Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших

направлений и экономико-математических исследований, должно служить

объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на

примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n

взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично

идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в

качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других

отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют

производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей

выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как

ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за

планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для

рассматриваемой системы потребление ( средства производства других

экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й

отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в

дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в

стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая

потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере

хk.

Таблица 1

№ потребление

итого на конечный валовый

отрас.

внутре продукт выпуск

производ. ( уi ) ( хi )

№ 1 2 … k … n

потребление

отрас.

( е хik )

1 х11 х12 … х1k … х1n

е х1k у1 х1

2 х21 х22 … х2k … х2n

е х2k у2 х2

( ( ( ( ( ( (

( ( (

i хi1 xi2 ( xik (

xin е xik yi xi

( ( ( ( ( ( (

( ( (

n xn1 xn2 ( xnk ( xnn

е xnk yn xn

итого

произв.

затраты е хi1 е xi2 ( е xik ( е xin

в k-ю

отрасль

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны

следующими балансовыми равенствами :

х1 - ( х11 + х12 + ( + х1n ) = у1

х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 ( 1 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на

базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить

исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к

истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные,

связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны

выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn ,

характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

_

у = ( у1 , у2 , … , yn ) , ( 2 )

а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех

отраслей ( вектор-планом :

_

x = ( x1 , x2 , … , xn ). ( 3 )

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми

равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному,

например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к.

кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою

очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из

соотношений :

xik

aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).

xk

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или

технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й

отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят

главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым

приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором

промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период,

т.е., что

x’ik xik

––– = ––– = aik = const ( 4 )

x’k xk

Исходя из этого предложения имеем

xik = aikxk , ( 5 )

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску,

или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому

равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя

данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их

другим образом, получим матрицу

a11 a12 … a1k … a1n

a21 a22 … a2k … a2n

A= ………………….

ai1 ai2 … aik … ain

an1 an2 … ank … ann

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой

матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного

неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между

производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ),

получим линейную балансовую модель :

x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1

x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 )

……………………………………

xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если

использовать матричную форму записи уравнений:

_ _ _

Е(х - А(х = У , или окончательно

_ _

( Е - А )(х = У , ( 6( )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

1-a11 -a12 … -a1n

E - A= -a21 1-a22 … -a2n

…………………

-an1 -an2 … 1-ann

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому,

задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n

- переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , …

, yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 ,

х2 , … хn ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной

системы, состоящей из двух производственных отраслей:

табл.2

№ отрас Потребление Итого

Конечный Валовый

№

затрат продукт выпуск

отрас 1 2

0.2 0.4

1 100 160

260 240 500

0.55 0.1

2 275 40

315 85 400

Итого затрат

575

в k-ю 375 200

отрасль … 575

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется

данными, помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275

40

а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = ––––

= 0.1

500 400 500

400

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая

данным табл.2

х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1

х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1

и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый

выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400,

задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о

существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о

существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного

продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6( ) допустимым

решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать

существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6( )

А= , то Е - А =

0.6 0.9 -0.6 0.1

запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме

-0.6 0.1 х2 у2

0.1х1 - 0.8х2 = у1 ( ( )

-0.6х1 + 0.1х2 = у2

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если

только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) –

несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) –

неопределенная ).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на

поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0,

удовлетворяющий неравенству ( Е - А )(х>0, т.е. если уравнение ( 6( ) имеет

неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для

любого У>0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет

обязательно неотрицательной.

Из способа образования матрицы затрат следует, что для

предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )(х( = У(, где вектор-

план х( и ассортиментный вектор У( определяются по исполненному балансу за

прошлый период, при этом У(>0. Таким образом, уравнение ( 6( ) имеет одно

неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение

( 6( ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную

матрицу.

Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем

решение уравнения ( 6(( ) в виде

_ _

х = S(У ( 7 )

Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S =

( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn

x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn ( 8 )

………………………………

xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn

ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ

ЗАТРАТЫ.

Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.

Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли,

т.е.

