Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

: Три кризиса в развитии математики

ÐÅÖÅÍÇÈß

íà äèïëîìíóþ ðàáîòó ñòóäåíòà V êóðñà

ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÀÃÏÈ

Áîëüøàêîâà À. À. íà òåìó:

“Òðè êðèçèñà â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè”

Ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè íå îäíàæäû ïðèâîäèëî â ïðîøëîì ê íåîáõîäèìîñòè îñìûñëåíèÿ è ïåðåñòðîéêè å¸ îñíîâ. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. ïîñâÿùåíà îáçîðó òðåõ ïåðèîäîâ èíòåíñèâíûõ ïîèñêîâ ïóòåé ïðåîäîëåíèÿ íàêîïèâøèõñÿ âíóòðåííèõ ïðîòèâîðå÷èé: àíòè÷íûé ïåðèîä, ïåðèîä îáîñíîâàíèÿ àíàëèçà è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé ïåðèîä.

 ðàáîòå ïðèâîäèòñÿ ìíîãî èíòåðåñíûõ èñòîðè÷åñêèõ ñâåäåíèé. Ïîêàçàíû íåïðîñòûå ïóòè ôîðìèðîâàíèÿ íåêîòîðûõ îñíîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé.

Àâòîð ïîêàçûâàåò ãëóáîêîå ïðîíèêíîâåíèå â òåìó è õîðîøåå âëàäåíèå ìàòåðèàëîì. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. çàñëóæèâàåò âûñîêîé îöåíêè.

Çàâåäóþùèé êàôåäðîé

ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà,

êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ

íàóê

Çàõàðîâ Ñ. À.

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè

Àñòðàõàíñêèé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ. Ì. Êèðîâà

Òðè êðèçèñà

â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè

ÄÈÏËÎÌÍÀß ÐÀÁÎÒÀ

студента физико-математического

факультета

Большакова Александра Анатольевича

Научный руководитель

Ованесов Н. Г.

Àñòðàõàíü · 96

Îãëàâëåíèå

Ââåäåíèå

I. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â äðåâíåé Ãðåöèè îò Ïèôàãîðà äî Åâêëèäà.

1. Ìàòåìàòèêà ïèôàãîðåéöåâ

2. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòè â äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêå

3. Òðè çíàìåíèòûõ çàäà÷è äðåâíîñòè

4. Ïðåîäîëåíèå êðèçèñà îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè

II. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â XVIII è â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà

1. Îñîáåííîñòè ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â êîíöå XVII è â XVIII âåêå

2. Ðàçðàáîòêà ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII è ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà

III. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XIX âåêà è íà÷àëà XX âåêà

1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà

2. Òðóäíîñòè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Êðèòèêà êîíöåïöèè Ã. Êàíòîðà

3. Ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) òåîðèè ìíîæåñòâ

4. Àêñèîìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ ïî Öåðìåëî

5. Ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû.

Введение

Ñîçäàíèå íîâûõ è äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ñóùåñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ñâÿçàíî îáû÷íî ñ óòî÷íåíèåì (îáîáùå­íèåì) èõ èñõîäíûõ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ïîñûëîê è îñíîâàííûõ íà íèõ ìåòîäîâ. Ìàòåìàòèêè íåðåäêî âñòðå÷àëèñü ñ òðóäíîñòÿìè, ïðåîäîëåòü êîòîðûå èì óäàâàëîñü òîëüêî ïîñëå ïðîäîëæèòåëüíûõ ïîèñêîâ. Ýòè òðóäíîñòè ðîñòà ìàòåìàòèêè — òðóäíîñòè å¸ îáîñíîâàíèÿ: îíè áûëè, åñòü è áóäóò â äàëüíåéøåì.

Òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èãðàþò íàèáîëåå çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè òîãäà, êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â êîðåííîé ïåðåðàáîòêå îñíîâ è ìåòîäîëîãèè âñåõ (èëè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà) ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò î êðèçèñå îñíîâ ìàòåìàòèêè. Èçâåñòíû òðè òàêèõ êðèçèñà.

Âïåðâûå êðèçèñ îñíîâ íàóê âîçíèê â ìàòåìàòèêå â äðåâíåé Ãðåöèè, â íà÷àëå å¸ ôîðìèðîâàíèÿ êàê íàó÷íîé ñèñòåìû. Âòîðîé èìåë ìåñòî â êîíöå XVII è â XVIII âåêå. Òðåòèé âîçíèê â êîíöå XIX âåêà, îí íå ïðåîäîëåí è â íàøå âðåìÿ è îêàçûâàåò âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè.

Ìû ðàññìîòðèì ñóùíîñòü ýòèõ êðèçèñîâ ìàòåìàòèêè, èìåÿ â âèäó ïðåèìóùåñòâåííî ïîäòâåðæäåíèå âûâîäîâ, ñäåëàííûõ ðàíåå î çàêîíîìåðíîñòÿõ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè êàê òåîðèè.

I. Способы обоснования математики в

древней Греции от Пифагора до Евклида.

1. Математика пифагорейцев

Ìàòåìàòèêà êàê òåîðèÿ ïîëó÷èëà ðàçâèòèå â øêîëå Ïèôàãîðà (571–479 ãã. äî í. ý.).

Ãëàâíîé çàñëóãîé ïèôàãîðåéöåâ â îáëàñòè íàóêè ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîå ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè êàê ïî ñîäåðæàíèþ, òàê è ïî ôîðìå. Ïî ñîäåðæàíèþ — îòêðûòèå íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ. Ïî ôîðìå — ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè êàê òåîðåòè÷åñêèõ, äîêàçàòåëüíûõ íàóê, èçó÷àþùèõ ñâîéñòâà îòâëå÷åííûõ ïîíÿòèé î ÷èñëàõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîðìàõ.

Äåäóêòèâíîå ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè ÿâèëîñü ìîùíûì ñòèìóëîì å¸ äàëüíåéøåãî ðîñòà.

Ïèôàãîðåéöû

ðàçâèëè è

îáîñíîâàëè

ïëàíèìåòðèþ

ïðÿìîëè­íåéíûõ

ôèãóð:

ó÷åíèå î

ïàðàëëåëüíûõ

ëèíèÿõ,

òðåóãîëüíèêàõ,

÷åòûðåõóãîëüíèêàõ,

ïðàâèëüíûõ

ìíîãîóãîëüíèêàõ.

Ïîëó÷èëà

ðàçâèòèå

ýëåìåíòàðíàÿ

òåîðèÿ

îêðóæíîñòè

è êðóãà.

Íàëè÷èå ó

ïèôàãîðåéöåâ

ó÷åíèÿ î

ïàðàëåëüíûõ

ëèíèÿõ

ãîâîðèò î

òîì, ÷òî îíè

âëàäåëè

ìåòîäîì

äîêàçàòåëüñòâà

îò

ïðîòèâíîãî

è âïåðâûå

äîêàçàëè

òåîðåìó î

ñóììå óãëîâ

òðåóãîëüíèêà.

Âåðøèíîé

äîñòèæåíèé

ïèôàãîðåéöåâ

â

ïëàíèìåòðèè

ÿâëÿåòñÿ

äîêàçàòåëüñòâî

òåîðåìû

Ïèôàãîðà.

Ïîñëåäíÿÿ çà

ìíîãî

ñòîëåòèé

ðàíüøå áûëà

ñôîðìóëèðîâàíà

âàâèëîíñêèìè,

êèòàéñêèìè

è

èíäèéñêèìè

ó÷åíûìè,

îäíàêî å¸

äîêàçàòåëüñòâî

èì íå áûëî

èçâåñòíî.

Óñïåõè ïèôàãîðåéöåâ â ñòåðåîìåòðèè áûëè çíà÷èòåëüíûìè. Îíè çàíèìàëèñü èçó÷åíèåì ñâîéñòâ øàðà, îòêðûëè ïîñòðîåíèå ÷åòûðåõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ — òåòðàýäðà, êóáà, îêòàýäðà è äîäåêàýäðà (èêîñàýäð èññëåäîâàë âïîñëåäñòâèè Ãåýòåò).

Îäíàêî îíè

íå ñìîãëè

îáîñíîâàòü

óòâåðæäåíèÿ,

îòíîñÿùèåñÿ

ê îáúåìàì

òåë

(ïèðàìèäû,

êîíóñà,

öèëèíäðà è

øàðà), õîòÿ,

êîíå÷íî, ýòè

óòâåðæäåíèÿ

áûëè

óñòàíîâëåíû

ýìïèðè÷åñêè

ìíîãî âåêîâ

ðàíüøå. Íå

çíàëè

ïèôàãîðåéöû

è îòíîøåíèÿ

ïîâåðõíîñòè

øàðà ê

áîëüøîìó

êðóãó. Â

îáëàñòè

àðèôìåòèêè

ïèôàãîðåéöû

èçó÷àëè

ñâîéñòâà

÷åòíûõ è

íå÷åòíûõ,

ïðîñòûõ è

ñîñòàâíûõ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë,

èñêàëè

ñîâåðøåííûå

÷èñëà, ò. å.

òàêèå,

êîòîðûå

ðàâíû ñóììå

âñåõ ñâîèõ

äåëèòåëåé

(íàïðèìåð, 6=1+2+3;

28=1+2+4+7+14). Ïî

âèäèìîìó,

îíè

óñòàíîâèëè,

÷òî åñëè

÷èñëî 2ï–1

ÿâëÿåòñÿ

ïðîñòûì, òî

÷èñëî 2ï–1´(2

ï–1) —

ñîâåðøåííîå.

Ïèôàãîðåéöû

çíàëè òàêæå

äðîáíûå

÷èñëà è â

ýòîé ñâÿçè

ðàçðàáîòàëè

òåîðèþ

àðèôìåòè÷åñêîé

è

ãåîìåòðè÷åñêîé

ïðîïîðöèé.

Îíè âëàäåëè

ïîíÿòèÿìè

ñðåäíåãî

àðèôìåòè÷åñêîãî,

ñðåäíåãî

ãåîìåòðè÷åñ­êîãî

è ñðåäíåãî

ãàðìîíè÷åñêîãî.

Êàê íè âåëèêè çàñëóãè ïèôàãîðåéöåâ â ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñèñòåìàòèçàöèè ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè, îäíàêî âñå îíè íå ìîãóò ñðàâíèòüñÿ ñî ñäåëàííûì èìè æå îòêðûòèåì íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí. Ýòî îòêðûòèå ÿâèëîñü ïîâîðîòíûì ïóíêòîì â èñòîðèè àíòè÷íîé ìàòåìàòèêè.

Ïî ïîâîäó ýòîãî îòêðûòèÿ Àðèñòîòåëü ãîâîðèë, ÷òî Ïèôàãîð ïîêàçàë, ÷òî åñëè áû äèàãîíàëü êâàäðàòà áûëà áû ñîèçìåðèìà ñ åãî ñòîðîíîé, òî ÷åòíîå ðàâíÿëîñü áû íå÷åòíîìó.

: Три кризиса в развитии математики Ðèñ. 1

Ýòî çàìå÷àíèå Àðèñòîòåëÿ ÿñíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåñîèçìåðèìîñòè äèàãîíàëè êâàäðàòà ñ åãî ñòîðîíîé Ïèôàãîð èñïîëüçîâàë ìåòîä îò ïðîòèâíîãî (ðèñ. 1).

Ïóñòü, äåéñòâèòåëüíî, äèàãîíàëü ÀÂ ñîèçìåðèìà ñî ñòîðîíîé ÀÑ êâàäðàòà ÀÑÂÄ.

Òîãäà : Три кризиса в развитии математики , ãäå ð è q — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Äðîáü : Три кризиса в развитии математики ìîæíî ñ÷èòàòü íåñîêðàòèìîé (èíà÷å å¸ ìîæíî áûëî áû ñîêðàòèòü); çíà÷èò, ð èëè q áóäåò ÷èñëîì íå÷åòíûì.

Ïðèìåì ÀÑ=1. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà äîëæíî áûòü:

: Три кризиса в развитии математики ;

Çíà÷èò

: Три кризиса в развитии математики ,

ò. å. ð2 äåëèòñÿ íàöåëî íà 2; ñëåäîâàòåëüíî è ð òàêæå äåëèòñÿ íàöåëî íà 2:

ð=2ð1,

ãäå ð1 — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:

q=2q1,

ãäå q1 òàêæå íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

Èòàê, ð è q

îáà ÷åòíûå

÷èñëà.

Ïîñêîëüêó ð

èëè q — ÷èñëî

íå÷åòíîå,

âûõîäèò, ÷òî

÷åòíîå

÷èñëî ðàâíî

íå÷åòíîìó

÷èñëó. Â

êîíöå V âåêà

äî í. ý. Ôåîäîð

èç Êèðåíû

óñòàíîâèë,

÷òî

íåñîèçìåðèìîñòü

äèàãîíàëè

êâàäðàòà ñ

åãî

ñòîðîíîé íå

ÿâëÿåòñÿ

èñêëþ÷åíèåì.

Îí ïîêàçàë,

÷òî ñòîðîíû

êâàäðàòîâ,

ïëîùàäè

êîòîðûõ

ðàâíû 3, 5, 6, ., 17

íåñîèçìåðèìû

ñî ñòîðîíîé

åäèíè÷íîãî

êâàäðàòà.

Ïèôàãîð

ó÷èë, ÷òî

ñóùíîñòü

âñåõ âåùåé

åñòü ÷èñëî;

÷èñëî — ñàìè

âåùè;

ãàðìîíèÿ

÷èñåë —

ãàðìîíèÿ

ñàìèõ âåùåé.

Àðèñòîòåëü

ãîâîðèë, ÷òî

ó

ïèôàãîðåéöåâ

÷èñëà

ïðèíèìàëèñü

çà íà÷àëî è â

êà÷åñòâå

ìàòåðèè è â

êà÷åñòâå

[âûðàæåíèÿ

äëÿ] èõ

ñîñòîÿíèÿ è

ñâîéñòâ.

Îòêðûòèå íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí ñíà÷àëà “âûçâàëî óäèâëåíèå” (Àðèñòîòåëü). Ýòî åñòåñòâåííî: äî îòêðûòèÿ Ïèôàãîðà äðåâíåãðå÷åñêèå ìàòåìàòèêè ñ÷èòàëè, ÷òî ëþáûå äâà îòðåçêà èìåþò îáùóþ ìåðó, õîòÿ, ìîæåò áûòü, è î÷åíü ìàëóþ. Êîãäà, îäíàêî, ïèôàãîðåéöû óáåäèëèñü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâî­âàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí áåçóïðå÷íî, îíè ïîíÿëè, ÷òî èõ ôèëîñîôèÿ îêàçàëàñü â çàòðóäíèòåëüíîì ïîëîæåíèè.

Ïèôàãîðåéöû

çíàëè

òîëüêî

ïîëîæèòåëüíûå

öåëûå è

äðîáíûå

÷èñëà.

Ñëåäóÿ ñâîåé

ôèëîñîôñêîé

óñòàíîâêå,

îíè, ïî ñóòè

äåëà,

ñ÷èòàëè, ÷òî

êàæäàÿ âåùü

ìîæåò áûòü

îõàðàêòåðèçîâàíà

ïîëîæèòåëüíûì

öåëûì èëè

äðîáíûì

÷èñëîì,

êîòîðîå

“âûðàæàåò

ñóùíîñòü”

ýòîé âåùè.

Íà äåëå ýòî

îçíà÷àëî,

÷òî

ãåîìåòðèÿ

ñòðîèëàñü

íà áàçå

àðèôìåòèêè.

Îòêðûòèå

íåñîèçìåðèìûõ

îòðåçêîâ

çíàìåíîâàëî

ïîýòîìó

íà÷àëî

êðèçèñà

ïèôàãîðåéñêîé

ôèëîñîôèè è

ìåòîäîëîãè÷åñêèõ

îñíîâ

ðàçâèâàåìîé

èìè ñèñòåìû

ìàòåìàòèêè.

Ïîñëå

îáíàðóæåíèÿ

ñóùåñòâîâàíèÿ

íåñîèçìåðèìûõ

âåëè÷èí

ïåðåä

ïèôàãîðåéöàìè

îòêðûëèñü

äâå

âîçìîæíîñòè.

Ìîæíî áûëî

ïîïûòàòüñÿ

ðàñøèðèòü

ïîíÿòèå

÷èñëà çà

ñ÷åò

ïðèñîåäèíåíèÿ

ê

ðàöèîíàëüíûì

÷èñëàì

÷èñåë

èððàöèîíàëüíûõ,

îõàðàêòåðèçîâàòü

íåñîèçìåðèìûå

âåëè÷èíû

÷èñëàìè

èíîé ïðèðîäû

è òàêèì

îáðàçîì

âîññòàíîâèòü

ñèëó

ôèëîñîôñêîãî

ïðèíöèïà “âñå

åñòü ÷èñëî”.

Îäíàêî, ýòîò

ïóòü ñòîëü

åñòåñòâåííûé

è ïðîñòîé ñ

ñîâðåìåííîé

òî÷êè

çðåíèÿ, äëÿ

ïèôàãîðåéöåâ

áûë çàêðûò. Â

ýòîì ñëó÷àå

íàäî áûëî

ïîñòðîèòü

äîñòàòî÷íî

ñòðîãóþ

àðèôìåòè÷åñêóþ

òåîðèþ

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë, ÷òî

ïðè óðîâíå

ïèôàãîðåéñêîé

ìàòåìàòèêè

áûëî äåëîì

íåâûïîëíèìûì.

Ïîýòîìó

íàäî áûëî

èäòè ïî

äðóãîìó

ïóòè — ïî ïóòè

îïðåäåëåííîãî

ïåðåñìîòðà

èñõîäíûõ

ïðèíöèïîâ,

íàïðèìåð

ïðèíÿòü, ÷òî

ãåîìåòðè÷åñêèå

îáúåêòû

ÿâëÿþòñÿ

âåëè÷èíàìè

áîëåå îáùåé

ïðèðîäû, ÷åì

äðîáíûå è

öåëûå ÷èñëà,

è ïûòàòüñÿ

ñòðîèòü âñþ

ìàòåìàòèêó

íå íà

àðèôìåòè÷åñêîé,

à íà

ãåîìåòðè÷åñêîé

îñíîâå.

