичанин Джон Валлис называл его «проклятым французом». К
несчастью для англичан, Ферма доставляло особое удовольствие разыгрывать
своих коллег по ту сторону Ла-Манша.
Не сохранилось никаких документальных свидетельств того, что у Ферма был
учитель математики, который поощрял своего способного ученика. Наставником
и учителем Ферма стала «Арифметика» Диофанта. В «Арифметике» собраны сотни
задач, и каждую из них Диофант снабдил подробным решением. Ферма не перенял
столь высокий уровень доступности. Его совсем не интересовало создание
учебника для будущих поколений. Он жаждал лишь одного — получить
удовлетворение от решенной им задачи. Изучая задачи и решения Диофанта,
Ферма черпал в них вдохновение и стал помышлять о том, чтобы самому
заняться решением аналогичных и более тонких задач. Ферма записывал для
себя лишь самое необходимое для того, чтобы убедиться в правильности
полученного решения, и не заботился о том, чтобы изложить остальную часть
доказательства. Чаще всего сделанные им торопливые записи отправлялись
прямиком в мусорную корзину, после чего Ферма спокойно переходил к
следующей задаче. К счастью для нас, опубликованный Баше латинский перевод
«Арифметики» имел широкие поля, и иногда Ферма торопливо записывал на них
ход своих рассуждений и свои комментарии. Эти заметки на полях стали
бесценными, хотя и несколько отрывочными, документальными свидетельствами
некоторых наиболее блестящих выкладок Ферма.
На полях «Арифметики» Диофанта, рядом с задачей 8, Ферма оставил такое
замечание: «Cubet autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos
quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere» (Невозможно для куба
быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвертой степени быть
записанной в виде суммы двух четвертых степеней, или, в общем, для любого
числа, которое есть степень больше двух, быть записанной в виде суммы двух
таких же степеней).
Свое знаменитое открытие Ферма совершил в самом начале своей математической
карьеры — около 1637 года. Примерно через тридцать лет, исполняя свои
судебные обязанности в городе Кастре, Ферма тяжело заболел. 9 января 1665
года он подписал свой последний приговор и тремя днями позднее умер.
Открытиям Ферма, все еще находившегося в изоляции от парижской
математической школы и отнюдь не добрым словом поминаемого его
разочарованными коллегами, грозило полное забвение. К счастью, старший сын
Ферма, Клеман-Самюэль, сознававший все значение любимого увлечения отца,
пришел к заключению, что его открытия не должны быть потеряны для всего
мира. Всем, что мы знаем о замечательных открытиях Ферма в теории чисел, мы
обязаны его сыну, и если бы не Клеман-Самюэль, загадка, известная под
названием Великой теоремы Ферма, умерла бы вместе во своим создателем.
Пять лет Клеман-Самюэль собирал отцовские заметки и письма, изучал
неразборчивые надписи на полях «Арифметики». Заметка на полях с
формулировкой Великой теоремы Ферма была лишь одной из вдохновенных мыслей,
начертанных на полях этой книги. Клеман-Самюэль взял на себя тяжкий труд
опубликовать все эти заметки в специальном издании «Арифметики». В 1670
году он издал в Тулузе книгу под названием «Диофантова Арифметика,
содержащая примечания П. де Ферма». В нее наряду с оригинальным текстом на
древнегреческом языке и латинском переводом Баше вошли 48 примечаний,
сделанных Ферма. Одно из примечаний и было тем, которое стало впоследствии
известно под названием Великой теоремы Ферма.
Великая теорема Ферма — задача невероятно трудная, и тем не менее ее можно
сформулировать так, что она станет понятной даже школьнику. Ни в физике, ни
в химии, ни в биологии нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы
так просто и определенно и оставалась нерешенной так долго. В своей книге
«Великая проблема» Э. Т. Белл высказал предположение, что возможно, наша
цивилизация подойдет к концу прежде, чем удастся доказать Великую теорему
Ферма. Доказательство Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в
теории чисел, и поэтому не удивительно, что поиски его привели к некоторым
наиболее захватывающим эпизодам в истории математики. В эти поиски
оказались вовлеченными величайшие умы на нашей планеты, за доказательство
назначались огромные премии. Из-за Великой теоремы Ферма люди дрались на
дуэли, а некоторые, отчаявшись найти доказательство, даже кончали с собой.
Первый серьезный прорыв
Леонард Эйлер родился в Базеле в 1705 году в семье кальвинистского пастора
Пауля Эйлера. Хотя юный Эйлер проявил недюжинный математический талант, его
отец решил, что сын должен изучать теологию, и готовил ему церковную
карьеру. Леонард повиновался отцовской воле и стал изучать теологию и
древнееврейский язык в Базельском университете.
Впервые столкнувшись с Великой теоремой Ферма, Эйлер, понадеялся на то, что
ему удастся найти доказательство, если он будет придерживаться такой
стратегии: найти решения для какого-нибудь частного случая, а затем
обобщить это решение, распространив его на все остальные. Напомним, что
теорема Ферма утверждает следующее: уравнение
xn + yn = zn, где n — любое целое число большее 2,
не допускает решения в целых числах.
Это уравнение в действительности представляет собой бесконечную систему
уравнений
x3 + y3 = z3,
x4 + y4 = z4,
x5 + y5 = z5,
x6 + y6 = z6,
x7 + y7 = z7,
. . . . . . . . . . .
Эйлер попытался выяснить, нельзя ли доказать, что одно из уравнений не
допускает решений в целых числах, а затем экстраполировать полученный
результат на все остальные уравнения (точно так же, как он доказал свою
формулу для всех графов).
