Лекция по ТТМС моделирование систем
Глава
Математическое моделирование системных элементов
Выдающийся
итальянский физик и астроном, один из основателей точного естес-
твознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что
"Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет
родоначальник немецкой классической фи-
лософии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что
"Во всякой науке столько ис-
тины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через
почти сто пятьдесят лет, практи-
чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид
Гильберт (1862 - 1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего
точного естествознания".
Приведенные
высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное
представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и
предметно-практической деятельности специалистов.
1.1. Три этапа математизации знаний
Современная методология науки выделяет три этапа
математизации знаний: ма-
тематическая обработка эмпирических (экспериментальных)
данных, моделирование и относительно полные математические теории.
Первый этап - это математическая, чаще
всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных.
Это этап выявления и выделения чисто фе-
номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций)
между входными сигна-
лами (входами ) и выходными реакциями (откликами ) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые
наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами . Данный этап
математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап
первичной обработки её эмпирического материала.
Второй этап математизации знаний
определим как модельный. На этом этапе не-которые объекты выделяются
(рассматриваются) в качестве основных, базовых (фун-даментальных), а свойства
(атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются
и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами).
Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических
концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и
фундаментальные. Таким образом, на "модельном" этапе математизации,
т.е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического
воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого
интересующего исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта -
математической модели.
Третий этап - это этап относительно
полной математической теории данного уровня организации материи в данной или
рассматриваемой предметной области. Тре-
тий этап предполагает существование логически полной системы
понятий и аксиомати-
ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные
для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она
даёт возможность преодоле-
вать узость мышления, порождаемую специализацией.
1.2. Математическое моделирование и модель
Математическое
моделирование - это теоретико-экспериментальный метод позна-
вательно-созидательной деятельности, это метод исследования
и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе
создания новых объектов - матема-
тических моделей.
Под
математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений,
неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характе-
ристики состояний объекта моделирования, а через них и
выходные значения - реакции
, в зависимости от параметров объекта-оригинала , входных воздей-
ствий , начальных и граничных условий, а также времени.
Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства
(атрибуты) объекта-оригинала , которые отражают, определяют и представляют интерес с точки
зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от
целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек
зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математичес-
кие описания и, как следствие, быть представлен различными
математическими моделя-
ми.
Принимая во
внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое
конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.
Определение 2. Математическая модель - это формальная
система, представляю-
щая собой конечное
собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в
совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми
отношениями, символами или константами.
Как следует
из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно
строгих правил оперирования этими символами ("грамматика" и
"синтак-
сис" математических выражений) приводят к формированию
абстрактных математичес-
ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот
абстрактный объект математи-
ческой моделью.
Таким
образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в тех-нологии
математического моделирования, рассмотрим ее более подробно.
1.3. Интерпретации в математическом
моделировании
Интерпретация (от латинского "interpretatio" - разъяснение,
толкование, истолко-
вание) определяется как совокупность значений (смыслов),
придаваемых каким-либо об-
разом элементам некоторой системы (теории), например,
формулам и отдельным симво-
лам. В математическом аспекте интерпретация - это
экстраполяция исходных положе-
ний какой-либо формальной системы на какую-либо
содержательную систему, исход-
ные положения которой определяются независимо от формальной
системы. Следова-
тельно, можно утверждать, что интерпретация - это
установление соответствия между некоторой формальной и содержательной
системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой
(интерпретируемой) к содержательной системе, т.е. ус-
тановлено что между элементами формальной системы и
элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие,
все исходные положения фор-
мальной системы получают подтверждение в содержательной
системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной
системы соответствует некото-
рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если
указанное условие наруша-
ется, имеет место частичная интерпретация.
При
математическом моделировании в результате интерпретации задаются значе-
ния элементов математических выражений (символов, операций,
формул) и целостных конструкций.
Основываясь
на приведенных общих положениях, определим содержание интер-
претации применительно к задаче математического
моделирования.
Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании - это информа-
ционный процесс
преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в кон-
кретную математическую
модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения
непустого
информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называе-
мого областью
интерпретации, в кообласть - информационное множество данных и зна-
ний, определяемое
предметной областью и объектом моделирования и называемое об-
ластью значений
интерпретации.
Таким образом, интерпретацию
следует рассматривать как один из основопола-
гающих механизмов (инструментов) технологии математического
(научного) модели-
рования.
Именно
интерпретация, придавая смысл и значения элементам (компонентам) ма-
тематического выражения, делает последнее математической
моделью реального объек-
та.
1.4. Виды и уровни
интерпретаций
Создание
математической модели системного элемента - многоэтапный процесс. Основным
фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ, является интер-
претация. Количество этапов и их содержание зависит от
начального (исходного) ин-
формационного содержания интерпретируемого математического
объекта - математи-
ческого описания и требуемого конечного информационного
содержания математичес-
кого объекта - модели. Полный спектр этапов интерпретации,
отражающий переход от АМО - описания к конкретной ММ, включает четыре вида
интерпретаций: синтаксичес-
кую (структурную), семантическую(смысловую),
качественную(численную) и количес-
твенную. В общем случае, каждый из перечисленных видов
интерпретации может иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно
перечисленные виды интер-
претаций.
Cинтаксическая
интерпретация
Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение
морфоло-
гической (структурной) организации исходного АМО в
морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО.
Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного
математического языка, так и различных матема-
тических языков.
При
синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации.
Задача 1. Пусть исходный АМО не
структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством
синтаксической интерпретации сформировать мор-
фологическую структуру математического выражения
(1)
Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую
исходную морфологическую структуру,
которая по тем или иным причинам не удовлетворяет
требованиям исследователя (эксперта). Требуется посредством синтаксической
интерпретации преобразовать в со-
ответствии с целями и задачами моделирования исходную
структуру Stв адекватную требуемую St,т.е.
(2)
Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую
исходную морфологическую структуру St, удовлетворяющую общим принципам и требованиям исследователя
с точки зрения её синтаксической организации. Требуется посредством
синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой Stдо уровня требований, определяемых целями и задачами
моделирования
(3)
Таким
образом, синтаксическая интерпретация математических объектов даёт воз-
можность формировать морфологические структуры АМО,
осуществлять отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного
математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать
морфологические структурные представ-
ления АМО в рамках одного математического языка.
Семантическая интерпретация
Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических
вы-
ражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и
знаков в терминах сфе-
ры, предметной области и объекта моделирования.
Семантическая интерпретация даёт возможность сформировать по смысловым
признакам однородные группы, виды, клас-
сы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней
обобщения и абстраги-
рования или, наоборот, дифференциации или конкретизации,
семантическая интерпре-
тация представляется как многоуровневый, многоэтапный
процесс.
Таким
образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному ма-
тематическому объекту, "переводит" последний в
категорию математической модели с объекта-оригинала, в терминах которого и
осуществляется такая интерпретация.
Качественная интерпретация
Интерпретация на качественном уровне предполагает существование
качествен-
ных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах
(значениях) которых и производится интерпретация. При качественной
интерпретации могут использоваться графические и числовые представления,
посредством которых, например, интерпретиру-
ется режим функционирования объекта моделирования.
Количественная интерпретация
Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в
рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин, определяющих
значение па-
раметров, характеристик, показателей.
В
результате количественной интерпретации появляется возможность из класса,
группы или совокупности аналогичных математических объектов выделить один един-
ственный, являющийся конкретной математической моделью
конкретного объекта-ори-
гинала.
Таким
образом, в результате четырех видов интерпретаций - синтаксической, се-
мантической, качественной и количественной происходит
поэтапная трансформация
АМО, например, концептуальной метамодели (КММ)
функциональной системы , в конкретную
математическую модель (ММ) конкретного объекта моделирования.
|