Èìåííî ýòîò

âòîðîé ïóòü

è èçáðàëè

ïèôàãîðåéöû,

à âñëåä çà

íèìè

áîëüøèíñòâî

äðåâíåãðå÷åñêèõ

ìàòåìàòèêîâ,

âïëîòü äî

Àðõèìåäà è

Àïîëëîíèÿ.

2. Проблема бесконечности в

древнегреческой философии и математике

 äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè ïîÿâèëîñü âïåðâûå ó ìàòåðèàëèñòîâ ìèëåòñêîé øêîëû. Àíàêñèìàíäð (610–546 ãã. äî í. ý.), ïåðååìíèê Ôàëåñà, ó÷èë: ìàòåðèÿ áåñêîíå÷íà â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè; âñåëåííàÿ áåñêîíå÷íà, ÷èñëî ìèðîâ áåñêîíå÷íî. Àíàêñèìåí (546 ã. äî í. ý. — ðàñöâåò äåÿòåëüíîñòè) ãîâîðèë: âå÷íûé êðóãîâîðîò ìàòåðèè — ýòî è åñòü áåñêîíå÷íîñòü.

Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ âïåðâûå ïîÿâëÿåòñÿ ó Àíàêñèãîðà (îêîëî 500–428 ãã. äî í. ý.).  ñî÷èíåíèè “Î ïðèðîäå” Àíàêñèãîð ïèñàë: âåùè áåñêîíå÷íî äåëèìû, íåò ïîñëåäíåé ñòóïåíè äåëèìîñòè ìàòåðèè; ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñåãäà èìååòñÿ íå÷òî áîëüøåå, ÷òî ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì.

Áåñêîíå÷íîñòü äëÿ Àíàêñîãîðà — ïîòåíöèàëüíàÿ; îíà ñóùåñòâóåò â äâóõ ôîðìàõ: êàê áåñêîíå÷íî ìàëîå è áåñêîíå÷íî áîëüøîå.  ìàòåìàòèêå òî÷êà çðåíèÿ Àíàêñàãîðà íàøëà áëàãîïðèÿòíóþ ïî÷âó áëàãîäàðÿ îòêðûòèþ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí — âåëè÷èí, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû ëþáîé, êàêîé óãîäíî ìàëîé, îáùåé ìåðîé.

Äåìîêðèò (îêîëî 560–570 ãã. äî í. ý.), ïî-âèäèìîìó, èçó÷àë òàê íàçûâàåìûå ðîãîâèäíûå óãëû (óãëû, îáðàçóåìûå äóãîé îêðóæíîñòè è êàñàòåëüíîé ê íåé).

Ïîñêîëüêó êàæäûé ðîãîâèäíûé óãîë “ìåíüøå” ëþáîãî ïðÿìîëèíåéíîãî óãëà, çäåñü ïîÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå àêòóàëüíî áåñêîíå÷íî ìàëîãî. Âïîñëåäñòâèè ïîÿâèëîñü è ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè.

Àðèñòîòåëü (384–322

ãã. äî í. ý.)

îò÷åòëèâî

ðàçëè÷àåò

äâà âèäà

áåñêîíå÷íîñòè:

ïîòåíöèàëüíóþ

è

àêòóàëüíóþ.

Ïîíÿòèå

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè

â äðåâíåé

Ãðåöèè íå

ïîëó÷èëî

ðàçâèòèÿ

êàê â

ôèëîñîôèè,

òàê è â

ìàòåìàòèêå.

Ìàòåìàòèêè

ñ÷èòàëè, ÷òî

“öåëîå áîëüøå

ëþáîé ñâîåé

÷àñòè” è, òåì

ñàìûì, ïî

ñóùåñòâó,

èñêëþ÷àëè

àêòóàëüíóþ

áåñêîíå÷íîñòü.

Ôèëîñîôû

(Àðèñòîòåëü,

íàïðèìåð)

äîêàçûâàëè

ïðîòèâîðå÷èâîñòü

ïîíÿòèÿ

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè

è òåì ñàìûì

ïîääåðæèâàëè

ìàòåìàòèêîâ.

Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè ïîäâåðãàëîñü ñåðüåçíîé êðèòèêå ñî ñòîðîíû Çåíîíà Ýëåéñêîãî (îêîëî 490–430 ãã. äî í. ý.). Çåíîí áûë ó÷åíèêîì Ïàðìåíèäà, ãëàâû ýëåéñêîé øêîëû. Ïàðìåíèä óòâåðæäàë, ÷òî áûòèå åäèíî, íåïîäâèæíî è íåèçìåííî. Äâèæåíèå, èçìåíåíèå — ýòî òîëüêî âèäèìîñòü, îáóñëîâëåííàÿ íåñîâåðøåíñòâîì íàøèõ îðãàíîâ ÷óâñòâ. Ìèð (áûòèå) ìîæåò áûòü ïîçíàí òîëüêî ðàçóìîì, íî íå ÷óâñòâàìè.

Çåíîí Ýëåéñêèé âûäâèíóë 45 àïîðèé (àíòèíîìèé), èìåÿ ïðè ýòîì öåëüþ ðàçâèòü è ëó÷øå îáîñíîâàòü ó÷åíèå Ïàðìåíèäà. Èç ýòèõ àíòèíîìèé äî íàøåãî âðåìåíè äîøëî òîëüêî 9. Âîò íàèáîëåå õàðàêòåðíûå èç íèõ.

Ïðîòèâ äâèæåíèÿ.

“Дихотомия”. Äâèæåíèÿ íåò, ïîòîìó ÷òî òî, ÷òî äâèæåòñÿ, äîëæíî äîéòè äî ñåðåäèíû, ïðåæäå ÷åì îíî äîéäåò äî êîíöà. Íî åñëè áû òåëî äîøëî äî ñåðåäèíû, îíî äîëæíî áûëî áû ðàíüøå äîéòè äî ñåðåäèíû ýòîé ñåðåäèíû è ò. ä. äî áåñêîíå÷íîñòè, à ýòî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì äâèæåíèå íå ìîæåò íà÷àòüñÿ.

“Ахиллес и черепаха”. Ìåäëåííûé â áåãå íèêîãäà íå áóäåò ïåðåãíàí áûñòðûì, ïîòîìó ÷òî òîò, êòî ïðåñëåäóåò, äîëæåí ñíà÷àëà äîñòè÷ü òî÷êè, èç êîòîðîé íà÷àë óáåãàþùèé, òàê ÷òî óáåãàþùèé âñåãäà áóäåò íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè âïåðåäè.

Çàñëóãà Çåíîíà Ýëåéñêîãî â ðàçâèòèè ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí âûÿâèë ðåàëüíóþ ïðîòèâîðå÷èâîñòü âðåìåíè, äâèæåíèÿ è ïðîñòðàíñòâà, à çíà÷èò è áåñêîíå÷íîñòü. Â. È. Ëåíèí ïèñàë, ÷òî Çåíîí íå îòðèöàë ÷óâñòâåííóþ äîñòîâåðíîñòü äâèæåíèÿ; åãî èíòåðåñîâàë âîïðîñ, êàê âûðàçèòü ñóùíîñòü äâèæåíèÿ â ëîãèêå ïîíÿòèé.

Îäíàêî, Çåíîí ïîñëåäíþþ çàäà÷ó íå ðåøèë, íå ðåøèëè å¸ è äðóãèå ó÷åíûå äðåâíåé Ãðåöèè.

3. Три знаменитых задачи древности

 ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè äðåâíåé Ãðåöèè âûäàþùóþñÿ ðîëü ñûãðàëè òðè çàäà÷è: òðèñåêöèÿ óãëà, óäâîåíèå êóáà (äåëèéñêàÿ çàäà÷à) è êâàäðàòóðà êðóãà.

Ïðîáóæäåíèå îñîáîãî èíòåðåñà ê ýòèì çàäà÷àì èìåííî â äðåâíåé Ãðåöèè íå ñëó÷àéíî. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòèêè êàê äåäóêòèâíîé ñèñòåìû, áàçèðóþùåéñÿ íà ãåîìåòðè÷åñêîì ôóíäàìåíòå äâå ïåðâûå çàäà÷è ïîÿâëÿþòñÿ êàê åñòåñòâåííûå îáîáùåíèÿ áîëåå ýëåìåíòàðíûõ çàäà÷. Çàäà÷à î êâàäðàòóðå êðóãà áûëà ïîëó÷åíà “ïî íàñëåäñòâó” îò äðåâíèõ åãèïòÿí è âàâèëîíÿí.

Трисекция угла. Äàí ÐÀÂÑ, òðåáóåòñÿ ðàçäåëèòü åãî íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è îòíîñèòñÿ ê ëþáîìó óãëó è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàäà÷è î äåëåíèè äàííîãî óãëà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè.

: Три кризиса в развитии математики Ðèñ. 2

Удвоение куба. Ïîñòðîèòü

êóá, îáúåì

êîòîðîãî â

äâà ðàçà

áîëüøå

îáúåìà

äàííîãî

êóáà.

Ïîñòðîèòü

êâàäðàò,

ïëîùàäü

êîòîðîãî â

äâà ðàçà

áîëüøå

ïëîùàäè

äàííîãî

êâàäðàòà.

Åñëè

ñòîðîíà

äàííîãî

êâàäðàòà à,

à èñêîìîãî

õ, òî õ2=2à

2; : Три кризиса в развитии математики .

Ñëåäîâàòåëüíî,

ñòîðîíà

èñêîìîãî

êâàäðàòà

ðàâíà

äèàãîíàëè

äàííîãî.

Îòñþäà

îñóùåñòâèìîñòü

ïîñòðîåíèÿ

öèðêóëåì è

ëèíåéêîé

èñêîìîãî

êâàäðàòà AA`CC`

(ðèñ. 2).

Âïîëíå åñòåñòâåííî áûëî ïåðåéòè îò ýòîé çàäà÷è íà ïëîñêîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâå: ïîñòðîèòü êóá, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà.

Квадратура круга. Ïîñòðîèòü êâàäðàò, ïî ïëîùàäè ðàâíûé äàííîìó êðóãó.

Íè îäíà èç óêàçàííûõ çàäà÷ íå ðàçðåøèìà öèðêóëåì è ëèíåéêîé.

4. Преодоление кризиса основ

древнегреческой математики

Ïèôàãîðåéöû çàëîæèëè îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé àëãåáðû. Òåýòåò è Åâêëèä óñòàíîâèëè êëàññèôèêàöèþ êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé.

Åâäîïñ ðàçâèë îáùóþ òåîðèþ ïðîïîðöèé — ãåîìåòðè÷åñêèé ýêâèâàëåíò òåîðèè ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë — è ðàçðàáîòàë ìåòîä èñ÷åðïûâàíèÿ — çà÷àòî÷íóþ ôîðìó òåîðèè ïðåäåëîâ, îñíîâàííóþ íà ãåîìåòðè÷åñêîé áàçå. Ýòè òåîðèè ñîçäàëè ïðî÷íûé êàðêàñ çäàíèÿ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè, ôóíäàìåíòîì êîòîðîãî áûëà ãåîìåòðèÿ; òåì ñàìûì ïðåîäîëåâàëèñü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ôàêòîì ñóùåñòâîâàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí.

×òîáû èçáåæàòü òðóäíîñòåé â îáîñíîâàíèè ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûõ ñ ïàðàäîêñàìè áåñêîíå÷íîñòè (Çåíîí, Àðèñòîòåëü), áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ äðåâíåé Ãðåöèè ïðåäïî÷ëè îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå èäåé áåñêîíå÷íîñòè è äâèæåíèÿ èëè ñâåñòè èõ ïðèìåíåíèå ê ìèíèìóìó.  êà÷åñòâå òàêîãî ìèíèìóìà áûëî ïðèíÿòî óòâåðæäåíèå î íåîãðàíè÷åííîé äåëèìîñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí.

Ðàññìîòðåíèå òðåõ çíàìåíèòûõ çàäà÷ ïðèâåëî äðåâíåãðå÷åñêèõ ó÷åíûõ ê óáåæäåíèþ, ÷òî ðåøåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷è ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ âûïîëíåííûì ñòðîãî ãåîìåòðè÷åñêè ëèøü ïðè óñëîâèè èñïîëüçîâàíèÿ òîëüêî (èäåàëüíûõ) öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Èñïîëüçîâàíèå ìåõàíè÷åñêèõ ñðåäñòâ â ãåîìåòðèè íå äîïóñêàåòñÿ.

Òîëüêî ïîñëå îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáîò ïèôàãîðåéöåâ, Òåýòåòà, Åâäîêñà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ, ïîñëå ñîãëàøåíèÿ î íåîáõîäèìûõ îãðàíè÷åíèÿõ è äîïóñòèìûõ ñðåäñòâàõ ïîñòðîåíèÿ, Åâêëèä íàïèñàë “Íà÷àëà”, ïîñâÿùåííûå îñíîâàì è ìåòîäàì äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè.  “Íà÷àëàõ” Åâêëèäà êðèçèñ îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè áûë ïðåîäîëåí — êîíå÷íî, äëÿ ñâîåãî âðåìåíè, è, äîáàâèì, ïðåîäîëåí íå âî âñåõ ïóíêòàõ è íå âñåãäà ñîâåðøåííûì îáðàçîì.

II. Способы обоснования математики в

XVIII и в первой половине XIX века 1. Особенности способов обоснования

математики в конце XVII и в XVIII веке

 êîíöå XVII è â XVIII âåêå âñå âîçðàñòàþùèå çàïðîñû ïðàêòèêè è äðóãèõ íàóê ïîáóæäàëè ó÷åíûõ ìàêñèìàëüíî ðàñøèðÿòü îáëàñòü è ìåòîäû èññëåäîâàíèé ìàòåìàòèêè. Ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íîñòè, äâèæåíèÿ è ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè âûäâèãàþòñÿ íà ïåðâîå ìåñòî, ñòàíîâÿòñÿ îñíîâîé íîâûõ ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè.

 êîíöå XVII è â XVIII

âåêå â

ìàòåìàòèêå

è ìåõàíèêå

áûëè

ïîëó÷åíû

êëàññè÷åñêèå

ðåçóëüòàòû

ôóíäàìåíòàëüíîãî

çíà÷åíèÿ.

Îñíîâíûì

çäåñü áûëî

ðàçâèòèå

äèôôåðåíöèàëüíîãî

è

èíòåãðàëüíîãî

èñ÷èñëåíèÿ,

òåîðèè

äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé,

âàðèàöèîííîãî

èñ÷èñëåíèÿ

è

àíàëèòè÷åñêîé

ìåõàíèêè.

Çíà÷èòåëüíûå

ðåçóëüòàòû

áûëè

ïîëó÷åíû â

àëãåáðå è

òåîðèè

÷èñåë. À.

Ýéëåð, à âñëåä

çà íèì è

íåêîòîðûå

äðóãèå

ó÷åíûå

âòîðîé

ïîëîâèíû XVIII

âåêà

ïðîäåëàëè

áîëüøóþ

ðàáîòó ïî

ñèñòåìàòèçàöèè

ñîäåðæàíèÿ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

äèñöèïëèí, â

ïåðâóþ

î÷åðåäü

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà, à

âìåñòå ñ íèì

àëãåáðû è

òðèãîíîìåòðèè.

Âìåñòå ñ òåì, â ðàññìàòðèâàåìûé ïåðèîä ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé — îñîáåííî äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ — ðåçêî îòñòàâàëè îò áóðíî ðàçâèâàþùåãîñÿ ñîäåðæàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ýòî îòñòàâàíèå ïðîÿâèëîñü â ðàçëè÷íûõ, ìåæäó ñîáîé ñâÿçàííûõ ôîðìàõ è ïðèòîì ñâîåîáðàçíî â îòäåëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ.

Îáùåé

÷åðòîé

ïîïûòîê

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòèêè

ñ êîíöà XVII è

ïëàíîìåðíî

äî ïîñëåäíåé

÷åòâåðòè XVIII

âåêà áûëî

ñòðåìëåíèå

îáîñíîâàòü

êàæäóþ

ìàòåìàòè÷åñêóþ

òåîðèþ â

ïîëíîì

ñîîòâåòñòâèè

ñ èñòèíàìè

ýëåìåíòàðíîé,

“íèçøåé” (ïî

òåðìèíîëîãèè

Ô. Ýíãåëüñà)

ìàòåìàòèêè,

ò. å.

ýëåìåíòàðíîé

ìàòåìàòèêè,

êàêîé îíà

áûëà

ïðèìåðíî äî

îòêðûòèÿ

àíàëèòè÷åñêîé

ãåîìåòðèè.

Ýòî

ñòðåìëåíèå

ïðîÿâèëîñü â

äâóõ ôîðìàõ.

Ñíà÷àëà

ìàòåìàòèêè

ïûòàëèñü

âîçäâèãíóòü

ðàçâèâàåìûå

èìè

ìàòåìàòè÷åñêèå

òåîðèè íà

ôóíäàìåíòå,

ïîñòðîåííîì

â ñâîå âðåìÿ

äëÿ

îáîñíîâàíèÿ

“íèçøåé”

ìàòåìàòèêè.

Ýòî õîðîøî

ïîêàçûâàþò

ãîñïîäñòâîâàâøèå

â òî âðåìÿ

ñïîñîáû

îáîñíîâàíèÿ

àëãåáðû è

ó÷åíèÿ î

÷èñëå. Åñëè

æå òàêîå

ïîñòðîåíèå

ÿâíî íå

óäàâàëîñü

(÷òî áûëî

îñîáåííî

ÿñíî â

îòíîøåíèè

äèôôåðåíöèàëüíîãî

èñ÷èñëåíèÿ

ñ ìîìåíòà

åãî

âîçíèêíîâåíèÿ),

òî

ñòàðàëèñü

îáîñíîâàòü

ìàòåìàòè÷åñêóþ

òåîðèþ íà

ïðèíöèïàõ,

ñïåöèàëüíî

äëÿ íå¸

ðàçðàáîòàííûõ,

ñîäåðæàíèå

êîòîðûõ

ìîæíî

ìàêñèìàëüíî

ñîãëàñîâàòü,

“ïðèìèðèòü”

(Ýíãåëüñ) ñ

èñòèíàìè

“íèçøåé”

ìàòåìàòèêè.