Первый шаг к осуществлению задуманного Эйлер совершил, когда обнаружил ключ
к доказательству в кратких записях на полях «Арифметики» Диофанта. Хотя
Ферма не оставил развернутого доказательства Великой теоремы, он в другом
месте того же экземпляра «Арифметики» написал в зашифрованном виде
доказательство для случая n=4, включив его в решение совершенно другой
задачи. Это были самые подробные вычисления, которые Ферма когда-либо
доверил бумаге, но всё же детали всё ещё были обрывочны и расплывчаты, а в
заключение доказательства Ферма ссылается на то, что недостаток времени и
места не позволяют ему дать более полное объяснение. Несмотря на отсутствие
многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо
просматривался один из способов доказательства от противного, известный под
названием метода бесконечного спуска.
Чтобы доказать, что уравнение x4 + y4 = z4 не допускает решения в целых
числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения
в целых числах
x = X1, y = Y1, z = Z1.
При изучении свойств чисел (X1, Y1, Z1) Ферма показал, что если бы такое
гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы
меньшее решение (X2, Y2, Z2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог
показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее
решение (X3, Y3, Z3) и т.д.
Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве
исходного пункта при построении общего доказательства для всех других
степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех n
вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну
ступень» и получить доказательство при n=3. В письме к прусскому математику
Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось
приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему
Ферма для случая n=3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось
сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.
И до Эйлера некоторые математики уже пытались приспособить метод
бесконечного спуска Ферма для решения уравнения Ферма в целых числах при n,
отличных от 4, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким-
нибудь проблемам в логике. И только Эйлер показал, что, используя число i,
можно заткнуть все дыры в доказательстве и заставить метод бесконечного
спуска работать при n=3.
Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n
Эйлеру не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к
другим значениям вплоть до бесконечности закончились провалом. И математик,
решивший больше задач, чем кто-либо другой за всю историю, был вынужден
признать поражение — Великая теорема Ферма оставалась неприступной.
Единственным утешением для Эйлера было то, что он осуществил первый
серьезный прорыв в «круговой обороне» труднейшей математической проблемы в
мире.
Подход Софи Жермен
Оказалось, что доказательство для случая n=4 остается в силе при n=8, 12,
16, 20, ... . Дело в том, что любое число, представимое в виде 8-й (а также
12-й, 16-й, 20-й, ...) степени некоторого числа, представимо и в виде 4-й
степени какого-то другого целого числа. Например, число 256 равно 28, но
оно равно и 44. Следовательно, любое доказательство, которое «работает» для
4-й степени, остается в силе для 8-й и любой другой степени, кратной 4. На
основе того же принципа можно утверждать, что эйлеровское доказательство
для n=3 автоматически переносится на n=6, 9, 12, 15, ... . Тем самым
Великая теорема Ферма утратила свой неприступный вид и оказалась верной
сразу для многих чисел n.
К началу XIX века за Великой теоремой Ферма установилась устойчивая
репутация самой трудной проблемы в теории чисел. После прорыва,
осуществленного Эйлером, не было ни малейшего продвижения, пока
сенсационное заявление одной юной француженки не вдохнуло новые надежды.
Поиски доказательства Великой теоремы Ферма возобновились с новой силой.
Софи Жермен выпало жить в эпоху шовинизма и предрассудков, и для того,
чтобы иметь возможность заниматься математикой, ей пришлось принять
псевдоним, работать в ужасных условиях и творить в интеллектуальной
изоляции.
Софи заинтересовалась теорией чисел и, естественно, не могла не услышать о
Великой теореме Ферма. Несколько лет Жермен проработала над ее
доказательством и, наконец, достигла такого этапа, когда ей показалось, что
она смогла продвинуться к желанной цели. Возникла насущная необходимость
обсудить полученные результаты с коллегой, специалистом по теории чисел, и
Жермен решилась обратиться к самому большому специалисту по теории чисел —
немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу.
Семьюдесятью пятью годами ранее Эйлер опубликовал найденное им
доказательство для n=3, и с тех пор все математики тщетно пытались доказать
Великую теорему Ферма в других частных случаях. Но Жермен избрала новую
стратегию и в письмах к Гауссу изложила так называемый общий подход к
проблеме Ферма. Иначе говоря, ее непосредственной целью было не
доказательство отдельного случая — Жермен вознамерилась сказать нечто о
многих частных случаях сразу. В письмах к Гауссу она изложила общий ход
вычислений, сосредоточенных на простых числах p частного типа: таких, что
числа 2p+1 — также простые. В составленный Жермен перечень таких простых
чисел входит число 5, поскольку 11=2·5+1 — также простое, но число 13 в
него не входит, так как 27 = 2·13 + 1 не простое.
В частности, Жермен с помощью изящного рассуждения, доказала, что если
уравнение xn + yn = zn имеет решения для таких простых n, что 2n+1 также
простое число, то либо x, y, либо z делится n.
После прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская
Академия Наук установила серию премий, включая золотую медаль и 3000
франков, тому математику, который сумеет наконец разгадать тайну Великой
теоремы Ферма. Того, кто сумеет доказать теорему, ждала не только
заслуженная слава, но и значительное материальное вознаграждение. Салоны
Парижа полнились слухами относительно того, какую стратегию избрал тот или
иной претендент и как скоро объявят результаты конкурса. Наконец 1 марта
1847 года, Академия собралась на самое драматическое из своих заседаний.