1

_ 0

У1 = (

0

Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим

1 S11

_ 0 S21 _

х = S( : = : = S1

0 Sn1

0

_

1

задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 , получим

:

0

0 S12

_ 1 S22 _

х = S( : = : = S2

0 Sn2

Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы

конечного продукта k-й отрасли, составит

0 S1k

_ : S2k _

х = S( 1 = : = Sk , ( 9 )

: Snk

0

т.е. k-й столбец матрицы S.

Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в

1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить

xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го

продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой

коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей

на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее

коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-

й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли,

которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо

обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли

поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й

отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-

й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут

работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( ai1, ai2, …

и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-

й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на

единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции

2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й

отрасли a22=0.1.

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли

для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4(100=40 ? Конечно, нельзя,

т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет

сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать:

х1=40+0.2(40=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует

исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1(=48 и т.д. Но дело не

только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для

производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше,

чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда

достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив

у1=0 и у2=1 ( см п.2 ):

0.8х1 - 0.4х2 = 0

-0.55х1 + 0.9х2 = 1

Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того

чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й

отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом

полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4

характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы

продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему

они и были названы прямые затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты

продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты,

реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в

конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного

продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового

выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат

рассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли

для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как

прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты.

Очевидно, что всегда Sik > aik.

Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то

соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы

( 8 ):

x1 = S1k(yk, x2 = S2k(yk, …, xn = Snk(yk ,

что можно записать короче в виде:

_ _

x = Sk(yk ( 10 )

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный

ассортимент-

_ у1

ным вектором У = : , то валовый выпуск k-й отрасли xk,

необходимый для его

уn

обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное

произведение столбца Sk на вектор У, т.е.

_ _

xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk(y , ( 11 )

а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S

на вектор У.

Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по

формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и

совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном

векторе У.

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане (х = ( (х1,

(х2, …, (хn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта (У = (

(у1, (у2, …, (уn ) по формуле:

_ _

(х = S((У , ( 12 )

Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой

табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

2 0.4

А =

0.55 0.1

Следовательно,

1 -0.2 -0.4 0.8

-0.4

Е - А = =

-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9

Определитель этой матрицы

0.8 -0.4

D [ E - A ] = = 0.5

-0.55 0.9

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:

0.9 0.4

( Е - А )* = ,

0.55 0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных

затрат, будет следующей:

1 0.9 0.4 1.8

0.8

S = ( Е - А )-1 = ––– =

0.5 0.55 0.8 1.1

1.6

Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й

отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли,

составляет S11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0.2 и

а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-

0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.

Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы

конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда косвенные

затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.

Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й

отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ):

х2

_ _ 1.8 0.8 480 1000

х = S(У = ( =

1 1.6 170 800 .

ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik,

затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые

источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д.

дополнительные строки.

Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты

капиталовложений – через xn+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как

вводились прямые затраты aik,

xn+1,k

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = ––––– , и

xk

xn+2,k

капиталовложений an+2,k = ––––– , представляющих собой расход

соответствующего

xk

ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти

коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных

строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

a11 a12 … a1k … a1n

a21 a22 … a2k … a2n

основная часть матрицы

…………………………………

А( = ai1 ai2 … aik … ain

…………………………………

an1 an2 … ank … ann

an+1,1 an+1,2 … an+1,k … an+1,n

an+2,1 an+2,2 … an+2,k … an+2,n

дополнительные строки

При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь

основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на

планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для

выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные

строки.

Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.

_ 1

У = 0

:

0 .

Для этого требуется валовый выпуск продукции

S11

_ _ S21

x = S1 = :

Sn1

Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно,

исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на

единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих

сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим

затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю –

an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда,

связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

_ _

Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1 ,

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А(,

которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного

продукта k-й отрасли, составят:

_ _

Sn+1,k = an+1Sk ( 13 )

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все

приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем

аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

_ _

Sn+2,k = an+2Sk ( 14 )

Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов

Sn+1,k и Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных

затрат:

S11 S12 … S1k … S1n

матрица коэффициентов

S21 S22 … S2k … S2n

полных внутрипроизводст.