Èíà÷å ãîâîðÿ, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðèíöèïû è óòâåðæäåíèÿ “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ìåòàôèçè÷åñêè àáñîëþòèçèðîâàëèñü, ðàññìàòðèâàëèñü êàê íåçûáëåìûé ôóíäàìåíò êàæäîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.

 êîíöå XVII è îñîáåííî â ïåðâûõ òðåõ ÷åòâåðòÿõ XVIII âåêà îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû, óñòàíîâëåííûå â îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ÷àñòî ïåðåíîñèëèñü â íîâûå îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ, ñîâåðøåííî ôîðìàëüíî, ò. å. áåç îáîñíîâàíèÿ.

Çàêîíû àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôîðìèðîâàëèñü áåç óêàçàíèÿ ïåðåìåííûõ, äëÿ êîòîðûõ îíè ñïðàâåäëèâû, è áåç óêàçàíèÿ ãðàíèö èõ ïðèìåíèìîñòè. Òàêàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, åñòåñòâåííî, ðàñïðîñòðàíÿëàñü è íà îñíîâûâàþùèåñÿ íà íèõ àëãîðèòìû.

Ê ñåðåäèíå XVIII âåêà îïèñàííàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è àëãåáðû ñòàëà íàñòîëüêî îáùåïðèíÿòîé, ÷òî Ë. Ýéëåð ñ÷åë âîçìîæíûì èñòîëêîâàòü å¸ êàê îñíîâíîé ïðèíöèï ìåòîäîëîãèè àíàëèçà âîîáùå. Ñëó÷èëîñü ýòî ïðè ñëåäóþùèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ.

 íà÷àëå XVIII âåêà ìåæäó Ëåéáíèöåì è È. Áåðíóëëè âîçíèê ñïîð î “ïðèðîäå” ëîãàðèôìîâ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. È. Áåðíóëëè ïîëàãàë, ÷òî ïðè õ>0, ln(–x)=ln x, òàê êàê : Три кризиса в развитии математики .

Ëåéáíèö íå ñîãëàñèëñÿ ñ È. Áåðíóëëè; îí óòâåðæäàë, ÷òî îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ëîãàðèôìîâ, ïðè÷åì âñå îíè — ÷èñëà êîìïëåêñíûå. Ñðåäè äðóãèõ ñâîèõ àðãóìåíòîâ Ëåéáíèö óêàçàë, ÷òî ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ln x, óñòàíîâëåííîå äëÿ õ>0, íå îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâûì è äëÿ ln(–x).

Ïðè ïîìîùè îñîáîé àðãóìåíòàöèè Ë. Ýéëåð ðåøèë ñïîð â ïîëüçó Ëåéáíèöà. Îäíàêî óêàçàííûé àðãóìåíò Ëåéáíèöà Ýéëåð ðåøèòåëüíî îòêëîíèë. “Ýòî âîçðàæåíèå,— óêàçûâàë Ýéëåð,— åñëè áû îíî áûëî âåðíî, ïîêîëåáàëî áû îñíîâíîå ïîëîæåíèå âñåãî àíàëèçà, çàêëþ÷àþùååñÿ, â îñíîâíûõ ÷åðòàõ, â îáùíîñòè ïðàâèë è îïåðàöèé, ïðèçíàâàåìûõ ñïðàâåäëèâûìè, êàêîâà áû íè áûëà ïðèðîäà êîëè÷åñòâ, ê êîòîðûì îíè ïðèëàãàþòñÿ”.

Êàê ìû âèäèì, ïîäõîä ìàòåìàòèêîâ â XVIII âåêå ê âûÿñíåíèþ ãðàíèö ïðèëîæèìîñòè ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè è òðàêòîâêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè ÿâíî ìåòàôèçè÷åñêèìè.

 XVIII âåêå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íåðåäêî ïðîâîäèëè, îïèðàÿñü íà ãîñïîäñòâîâàâøèå òîãäà ìåõàíè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ. Íà÷àëî øèðîêîìó èñïîëüçîâàíèþ ìåõàíè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé êàê áàçû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëîæèë Íüþòîí â ñâîåì ó÷åíèè î ôëþåíòàõ è ôëþêñèÿõ. ×òî æå êàñàåòñÿ óêàçàííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, òî ïðîùå âñåãî âûÿñíèòü ñóòü äåëà íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.

 íàøå âðåìÿ

òåîðåìà î

ïðîõîæäåíèè

íåïðåðûâíîé

ôóíêöèè

÷åðåç

íóëåâîå

çíà÷åíèå

äîêàçûâàåòñÿ

â

êëàññè÷åñêîì

ìàòåìàòè÷åñêîì

àíàëèçå

÷èñòî

àíàëèòè÷åñêè

ñ

èñïîëüçîâàíèåì

ïîíÿòèÿ

áåñêîíå÷íîãî

ìíîæåñòâà. Â

XVIII âåêå åñëè

ýòà òåîðåìà

è

äîêàçûâàëàñü,

òî ÷àùå

âñåãî

óêàçàíèåì

íà òî, ÷òî

íåïðåðûâíàÿ

êðèâàÿ f(x),

ñîåäèíÿþùàÿ

òî÷êè À è Â

,

ðàñïîëîæåííûå

â ïëîñêîñòè

ïî ðàçíûå

ñòîðîíû îñè

ÎÕ,

ñóùåñòâóåò

ïî ìåíüøåé

ìåðå îäíà

òî÷êà ñ

àáñöèññîé

õ=ñ, a<c<b, äëÿ

êîòîðîé f(ñ)=0

(ðèñ. 3).

: Три кризиса в развитии математики

Ðèñ. 3

Ïîäîáíîãî ðîäà ãåîìåòðèçàöèÿ íåðåäêî âñòðå÷àëàñü â ðóêîâîäñòâàõ ïî àëãåáðå è àðèôìåòèêå.

Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè ab=ba, ÿêîáû âåðíîãî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë è âåëè÷èí, îáû÷íî ñâîäèëè íà äâà ðàâíûõ, íî ðàçëè÷íî ðàñïîëîæåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 4).

: Три кризиса в развитии математики

Ðèñ. 4

Ýéëåð è

äðóãèå

ìàòåìàòèêè

XVIII âåêà

çàäàâàëè

ôóíêöèþ

îäíèì

àíàëèòè÷åñêèì

âûðàæåíèåì

è îò ýòîãî

àíàëèòè÷åñêîãî

âûðàæåíèÿ å¸

íå îòäåëÿëè.

Ïðè ýòîì, ïîä

àíàëèòè÷åñêèì

âûðàæåíèåì,

âîîáùå

ãîâîðÿ,

ïîíèìàëîñü

âûðàæåíèå,

êîòîðîå

ìîæíî

ïîëó÷èòü,

ñâÿçûâàÿ

ýëåìåíòàðíûå

ôóíêöèè

(àëãåáðàè÷åñêèå

è íåêîòîðûå

òðàíñöåíäåíòàëüíûå,

îäíîãî èëè

íåñêîëüêèõ

àðãóìåíòîâ)

ïîñðåäñòâîì

ñëîæåíèÿ,

âû÷èòàíèÿ,

óìíîæåíèÿ è

äåëåíèÿ,

âîçâåäåíèÿ â

ñòåïåíü è

èçâëå÷åíèÿ

êîðíÿ,

ðåøåíèÿ

àëãåáðàè÷åñêèõ

óðàâíåíèé è

èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ñ÷èòàëè, ÷òî

çàäàíèå

ôóíêöèè íà

ëþáîì

ïðîìåæóòêå

îïðåäåëÿåò

å¸ ïîâåäåíèå

íà âñåé îñè

ÎÕ.

Ñîîòâåòñòâåííî

ôóíêöèÿ

ïðåäñòàâëÿëàñü

êðèâîé,

÷àñòè

êîòîðîé

çàâèñÿò

äðóã îò äðóãà

è êîòîðóþ

ìîæíî

çàäàòü

îäíèì

àíàëèòè÷åñêèì

âûðàæåíèåì

óêàçàííîãî

âèäà. Òàêèå

ôóíêöèè

ñ÷èòàëè

íåïðåðûâíûìè

(â ñìûñëå

Ýéëåðà),

íàçûâàëèñü

ïðàâèëüíûìè.

Ïðåäñòàâëåííàÿ

íà ÷åðòåæå

(ðèñ. 5)

íåïðåðûâíàÿ

â

ñîâðåìåííîì

ñìûñëå

ôóíêöèÿ ó=|õ|

â ñìûñëå

Ýéëåðà íå

áûëà

íåïðåðûâíîé.

Äåéñòâèòåëüíî,

åñëè

èñïîëüçîâàòü

çàïàñ

ôóíêöèé, ñ

êàêèì

ðàáîòàëè â XVIII

âåêå, òî ýòà

ôóíêöèÿ

äîëæíà áûòü

çàäàíà

äâóìÿ

ôîðìóëàìè:

f(x)=x, 0£x;

f(x)=–x, x£0.

: Три кризиса в развитии математики

Ðèñ. 5

Âìåñòå ñ

äðóãèìè

ìàòåìàòèêàìè

XVIII âåêà Ýéëåð

ñ÷èòàë, ÷òî

òàêîå

òîëêîâàíèå

ôóíêöèè è å¸

íåïðåðûâíîñòè

äîñòàòî÷íû

äëÿ

èíòåãðàëüíîãî

è

äèôôåðåíöèàëüíîãî

èñ÷èñëåíèÿ

è òåîðèè

îáûêíîâåííûõ

äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé.

Íî âîïðåêè

èì îí

ïîëàãàë

âîçìîæíûì

ðàññìàòðèâàòü

â òåîðèè

óðàâíåíèé ñ

÷àñòíûìè

ïðîèçâîäíûìè

è ôóíêöèè,

çàäàíèå

êîòîðûõ íà

îòðåçêå íå

îïðåäåëÿåò

èõ ïîâåäåíèÿ

â öåëîì, ò. å. â

åãî

òåðìèíàõ

ïðîèçâîëüíûå

ôóíêöèè.

Ýéëåð

òðàêòîâàë

íåïðåðûâíîñòü

òàêèõ

ôóíêöèé â

ñîâðåìåííîì

ñìûñëå è

íàçûâàë èõ

ñâÿçíûìè. Ê

òàêîìó

ðàñøèðåíèþ

ïîíÿòèÿ

ôóíêöèè

Ýéëåð ïðèøåë

â ñâÿçè ñ

àíàëèçîì

ðåçóëüòàòîâ

èññëåäîâàíèé

(ñâîèõ è

äðóãèõ

ìàòåìàòèêîâ)

î

êîëåáëþùèõñÿ

ñòðóíàõ.

Ðàññìàòðèâàÿ

òîëüêî

íåïðåðûâíîå

è

ìîíîòîííîå

èçìåíåíèå

ïåðåìåííûõ —

â òî âðåìÿ

òàê

ïîñòóïàëè â

ìåõàíèêå è

ãåîìåòðèè,—

Íüþòîí,

Äàëàìáåð è

íåêîòîðûå

ìàòåìàòèêè

XVIII âåêà

òîëêîâàëè

ïðåäåë òîëüêî

êàê òî, ÷òî

ïîðîæäàåòñÿ

ïåðåìåííîé,

ôàêòè÷åñêè

êàê

ïîñëåäíåå

çíà÷åíèå

ïåðåìåííîé

èëè êàê

ïîñëåäíåå

îòíîøåíèå

ïåðåìåííûõ.

Âîïðîñ,

äîñòèãàåò

ëè

ïåðåìåííàÿ

ýòîãî

ñâîåãî

ïîñëåäíåãî

çíà÷åíèÿ,

èëè ìîæåò

ïîäîéòè ê

íåìó êàê

óãîäíî

áëèçêî,

íèêàêîé

ðîëè íå

èãðàåò. Â

ïðàêòèêå

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà

ïðåäåë

äåéñòâèòåëüíî

èçâëåêàëñÿ

èç

ïåðåìåííîé

êàê å¸

ïîñëåäíåå

çíà÷åíèå,

êîòîðîå îíà

ïðèíèìàåò

èëè ìîæåò

ïðèíÿòü. Â

êîíöå XVIII âåêà

Ëàçàð Êàðíî

íàçûâàåò

ïðåäåëîì

ïîñëåäíåå

çíà÷åíèå

ïåðåìåííîé,

êîòîðàÿ ê

íåìó

ïðèáëèæàåòñÿ.

Äàæå â 40-õ

ãîäàõ

ïðîøëîãî

ñòîëåòèÿ Â. Â.

Áó­íèêîâñêèé

ñ÷èòàë

çàäà÷åé

äèôôåðåíöèàëüíîãî

èñ÷èñëåíèÿ

“óëîâèòü

îòíîøåíèÿ

èçìåíÿþùèõñÿ

ïî

èçâåñòíîìó

çàêîíó

âåëè÷èí â òî

ñàìîå

ìãíîâåíèå,

êîãäà ýòè

âåëè÷èíû

èñ÷åçàþò”, ò.

å. óëîâèòü

ïîñëåäíåå

çíà÷åíèå

îòíîøåíèÿ

ïåðåìåííûõ.

Êàê ìû

óâèäèì ýòà

óçêàÿ (íî

âûäàâàåìàÿ

çà âñåîáùóþ)

òðàêòîâêà

ïîíÿòèÿ

ïðåäåëà

ñûãðàëà

îñîáî

âàæíóþ ðîëü â

ðàçâåðòûâàíèè

òðóäíîñòåé

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà â XVIII è

íà÷àëå XIX

âåêà.

Ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ ïîëàãàëè òàêæå, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x) â êàæäîé òî÷êå, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, èõ êîíå÷íîãî ÷èñëà èìååò ïðîèçâîäíóþ f`(x). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ÷àñòî ïîëàãàëè âîçìîæíûì ïðåäñòàâèòü íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ êðèâîé, êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, â êàæäîé òî÷êå èìååò êàñàòåëüíóþ.

 ïåðâîé

ïîëîâèíå XVIII

âåêà

ïîíÿòèå

÷èñëà

îïðåäåëÿëîñü

÷àùå âñåãî

ïî Åâêëèäó:

÷èñëî åñòü

ñîâîêóïíîñòü

åäèíèö. Âî

âòîðîé

ïîëîâèíå XVIII

âåêà ÷èñëî

èñòîëêîâûâàåòñÿ

ïðåèìóùåñòâåííî

êàê

ðåçóëüòàò

èçìåðåíèÿ

îäíîé

âåëè÷èíû

äðóãîé

âåëè÷èíîé

òîãî æå ðîäà,

ïðèíÿòîé çà

åäèíèöó. Íî

äàæå

ïîñëåäíåå,

çíà÷èòåëüíî

áîëåå

øèðîêîå,

èñòîëêîâàíèå

ïîíÿòèÿ

÷èñëà íå

îõâàòûâàëî

âñå â òî

âðåìÿ

èçâåñòíûå

âèäû ÷èñåë.

Äîñòàòî÷íî

âñïîìíèòü,

÷òî â XVII–XVIII

âåêàõ

ìàòåìàòèêè

çíàëè è ñ

óñïåõîì

èñïîëüçîâàëè

ïîíÿòèå

êîìïëåêñíîãî

÷èñëà.

Ïîýòîìó,

íàðÿäó ñ

ïîíÿòèåì

÷èñëà,

ïðèáåãàëè ê

ïðèáåãàëè ê

ïîíÿòèÿì î

ïîëîæèòåëüíûõ

è

îòðèöàòåëüíûõ

âåëè÷èíàõ, î

ìíèìûõ

âåëè÷èíàõ, î

âåëè÷èíàõ

ðåàëüíûõ è

ëîæíûõ è ò. ï.

Àëãåáðà òðàêòîâàëàñü êàê íàóêà, èçó÷àþùàÿ òîëüêî îáùèå ñâîéñòâà îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí.

Ïîëàãàëè, ÷òî êàæäàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ — òðèãîíîìåòðèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ò. ï. — ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íàäñòðîéêîé íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà è ïîýòîìó äîëæíà ñòðîèòüñÿ íà ôóíäàìåíòå ïîñëåäíåé.

Êîãäà îïèñàííûå âûøå èñòîëêîâàíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé, ïðèíöèïîâ è ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè ïîëó÷èëè äîñòàòî÷íî øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå, â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ íà÷àëè îáíàðóæèâàòüñÿ ïàðàäîêñû; â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàæå ïðèõîäèëè ê ëîæíûì çàêëþ÷åíèÿì, êîòîðûå, îäíàêî, ñ÷èòàëè èñòèííûìè.

Ïàðàäîêñû (è

ëîæíûå

çàêëþ÷åíèÿ)

îáíàðóæèëèñü

âïåðâûå â XVI–XVII

âåêàõ â

ó÷åíèè î

÷èñëå. Îíè

ñîõðàíèëè

ñâîþ ñèëó è â

XVIII âåêå.

Îñíîâîé èõ

áûëî òî, ÷òî

ïî÷òè äî

êîíöà XVIII âåêà

áîëüøèíñòâî

ìàòåìàòèêîâ

ïûòàëèñü

ïîñòðîèòü

ó÷åíèå î

÷èñëå (âïëîòü

äî

àðèôìåòèêè

êîìïëåêñíûõ

÷èñåë!) íà

ôóíäàìåíòå,

â ñâîå âðåìÿ

ðàçðàáîòàííîì

äëÿ

àðèôìåòèêè

êîëè÷åñòâåííûõ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë.