Два конверта
В протоколах заседания подробно описывается, как Габриель Ламе, семью
годами раньше доказавший Великую теорему Ферма для n=7, взошел на трибуну
перед самыми знаменитыми математиками XIX века и заявил, что находится на
пороге доказательства Великой теоремы Ферма для общего случая. Ламе
признал, что его доказательство еще не полно, но он обрисовал в общих
чертах свой метод и не без удовольствия сообщил, что через несколько недель
опубликует полное доказательство в журнале, издаваемом Академией.
Аудитория замерла от восторга, но едва Ламе покинул трибуну как слова
попросил еще один из лучших парижских математиков Огюстен Луи Коши.
Обращаясь к членам Академии, Коши сообщил, что уже давно работает над
доказательством Великой теоремы Ферма, исходя примерно из тех же идей, что
и Ламе, и также вскоре намеревается опубликовать полное доказательство.
Хотя ни Ламе, ни Коши не располагали полным доказательством, оба соперника
страстно желали подкрепить свои заявления, и три недели спустя оба
представили в Академию запечатанные конверты.
Наконец, 24 мая было сделано заявление, которое положило конец всем
домыслам. К Академии обратился не Коши и не Ламе, а Жозеф Лиувилль. Он
поверг достопочтенную аудиторию в шок, зачитав письмо от немецкого
математика Эрнста Куммера. Куммер был признанным специалистом по теории
чисел, но горячий патриотизм, питаемый искренней ненавистью к Наполеону, на
протяжении многих лет не позволял ему отдаться своему истинному призванию.
Когда Куммер был еще ребенком, французская армия вторглась в его родной
город Сорау, принеся с собой эпидемию тифа. Отец Куммера был городским
врачом и через несколько недель болезнь унесла его. Потрясенный
происшедшим, Куммер поклялся сделать все, что в его силах, чтобы избавить
родину от нового вражеского вторжения, — и по окончании университета
направил свой интеллект на решение проблемы построения траекторий пушечных
ядер. Позднее он преподавал в Берлинском военном училище законы баллистики.
Параллельно с военной карьерой Куммер активно занимался исследованиями в
области чистой математики и был полностью осведомлен о происходящем в
Французской Академии. Куммер внимательно прочитал публикации в Трудах
Академии и проанализировал те немногие детали, которые рискнули раскрыть
Коши и Ламе. Ему стало ясно, что оба француза движутся в сторону одного и
того же логического тупика, — и свои соображения он изложил в письме к
Лиувиллю.
Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за
пределами возможностей существовавших математических подходов. Это был
блестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целому
поколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самую
трудную в мире математическую проблему.
После работ Эрнста Куммера надежды найти доказательство ослабли, как
никогда прежде. Кроме того, в математике начали развиваться различные новые
области. Возник риск, что новое поколение математиков останется в неведении
относительно неразрешимой проблемы.
Новый импульс
В 1908 году Пауль Вольфскель, немецкий промышленник из Дармштадта, вдохнул
в старую проблему новую жизнь. Семья Вольфскелей славилась своим богатством
и покровительством искусствам и наукам, и Пауль не был исключением. В
университете он изучал математику и хотя свою жизнь Пауль посвятил
строительству империи семейного бизнеса, все же он поддерживал контакт с
профессиональными математиками и продолжал на любительском уровне
заниматься теорией чисел. В частности, Вольфскель не отказался от мысли
найти доказательство Великой теоремы Ферма. Вольфскель отнюдь не был
одаренным математиком, и ему не было суждено внести заметный вклад в поиски
доказательства Великой теоремы Ферма. Но цепочка неординарных событий
привела к тому, что его имя оказалось навсегда связанным с теоремой Ферма и
вдохновило тысячи людей заняться поиском ее доказательства.
История начинается с того, что Вольфскель впал в такое глубокое отчаяние,
что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не
импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою
смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в
голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель
решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний
день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.
Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до
полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в
библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на
глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему
потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых
значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше
подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство.
Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера.
Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал
некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях.
Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть
рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое
должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать
ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все
его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления. Плохие (с точки
зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера
удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной.
Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а
Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел
в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись
сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.
Вольфскель разорвал свои прощальные письма и переписал свое завещание в
свете случившегося в ту ночь. После его смерти, последовавшей в 1908 году,
завещание было оглашено и повергло семью Вольфскеля в шок: выяснилось, что
Пауль завещал значительную часть своего состояния в качестве премии тому,
кто сумеет доказать Великую теорему Ферма. Премия в 100000 марок (более 1
000 000 фунтов стерлингов в современных масштабах) была той суммой, которую
Вольфскель счел своим долгом уплатить в награду за головоломную проблему,
спасшую ему жизнь. Деньги были положены на счет Королевского научного
общества Гёттингена, которое в том же году официально объявило о проведении
конкурса на соискание премии Вольфскеля:
О премии Вольфскеля было объявлено во всех математических журналах, и весть
о конкурсе быстро распространилась по всей Европе. Несмотря на широкую
рекламную кампанию и дополнительный побудительный стимул в виде огромной
премии, Комиссии Вольфскеля не удалось вызвать особый интерес у серьезных
математиков. Большинство профессиональных математиков считали поиск
доказательства Великой теоремы Ферма безнадежным делом и решительно
отказывались тратить свое драгоценное время на такое бесполезное занятие.
Однако премии Вольфскеля удалось внедрить проблему Ферма в сознание
совершенно новой аудитории — невидимой армии жаждущих знания молодых умов,
жаждущих испытать себя на решении неприступной головоломки и не видящих
ничего зазорного в том, что они приступают к поиску доказательства с явно
недостаточным багажом.
Через несколько недель после объявления конкурса на соискание премии
Вольфскеля на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств».
