Динамическое представление сигналов
Динамическое представление сигналов
Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем. Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением ,
подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.
Широкое применение нашли два способа динамического представления.
Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени
D (рис. 1.1). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени
D
.
При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 1.2). рис 1.1, рис 1.2
Рассмотрим свойства элементарного сигнала, используемого для динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ .
Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :
Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние. Переход совершается по линейному закону за время 2
x
. Если параметр
x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Эта математическая модель предельного сигнала получила название
функции включения
или
функции Хевисайда
:
В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {
D
,2
D
,3
D
,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если S0=S(0) - начальное значение, то текущее значение сигнала при любом t приближенно равно сумме ступенчатых функций :
Если теперь шаг
D устремить к нулю. то дискретную переменную k
D можно заменить непрерывной переменной
t
. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds = (ds/d
t
) d
t , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда
Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :
При любом выборе параметра
x площадь этого импульса равна единице :
Например, если
u - напряжение, то П = 1 В*с.
Пусть теперь величина Е стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при
x
® 0 носит название
дельта-функции , или
функции Дирака :
Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . Если S
k - значение сигнала на
k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером
k представляется как :
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага
D
, то
Переходя к пределу при
D
® 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной
t
, дифференциал которой d
t ,будет отвечать величине
D . Поскольку
Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен
d - импульс. Принято говорить, что в этом состоит
фильтрующее свойство
дельта-функции.
Обобщенные функции как математические модели сигналов.
В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси
t .
Однако рассмотренная функция
d
(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие
обобщенной функции. В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции
¦
(t) может служить, например, значение интеграла
при известной функции
j
(t) , которую называют
пробной функцией.
Каждой функции
j
(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый
функционал
на множестве пробных функций
j
(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций
j
(t) задана обобщенная функция
¦
(t) . Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.
|