Îáû÷íûå,

âåðíûå äëÿ

êîëè÷åñòâåí­íûõ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë,

îïðåäåëåíèÿ

àðèôìåòè÷åñêèõ

äåéñò­âèé è

âñå ïÿòü

çàêîíîâ

ñ÷åòà

çàðàíåå ïðè

ýòîì

ñ÷èòàëèñü

ñïðàâåäëèâûìè

â êàæäîé

îáëàñòè

÷èñåë. Â

ñâÿçè ñ ýòèì

íàõîäÿòñÿ

õàðàêòåðíûå

äëÿ âòîðîé

ïîëîâèíû XVII è XVIII

âåêà

“äîêàçàòåëüñòâà”

ïðàâèëà

çíàêîâ (–a)(–b)=+ab;

ñîìíåíèÿ â

èñòèííîñòè

ïðîïîðöèè +1: –1= –1: +1

(“êàê áîëüøåå,

äåëåííîå íà

ìåíüøåå,

ìîæåò áûòü

ðàâíî

ìåíüøåìó,

äåëåííîìó

íà áîëüøåå?”);

îòðèöàíèå

îáúåêòèâíîñòè

ïîíÿòèÿ

êîìïëåêñíîãî

÷èñëà è ò. ï.

Îäíàêî, äî

íà÷àëà XIX

âåêà

òðóäíîñòè

îáîñíîâàíèÿ

ó÷åíèÿ î

÷èñëå íå

ìåøàëè

óñïåøíîìó

èñïîëüçîâàíèþ

ïîíÿòèÿ

÷èñëà â

ìàòåìàòèêå,

òî÷íûõ

íàóêàõ è

òåõíèêå. Ýòî

èìåëî

îñíîâàíèåì

òî, ÷òî â

ëþáîé

îáëàñòè

÷èñåë, îò

íàòóðàëüíûõ

äî

êîìïëåêñíûõ,

âñå ïÿòü

çàêîíîâ

ñ÷åòà

âûïîëíÿþòñÿ.

Êðîìå òîãî, â

ýòîò ïåðèîä â

ìàòåìàòèêå

âåäóùåå

ïîëîæåíèå

ïðèíàäëåæàëî

ìàòåìàòè÷åñêîìó

àíàëèçó.

Ïîýòîìó

âîïðîñû

îáîñíîâàíèÿ

ó÷åíèÿ î

÷èñëå õîòÿ è

îáñóæäàëèñü

àêòèâíî, íî â

äåëå

ðàçðàáîòêè

îñíîâ

ìàòåìàòèêè

èãðàëè

âòîðîñòåïåííóþ

ðîëü.

Ó÷åíûå è ôèëîñîôû îáðàòèëè ñåðüåçíîå âíèìàíèå íà òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè ëèøü òîãäà, êîãäà Ëåéáíèö è Íüþòîí ðàçâèëè äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå.

Ëåéáíèö è

åãî

ïîñëåäîâàòåëè

— áðàòüÿ

Áåðíóëëè,

Ëîïèíòàëü è

äðóãèå —

òðàêòîâàëè

äèôôåðåíöèàëû

êàê

áåñêîíå÷íî

ìàëûå

ðàçíîñòè

îáû÷íûõ

êîíå÷íûõ

âåëè÷èí,

êàê òîãäà

ãîâîðèëè —

“ðåàëüíûõ”

âåëè÷èí.

Ïîýòîìó îíè

îáðàùàëèñü

ñ òåìè è

äðóãèìè

îäèíàêîâî è

â

èñ÷èñëåíèè

ïðèìåíÿëè ê

ïåðâûì òå æå

ïðèåìû,

êîòîðûå

ñïðàâåäëèâû

ïðè

äåéñòâèÿõ

ñî âòîðûìè.

Âìåñòå ñ òåì

âûÿñíèëîñü,

÷òî òàêèì

îáðàçîì

òðàêòóåìûì

áåñêîíå÷íî

ìàëûì

ïðèñóùå

ñâîéñòâî,

ïðîòèâîðå÷àùåå

îäíîìó

îñíîâíîìó

ñâîéñòâó

îñíîâíûõ

êîíå÷íûõ

âåëè÷èí:

åñëè À

êîíå÷íàÿ

âåëè÷èíà, à a

— áåñêîíå÷íî

ìàëàÿ, òî,

÷òîáû

ðåçóëüòàò

èñ÷èñ­ëåíèÿ

ïîëó÷àëñÿ

ñîâåðøåííî

òî÷íûì,

îêàçàëîñü

íåîáõîäèìûì

ïðîâîäèòü

âû÷èñëåíèÿ

â

ïðåäïîëîæåíèè,

÷òî À+a=À.

Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, çíà÷åíèå êîòîðîãî äëÿ ðàçâèòèÿ íàóêè è òåõíèêè áûëî âíå ñîìíåíèé, îêàçàëîñü â ïàðàäîêñàëüíîì ïîëîæåíèè: ÷òîáû åãî ìåòîäàìè ïîëó÷èòü òî÷íûé ðåçóëüòàò, íàäî áûëî èñõîäèòü èç îøèáî÷íîãî óòâåðæäåíèÿ.

Íüþòîí ïûòàëñÿ îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà çàêîíàõ ìåõàíèêè è ïîíÿòèè ïðåäåëà. Íî åìó íå óäàëîñü îñâîáîäèòü ñâîå èñ÷èñëåíèå ôëþêñèé îò íåäîñòàòêîâ, ïðèñóùèõ äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ Ëåéáíèöà.  ïðàêòèêå âû÷èñëåíèÿ Íüþòîí, êàê è Ëåéáíèö, ïðèìåíÿë ïðèíöèï îòáðàñûâàíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëûõ.

Ê. Ìàðêñ íàçûâàë äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå Ëåéáíèöà–Íüþòîíà ìèñòè÷åñêèì. Ýòèì îí õîòåë â ïåðâóþ î÷åðåäü ïîä÷åðêíóòü, ÷òî Ëåéáíèö è Íüþòîí ââîäèëè â äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûå ìåòàôèçè÷åñêè, ñðàçó ïîëàãàÿ èõ ñóùåñòâóþùèìè, áåç âûÿñíåíèÿ èõ âîçíèêíîâåíèÿ è ðàçâèòèÿ è áåç àíàëèçà ïðèðîäû èõ ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâ.

Ïàðàäîêñû âîçíèêëè è â òåîðèè ðÿäîâ. Íàïðèìåð, â XVIII âåêå ïîëàãàëè, ÷òî “ñóììà ðÿäà”

: Три кризиса в развитии математики

ðàâíà 0, òàê êàê

: Три кризиса в развитии математики

à

: Три кризиса в развитии математики .

Ìíîãî ñïîðîâ âûçâàë âîïðîñ î “ñóììå” ðÿäà

1–1+1–1.

ïîñêîëüêó, êàê ãîâîðèëè, “ñ îäíîé ñòîðîíû,

(1–1)+(1–1).=0,

à ñ äðóãîé —

1–(1–1)-(1–1).=1”.

Ïîïûòêè ïîñòðîèòü àíàëèç áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè è èñòèíàìè “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ñ ñàìîãî íà÷àëà ê óñïåøíûì ðåçóëüòàòàì íå ïðèâåëè. Ïîýòîìó Ëåéáíèö è åãî ïîñëåäîâàòåëè ïûòàëèñü îïðàâäàòü ïðèíöèïû àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ òàêæå ïóòåì ñðàâíåíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ñ ïåñ÷èíêîé, êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðè âû÷èñëåíèè âûñîòû ãîðû, ïîñðåäñòâîì ññûëîê íà âåðîÿòíîñòü è ò. ï.

 XVII–XVIII âåêàõ

ïîëó÷èë

ðàçâèòèå è

äðóãîé

ïîäõîä ê

“ñîãëàñîâàíèþ”

íîâûõ èñòèí

ìàòåìàòèêè

ñ “âå÷íûìè”

èñòèíàìè

“íèçøåé”

ìàòåìàòèêè.

Êîãäà

ïîíÿòèÿ

ìàòåìàòè÷åñêîé

òåîðèè ðåçêî

îòëè÷àëèñü

îò

ðàññìàòðèâàåìûõ

â “íèçøåé”

ìàòåìàòèêå,

îíè

îáúÿâëÿëèñü

“âîîáðàæàåìûìè”

è

ðàññìàòðèâàëèñü

êàê

âñïîìîãàòåëüíûå

ôóíêöèè,

íåîáõîäèìûå

äëÿ

èçó÷åíèÿ

ñâîéñòâ

îáû÷íûõ

êîíå÷íûõ

âåëè÷èí.

Êðóïíåéøèå

ìàòåìàòèêè

XVIII âåêà

íåîäíîêðàòíî

ïûòàëèñü

äîêàçàòü,

÷òî ïîíÿòèå

êîìïëåêñíîãî

÷èñëà íå

äîïóñêàåò

íèêàêîãî

ðåàëüíîãî

èñòîëêîâàíèÿ.

Òàêèå æå

ïîïûòêè

ïðèíèìàëèñü

è â

îòíîøåíèè

ïîíÿòèÿ

áåñêîíå÷íî

ìàëîé

âåëè÷èíû. Íî

è íà ýòîì

ïóòè

óñòàíîâèòü

åäèíñòâî

ìíåíèé íå

óäàëîñü. Â

ýòî âðåìÿ,

êàæäàÿ

çàäà÷à,

îòíîñÿùàÿñÿ

ê âåëè÷èíàì,

èçó÷àåìûì â

ìåõàíèêå,

àñòðîíîìèè,

òåõíèêå è ò.

ï., åñëè è

äîïóñêàëî

ðåøåíèå, òî

îáû÷íî

ïîñëåäíåå

âûðàæàëîñü

ïðè ïîìîùè

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë

(äåéñòâèòåëüíûõ

êîðíåé);

êîìïëåêñíûå

÷èñëà

(êîìïëåêñíûå

êîðíè)

óêàçûâàëè

íà

íåâîçìîæíîñòü

å¸ ðåøåíèÿ. Â

êîíöå XVII è â XVIII

âåêå òîëüêî

íåñêîëüêî

ìàòåìàòèêîâ

— Âàëëèñ, Êþí, â

êîíöå æèçíè

Ýéëåð —

ñ÷èòàëè

ïîíÿòèå

êîìïëåêñíîãî

÷èñëà

äîïóñêàþùèì

ðåàëüíîå

èñòîëêîâàíèå.

 êîíöå XVIII âåêà

Âåññåëü

ðàçðàáîòàë

ïîëíîå

ãåîìåòðè÷åñêîå

èñòîëêîâàíèå

àðèôìåòèêè

êîìïëåêñíûõ

÷èñåë. Ïî

îñíîâíûì

ñâîéñòâîì,

âàæíûì äëÿ

àëãîðèòìîâ

àëãåáðû è

àíàëèçà,

êîìïëåêñíûå

÷èñëà íå

îòëè÷àþòñÿ

îò ÷èñåë

äåéñòâèòåëüíûõ.

Ïðåäñòàâëÿëàñü

âîçìîæíîñòü

îáúÿâèòü

êîìïëåêñíûå

÷èñëà

“âîîáðàæàåìûìè”

è, îáîéäÿ

âîïðîñû

îáîñíîâàíèÿ

èõ

àðèôìåòèêè,

îñòàâèòü èõ

â

ìàòåìàòèêå

â êà÷åñòâå

“ïîëåçíûõ

âñïîìîãàòåëüíûõ

ôóíêöèé”.

Íàïðîòèâ,

òðàêòîâêà

áåñêîíå÷íî

ìàëûõ êàê

“ïîëåçíûõ

ôóíêöèé”

øèðîêîãî

ðàñïðîñòðàíåíèÿ

íå ïîëó÷èëà:

ìàòåìàòèêè

çíàëè

ìåõàíè÷åñêîå

è

ãåîìåòðè÷åñêîå

èñòîëêîâàíèå

dx è dy.

2. Разработка способов обоснования

математики в последней четверти XVIII

и первой половине XIX века

Ïðèìåðíî ñ ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà îáëàñòü ïðèëîæåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íà÷èíàåò çíà÷èòåëüíî ïåðåêðûâàòü ãðàíèöû åãî îáû÷íîãî ïðèëîæåíèÿ â ìåõàíèêå è ãåîìåòðèè. Åù¸ áûñòðåå ðàçâåðòûâàåòñÿ ýòîò ïðîöåññ â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà.

Ìàòåìàòèêè

ïûòàëèñü

ñíà÷àëà

ðåøàòü íîâûå

çàäà÷è

ìåòîäàìè,

ðàçðàáîòàííûìè

êëàññèêàìè

XVIII âåêà —

Ýéëåðîì,

Äàëàìáåðîì,

Ëàãðàíæåì è

äðóãèìè.

Îäíàêî,

âñêîðå

âûÿñíèëîñü,

÷òî ìåòîäû

êëàññèêîâ

íåäîñòàòî÷íû,

÷òî íàäî

ðàçâèâàòü

íîâûå, áîëåå

îáùèå è

ñèëüíûå

ìåòîäû.

Âûÿñíèëîñü

òàêæå, ÷òî

íåäîñòàòî÷íîñòü

ìåòîäîâ

êëàññèêîâ

íåðåäêî

ñâÿçàíà ñ

óçîñòüþ

òðàêòîâêè

îñíîâíûõ

ïîíÿòèé, ñ

“èçãîíÿåìûì”

ïîíÿòèåì î

áåñêîíå÷íî

ìàëîì, ñ

“èñêëþ÷åíèÿìè”,

êîòîðûå

ðàíüøå

îñòàâàëèñü

â òåíè.

Ïîÿñíèì ñêàçàííîå îäíèì ïðèìåðîì.

Íüþòîí è Ëåéáíèö ðàçðàáîòàëè äâå òðàêòîâêè ïîíÿòèÿ îáû÷íîãî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

Íüþòîí òðàêòîâàë îïðåäåëåííûé èíòåãðàë êàê ðàçíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè:

: Три кризиса в развитии математики ,

ãäå F`(x)=f(x).

Äëÿ Ëåéáíèöà îïðåäåëåííûé èíòåãðàë áûë ñóììîé âñåõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ äèôôåðåíöèàëîâ.

: Три кризиса в развитии математики .

Ïåðâàÿ òðàêòîâêà îòâå÷àëà òåõíèêå âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ïðè ïîìîùè ïåðâîîáðàçíîé ïåðâîîáðàçíîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, âòîðàÿ — ïîòîìó, ÷òî â ïðèëîæåíèÿõ îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ïîÿâëÿëñÿ êàê ïðåäåë èçâåñòíîãî âèäà ñóììû (èíòåãðàëüíîé ñóììû).

Ïðèìåðíî äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà ïåðâàÿ òðàêòîâêà ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà çàíèìàëà ãîñïîäñòâóþùåå ïîëîæåíèå. Ýòîìó ñïîñîáñòâîâàëè äâà îáñòîÿòåëüñòâà.

1. Ê íà÷àëó XVIII âåêà áûëè óñòàíîâëåíû ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è íà÷àëàñü óñïåøíàÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ èõ ïåðâîîáðàçíûõ (ðàöèîíàëüíûõ, îòäåëüíûõ êëàññîâ èððàöèîíàëüíûõ è òðàíñöåíäåíòíûõ ôóíêöèé). Áëàãîäàðÿ ýòîìó òî÷êà çðåíèÿ íüþòîíà âïîëíå îòâå÷àëà ðàçâèòèþ ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.

2. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå : Три кризиса в развитии математики êàê ïðåäåëà èíòåãðàëüíîé ñóììû ñòîëêíóëîñü ñ ìíîãèìè òðóäíîñòÿìè. Åñòåñòâåííî, ÷òî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî óêðåïëåíèþ òî÷êè çðåíèÿ Ëåéáíèöà íå ñïîñîáñòâîâàëî.

Ëåéáíèöåâî

èñòîëêîâàíèå

îáû÷íîãî

îïðåäåëåííîãî

èíòåãðàëà

ñóùåñòâåííî

îïèðàëîñü íà

ïîíÿòèå î

áåñêîíå÷íî

ìàëûõ, îò

êîòîðîãî

ìàòåìàòèêè

XVIII âåêà

õîòåëè

îñâîáîäèòü

ìàòåìàòè÷åñêèé

àíàëèç. Ýòî

òàêæå

ñïîñîáñòâîâàëî

óêðåïëåíèþ

òî÷êè

çðåíèÿ

Íüþòîíà.

Ôàêò ýòîò

õîðîøî

ïîäòâåðæäàëñÿ

òåì, êàê

Ýéëåð

èñïîëüçîâàë

ïîíÿòèå îá

èíòåãðàëüíîé

ñóììå. Ýéëåð

íå âîçðàæàë

ïðîòèâ

ïðèáëèæåííîãî

âû÷èñëåíèÿ

îïðåäåëåííûõ

èíòåãðàëîâ

ïðè ïîìîùè

ñîîòâåòñòâóþùèõ

èíòåãðàëüíûõ

ñóìì. Íî

ðàññìàòðèâàòü

îïðåäåëåííûé

èíòåãðàë

êàê ïðåäåë

èíòåãðàëüíîé

ñóììû îí íå

ìîã. Â ýòîì

ñëó÷àå âñå

ñëàãàåìûå

èíòåãðàëüíîé

ñóììû

ñòàíîâèëèñü

áåñêîíå÷íî

ìàëûìè, ò. å., ñ

òî÷êè

çðåíèÿ

Ýéëåðà, áûëè

íóëÿìè.

Êîíå÷íî, è äî

ïîñëåäíåé

÷åòâåðòè XVIII

âåêà

êîíöåïöèÿ

Íüþòîíà

ñòàëêèâàëàñü

ñ

òðóäíîñòÿìè.

 ýòîò ïåðèîä

âñòðå÷àëèñü

ýëåìåíòàðíûå

ôóíêöèè,

ïåðâîîáðàçíûå

êîòîðûõ íå

ìîãóò áûòü

âûðàæåíû

÷åðåç

ýëåìåíòàðíûå

ôóíêöèè.

Çíàëè

ìàòåìàòèêè

è íåêîòîðûå

íåñîáñòâåííûå

èíòåãðàëû, â

òîì ÷èñëå è

ðàñõîäÿùèåñÿ.

Íî òàêîãî

ðîäà ôàêòû

áûëè

åäèíè÷íûìè

è

óñòàíîâèâøåéñÿ

ýôôåêòèâíîé

êîíöåïöèè

èíòåãðàëà

íàðóøèòü íå

ìîãëè. Èíûì

îêàçàëîñü

ïîëîæåíèå â

ïîñëåäíåé

÷åòâåðòè XVIII è

îñîáåííî â

íà÷àëå XIX

âåêà.