Не удивительно, что все они до одного оказались ошибочными. И хотя каждый
из участников конкурса был убежден, что именно ему удалось решить проблему,
пережившую столетия, но во всех присланных доказательствах неизбежно была
какая-нибудь тонкая, а иногда и не очень тонкая — ошибка. Искусство теории
чисел настолько абстрактно, что необычайно легко сойти с верного
логического пути и незаметно заблудиться, даже впасть в абсурд. В
Приложении 7 показана классическая ошибка такого сорта, которую легко может
допустить энтузиаст-любитель.
Независимо от того, кто был отправителем того или иного доказательства,
каждое из них скрупулезно изучалось на тот случай, если неизвестному
любителю все же удастся найти столь давно разыскиваемое доказательство.
Деканом математического факультета Гёттингенского университета с 1909 по
1934 годы был профессор Эдмунд Ландау. Именно на него легла обязанность
разбирать все доказательства, присланные на соискание премии Вольфскеля.
Ландау был вынужден то и дело прерывать свои собственные исследования,
поскольку ему нужно было разбирать десятки ошибочных доказательств,
поступавших к нему на стол каждый месяц. Чтобы справиться с ситуацией,
профессор Ландау изобрел изящный метод, позволивший избавиться от
докучливой работы. Профессор попросил напечатать несколько сотен карточек,
на которых значилось:
|Уважаемый(ая) . . . . . . . . |
|Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством |
|Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в |
|строке ... . Из-за нее все доказательство утрачивает силу. |
|Профессор Э. М. Ландау |
Каждое из полученных доказательств вместе с отпечатанной карточкой Ландау
вручал одному из своих студентов и просил его заполнить пробелы.
Доказательства продолжали поступать непрерывным потоком в течение
нескольких лет. Некоторые из величайших фигур XX века — в том числе Бертран
Рассел, Давид Гильберт и Курт Гёдель пытались разобраться в наиболее
глубоких свойствах чисел, чтобы постичь их истинное значение и установить,
какие проблемы теории чисел разрешимы, а какие — что гораздо важнее —
неразрешимы. Их работы потрясли основания математики и эхом отозвались на
судьбах Великой теоремы Ферма.
Парадокс математики
Работа Гёделя, дополненная неразрешимыми проблемами Коэна, стала тревожным
посланием всем математикам, профессионалам и любителям, которые продолжали
свои попытки доказать Великую теорему Ферма. А что, если Великая теорема
Ферма неразрешима?! А вдруг Пьер де Ферма заблуждался, когда утверждал, что
располагает доказательством? Если так, то доказательство Великой теоремы
Ферма может оказаться не просто трудным, а невозможным. Если Великая
теорема Ферма неразрешима, то математики столетиями пытались найти
доказательство, которое не существует.
Интересно заметить, что если бы Великая теорема Ферма оказалась
неразрешимой, то отсюда следовало бы, что она истинна. Если бы Великая
теорема Ферма оказалась ложной, то доказать ее было бы можно, предъявив
решение (контрпример). Это означало бы, что Великая теорема Ферма
разрешима. Итак, если бы теорема была ложной, то это противоречило бы ее
неразрешимости. Но если бы Великая теорема Ферма была истинной, то столь
определенный способ ее доказательства не обязательно существовал бы, т.е.
она могла бы быть неразрешимой. Следовательно, может оказаться, что Великая
теорема Ферма истинна, но не существует способа доказать ее.
Подход с позиции грубой силы
Современные компьютеры успевают за долю секунды произвести больше
арифметических операций, чем Ферма сделал за всю свою жизнь. Те математики,
которые все еще вели неравную борьбу с Великой теоремой Ферма, начали
компьютерную атаку на проблему, полагаясь на компьютерную версию подхода,
развитого Куммером в XIX веке. С появлением компьютера большому объему
вычислений, связанных с доказательством Великой теоремы Ферма, стало
возможно противопоставить быстродействие вычислительных машин. И после
второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую
теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1000, а позже до 10000.
В 80-е годы Сэмюэль С. Вагстафф из университета Пурду поднял предел до 25
000, а совсем недавно математики заявили, что Великая теорема Ферма верна
при всех значениях n до 4 миллионов.
И хотя нематематикам могло бы показаться, что положение с доказательством
Великой теоремы Ферма, наконец, стало лучше, математическое сообщество
сознавало, что успех носит чисто косметический характер. Даже если бы
суперкомпьютеры провели десятилетия в непрерывных вычислениях, доказывая
Великую теорему Ферма при значениях n одно за другим, то и тогда им не
удалось бы доказать теорему для каждого значения n до бесконечности, и
поэтому никто не мог бы утверждать, что Великая теорема Ферма доказана во
всей общности. Ведь даже если бы теорему удалось доказать для n до
миллиарда, то и тогда не было бы никаких причин, по которым она должна была
бы быть верна для n, равного миллиарду плюс один. Если бы теорему удалось
доказать для n до триллиона, то нет причин, по которым она должна была бы
быть верна для n, равного триллиону плюс один, и т.д. до бесконечности.
Бесконечность недостижима за счет одной лишь грубой силы — перемалывания
чисел с помощью компьютера.
Уход в абстракцию
Танияма родился 12 ноября 1927 года в небольшом городке в нескольких
километрах к северу от Токио. Он не отличался особенно крепким здоровьем,
часто хворал, а став подростком, заболел туберкулезом и пропустил два года
в средней школе. Разразившаяся война вызвала еще более продолжительный
перерыв в его образовании.