………………………………… затрат

S( = Si1 Si2 … Sik … Sin

…………………………………

( 15 )

Sn1 Sn2 … Snk … Snn

Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n

дополнительные строки

Sn+2,1 Sn+2,2 … Sn+2,k … Sn+2,n

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном

ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х (

для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда

xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной

продукции У.

Очевидно,

xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn , ( 16 )

xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для

обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным

произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S( вектор У.

Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к

следующей компактной форме:

x1

x2

_ : _

x = xn = S(У ( 17 )

xn+1

xn+2

Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам

исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов

) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3

Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную

матрицу:

0.2 0.4

А( = 0.55 0.1

0.5 0.2

1.5 2.0

Таблица 3

№ отраслей потребление итого

конечный валовый

№

затрат продукт выпуск

отраслей 1 2

1 100 160

260 240 500

2 275 40

315 85 400

труд 250 80

330

капиталовложе- 750 800 1550

ния

Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем

пункте.

На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда (

Sn+1,k=S3,k ):

_ _

S31 = a3(S1 = 0.5 ( 1.8 + 0.2 ( 1.1 = 1.12 ;

_ _

S32 = a3(S2 = 0.5 ( 0.8 + 0.2 ( 1.6 = 0.72

и капиталовложений Sn+2,k = S4,k:

_ _

S41 = a4(S1 = 1.5 ( 1.8 + 2.0 ( 1.1 = 4.9 ;

_ _

S42 = a4(S2 = 1.5 ( 0.8 + 2.0 ( 1.6 = 4.4 .

Таким образом, расширенная матрица S( коэффициентов полных затрат

примет вид:

1.8 0.8

S( = 1.1 1.6

1.12 0.72

4.9 4.4

Если задаться на планируемый период прежним

ассортиментным вектором

У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1

и

85

капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12 ( 240 + 0.72 ( 85 =

268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 ( 240 + 4.4 ( 85 = 1176 +

374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.

Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются

по отраслям

( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной

продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2;

соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.

При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели

плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы

трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).

Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда

170

_ х1 1.8 0.8

1000

х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800

х3 1.12 0.72 170 600

х4 4.9 4.4

3100

Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У

может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и

х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах

капиталовложений х4=3100 тыс.руб.

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно,

далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований.

Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры

в экономических исследованиях.

Задача

В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на

единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-

часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и

оплата за 1 чел.-ч.

Таблица

Нормы расхода

Обозначения Стоимость

I II

III

Сырье I 1.4 2.4

0.8 a4 5

Сырье II – 0.6

1.6 a5 12

Сырье III 2.0 1.8

2.2 a6 2

Трудоемкость 10 20 20

а7 12

Определить:

а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение

производственной программы;

б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной

продукции каждого цеха;

в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;

г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную

программу завода;

д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

Решение:

а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю

строку второй таблицы на вектор х, т.е.

_ _ 235

а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 ) 186 = 1088

397

Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.

Все это удобно записать в виде произведения:

1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I

0 0.6 1.6 186 = 746 Сырье

II

2.0 1.8 2.2 397 1678

Топливо

0.1 0.2 0.2 1409

Человеко-часов.

б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем

из выражения 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие

коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу

конечного продукта получим из произведения матрицы:

I II III

1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97

2.92 1.36 Сырье I

0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17

0.84 2.09 Сырье II

2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53

2.60 5.23 Топливо

10 20 20

15.2 24.8 28.0 Труд

Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить

1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-

ч.

в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их

расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате

получим матрицу полных расходов:

I II III

Сырье I 330 440 318

Сырье II 0 111 635

Топливо 470 335 873

Труд 2350 3720 7940

г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева

строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:

330 440 318

0 111 635

I II III

( 5; 12; 2; 1.2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666;

20484 )

2350 3720 7940

д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции,

необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем

умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:

1.97 2.92 1.36

0.17 0.84 2.09 I II

III

( 5; 12; 2; 1.2 ) 2.53 2.60 5.23 = ( 35.3; 59.6;

75.7 )

15.2 24.8 28.0

Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной

продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6

руб., 75.7 руб.