Ñ 70-õ ãîäîâ XVIII âåêà ðåøåíèå çàäà÷ àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè, ôèçèêè è äðóãèõ äèñöèïëèí ïîòðåáîâàëî çíà÷èòåëüíîå ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Îñîáîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàþò äâîéíûå è òðîéíûå èíòåãðàëû (Ýéëåð, Ëàãðàíæ, Ëàïëàñ è äð.).

Ðàçðàáîòêà ïðèåìîâ âû÷èñëåíèÿ äâîéíûõ è òðîéíûõ èíòåãðàëîâ ïîêàçàëà, ÷òî âû÷èñëÿòü ýòè èíòåãðàëû òàê, êàê âû÷èñëÿëè îáû÷íûé îïðåäåëåííûé èíòåãðàë — ïðè ïîìîùè íåîïðåäåëåííîãî, î÷åíü òðóäíî èëè äàæå íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ìàòåìàòèêè âûíóæäåíû áûëè ñîõðàíÿòü êîíöåïöèþ Íüþòîíà òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òî÷íûõ íàóê, ñòàëè íà ïóòü Ëåéáíèöà. Îíè âû÷èñëÿëè ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëüíûå ñóììû (â ïðÿìîóãîëüíûõ, öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ) è íàõîäèëè èõ ïðåäåëû.

Êîðî÷å

ãîâîðÿ,

ðàçðàáîòêà

ñïîñîáîâ

âû÷èñëåíèÿ

íîâûõ âèäîâ

îïðåäåëåííîãî

èíòåãðàëà

ïîêàçàëà,

÷òî

îáûêíîâåííûé,

äâîéíîé è ò. ä.

îïðåäåëåííûé

èíòåãðàëû

äîëæíû áûòü

îáîñíîâàíû

ñàìè ïî ñåáå

íåçàâèñèìî

îò ïîíÿòèÿ

íåîïðåäåëåííîãî

èíòåãðàëà.

Íî êàæäîå

ñëàãàåìîå

ëþáîé

èíòåãðàëüíîé

ñóììû

ÿâëÿåòñÿ

áåñêîíå÷íî

ìàëîé

âåëè÷èíîé.

Òåì ñàìûì íå

òîëüêî

ñòàâèëñÿ

âîïðîñ î

ëåãàëèçàöèè

ðàíåå

“èçãîíÿåìîãî”

ïîíÿòèÿ

áåñêîíå÷íî

ìàëîãî, íî è î

ðàñêðûòèè

åãî

ðåàëüíîãî

ñîäåðæàíèÿ è

î

ñîîòâåòñòâóþùåì

åãî

èñïîëüçîâàíèè.

Êàê óæå

óêàçûâàëîñü,

÷òîáû âñ¸

ýòî ñäåëàòü

íàäî áûëî

ïðåîäîëåòü —

îáîáùèòü,

ðàçâèòü

òðàäèöèîííîå

(ýéëåðîâî)

òîëêîâàíèå

ôóíêöèè è

ïîíÿòèÿ

ïðåäåëà.

Èçó÷åíèå

ôóíêöèé

ïîêàçàëî,

÷òî ôîðìóëà,

ïðåäñòàâëÿþùàÿ

ôóíêöèþ, è

ôóíêöèÿ, åþ

ïðåäñòàâëÿåìàÿ

— ýòî íå îäíî è

òî æå.

Ôîðìóëà

ÿâëÿåòñÿ

îðóäèåì

îäíîãî èç

ñïîñîáîâ

(àíàëèòè÷åñêîãî)

ïðåäñòàâëåíèÿ

ôóíêöèè.

Íàïðèìåð,

ôóíêöèÿ f(x)=|x|

ìîæåò áûòü

çàäàíà íà

ïðîìåæóòêå (–p; +p)

äâóìÿ

ôîðìóëàìè:

ó=õ, ó=–õ;

âìåñòå ñ òåì

îíà ìîæåò

áûòü çàäàíà

è îäíèì

àíàëèòè÷åñêèì

âûðàæåíèåì,

à èìåííî —

ñõîäÿùèìñÿ

ê íåé

òðèãîíîìåòðè÷åñêèì

ðÿäîì.

 ïîëüçó ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ãîâîðèëè è èíûå ñîîáðàæåíèÿ. “Íîâåéøèå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè,— Ïèñàë Ðèìàí,— ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ (òðèãîíîìåòðè÷åñ­êèå ðÿäû), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî â çàäàííîì ïðîìåæóòêå ïðåäñòàâèòü ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, áóäåò ëè çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû w îò âåëè÷èíû z çàäàíà ïðîèçâîëüíî èëè ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëû.”

Ïî-íîâîìó áûë ïîñòàâëåí âîïðîñ î íåïðåðûâíîñòè è òî÷êàõ ðàçðûâà ôóíêöèè. Ýéëåðîâî ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè áûëî îñòàâëåíî, êàê íå îòâå÷àþùåå îáùåìó ïîíÿòèþ ôóíêöèè. Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, à âñëåä çà íèìè è äðóãèå ìàòåìàòèêè âûäâèãàþò íà ïåðâîå ìåñòî îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè “íà ÿçûêå e è d”.

“Ñîãëàñíî

ïðàâèëüíîìó

îáúÿñíåíèþ,—

óêàçûâàë

Áîëüöàíî,—

ïîíèìàþò

ïîä

âûðàæåíèåì,

÷òî ôóíêöèÿ

f(x)

èçìåíÿåòñÿ

ïî çàêîíó

íåïðåðûâíîñòè

äëÿ âñåõ

çíà÷åíèé õ

, êîòîðûå

ëåæàò

âíóòðè èëè

âíå

èçâåñòíûõ

ãðàíèö; ëèøü

òî, ÷òî, åñëè

õ

êàêîå-íèáóäü

èç ýòèõ

çíà÷åíèé,

òîãäà

ðàçíîñòü f(x+w)–f(x)

ìîæåò áûòü

ñäåëàíà

ìåíüøå, ÷åì

ëþáàÿ

çàäàííàÿ

âåëè÷èíà,

åñëè ìîæíî

ïðèíÿòü w

ñòîëü ìàëûì,

ñêîëüêî ìû

õîòèì”.

Êîøè ïèñàë: f(x) íåïðåðûâíà äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ õ, êîãäà “áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ïåðåìåííîé ïðîèçâîäèò áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðèðàùåíèÿ ñàìîé ôóíêöèè”.

Ñíà÷àëà òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè îïðåäåëÿëèñü ÷èñòî îòðèöàòåëüíî. Êîøè ïèñàë: “Êîãäà f(x) ïåðåñòàåò áûòü íåïðåðûâíî â ñîïðåäåëüíîñòè ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà äåëàåòñÿ ïðåðûâíîþ è ÷òî äëÿ ýòîãî ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïðîèñõîäèò ðàçðûâ íåïðåðûâíîñòè”.

Âî âòîðîé

÷åòâåðòè XIX

âåêà òî÷êè

ðàçðûâà

ôóíêöèè f(x)

èçó÷àëè

Ïóàññîí,

Ëèáðè è äð. Â

ñâîèõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

ìåìóàðàõ

Ëèáðè ïèñàë,

÷òî âïåðâûå

ðàçðûâíûå

ôóíêöèè

ñäåëàëèñü

ïðåäìåòîì

èññëåäîâàíèé

â ðàáîòàõ

Äàíèèëà

Áåðíóëëè,

Ýéëåðà è

Äàëàìáåðà.

Îäíàêî,

ïîä÷åðêíóë

îí, òîëüêî

èññëåäîâàíèÿ

Ôóðüå,

Ïóàññîíà è

äðóãèõ

ìàòåìàòèêîâ

î ðàçðûâíûõ

ôóíêöèÿõ

ðàññåÿëè âñå

ñîìíåíèÿ,

êîòîðûå âñå

åù¸

ñâÿçûâàëèñü

ñ ïðèðîäîé

ýòèõ

ôóíêöèé.

Òî÷íîå

ðàçëè÷èå

ìåæäó

òî÷êàìè

ðàçðûâà

ïåðâîãî è

âòîðîãî ðÿäà

è,

ñîîòâåòñòâåííî

ýòîìó, èõ

ïðÿìûå

îïðåäåëåíèÿ

âîøëè â

ïðàêòèêó

ìàòåìàòè÷åñêèõ

èññëåäîâàíèé

âî âòîðîé

ïîëîâèíå XIX

âåêà.

Íàêîíåö, â ñâÿçè ñî âñåì ýòèì âûÿñíèëîñü, ÷òî íå êàæäàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âìåñòå ñ òåì è äèôôåðåíöèðóåìîé. Ïåðâûé ïðèìåð íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íå èìåþùåé ïðîèçâîäíîé â êàæäîé òî÷êå, äàë Áîëüöàíî, îäíàêî åãî ïðèìåð â ñâîå âðåìÿ îñòàëñÿ ìàòåìàòèêàì íåèçâåñòíûì.

Âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà ïðèìåð òàêîãî ðîäà ôóíêöèè ïîñòðîèë Áåéåðøòðàññ. Ëîáà÷åâñêèé äàë òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè è ïîä÷åðêíóë ðàçëè÷èÿ ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè.

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà êëàññè÷åñêèé àíàëèç ñòàíîâèòñÿ íàóêîé î âñåõ âîçìîæíûõ âèäàõ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî â èõ îáùåì âèäå. Êîðåííîìó èçìåíåíèþ ïîäâåðãñÿ íå òîëüêî îáúåêò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà; ïðîèçîøëî êîðåííîå èçìåíåíèå è â ìåòîäàõ èçó÷åíèÿ ôóíêöèé.

Êàê óæå

óêàçûâàëîñü,

ðàçâèòèå

ïîíÿòèÿ

èíòåãðàëà è

ðàçðàáîòêà

òåõíèêè åãî

âû÷èñëåíèÿ

ïîêàçàëè,

÷òî

îïðåäåëåííûé

èíòåãðàë

(äâîéíîé,

òðîéíîé

èíòåãðàëû ïî

ïîâåðõíîñòè,

íåñîáñòâåííûå

èíòåãðàëû)

íåîáõîäèìî

îáîñíîâûâàòü

ñàìîñòîÿòåëüíî,

íåçàâèñèìî

îò ïîíÿòèÿ

íåîïðåäåëåííîãî

èíòåãðàëà. Â

ñâÿçè ñ ýòèì

âîçíèê

âîïðîñ î

ñóùåñòâîâàíèè

ïðåäåëîâ

èíòåãðàëüíûõ

ñóìì,

ñëàãàåìûå

êîòîðûõ áûëè

áû

áåñêîíå÷íî

ìàëûìè. Â

ïåðâîé

÷åòâåðòè XIX

âåêà

ïîíÿòèå

áåñêîíå÷íî

ìàëîé

îêàçàëîñü

íåîáõîäèìûì

è äëÿ

èçó÷åíèÿ è

ñîïîñòàâëåíèÿ

ñâîéñòâ

íåïðåðûâíûõ

è ðàçðûâíûõ

ôóíêöèé.

“Ìåæäó

ìíîãèìè

ïîíÿòèÿìè,—

óêàçûâàë

Êîøè,— òåñíî

ñâÿçàííûìè

ñî

ñâîéñòâàìè

áåñêîíå÷íî

ìàëûõ,

ñëåäóåò

ïîìåñòèòü

ïîíÿòèå î

íåïðåðûâíîñòè

è

ïðåðûâíîñòè

ôóíêöèé”. Òóò

æå Êîøè äàåò

èñòîëêîâàíèå

íåïðåðûâíîñòè

ôóíêöèè,

êîòîðîå

áîëåå ÷åì

ÿñíî

ïîäòâåðæäàåò

ÿñíîñòü

ýòîãî åãî

óòâåðæäåíèÿ.

Íîâàÿ

ïîñòàíîâêà

çàäà÷

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà

ÿñíî

ïîêàçûâàëà,

÷òî äåëî íå

òîëüêî â

ïðèçíàíèè è

ïðèìåíåíèè

áåñêîíå÷íî

ìàëûõ — ýòî

äåëàëè è

ðàíüøå!— íî

ïðåæäå âñåãî

â íàó÷íîì

èñòîëêîâàíèè

èõ

ñîäåðæàíèÿ è

îáîñíîâàííîì

íà ýòîì

èñïîëüçîâàíèè

èõ â

àëãîðèòìàõ

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà.

Îäíàêî,

÷òîáû ýòî

ñäåëàòü íàäî

áûëî

ïðåîäîëåòü

ãîñïîäñòâîâàâøåå

â XVIII âåêå

óçêîå

òîëêîâàíèå

ïîíÿòèÿ

ïðåäåëà,

ðàçðàáîòàòü

îáùóþ

òåîðèþ

ïðåäåëîâ.

Ïîëó÷åíèå

îñíîâîïîëàãàþùèõ

ðåçóëüòàòîâ

ñâÿçàíî

çäåñü ñ

èìåíåì Êîøè.

Èçó÷åíèå

ðàçðûâíûõ

ôóíêöèé è

ñîïîñòàâëåíèå

èõ ñ

ôóíêöèÿìè

íåïðåðûâíûìè

çàñòàâèëî

ïðèçíàòü òî,

÷òî ðàíåå

ñ÷èòàëîñü

íåâîçìîæíûì:

÷òî ïðåäåë, ê

êîòîðîìó

ñòðåìèòüñÿ

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

çíà÷åíèé

ôóíêöèè, ïðè

ñòðåìëåíèè

àðãóìåíòà â

íåêîòîðîé

òî÷êå ìîæåò

îêàçàòüñÿ

îòëè÷íûì îò

çíà÷åíèÿ

ôóíêöèè â

ýòîé òî÷êå.

Çíà÷èò,

ïðåäåë íå

âñåãäà

ÿâëÿåòñÿ

“ïîñëåäíèì”

çíà÷åíèåì

ïåðåìåííîé,

íî âî âñåõ

ñëó÷àÿõ

ïðåäåë åñòü

÷èñëî, ê

êîòîðîìó

ïåðåìåííàÿ

ïðèáëèæàåòñÿ

íåîãðàíè÷åííî.

Ñëåäîâàòåëüíî,

dx è dy íå

íåîáõîäèìî

íóëè èëè

ìèñòè÷åñêè

àêòóàëüíî

áåñêîíå÷íî

ìàëûå;

áåñêîíå÷íî

ìàëàÿ — ýòî

ïåðåìåííàÿ,

èìåþùàÿ

ïðåäåëîì

íóëü, ïðè÷åì

ôàêò ýòîò ñ

ïðîòèâîðå÷èÿìè

è

ïàðàäîêñàìè

íå ñâÿçàí.

Êîøè ïðåîäîëåë è âòîðóþ îãðàíè÷èòåëüíóþ òåíäåíöèþ â ïðèíÿòîé äî íåãî òðàêòîâêå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà. Îí ïðèçíàë, ÷òî ïåðåìåííàÿ ìîæåò ïðèáëèæàòüñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëó íå òîëüêî ìîíîòîííî, íî è êîëåáëÿñü, ïîðîé ïðèíèìàÿ çíà÷åíèÿ, ðàâíûå å¸ ïðåäåëó.

Êàê ñïðàâåäëèâî îòìåòèë Í. Í. Ëóçèí, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèäàëî òåîðèè Êîøè íåîáõîäèìóþ îáùíîñòü è èñêëþ÷èòåëüíóþ ãèáêîñòü.

×òî ïîçâîëèëî Êîøè ñäåëàòü ýòî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé øàã? Îòâåò, êîíå÷íî, íàäî èñêàòü ïðåæäå âñåãî â ñâîåîáðàçèè òåõ ïðåäåëüíûõ ïðîöåññîâ, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèëîñü âñòðå÷àòüñÿ â êîíöå XVIII è íà÷àëå XIX âåêà â òî÷íûõ íàóêàõ, îñîáåííî â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ê ÷èñëó òàêèõ ïðîöåññîâ íàäî â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíåñòè îòûñêàíèå ïðåäåëîâ ðàçëè÷íîãî âèäà èíòåãðàëüíûõ ñóìì è íàõîæäåíèå ñóìì ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, îñîáåííî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ.

Âûïîëíåííûå Êîøè îáîáùåíèÿ òåîðèè ïðåäåëîâ Íüþòîíà-Äàëàìáåðà ïîçâîëèëè åìó äàòü ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå è ïîäâåñòè ïîä àëãîðèòì Ëåéáíèöà-Íüþòîíà äîñòàòî÷íûé íàó÷íûé ôóíäàìåíò. Áëàãîäàðÿ ýòîìó Êîøè ñìîã ïîäâåñòè íàó÷íûé ôóíäàìåíò ïîä ó÷åíèå î íåïðåðûâíîñòè è ðàçðûâàõ ôóíêöèé, îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå è, ÷òî îñîáåííî âàæíî, ðàçâèòü íà÷àëà íàó÷íîé êîíöåïöèè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

 ïðîöåññå òàêèõ èññëåäîâàíèé Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, Äèðèõëå, à âñëåä çà íèìè äðóãèå ïåðåäîâûå ìàòåìàòèêè ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïî-íîâîìó ïîäîøëè ê èñòîëêîâàíèþ ñòðîãîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ, â ïåðâóþ î÷åðåäü äîêàçàòåëüñòâ óòâåðæäåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.

Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ (êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïåðåìåííîé) îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî íåîáõîäèìûìè è äëÿ îáîáùåííîé òåîðèè ïðåäåëîâ.

Åñëè

ïåðåìåííàÿ

èçìåíÿåòñÿ

íåïðåðûâíî è

ìîíîòîííî,

òî

ïðèíèìàåìîå

åþ

ìíîæåñòâî

çíà÷åíèé

åñòü

èíòåðâàë, à

ïðåäåë — åãî

ïðàâàÿ èëè

ëåâàÿ òî÷êà.