Горо Шимура, бывший на один год младше Таниямы, вынужден был совсем не
учиться в военные годы. Его школу закрыли, и вместо уроков Шимура был
вынужден работать на заводе, собирая детали самолетов. Каждый вечер он
пытался самостоятельно заниматься по школьной программе. Особенно его
влекла математика. «Разумеется, приходилось изучать многие предметы, но
особенно легко мне давалась математика. Я запоем читал учебники математики.
По учебникам я выучил математический анализ. Я никогда не думал, будто
обладаю какими-то способностями к математике. Просто мне было интересно».
Через несколько лет после окончания войны Шимура и Танияма были уже
студентами университета. Хотя Шимура был не чужд некоторых причуд (он и
поныне питает слабость к анекдотам о мудрецах, проповедующих дзен-буддизм),
он был более консервативен и традиционен, чем его коллега. Шимура
поднимался на рассвете и сразу же приступал к работе. Танияма же частенько
не ложился спать, проработав всю ночь напролет. Те, кто заглядывал днем к
нему в номер, нередко заставали его спящим. Шимура был скрупулезен и строг,
Танияма небрежен, почти ленив. Одна вышедшая из моды тема, а именно,
исследование модулярных форм, казалась особенно привлекательной Танияме и
Шимуре, Модулярные формы — один из самых причудливых и чудесных объектов в
математике. Современный специалист по теории чисел Эйхлер причислил их к
одной из пяти фундаментальных операций, т.е. умение обращаться с
модулярными формами он считал настолько же важным, как и выполнение четырех
действий арифметики. Надо сказать, что далеко не все математики уверенно
чувствуют себя, сталкиваясь с этой пятой операцией, в отличие от первых
четырех, где они считают себя мастерами.
К сожалению, ни нарисовать, ни даже наглядно представить себе модулярную
форму невозможно. Модулярную форму можно представлять себе как функцию,
область определения которой находится в двух измерениях, но область
значений которой также двумерна. Поэтому если бы мы хотели посмотреть на
график такой функции, то он оказался бы в четырехмерном пространстве.
Отличительной особенностью модулярных форм является их необычайно высокий
уровень симметрии, бесконечная, неисчерпаемая симметрия. Модулярные формы
можно подвергать трансляциям (параллельным переносам, или сдвигам),
перестраивать, переставлять фрагменты, отражать в зеркалах и поворачивать
бесконечно многими способами, и при этом они останутся неизменными, что
делает их наиболее симметричными математическими объектами.
В сентябре 1955 года в Токио состоялся международный симпозиум. Для молодых
японских математиков это была уникальная возможность продемонстрировать
остальному миру свои результаты. Они распространили среди участников
симпозиума подборку из тридцати шести задач, связанных с той проблемой, над
которой они работали. Четыре задачи были предложены Таниямой и указывали на
любопытную связь между модулярными формами и эллиптическими кривыми. Эти
невинные задачи в конце концов привели к перевороту в теории чисел.
Название «эллиптические кривые» способно ввести в заблуждение потому, что
они не эллипсы и даже не кривые в обычном смысле слова. Речь, скорее, идет
об уравнениях вида
y2 = x3 + ax2 + bx + c,
где a, b, c — некоторые числа.
Свое название эллиптические кривые получили потому, что некоторые функции,
тесно связанные с этими кривыми, потребовались для измерения длин эллипсов
(а, следовательно, и длин планетных орбит). Уравнения такого вида
называются кубическими. Проблема эллиптических кривых, как и проблема
доказательства Великой теоремы Ферма, заключается в вопросе, имеют ли
соответствующие им уравнения целочисленные решения, и если имеют, то
сколько.
Осенью 1984 года избранная группа специалистов по теории чисел собралась на
симпозиум в Обервольфахе, небольшом городке в Германии, в Шварцвальде.
Участники симпозиума намеревались обсудить успехи в изучении эллиптических
кривых. Естественно, что некоторые из докладчиков собирались сделать
сообщения о продвижениях, которые им удалось достичь при исследовании
гипотезы Таниямы–Шимуры. Один из выступавших, математик из Саарбрюкена
Герхард Фрей высказал весьма примечательное утверждение. По его мнению,
если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы–Шимуры, то тем самым
была бы доказана и Великая теорема Ферма. Это утверждение было впоследствии
доказано профессором Калифорнийского университета Кеном Рибетом.
Задача на всю жизнь
Однажды по дороге из школы домой Эндрю Уайлс решил заглянуть в библиотеку
на Милтон-роуд. По сравнению с библиотеками университетских колледжей эта
библиотека была довольно бедной, но выбор книг по занимательной математике
в ней был богатым, и эти книги часто привлекали внимание Эндрю. Их страницы
были до отказа заполнены всякого рода научными курьезами и задачами-
головоломками, и на каждый вопрос существовал готовый ответ, заботливо
помещенный где-нибудь в конце книги. Но на этот раз Эндрю выудил книгу, в
которой речь шла лишь об одной-единственной задаче, и решение ее не
приводилось.
Это была книга Эрика Темпла Белла «Великая проблема». Тридцать лет спустя
после того, как он впервые прочитал эту книгу, Уайлс рассказывал, что он
ощутил при первой встрече с Великой теоремой Ферма. «Она выглядела такой
простой, и все же великие умы в истории математики не смогли доказать ее.
Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я
почувствовал, что с того самого момента я никогда не смогу отступиться от
этой проблемы. Я должен был решить ее».
Более 300 лет многие из крупнейших математиков пытались вновь открыть
утерянное доказательство Ферма, но тщетно. С неудачей очередного поколения
следующее поколение испытывало все большее разочарование и решимость.
Великая теорема Ферма, проблема, над решением которой математики ломали
головы на протяжении столетий, захватила воображение и юного Эндрю Уайлса.
Более двух столетий любая попытка открыть заново доказательство Великой
теоремы Ферма заканчивалась неудачей. В юношеские годы Эндрю Уайлс изучил
труды Эйлера, Жермен, Коши, Ламе и, наконец, Куммера. Уайлс надеялся, что
ему удастся извлечь уроки из ошибок, допущенных великими предшественниками,
но к тому времени, когда он стал старшекурсником Оксфордского университета,
на его пути встала та же каменная стена, перед которой остановился Куммер.
Вполне возможно, что все методы, необходимые для доказательства Великой
теоремы Ферма, уже имелись в распоряжении математиков, и что единственным
недостающим ингредиентом был какой-то остроумный ход. Уайлс не собирался
сдаваться: детская мечта о доказательстве Великой теоремы Ферма
превратилась в глубокое и серьезное увлечение. Ознакомившись со всем, что
можно было узнать о математике XIX века, Уайлс решил взять на вооружение
методы XX века.
В 1975 году Эндрю Уайлс поступил в аспирантуру Кембриджского университета.
В ближайшие три года ему предстояло работать над диссертацией на соискание
ученой степени Рh. D. (доктора философии) и за это время как бы пройти свое
послушание математика-подмастерья. У каждого аспиранта имеется свой
руководитель и наставник. У Уайлса им был австралиец Джон Коутс, профессор
из колледжа Эммануэля, живший у себя на родине в городке Посум Браш в Новом
Южном Уэльсе.
В последнее десятилетие все, что делал Уайлс, было направлено на подготовку
к решающей схватке с Великой теоремой Ферма, но теперь, когда он вступил в
ряды профессиональных математиков, ему приходилось быть более прагматичным.
Как вспоминает Уайлс, он был вынужден временно отказаться от своей мечты.
«Придя в Кембридж, я отложил Ферма в сторону. Не то, чтобы я забыл о
теореме — она всегда была со мной, но я вдруг осознал, что те методы,
которыми мы пытались доказать ее, существовали уже около 130 лет. По-
видимому, они не позволяли дойти до корней проблемы. Работая над
доказательством теоремы Ферма, вы могли потратить годы и остаться ни с чем.
Работать над любимой проблемой — одно удовольствие, пока получается
интересная математика, даже если проблему не удается решить к концу дня.
Хорошей математической проблемой по определению считается такая, которая
порождает хорошую математику. Важна математика, а не сама проблема».
Уайлс отказался от всего, что не было напрямую связано с доказательством
Великой теоремы Ферма. Он перестал принимать участие в нескончаемой
веренице конференций и симпозиумов. Оставаясь сотрудником математического
факультета Принстонского университета, Уайлс продолжал проводить учебные
семинары, читать лекции для студентов и руководить курсовыми и дипломными
работами.
С того самого момента, когда Уайлс принял важное для себя решение заняться
систематическим поиском доказательства гипотезы Таниямы–Шимуры, он
вознамерился работать в полной изоляции и секретности. В современной
математике сложилась культура кооперации и сотрудничества, поэтому принятое
Уайлсом решение могло бы показаться возвращением в прошлое. Он как бы
подражал образу действий самого Ферма, самому знаменитому из математических
отшельников. Свое решение работать в обстановке полной секретности Уайлс
отчасти объясняет желанием работать без помех, не отвлекаясь от основной
задачи: «Я понимал, что все, что имеет какое-то отношение к Великой теореме
Ферма, вызывает слишком большой интерес. Нельзя как следует сосредоточиться
на решении важной задачи, если полностью не отвлечься от всего
постороннего. Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели».
Еще одним мотивом избранного Уайлсом курса на уединение и секретность была
его жажда славы. Уайлс опасался, что когда он проделает основную часть
доказательства, но ему не будет доставать заключительного элемента
выкладок, весть о прорыве просочится наружу — и ничто не помешает какому-
нибудь сопернику из числа коллег-математиков воспользоваться проделанной
Уайлсом работой, завершить доказательство и похитить награду.
Чтобы не возбуждать подозрений, Уайлс придумал хитрую уловку, которая
должна была сбить его коллег со следа. В начале 80-х годов он выполнил
обширное исследование одного конкретного типа эллиптической кривой и уже
собрался было опубликовать его полностью, но открытия Рибета и Фрея
заставили его изменить свои намерения. Уайлс решил публиковать свое
исследование «по кусочкам», по одной небольшой статье каждые полгода. Это
должно было убедить его коллег в том, что он все еще продолжает заниматься
своими обычными исследованиями. И столько времени, сколько он сможет
поддерживать свою «дымовую завесу», Уайлс сможет продолжать без помех
заниматься предметом своей истинной страсти, не сообщая никому о полученных
результатах
После года размышлений Уайлс решил избрать за основу доказательства общий
метод, известный под названием индукции. Индукция — чрезвычайно мощный
способ доказательства, поскольку он позволяет математику доказать, что
утверждение справедливо для бесконечно многих случаев, доказав, что оно
справедливо только в одном случае.
«Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего
приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось
доказать существование взаимосвязи между гипотезой Таниямы–Шимуры и
доказательством Великой теоремы Ферма. Я почувствовал себя так, словно
через меня пропустили мощный электрический разряд. Мне сразу стало ясно,
что отныне весь ход моей жизни круто изменился: ведь от доказательства
Великой теоремы Ферма меня отделяло теперь только одно препятствие:
доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры. Значит, моя детская мечта — не
пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни
минуты, я отправился домой и принялся за работу» - рассказывал Уайлс.