Êàê ãîâîðèë

Í. Í. Ëóçèí, â

ýòîì ñëó÷àå

ïðåäåë

ÿâëÿåòñÿ

“îïòè÷åñêèì”:

îí âèäåí

ãëàçîì. Åñëè

æå ñíÿòü ýòè

îãðàíè÷åíèÿ,

äîïóñòèòü

ïðåðûâíîå è,

ãëàâíîå,

êîëåáëþùååñÿ

ïðèáëèæåíèå

ïåðåìåííîé ê

å¸ ïðåäåëó, òî,

âîîáùå

ãîâîðÿ, ïðåäåë

òåðÿåòñÿ; îí

“ãëóáîêî

ñïðÿòàí

ñðåäè

çíà÷åíèé,

ïðèíèìàåìûõ

ïåðåìåííîé”.

 ñâÿçè ñ

ýòèì

âîçíèêàåò

âîïðîñ: ïðè

âûïîëíåíèè

êàêèõ

óñëîâèé

ïåðåìåííàÿ

èìååò ïðåäåë?

Èçâåñòíî,

÷òî è ýòîò

âîïðîñ

ïîëíîñòüþ

ðåøèë Êîøè.

Îí äîêàçàë,

÷òî

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

õ1, õ2, ., õ

ï, . èìååò

ïðåäåë òîãäà

è òîëüêî

òîãäà, êîãäà

äëÿ âñÿêîãî

ïîëîæèòåëüíîãî

e, êàê óãîäíî

ìàëîãî,

ìîæíî íàéòè

òàêîå

íàòóðàëüíîå

÷èñëî ï, ÷òî

äëÿ ëþáîãî

íàòóðàëüíîãî

÷èñëà ò

|xn+m–xn|<e.

Ýòà òåîðåìà â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü.

Êîãäà ñòàëè

ðàçðàáàòûâàòü

íîâóþ

òåîðèþ

ïðåäåëîâ,

ïîíÿòèå ðÿäà,

ðàíåå íå

ðàñ÷ëåíÿåìîå

íà ðÿäû

ñõîäÿùèåñÿ

è

íåñõîäÿùèåñÿ,

ïîëó÷èëî ïî

ýòèì

ïðèçíàêàì

îñíîâíîå

ïîäðàçäåëåíèå.

Áëàãîäàðÿ

ýòîìó

óäàëîñü

óñòàíîâèòü

òî÷íîå

ïîíÿòèå

ñóììû ðÿäà è

íàïðàâèòü ïî

ïðàâèëüíîìó

ïóòè

ðàçðàáîòêó

òåîðèè

÷èñëîâûõ è

ñòåïåííûõ

ðÿäîâ. Â

äàëüíåéøåì,

â ñâÿçè ñ

ðàçðàáîòêîé

ïðîáëåì

òåîðèè

òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ

ðÿäîâ, áûëî

óñòàíîâëåíî,

÷òî

ñõîäÿùèåñÿ

÷èñëîâûå

ðÿäû

ðàñïàäàþòñÿ

íà äâà âèäà —

àáñîëþòíî è

óñëîâíî

ñõîäÿùèåñÿ

ðÿäû (Äèðèõëå,

Ðèìàí). Ïî

îñíîâíûì

ñâîéñòâàì

àáñîëþòíî

ñõîäÿùèåñÿ

ðÿäû ñõîäíû ñ

êîíå÷íûìè

ñóììàìè; èõ

ìîæíî

ïåðåìíîæàòü

è

ïåðåñòàâëÿòü

â íèõ ÷ëåíû.

Óñëîâíî

ñõîäÿùèåñÿ

ðÿäû

ñóùåñòâåííî

îòëè÷àþòñÿ

îò íèõ; Ðèìàí

äîêàçàë, ÷òî

â ëþáîì,

óñëîâíî

ñõîäÿùåìñÿ

ðÿäå ìîæíî

òàê

ïåðåñòàâèòü

åãî ÷ëåíû,

÷òî âíîâü

ïîëó÷åííûé

ðÿä áóäåò

èìåòü

ñóììîé

íàïåðåä

çàäàííîå

÷èñëî; ìîæíî

òàêæå

äîáèòüñÿ

òîãî, ÷òîáû

íîâûé ðÿä

îêàçàëñÿ

ðàñõîäÿùèìñÿ.

Ñëåäîâàòåëüíî,

àëãîðèòìû,

îñíîâàííûå

íà ñâîéñòâå

êîíå÷íûõ

ñóìì, ìîæíî

îòíîñèòü

òîëüêî ê

àáñîëþòíî

ñõîäÿùèìñÿ

ðÿäàì. Ê

ïåðâîé

÷åòâåðòè XIX

âåêà

îòíîñèòñÿ

îòêðûòèå

Êîøè

ôóíêöèè : Три кризиса в развитии математики

, äëÿ êîòîðîé

ìîæíî

ñîñòàâèòü

ðÿä

Ìàêëîðåíà,

ñõîäÿùèéñÿ

ïðè âñÿêîì õ

, íî êîòîðûé

ñõîäèòñÿ

âñþäó ê íóëþ,

à íå ê ýòîé

ôóíêöèè.

Òåì ñàìûì áûëà äîêàçàíà îøèáî÷íîñòü èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ Ëàãðàíæà, ñäåëàííîãî èì ïðè ïîïûòêå îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà áàçå òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Îñîáóþ ðîëü ñûãðàëè èññëåäîâàíèÿ ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäàì (Äèðèõëå, Ðèìàí, Ëîáà÷åâñêèé è äð.). Áëàãîäàðÿ èì íà÷àëà ñîçäàâàòüñÿ îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, âêëþ÷èâøàÿ òåîðèþ ñòåïåííûõ ðÿäîâ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé.

Òàêîãî ðîäà ôàêòû çàñòàâèëè ìàòåìàòèêîâ îòêàçàòüñÿ îò íåîáîñíîâàííîãî, ÷àñòî ôîðìàëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ñâîéñòâ êîíå÷íûõ ñóìì íà âñå áåñêîíå÷íûå ðÿäû è ïîìîãëè èì ðàçðàáîòàòü íàó÷íûå ïðèíöèïû òåîðèè ðÿäîâ, áàçèðóþùèåñÿ íà òåîðèè ïðåäåëîâ.

Ýòè æå ôàêòû ïîìîãëè ìàòåìàòèêàì ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïîíÿòü, ïî÷åìó ìàòåìàòèêè XVIII âåêà íå ñìîãëè ñäåëàòü â òåîðèè ðÿäîâ òî, ÷òî óäàëîñü ñäåëàòü èì. Òàê, ñîïîñòàâèâ ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, Ðèìàí çàìåòèë:

“Òîëüêî ê

ðÿäàì

ïåðâîãî

êëàññà

ïðèìåíèìû

çàêîíû

êîíå÷íûõ

ñóìì; òîëüêî

ýòè ðÿäû

ìîãóò áûòü â

ïîäëèííîì

ñìûñëå

ðàññìàòðèâàåìû

êàê ñóììà

âñåõ ñâîèõ

÷ëåíîâ; î

ðÿäàõ æå

âòîðîãî

êëàññà òîãî

æå ñêàçàòü

íåëüçÿ,—

îáñòîÿòåëüñòâî,

óïóùåííîå

èç âèäà

ìàòåìàòèêàìè

ïðîøëîãî

ñòîëåòèÿ,

âåðîÿòíî, ïî

òîé ïðè÷èíå,

÷òî ðÿäû,

ðàñïîëîæåííûå

ïî

âîçðàñòàþùèì

ñòåïåíÿì

ïåðåìåííîé,

âîîáùå

ãîâîðÿ (ò. å. äëÿ

âñåõ

çíà÷åíèé

ïåðåìåííîé,

êðîìå

íåêîòîðûõ

îòäåëüíûõ),

ïðèíàäëåæàò

ê ïåðâîìó

êëàññó.”

Îïèñàííûé âûøå ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ñîäåðæàíèÿ è êîðåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè ðÿäîâ â îáùèõ ÷åðòàõ áûë ïðèñóù áîëüøèíñòâó ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà.  ñâÿçè ñ ýòèì ñ ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ñîçäàåòñÿ, à âî âòîðîé ïîëó÷àåò âñåîáùåå ïðèçíàíèå íîâûé èäåàë ñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, ñâîäÿùèéñÿ ê òðåì òðåáîâàíèÿì:

1) íå ñ÷èòàòü íåâîçìîæíûì òî, ÷òî êàæåòñÿ ïàðàäîêñàëüíûì.

Ãàóññ ïèñàë: “Ìû íå ìîæåì ñìåøèâàòü òî, ÷òî íàì êàæåòñÿ íååñòåñòâåííûì, ñ òåì, ÷òî íàì êàæåòñÿ àáñîëþòíî íåâîçìîæíûì”.

2) èçó÷àòü âñå âîçìîæíîñòè, êàêèå ïðåäñòàâëÿåò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî ýòîìó ðàçâèâàòü îáùèå òåîðèè.

 ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ýòîò ïðèíöèï ñòàíîâèòñÿ ðóêîâîäÿùèì íà÷àëîì èññëåäîâàíèé ïî÷òè âñåõ âåäóùèõ ìàòåìàòèêîâ.

3) ïðåæäå ÷åì çàäàâàòüñÿ âîïðîñîì î çàâèñèìîñòè, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé îñòà¸òñÿ íåèçâåñòíûì, ñëåäóåò ïîñòàâèòü âîïðîñ, âîçìîæíà ëè â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêàÿ çàâèñèìîñòü.

(Àáåëü)

Âî âòîðîé

÷åòâåðòè XIX

âåêà

îáû÷íûå

êîìïëåêñíûå

÷èñëà íàøëè

øèðîêîå

ïðèìåíåíèå

â òåîðèè

ôóíêöèé è

äàæå â

òåîðèè

÷èñåë.  òîæå

âðåìÿ

ðàçðàáîòêà

ïðîáëåì ï

-ìåðíîé

ãåîìåòðèè è

ìåòîäîâ

ìàòåìàòè÷åñêîé

ôèçèêè

ïîòðåáîâàëà

äàëüíåéøåãî

îáîáùåíèÿ

ïîíÿòèÿ

÷èñëà,

ïåðåõîäà ê

íîâîãî âèäà

êîìïëåêñíûì

÷èñëàì ñ ï

îñíîâíûìè

åäèíèöàìè.

Êîìïëåêñíûå

è

ãèïåðêîìïëåêñíûå

÷èñëà ñòàëè

ïðåäñòàâèòåëÿìè

èññëåäóåìûõ

ðåàëüíûõ

âåëè÷èí —

âåêòîðîâ â

ïðîñòðàíñòâå

Rn; îòâåò íà

çàäà÷ó,

âûðàæåííûé

êîìïëåêñíûì

èëè

ãèïåðêîìïëåêñíûì

÷èñëîì, èìåë

â ýòîé

îáëàñòè

îáúåêòèâíûé

ñìûñë.

Îáúÿâëÿòü

êîìïëåêñíûå

ãèïåðêîìïëåêñíûå)

÷èñëà

“ëîæíûìè”,

“âîîáðàæàåìûìè”,

“ìíèìûìè”,

êàê ýòî

äåëàëè

ìàòåìàòèêè

XVII–XVIII âåêîâ,

ñòàëî

íåâîçìîæíûì.

Àðèôìåòèêà

êîìïëåêñíûõ

è

ãèïåðêîìïëåêñíûõ

÷èñåë

ïîêàçàëà

äàëåå, ÷òî

ïåðåõîä ê

íîâîé, áîëåå

øèðîêîé

îáëàñòè

÷èñåë

ñâÿçàí,

âî-ïåðâûõ, ñ

íåîáõîäèìîñòüþ

îáîáùàòü

îïðåäåëåíèÿ

äåéñòâèé,

äàííûõ äëÿ

èñõîäíîé

îáëàñòè

÷èñåë è,

âî-âòîðûõ,

ñîïðîâîæäàåòñÿ

ïîòåðåé

íåêîòîðûõ

ñâîéñòâ,

ïðèñóùèõ

÷èñëàì

èñõîäíîé

îáëàñòè

÷èñåë. Ïðè

ïåðåõîäå îò

äåéñòâèòåëüíûõ

ê

êîìïëåêñíûì

÷èñëàì

ïðèøëîñü

îòêàçàòüñÿ

îò

ñâÿçûâàíèÿ

èõ çíàêàìè >,

<. Â

àðèôìåòèêå

êâàòåðíèîíîâ

ñòàëî

íåîáõîäèìûì

äîïîëíèòåëüíî

îòêàçàòüñÿ

è îò çàêîíà

ïåðåìåñòèòåëüíîñòè

óìíîæåíèÿ.

Çàêîíû

ñ÷åòà —

èñòîðè÷åñêè

ñàìûå

ñòîéêèå, à

ïîýòîìó â

ïîíèìàíèè

ìàòåìàòèêîâ

XVII–XVIII âåêîâ

ñîñòàâëÿþùèå

îñíîâó

“íåèçìåííîé

ñóùíîñòè”

ïîíÿòèÿ

÷èñëà

îêàçàëèñü

çàêîíàìè ñ

îãðàíè÷åííîé

îáëàñòüþ

äåéñòâèÿ.

Ìåòàôèçè÷åñêîå ðàçäåëåíèå ÷èñåë íà “ðåàëüíûå” è “âîîáðàæàåìûå”, òðåáîâàíèå ñòðîèòü ó÷åíèå î ÷èñëàõ íà îáû÷íûõ îïðåäåëåíèÿõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé, ÷èñòî ôîðìàëüíîå ïîäâåäåíèå íîâûõ ÷èñåë ïîä âñå çàêîíû ÷èñåë èçâåñòíûõ — âñå ýòî îêàçàëîñü îêîí÷àòåëüíî äèñêðåäèòèðîâàííûì.

Ýòè ôàêòû (ñ

ó÷åòîì

îáùèõ

òåíäåíöèé

ðàçâèòèÿ

ñïîñîáîâ

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòèêè)

ïîêàçàëè,

÷òî äëÿ

îáîñíîâàíèÿ

àðèôìåòèêè

êàêîãî

óãîäíî âèäà

÷èñåë,

îáúåêòèâíîñòü

êîòîðûõ óæå

äîêàçàíà,

äîñòàòî÷íî

ïåðå÷èñëèòü

å¸ îñíîâíûå

ïîíÿòèÿ,

îïðåäåëåíèÿ

è ïîñûëêè,

âûÿñíèòü,

êàêèå

çàêîíû

ñ÷åòà

âûïîëíÿþòñÿ

â

îáîñíîâûâàåìîé

îáëàñòè

÷èñåë, à âñå

îñòàëüíûå

å¸

óòâåðæäåíèÿ

ïîëó÷èòü â

ðåçóëüòàòå

äåäóêöèé. Íà

ýòîì ïóòè

óäàëîñü

îáîñíîâàòü

àðèôìåòèêè

öåëûõ,

ðàöèîíàëüíûõ,

êîìïëåêñíûõ

è

ãèïåðêîìïëåêñíûõ

÷èñåë.

Àðèôìåòèêà

íàòóðàëüíûõ

è

àðèôìåòèêà

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë

ïîëó÷èëà

ðåàëüíîå

îáîñíîâàíèå

âî âòîðîé

ïîëîâèíå XIX

âåêà.

 òåñíîé ñâÿçè ñ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ÷èñëà è ñ íîâûìè ñïîñîáàìè îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå íàõîäèòñÿ âîçíèêíîâåíèå èñõîäíûõ èäåé “ôîðìàëüíîé” àëãåáðû. Ýòèìè èäåÿìè ìàòåìàòèêà îáÿçàíà Ïèêîêó, Ãàìèëüòîíó, À. äå Ìîðãàíó, Ãðåãîðè è Ãàíêåëþ.

 ãåîìåòðèè áûëè ñäåëàíû îòêðûòèÿ, èìåþùèå äëÿ å¸ îñíîâàíèé ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå.

Ëîáà÷åâñêèé è Áîéëè îòêðûëè íååâêëèäîâó ãåîìåòðèþ. Ïîíñåëå ðàçðàáîòàë ïðîåêòèâíóþ ãåîìåòðèþ, Ãðàññìàí — ãåîìåòðèþ ï-ìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðèíöèïû ýòèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ òåîðèé ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ïîñûëîê “Íà÷àë” Åâêëèäà.

Îäíàêî, â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà íååâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ ïðèçíàíèÿ íå ïîëó÷èëà. Ïðîåêòèâíàÿ ãåîìåòðèÿ áûëà ðàçðàáîòàíà Ïîíñåëå êàê íàäñòðîéêà íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà; å¸ áîëåå îáùåå ñîäåðæàíèå è ñïåöèôèêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè îñîçíàíû âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà. Ã. Ãðàññìàí ðàçâèë ñâîå ó÷åíèå íà ðóáåæå ñåðåäèíû XIX âåêà. Áëàãîäàðÿ ýòîìó óêàçàííûå âûâîäû ïîëó÷èëè âïîñëåäñòâèè øèðîêîå ïðèçíàíèå.

Âîò åù¸ îäèí

ðåçóëüòàò,

èìåþùèé

ôóíäàìåíòàëüíîå

çíà÷åíèå

äëÿ

îáîñíîâàíèÿ

ìàòåìàòèêè.

Ìàòåìàòèêè

XVII–XVIII âåêîâ

ïûòàëèñü

äîêàçàòü,

÷òî âñÿêîå

óðàâíåíèå

ïÿòîé

ñòåïåíè

ðàçðåøèìî â

ðàäèêàëàõ. Â 1827

ãîäó Àáåëü

äîêàçàë, ÷òî

ýòî

íåâîçìîæíî.

Ïîñêîëüêó

âñå æå

ñóùåñòâóþò

óðàâíåíèÿ

ïÿòîé,

øåñòîé è

äðóãèõ

ñòåïåíåé,

ðàçðåøàåìûå

â ðàäèêàëàõ,

åñòåñòâåííî

âîçíèêàë

âîïðîñ: êàê

îõàðàêòåðèçîâàòü

êëàññ

óðàâíåíèé

äàííîé

ñòåïåíè,

êîòîðûå

äîïóñêàþò

ðåøåíèå â

ðàäèêàëàõ?

Ýòîò âîïðîñ

èìåë è

ïðàêòè÷åñêîå

çíà÷åíèå.