8 марта 1988 года Уайлс испытал шок, увидев на первых полосах газет
набранные крупным шрифтом заголовки, гласившие: «Великая теорема Ферма
доказана». Газеты «Washington Post» и «New York Times» сообщали, что
тридцативосьмилетний Иоичи Мияока из токийского Метрополитен университета
решил самую трудную математическую проблему в мире. Пока Мияока еще не
опубликовал свое доказательство, но в общих чертах изложил его ход на
семинаре в Институте Макса Планка по математике в Бонне. Дон Цагир,
присутствовавший на докладе Мияоки, выразил оптимизм математического
сообщества в следующих словах: «Представленное Мияокой доказательство
необычайно интересно, и некоторые математики полагают, что оно с высокой
вероятностью окажется правильным. Полной уверенности еще нет, но пока
доказательство выглядит весьма обнадеживающим».
Через две недели после своего выступления в Бонне Мияока опубликовал пять
страниц вычислений, составлявших суть его доказательства, и началась
тщательнейшая проверка. Специалисты по теории чисел и алгебраической
геометрии во всех странах мира изучали, строка за строкой, опубликованные
вычисления. Через несколько дней математики обнаружили в доказательстве
одно противоречие, которое не могло не вызывать беспокойства.
Еще через две недели Герд Фалтингс, проложивший путь Мияоке, объявил о том,
что обнаружил точную причину кажущегося нарушения — пробел в рассуждениях.
Японский математик был геометром и при переводе своих идей на менее
знакомую территорию теории чисел не был абсолютно строг. Армия специалистов
по теории чисел предприняла отчаянные усилия залатать прореху в
доказательстве Мияоки, но тщетно. Через два месяца после того, как Мияока
заявил о том, что располагает полным доказательством Великой теоремы Ферма,
математическое сообщество пришло к единодушному заключению: доказательство
Мияоки обречено на провал.
Уайлс, о котором мир тогда еще ничего не знал, с облегчением вздохнул.
Великая теорема Ферма по-прежнему оставалась непобежденной, и он мог
продолжать сражаться с ней, надеясь доказать ее с помощью гипотезы
Таниямы–Шимуры. Через три года непрекращающихся усилий, Уайлсу удалось
совершить ряд прорывов. Он применил к эллиптическим кривым группы Галуа,
рассматривая «образы» этих кривых в пространствах над арифметикой вычетов
по модулю степени простого числа. Тем самым, ему удалось сделать первый шаг
рассуждения по индукции.
В 1990 году Уайлс оказался в очень большом затруднении. На ее обследование
у него ушло почти два года. Перепробовав все известные к тому времени
методы и подходы, о которых говорилось в опубликованных работах, Уайлс
обнаружил, что все они не годятся для решения его проблемы. «Я был убежден,
что стою на правильном пути, хотя это отнюдь не означало, что мне
непременно удастся достичь поставленной цели. Методы, необходимые для
решения интересовавшей меня проблемы, могли оказаться лежащими за пределами
современной математики. Могло случиться и так, что методы, необходимые мне
для завершения доказательства, будут созданы лет через сто. Одним словом,
даже если я был на правильном пути, вполне могло оказаться, что я живу не в
том столетии».
Уайлс не пал духом и упорно продолжал работать над проблемой и весь
следующий год. Он начал изучать подход, известный под названием «теория
Ивасавы». Эта теория представляла собой метод анализа эллиптических кривых,
который Уайлс изучал в свои аспирантские годы в Кембридже под руководством
Джона Коутса. Хотя теория Ивасавы в своем первоначальном виде была
неприменима к интересовавшей Уайлса проблеме, но он надеялся, что ему
удастся нужным образом модифицировать ее.
К лету 1991 года Уайлс проиграл сражение: теорию Ивасавы не удалось
приспособить к решению проблемы. Он снова обратился к научным журналам и
монографиям, но все же не смог найти альтернативный метод, который позволил
бы ему осуществить необходимый прорыв. Последние пять лет Уайлс жил в
Принстоне как отшельник, но теперь он решил, что настало время вернуться в
круговорот научной жизни и познакомиться с последними математическими
слухами.
«В тот год я очень упорно работал, но оказалось, метод, который я пытался
применить и усовершенствовать, сопряжен с необычайно тонкой техникой,
которой я по-настоящему не владел. Было необходимо проделать колоссальный
объем довольно трудных вычислений, для выполнения которых мне нужно было
выучить много нового.
В начале января 1993 года я решил, что мне необходимо довериться кому-
нибудь, кто разбирается в той геометрической технике, которую я изобрел для
расчетов. Эксперта я выбирал очень тщательно: ведь мне предстояло доверить
ему свою тайну, и я должен был быть уверен в том, что он не разгласит ее. Я
решил рассказать обо всем Нику Катцу».
Профессор Ник Катц также работал на математическом факультете Принстонского
университета и знал Уайлса несколько лет. Все, что сделал Уайлс, было
открытием, и Катцу пришлось основательно подумать над тем, как лучше
осуществить проверку.
По завершении проверки, Уайлс сосредоточил все свои усилия на завершении
доказательства. И вот, после семи лет работы в одиночку Уайлс наконец
завершил доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры и считал, что его мечта —
доказать Великую теорему Ферма — почти исполнилась.
«Итак, к маю 1993 года я пребывал в убеждении, что Великая теорема Ферма в
моих руках, — вспоминает Уайлс. — Мне хотелось еще раз проверить
доказательство, а в конце июня в Кембридже должна была состояться
конференция, и я подумал, что лучшего места для того, чтобы сообщить о моем
доказательстве, не найти, ведь Кембридж — мой родной город, и я учился там
в аспирантуре».