Êàê

ïîêàçàëè

Ýéëåð è

Äàëàìáåð,

èíòåãðèðîâàíèå

ëèíåéíûõ

äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé ï

-ãîïîðÿäêà ñ

ïîñòîÿííûìè

êîýôôèöèåíòàìè

ñâîäèòñÿ ê

íàõîæäåíèþ

êîðíåé

àëãåáðàè÷åñêîãî

óðàâíåíèÿ ï

-é ñòåïåíè.

Òàêèå

äèôôåðåíöèàëüíûå

óðàâíåíèÿ

ÿâëÿþòñÿ

ìàòåìàòè÷åñêèì

àïïàðàòîì

òåîðèè

êîëåáàíèé.

×òîáû

ðåøèòü

óêàçàííûé

âûøå âîïðîñ,

Ý. Ãàëóà

ïîñòðîèë

îñîáûé

ìàòåìàòè÷åñêèé

àïïàðàò, â

êîòîðîì

ãëàâíàÿ ðîëü

îòâîäèòñÿ

ïîíÿòèþ

ãðóïïû.

Âûÿñíèëîñü,

÷òî ïîä

ïîíÿòèå

ãðóïïû

ïîäõîäÿò

ðàçëè÷íûå

îáëàñòè

îáúåêòîâ,

áëàãîäàðÿ

÷åìó îíî

íàõîäèò

ïëîäîòâîðíîå

ïðèìåíåíèå

â ðàçëè÷íûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

äèñöèïëèíàõ.

Îêàçàëîñü

òàêæå, ÷òî

ïîíÿòèå

ãðóïïû

îáíàðóæèâàåò

ñâîþ

äåéñòâåííîñòü

íàèëó÷øèì

îáðàçîì,

êîãäà åãî

òåîðèÿ

îáîñíîâûâàåòñÿ

àáñòðàêòíî,

íåçàâèñèìî

îò îïèñàíèÿ

ïðèðîäû

îáúåêòîâ,

îòíîøåíèÿ

êîòîðûõ åþ

îïèñûâàþòñÿ.

Âïåðâûå âñå

ýòè ôàêòû

îò÷åòëèâî

îñîçíàë è

îïèñàë Êýëè

â 1854 ãîäó; ýòîò

ãîä ïîýòîìó

ñ÷èòàþò

ãîäîì

íà÷àëà

àáñòðàêòíîé

òåîðèè ãðóïï.

Ïîä âëèÿíèåì

âñåõ ýòèõ

ôàêòîâ â

ïåðâîé

ïîëîâèíå XIX

âåêà

ïðåäïðèíèìàþòñÿ

ïîïûòêè

ðàñøèðèòü

òðàäèöèîííîå

îïðåäåëåíèå

ïðåäìåòà

ìàòåìàòèêè

êàê íàóêè

òîëüêî î

âåëè÷èíàõ è

èõ

èçìåðåíèè.

Íàïðèìåð, äëÿ

Ïóàíñî

ìàòåìàòèêà

— ýòî íàóêà î

ñâîéñòâàõ

÷èñåë,

âåëè÷èíàõ è

ïîðÿäêå.

Áîëüöàíî è

Ãðàññìàí

ñ÷èòàëè, ÷òî

òðàäèöèîííàÿ

òðàêòîâêà î

ïðåäìåòå

ìàòåìàòèêè

íå

îõâàòûâàåò

å¸

ñîäåðæàíèÿ â

öåëîì:

íàïðèìåð, îíî

íå ïðèëîæèìî

ê ó÷åíèþ î

ñî÷åòàíèÿõ.

Äëÿ

Ãðàññìàíà

ìàòåìàòèêà

— ó÷åíèå î

ôîðìàõ,

îäíàêî

ãåîìåòðèÿ ê

ìàòåìàòèêå

íå

ïðèíàäëåæèò.

 1854 ãîäó Äæ.

Áóëü

ïîä÷åðêèâàë,

÷òî “â ïðèðîäå

ìàòåìàòèêè

íå çàëîæåíà

íåîáõîäèìîñòü

çàíèìàòüñÿ

èäåÿìè

÷èñëà è

âåëè÷èíû”.

Èòàê, ðàçðàáîòàííûå â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ è ìåòîäû ìàòåìàòèêè ïîçâîëèëè ìàòåìàòèêàì ïåðåñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, àëãåáðó, ó÷åíèå î ÷èñëå è îò÷àñòè ãåîìåòðèþ â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè íîâîé ìåòîäîëîãèè. Íîâàÿ ìåòîäîëîãèÿ ìàòåìàòèêè ñïîñîáñòâîâàëà ïðåîäîëåíèþ êðèçèñà å¸ îñíîâ è ñîçäàëà äëÿ íå¸ øèðîêèå ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ.

III. Способы обоснования математики в последней четверти XIX века и начала XX

века 1. Теория множеств. Основные понятия

учения о множествах Г. Кантора

Äëÿ ÷åãî

ìàòåìàòèêè

ïîñëåäíèõ

äåñÿòèëåòèé

XIX âåêà

ïîòðåáîâàëîñü

îáùåå

ó÷åíèå î

ìíîæåñòâàõ,

îðãàíè÷åñêè

ñâÿçàííûõ ñ

ïîíÿòèåì

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè?

Ã. Êàíòîð

îòâåòèë íà

ýòîò âîïðîñ

òàê: “.äëÿ

îáîñíîâàíèÿ

àðèôìåòèêè

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë, äëÿ

äîêàçàòåëüñòâà

ôóíäàìåíòàëüíûõ

òåîðåì

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà è

òåîðèè

òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ

ðÿäîâ”. Ã.

Êàíòîð

óêàçûâàë

òàêæå, ÷òî

èäåè è

ìåòîäû

îáùåãî

ó÷åíèÿ î

ìíîæåñòâàõ

ÿâëÿþòñÿ

äåéñòâåííûìè

îðóäèÿìè

îòûñêàíèÿ

íîâûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

ôàêòîâ è

ðàçâèòèÿ

íîâûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

òåîðèé. Â

ýòîé ñâÿçè

îí ñ÷åë

âîçìîæíûì

óòâåðæäàòü,

÷òî äëÿ

ìàòåìàòèêè

ïîíÿòèå

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè

ñóùåñòâåííî

íåîáõîäèìî.

Îñíîâíûì ïîíÿòèåì îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà (ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè). “Ïîä ìíîãîîáðàçèåì, èëè ìíîæåñòâîì,— ïèñàë Ã. Êàíòîð,— ÿ ïîíèìàþ âîîáùå âñÿêîå ìíîãîå, êîòîðîå ìîæíî ìûñëèòü êàê åäèíîå, ò. å. âñÿêóþ ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëåííûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñâÿçàíà â îäíî öåëîå ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî çàêîíà.”

Êàíòîð íàçûâàë ìíîæåñòâî Ð îïðåäåëåííûì, åñëè îòíîñèòåëüíî ëþáîãî îáúåêòà ìîæíî ñêàçàòü, ïðèíàäëåæèò îí ìíîæåñòâó Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.

Ïîíÿòèå çàêîíà Ã. Êàíòîð ñ÷èòàë èñõîäíûì, íåîïðåäåëèìûì. Âìåñòå ñ òåì, â åãî êîíöåïöèè ïîíÿòèå çàêîíà èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. Òàê êàê ñîãëàñíî çàêîíó ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû â îäíî öåëîå, òî çàêîí îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâà. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ìíîæåñòâî ñóùåñòâóåò, òî ìîæíî äàòü çàêîí, îáåñïå÷èâàþùèé åãî ñóùåñòâîâàíèå.

Îïåðàòèâíûìè ïîíÿòèÿìè îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìîùíîñòè è êîëè÷åñòâà ìíîæåñòâà.

Êàíòîð îïðåäåëèë ìîùíîñòü — òåïåðü ÷àñòî ãîâîðÿò: “êîëè÷åñòâåííîå ÷èñëî” — êàê ðåçóëüòàò àáñòðàêöèè îò ñîäåðæàíèÿ è ïîðÿäêà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà.

Îí íàçûâàë äâà ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíûìè è èìåþùèìè îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü, åñëè ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè âîçìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.

Äëÿ ðàçâèòèÿ îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì ÿâèëîñü äðóãîå îòêðûòèå Ã. Êàíòîðà — äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè ìîùíîñòÿìè.

Åñëè

ìíîæåñòâî

êîíå÷íî,

ïîíÿòèå

ìîùíîñòè

ñîâïàäàåò ñ

ïîíÿòèåì

÷èñëà åãî

ýëåìåíòîâ è

ìîæåò áûòü

âûðàæåíî

êîëè÷åñòâåííûì

íàòóðàëüíûì

÷èñëîì. Â

ñëó÷àÿõ

áåñêîíå÷íûõ

ìíîæåñòâ

íåëüçÿ

ãîâîðèòü î

÷èñëå èõ

ýëåìåíòîâ,

íî êàæäîìó

èç òàêèõ

ìíîæåñòâ

ìîæíî

ïðèïèñàòü

îïðåäåëåííóþ

ìîùíîñòü.

Ïðèíÿòî

îòíîñèòü

êàæäîìó

êëàññó

ìíîæåñòâ

íåêîòîðûé

ñèìâîë

ìîùíîñòè.

Òàê : Три кризиса в развитии математики

— ñèìâîë

ìîùíîñòè

ñ÷åòíîãî

ìíîæåñòâà,

ñ — ñèìâîë

ìîùíîñòè

êîíòèíóóìà,

2ò — ñèìâîë

ìîùíîñòè

ìíîæåñòâà

âñåõ

ïîäìíîæåñòâ

ìíîæåñòâà,

ìîùíîñòü

êîòîðîãî

åñòü ò.

Êàæäûé

òàêîé

ñèìâîë

Êàíòîð

íàçâàë

êàðäèíàëüíûì

òðàíñôèíèòíûì

÷èñëîì.

2. Трудности построения теории множеств.

Критика концепции Г. Кантора

Êàíòîð ïðåäïðèíÿë ïîïûòêó ðàçâèòü àðèôìåòèêó êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë. Îí äîêàçàë ìíîãèå àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ìîùíîñòåé êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ — ñ÷åòíûõ è ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Íàïðèìåð, åñëè ï — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî:

: Три кризиса в развитии математики

Íî êîãäà êàíòîð ïîïûòàëñÿ îáîáùèòü ïîëó÷åííûå èì àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ íà ëþáûå êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà, òî âñòðåòèëñÿ ñ ñåðüåçíûìè òðóäíîñòÿìè.

Ïóñòü Ì è N

êàêèå

óãîäíî

áåñêîíå÷íûå

ìíîæåñòâà,

ò è ï

ñîîòâåòñòâóþùèå

èì

êàðäèíàëüíûå

òðàíñôèíèòíûå

÷èñëà. Ìîæíî

ëè

óòâåðæäàòü,

÷òî ýòè

÷èñëà

âñåãäà

ìîãóò áûòü

ñâÿçàíû

îäíèì è

òîëüêî îäíèì

èç çíàêîâ =, >, <?

Äëÿ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë ò è ï

ýòî

óòâåðæäåíèå

ñïðàâåäëèâî,

äëÿ

êàðäèíàëüíûõ

òðàíñôèíèòíûõ

÷èñåë

ñïðàâåäëèâîñòü

åãî íå

î÷åâèäíà.

Êàíòîð ýòó

ïðîáëåìó íå

ðåøèë, å¸

íàçâàëè

ïðîáëåìîé

òðèõîòîìèè

. Êàíòîð íå

ñìîã òàêæå

äîêàçàòü

(èëè

îïðîâåðãíóòü),

÷òî äëÿ ëþáûõ

êàðäèíàëüíûõ

òðàíñôèíèòíûõ

÷èñåë

ñïðàâåäëèâû

ñîîòíîøåíèÿ:

1) ò+ï=òï;

2) ò=ò2;

3) åñëè ò2=ï2, òî ò=ï;

4) åñëè ò<ï è p<q, òî m+p<n+q;

5) åñëè ò<ï è p<q, òî mp<nq.

À. Òàðñêèé äîêàçàë, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíî òðèõîòîìèè.

Èçâåñòíî, ÷òî x0<c. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîæåñòâî Ì, ìîùíîñòü êîòîðîãî ò óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì:

õ0<m<c?

Ýòó ïðîáëåìó Êàíòîð òàêæå íå ðåøèë. Îí âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî Ì íå ñóùåñòâóåò. Ïðåäïîëîæåíèå Êàíòîðà íàçûâàëîñü ãèïîòåçîé êîíòèíóóìà; îíî ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî âñÿêîå íå÷åòíîå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.

Ïîñëå ïóáëèêàöèè ïåðâûõ ðàáîò Ã. Êàíòîðà, â êîòîðûõ îí èçëîæèë íà÷àëà ó÷åíèÿ î òðàíñôèíèòíûõ ÷èñëàõ (êîëè÷åñòâåííûõ è ïîðÿäêîâûõ), ìàòåìàòèêè, ëîãèêè, ôèëîñîôû è îñîáåííî òåîëîãè îòíåñëèñü ê åãî èäåÿì âåñüìà ñäåðæàííî. Íåêîòîðûå èç íèõ âûñòóïèëè ñ îòêðûòîé êðèòèêîé îñíîâíîãî ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ Êàíòîðà — ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè. Êàíòîð îòâåòèë íà ýòè âûñòóïëåíèÿ â íåñêîëüêèõ ñòàòüÿõ è â ïåðåïèñêå, êîòîðóþ âïîñëåäñòâèè ÷àñòè÷íî îïóáëèêîâàë.

Íàèáîëåå

ñåðüåçíûì

ïðîòèâíèêîì

êîíöåïöèè

Êàíòîðà áûë

Ë. Êðîíåêåð. Îí

ñ÷èòàë, ÷òî

äåéñòâèòåëüíî

ñóùåñòâóþùèìè,

ðåàëüíûìè

ìîæíî

ïðèçíàòü

ëèøü

íàòóðàëüíûå

÷èñëà,

âñëåäñòâèå

÷åãî îíè

ÿâëÿþòñÿ

åäèíñòâåííûì

îáúåêòîì

÷èñòîé

ìàòåìàòèêè.

Êðîíåêåð

óòâåðæäàë,

÷òî âñå

òåîðåìû

ìàòåìàòè÷åñêîãî

àíàëèçà

ïðàâîìåðíû

ëèøü

ïîñòîëüêó,

ïîñêîëüêó èõ

ìîæíî

èñòîëêîâàòü

êàê

îïèñàíèÿ

çàêîíîâ,

ãîñïîäñòâóþùèõ

â îáëàñòè

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë. Ñ ýòîé

òî÷êè

çðåíèÿ,

ïèñàë

Êàíòîð,

èçâåñòíàÿ

ðåàëüíîñòü

ïðèïèñûâàåòñÿ

òàêæå

ðàöèîíàëüíûì

÷èñëàì,

ïîñêîëüêó

îíè

“íåïîñðåäñòâåííî

âûòåêàþò” èç

àðèôìåòèêè

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë.

Êðîíåêåð

òðàêòîâàë

èððàöèîíàëüíûå

÷èñëà êàê

óäîáíûå

ñèìâîëû äëÿ

îïèñàíèÿ

åäèíûì

ñïîñîáîì

ñâîéñòâ

ãðóïï

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë;

ïîíÿòèå

àêòóàëüíîé

áåñêîíå÷íîñòè

îí ïîëíîñòüþ

îòðèöàë.

Ñëåäóÿ ýòèì

èäåÿì,

Êðîíåêåð

îïóáëèêîâàë

èññëåäîâàíèå,

â êîòîðîì

íàìåòèë

êîíòóðû

íåêîòîðûõ

“âñïîìîãàòåëüíûõ

òåîðèé”, ïî

åãî ìíåíèþ

ïîçâîëÿþùèõ

îñâîáîäèòü

÷èñòóþ

ìàòåìàòèêó

îò

èððàöèîíàëüíûõ

÷èñåë.

Êàíòîð

îòìå÷àë, ÷òî

êîíöåïöèÿ

Êðîíåêåðà, â

ñðàâíåíèè ñ

îáùåïðèçíàííûìè

òåîðèÿìè

÷èñòîé

ìàòåìàòèêè,

îáëàäàåò

íåêîòîðûìè

ïðåèìóùåñòâàìè.

Åñëè ñòðîãî

ïðèäåðæèâàòüñÿ

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà, òî

“âîçìîæíî

ïîòðåáîâàòü”,

÷òîáû

äîêàçàòåëüñòâà

àíàëèòè÷åñêèõ

òåîðåì áûëè

èñïûòàíû ïî

ñâîåìó

“òåîðåòèêî-÷èñëîâîìó

ñîäåðæàíèþ”

è ÷òîáû

êàæäûé

îáíàðóæèâàþùèéñÿ

â íèõ ïðîáåë

áûë

çàïîëíåí

ñîãëàñíî

ïðèíöèïàì

àðèôìåòèêè.

Â

âîçìîæíîñòè

ïîäîáíîãî

äîïîëíåíèÿ

çàêëþ÷àåòñÿ

íàñòîÿùèé

ïðîáíûé

êàìåíü äëÿ

ïðàâèëüíîñòè

è ïîëíîé

ñòðîãîñòè

äîêàçàòåëüñòâ.

Òàêèå

äîïîëíåíèÿ

ñïîñîáíû

ïðåäîõðàíèòü

èññëåäîâàòåëåé

îò îøèáîê è

óäåðæàòü

ïîëåò èõ

òâîð÷åñêîé

ôàíòàçèè â

íàäëåæàùèõ

ãðàíèöàõ.

Îäíàêî,

ïîä÷åðêèâàë

Êàíòîð,

ìåòîäîëîãè÷åñêèå

ïðèíöèïû

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà íå

ÿâëÿþòñÿ

ïëîäîòâîðíûìè.

“Ìû íå

îáÿçàíû èì

íèêàêèìè

èñòèííûìè

óñïåõàìè è,

åñëè áû ìû â

äåéñòâèòåëüíîñòè

òî÷íî

ðóêîâîäñòâîâàëèñü

èìè, òî

ðàçâèòèå

íàóêè

îñòàíîâèëîñü

áû èëè áûëî

ââåäåíî â

ñàìûå óçêèå

ãðàíèöû.”