Едва Уайлс закончил свою лекцию в Кембридже, как комиссию Вольфскеля
известили о том, что Великая теорема Ферма, наконец, доказана. Премия не
могла быть вручена немедленно, так как, по правилам конкурса, ясным и
четким, требовались подтверждение правильности доказательства со стороны
других математиков и официальная публикация доказательства. Королевское
научное общество в Гёттингене в свое время официально уведомило всех о том,
что «к рассмотрению допускаются только математические мемуары,
представленные в виде статей в периодических изданиях или имеющиеся в
книжных лавках... Премия присуждается Обществом не ранее, чем через два
года после опубликования мемуара, удостоенного премии. Двухлетний
промежуток времени необходим для того, чтобы немецкие и иностранные
математики имели возможность высказать свое мнение по поводу
опубликованного решения».
Но в решающей части рассуждения была ошибка, но настолько тонкая, что Уайлс
заметил ее только после того, как ему ее указали. Описать, в чем суть
ошибки в простых терминах невозможно: для этого она слишком абстрактна.
Даже для того, чтобы объяснить ее математику, от последнего потребовалась
бы готовность затратить два-три месяца для тщательного изучения рукописи с
доказательством.
Уайлс поначалу предполагал, что очередная ошибка столь же несерьезна, как и
предыдущие, но настойчивость Катца, обнаружившего ошибку, вынудила
отнестись к ней серьезнее: «Я не мог немедленно ответить на заданный мне
вопрос, который выглядел вполне невинно. Мне казалось, что вопрос того же
порядка, что и другие, но где-то в сентябре я начал понимать, что речь шла
не о какой-то незначительной трудности, а о фундаментальном пробеле.
О происходящем пронюхали газеты и напомнили математикам о провалившейся
сенсации 1986 года с доказательством Великой теоремы Ферма Мияокой. История
повторялась. Специалисты по теории чисел теперь ожидали послания по
электронной почте с сообщением о том, что в доказательстве обнаружен
невосполнимый пробел. Некоторые математики выразили сомнение в том, что
доказательство будет получено за лето, и теперь их пессимизм казался вполне
оправданным.
Но, несмотря ни на что, Уайлс отказывался публиковать свою рукопись. После
семи лет упорных усилий, ему вовсе не улыбалось отойти от проблемы и
наблюдать, как кто-то другой завершит доказательство и похитит его славу.
Победителем станет не тот, кто проделал большую часть работы, а тот, кто
сделает заключительный шаг и даст миру законченное доказательство. Уайлс
знал, что если рукопись будет опубликована с ошибкой в доказательстве, то
он немедленно будет погребен под ворохом вопросов и просьб пояснить ту или
иную деталь, и это окончательно отвлечет его от дела и разрушит надежды на
то, что ему самому удастся исправить доказательство.
Уайлсу был необходим специалист, свободно владеющий современными
математическими методами и способный, к тому же, хранить тайну. По зрелом
размышлении Уайлс решил пригласить к себе в Принстон для совместной работы
Ричарда Тейлора, ученого из Кембриджского университета.
Хотя сражение, которое Уайлс вел с самой трудной математической проблемой
мира, по-видимому, было обречено на поражение, он мог, оглянувшись на семь
последних лет, утешить себя сознанием того, что все же он достиг неплохих
результатов.
Он живо вспоминает те роковые дни: «В понедельник 19 сентября я с утра
сидел у себя в кабинете, изучая метод, с помощью которого строил
доказательство. Я не надеялся на то, что мне удастся заставить его
заработать, но хотел по крайней мере выяснить, почему этот метод не
срабатывает. Я понимал, что хватаюсь за соломинку, но хотел до конца
разобраться в причинах постигшей меня неудачи. Внезапно, совершенно
неожиданно, на меня снизошло озарение. На следующий день я обошел моих
коллег по математическому факультету и пригласил их заглянуть ко мне в
кабинет и посмотреть, все ли в порядке с найденным мной накануне решением.
С решением все было в порядке. Я был вне себя от возбуждения. Это был самый
важный момент за всю мою математическую карьеру. Ничто из того, что мне
суждено свершить, не могло сравниться с переживаемым моментом».
На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи общим
объемом в 130 страниц были подвергнуты самому тщательному анализу, которому
когда-либо подвергались математические рукописи за всю историю
человечества, и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of
Mathematics».
За восемь лет упорнейшего труда Уайлс, по существу, свел воедино все
достижения теории чисел XX века, выстроив из них одно сверхмощное
доказательство. Преследуя свою главную цель, Уайлс попутно создавал
совершенно новые доказательства и использовал их в немыслимых ранее
сочетаниях с традиционными методами.
С помощью гипотезы Таниямы–Шимуры Уайлс объединил эллиптический и
модулярный миры и, тем самым, проложил математике пути ко многим другим
доказательствам: проблемы, стоящие в одной области, могут быть решены по
аналогии с проблемами из параллельной области. Классические нерешенные
проблемы теории эллиптических кривых стало возможным подвергнуть
пересмотру, используя все имеющиеся средства и методы теории модулярных
форм.
Литература
1) Сингх С. Великая теорема Ферма
2) Белл Т. Э. Великая проблема
3) Белл Т. Э. Гениальные математики
4) Хит Т. История греческой математики
Содержание
Суть теоремы
Биография Ферма
Первый серьезный прорыв
Подход Софи Жермен
Два конверта
Новый импульс
Парадокс математики
Подход с позиции грубой силы
Уход в абстракцию
Задача на всю жизнь
Литература |