Âïðî÷åì,

çàìåòèë

Êàíòîð,

îêîí÷àòåëüíîå

ñóæäåíèå î

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà

ñòàíåò

âîçìîæíûì

ëèøü òîãäà,

êîãäà îíà

áóäåò

ðàçðàáîòàíà

â öåëîì è â

äåòàëÿõ, â

ñâÿçè ñ ÷åì

âûÿñíèòñÿ

å¸

îòíîøåíèå ê

ãåîìåòðèè è

ìåõàíèêå.

Ïîêà ýòîãî

åù¸ íåò,

ïðèãîäíîñòü

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà íå

ìîæåò áûòü

íàçâàíà

äîñòàòî÷íî

îáîñíîâàííîé.

Êðèòè÷åñêèå

çàìå÷àíèÿ

Êàíòîðà â

àäðåñ

êîíöåïöèè

Êðîíåêåðà

èìåþò

ìåòîäîëîãè÷åñêèì

ñòåðæíåì

åãî òðåòüå

“îãðàíè÷èòåëüíîå

òðåáîâàíèå”.

Îíè âåðíû è

íå ïîòåðÿëè

ñâîåãî

çíà÷åíèÿ äî

íàøåãî

âðåìåíè. Íî

âðÿä ëè ìîæíî

íàçâàòü

ïðàâèëüíûì

ñëåäóþùèå

êðèòè÷åñêèå

çàìå÷àíèÿ

Êàíòîðà,

êîòîðûå îí,

ïî-âèäèìîìó,

ñ÷èòàë

íàèáîëåå

ñåðüåçíûìè:

ìîùíîñòü

êîíòèíóóìà

âûøå

ìîùíîñòè

ìíîæåñòâà

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë.

Ñëåäîâàòåëüíî,

çàïàñ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë

íåäîñòàòî÷åí

äëÿ îïèñàíèÿ

òî÷åê

âðåìåííîãî

è

ïðîñòðàíñòâåííîãî

êîíòèíóóìà,

ïîýòîìó

êîíöåïöèÿ

Êðîíåêåðà íå

ìîæåò

ñ÷èòàòüñÿ

ñîâåðøåííîé.

Ýòà

àðãóìåíòàöèÿ

êàíòîðà

îáëàäàåò

äîêàçàòåëüíîé

ñèëîé ëèøü

äëÿ

ïðèâåðæåíöåâ

ó÷åíèÿ î

ñ÷åòíûõ è

íåñ÷åòíûõ

ìíîæåñòâàõ;

åãî

ïðîòèâíèêè

ñ÷èòàòüñÿ ñ

ýòîé

àðãóìåíòàöèåé

Êàíòîðà íå

îáÿçàíû.

Èäåè Êðîíåêåðà â íåêîòîðîé ìåðå ñïîñîáñòâîâàëè ñíà÷àëà îôîðìëåíèþ êîíöåïöèè èíòóèöèîíèçìà, à ïîòîì è êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè.

Äî ïîñëåäíåãî äåñÿòèëåòèÿ XIX âåêà ìàòåìàòèêè, ëîãèêè è ôèëîñîôû ïðèçíàâàëè ïîíÿòèÿ èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà, íî îòðèöàëè ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè; îíè ñ÷èòàëè åãî âíóòðåííå ïðîòèâîðå÷èâûì. Íåêîòîðûå èç íèõ ïûòàëèñü ýòî äîêàçàòü. Êàíòîð èçó÷èë ìåòîäîëîãè÷åñêóþ îñíîâó òàêèõ äîêàçàòåëüñòâ è ïîêàçàë èõ ïîëíóþ íåñîñòîÿòåëüíîñòü.

“Âñå òàê

íàçûâàåìûå

äîêàçàòåëüñòâà

ïðîòèâ

âîçìîæíîñòè

àêòóàëüíî

áåñêîíå÷íûõ

÷èñåë,— ïèñàë

Êàíòîð,—

îøèáî÷íû,

ïîòîìó, ÷òî

îíè çàðàíåå

ïðèïèñûâàþò

èëè, ñêîðåå,

íàâÿçûâàþò

ðàññìàòðèâàåìûì

÷èñëàì âñå

ñâîéñòâà

êîíå÷íûõ

÷èñåë. Ìåæäó

òåì,

áåñêîíå÷íûå

÷èñëà — åñëè

òîëüêî èõ

äîëæíî

ìûñëèòü â

êàêîé-íèáóäü

ôîðìå — äîëæíû

îáðàçîâàòü

áëàãîäàðÿ

ñâîåé

ïðîòèâîïîëîæíîñòè

ê êîíå÷íûì

÷èñëàì

ñîâåðøåííî

íîâûé

÷èñëîâîé

âèä,

ñâîéñòâà

êîòîðîãî

âïîëíå

çàâèñÿò îò

ïðèðîäû

âåùåé è

îáðàçóþò

ïðåäìåò

èññëåäîâàíèÿ,

à íå íàøåãî

ïðîèçâîëà

èëè íàøèõ

ïðåäðàññóäêîâ.”

Çàêëþ÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïðèâåäåííîãî âûñêàçûâàíèÿ Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé ñóùåñòâà ìåòîäîëîãèè åãî íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Îíà ïîêàçûâàåò, ÷òî èçáðàííûé Êàíòîðîì ïóòü îáîñíîâàíèÿ íàó÷íîé ñàìîñòîÿòåëüíîñòè ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, ìàòåðèàëèñòè÷åñêèì; îí ìîæåò áûòü ñîãëàñîâàí ñ èäåàëèçìîì (ñóáúåêòèâíûì èëè îáúåêòèâíûì — áåçðàçëè÷íî) òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå ïðîòèâîðå÷èò åìó. Ñòðåìëåíèå Êàíòîðà îáîñíîâàòü ñ ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé âîçìîæíîñòü òàêîé ñîãëàñîâàííîñòè è îáóñëîâèëî äâîéñòâåííîñòü åãî ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé â ïîíèìàíèè ïðèðîäû ìàòåìàòèêè è å¸ ìåòîäîâ.

3. Парадоксы (антиномии)

теории множеств

Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå òðóäíîñòÿìè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ â íåé áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) ïîñòàâèâøèå ïîä ñîìíåíèå ó÷åíèå Ã. Êàíòîðà â öåëîì. Ýòè ïàðàäîêñû ñòàëè îáúåêòîì îñîáîãî âíèìàíèÿ ìàòåìàòèêîâ. È, êîíå÷íî, íå ñëó÷àéíî. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, åù¸ ïðè æèçíè Êàíòîðà åãî òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà ôóíäàìåíòîì âñåãî çäàíèÿ ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — äåéñòâåííûì îðóäèåì ðàçâèòèÿ ìíîãèõ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.

Ïåðâûé ïàðàäîêñ îáíàðóæèë ñàì Êàíòîð â 1895 ãîäó è ñîîáùèë î íåì â ïèñüìå ê Ãèëüáåðòó. ÷åðåç äâà ãîäà ýòîò ïàðàäîêñ îáíàðóæèë Áóðàëè-Ôîðòè; îí ñäåëàë åãî äîñòîÿíèåì âñåõ ìàòåìàòèêîâ.

Парадокс Бурали-Форти.

Ïóñòü Ð

ìíîæåñòâî

âñåõ

ïîðÿäêîâûõ

÷èñåë. Ýòî

ìíîæåñòâî

âïîëíå

óïîðÿäî÷åíî;

ñëåäîâàòåëüíî,

îíî

îïðåäåëÿåò

íåêîòîðîå

îðäèíàðíîå

òðàíñôèíèòíîå

÷èñëî ð.

Åñëè Ðð

ìíîæåñòâî

ïîðÿäêîâûõ

÷èñåë

ìåíüøå ð, òî

Ðð èìååò

òîò æå

ïîðÿäêîâûé

òèï, ÷òî è Ð.

Íî Ðð

îòðåçîê

ìíîæåñòâà Ð

,

îïðåäåëÿåìûé

÷èñëîì ð.

Ñëåäîâàòåëüíî

Ð è åãî

îòðåçîê Ðð

ïîäîáíû äðóã

äðóãó. Íî

Êàíòîð

äîêàçàë, ÷òî

âïîëíå

óïîðÿäî÷åííîå

ìíîæåñòâî

íå ìîæåò

áûòü ïîäîáíî

ëþáîìó

ñâîåìó

îòðåçêó.

 1899 ãîäó Êàíòîð îòêðûë åù¸ îäèí ïàðàäîêñ è ñîîáùèë î íåì Ð. Äåäåêèíäó.  1901 ãîäó ýòîò ïàðàäîêñ ïðèâëåê âíèìàíèå Á. Ðàññåëà.

Парадокс Кантора.

Ïóñòü N

ìíîæåñòâî

âñåõ

âîçìîæíûõ

ìíîæåñòâ, S

—ìíîæåñòâî

âñåõ

âîçìîæíûõ

ïîäìíîæåñòâ

ìíîæåñòâà N.

Ïîñêîëüêó

ìîùíîñòü

ìíîæåñòâà

âñåõ

âîçìîæíûõ

ïîäìíîæåñòâ

ëþáîãî

ìíîæåñòâà

èìååò

ìîùíîñòü,

áîëüøóþ

ìîùíîñòè

ýòîãî

ìíîæåñòâà,

òî ìîùíîñòü

S äîëæíà áûòü

áîëüøå

ìîùíîñòè N.

Ñ äðóãîé

ñòîðîíû,

ìíîæåñòâî N

åñòü

ìíîæåñòâî

âñåõ

âîçìîæíûõ

ìíîæåñòâ;

ñëåäîâàòåëüíî

S ÿâëÿåòñÿ

ïîäìíîæåñòâîì

N. Íî

ìîùíîñòü

ïîäìíîæåñòâà

íå áîëüøå

ìîùíîñòè

ìíîæåñòâà;

çíà÷èò

ìîùíîñòü S

íå áîëüøå

ìîùíîñòè N.

Íàèáîëüøóþ èçâåñòíîñòü ïðèîáðåë ïàðàäîêñ, îòêðûòûé Á. Ðàññåëîì â 1902 ãîäó è îïóáëèêîâàííûé èì â 1903 ãîäó. Ýòîò ïàðàäîêñ îòêðûë è Ý. Öåðìåëî, íî â ïå÷àòè åãî íå îïóáëèêîâàë.

Парадокс Рассела.

Î íåêîòîðûõ

ìíîæåñòâàõ

ìîæíî

ñêàçàòü, ÷òî

îíè

ñîäåðæàò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ñâîåãî

ýëåìåíòà;

òàêîâî,

íàïðèìåð,

ìíîæåñòâî

âñåõ

ìíîæåñòâ.

Ðàñïðåäåëèì

âñå

âîçìîæíûå

ìíîæåñòâà

íà äâà

êëàññà. Ê

ïåðâûì

îòíåñåì òå

ìíîæåñòâà,

êîòîðûå íå

ñîäåðæàò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ñâîèõ

ýëåìåíòîâ.

Êî âòîðîìó

îòíåñåì âñå

îñòàëüíûå, ò.

å. êîòîðûå

ñîäåðæàò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ñâîèõ

ýëåìåíòîâ.

Ðàññìîòðèì

ïåðâûé êëàññ

ìíîæåñòâ.

Ýòîò êëàññ

ìíîæåñòâ â

ñâîþ î÷åðåäü

ÿâëÿåòñÿ

íåêîòîðûì

ìíîæåñòâîì

N, à ïîòîìó

ïðèíàäëåæèò

ê ïåðâîìó èëè

êî âòîðîìó

êëàññó.

Äîïóñòèì,

÷òî

ìíîæåñòâî N

ïðèíàäëåæèò

ê ïåðâîìó

êëàññó.

Ïåðâûé êëàññ

— ýòî êëàññ

ìíîæåñòâ,

êàæäîå èç

êîòîðûõ íå

ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà. Íî

åñëè N

ïðèíàäëåæèò

ê ïåðâîìó

êëàññó, òî

òàê êàê

ìíîæåñòâî N

åñòü

ìíîæåñòâî

âñåõ

ìíîæåñòâ

ïåðâîãî

êëàññà, îíî

äîëæíî

ñîäåðæàòü è

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà.

Èòàê, åñëè

ìíîæåñòâî N

íå ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà, òî

îíî ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà,

ñëåäîâàòåëüíî

íåëüçÿ

ïðåäïîëàãàòü,

÷òî

ìíîæåñòâî N

ïðèíàäëåæèò

ê ïåðâîìó

êëàññó.

Ïðåäïîëîæèì

òåïåðü, ÷òî

ìíîæåñòâî N

ïðèíàäëåæèò

êî âòîðîìó

êëàññó, ò. å.

ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà. Íî

ýëåìåíòàìè

ìíîæåñòâà N

ÿâëÿþòñÿ

òîëüêî

ìíîæåñòâà,

íå

ñîäåðæàùèå

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà.

Ñëåäîâàòåëüíî,

åñëè N

ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà, òî

N íå ñîäåðæèò

ñåáÿ â

êà÷åñòâå

ýëåìåíòà. Ìû

îïÿòü ïðèøëè

ê

ïðîòèâîðå÷èþ

è âûíóæäåíû

ïðèçíàòü,

÷òî

ìíîæåñòâî N

íå ìîæåò íè

ïðèíàäëåæàòü,

íè íå

ïðèíàäëåæàòü

ê ïåðâîìó

êëàññó.

 íàøå âðåìÿ èçâåñòíû è äðóãèå ïàðàäîêñû.

4. Аксиоматические построения

теории множеств по Цермело

Ñ íà÷àëà XX âåêà è äî íàøèõ äíåé íå ïðåêðàùàþòñÿ ïîïûòêè ïðåîäîëåòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì è ïàðàäîêñàìè òåîðèè ìíîæåñòâ. Óñòàíîâëåííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè ðåçóëüòàòû íå ïîëó÷èëè, îäíàêî, âñåîáùåãî ïðèçíàíèÿ. Åñëè è ìîæíî ãîâîðèòü î öåííûõ ðåçóëüòàòàõ, çäåñü íàéäåííûõ, òî â ïåðâóþ î÷åðåäü â ñâÿçè ñ ðàçëè÷íûìè âàðèàíòàìè àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ.

Âïåðâûå

àêñèîìàòè÷åñêîå

ïîñòðîåíèå

òåîðèè

ìíîæåñòâ

îñóùåñòâèë

Ý. Öåðìåëî â 1908

ãîäó.

Âïîñëåäñòâèè

àêñèîíîìàòèêà

Öåðìåëî áûëà

äîïîëíåíà è

âèäîèçìåíåíà

â ðàáîòàõ À.

Ôðåíêåëÿ (1922, 1925), Ò.

Ñêîëåìà (1922-1923, 1929),

Äæ. Íåéìàíà (1925,

1928), Ï. Áåðíàéñà

(1937-1954) è äðóãèõ

ìàòåìàòèêîâ.

Òàê, Ôðåíêåëü

äîïîëíèë

àêñèîíîìàòèêó

Öåðìåëî

îäíîé

àêñèîìîé,

ïîñëå ÷åãî

ïîëó÷èëàñü

íîâàÿ

ñèñòåìà

àêñèîì — å¸

íàçâàëè

ñèñòåìîé

Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ

— áîëåå

ñèëüíàÿ, ÷åì

èñõîäíàÿ

ñèñòåìà

àêñèîì

Öåðìåëî. Â

îòëè÷èå îò

ñèñòåìû

Öåðìåëî,

îáîçíà÷àåìîé

îáû÷íî

áóêâîé Z,

ñèñòåìó

Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ

îáîçíà÷àþò

äâóìÿ

áóêâàìè: ZF. Ñ

ïîìîùüþ ZF

ìîæíî

ïîëó÷èòü ðÿä

ôóíäàìåíòàëüíûõ

ðåçóëüòàòîâ,

íå

äîêàçóåìûõ

ñ ïîìîùüþ Z.

Öåðìåëî ñôîðìóëèðîâàë ñèñòåìó àêñèîì, â êîòîðîé îïèñàë íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ. Îñòàëüíûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ, óñòàíîâëåííûå â òåîðèè ìíîæåñòâ Êàíòîðà, Öåðìåëî ïûòàëñÿ âûâåñòè èç ñâîèõ àêñèîì.

Îñíîâíîé

çàìûñåë

Öåðìåëî

ñîñòîÿë â

òîì, ÷òîáû

îãðàíè÷èòü

îáëàñòü

ïðèìåíåíèÿ

àêñèîíîìàòèêè

Z òîëüêî

òàêèìè

ìíîæåñòâàìè,

ðàññìîòðåíèå

êîòîðûõ íå

ïðèâîäèò ê

ïàðàäîêñàì.

Âïîñëåäñòâèè,

ïðè

ðàçðàáîòêå

íîâûõ

âàðèàíòîâ

àêñèîíîìàòèêè

òåîðèè

ìíîæåñòâ,

ýòà

îãðàíè÷èòåëüíàÿ

òåíäåíöèÿ

ïîëó÷èëà

âñåîáùåå

ïðèçíàíèå.

Ïîçâîëèòåëüíî,

îäíàêî,

äóìàòü, ÷òî â

îäíîì

ñóùåñòâåííîì

ïóíêòå îíà

íå îòâå÷àåò

îñíîâíûì

óñòàíîâêàì

è çàìûñëó

ñàìîãî Ã.

Êàíòîðà.

Êàíòîð

ñòðåìèëñÿ

ðàçâèòü

òåîðèþ

ìíîæåñòâ âî

âñåé

îáùíîñòè,

êàê òåîðèþ,

îòíîñÿùóþñÿ

ê ëþáûì

ìíîæåñòâàì;

íàçâàííàÿ

îãðàíè÷èòåëüíàÿ

òåíäåíöèÿ

áûëà äëÿ íåãî

ñîâåðøåííî

÷óæäîé.

Åñëè ïðèíÿòü ñèñòåìó Z, òî â íåêîòîðûõ ñóùåñòâåííûõ ïóíêòàõ òåîðèÿ ìíîæåñòâ Êàíòîðà ïîëó÷èò äîñòàòî÷íîå îáîñíîâàíèå. Îáóñëîâëèâàåòñÿ ýòî ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè.  ñèñòåìå Öåðìåëî èìååòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ àêñèîìà âûáîðà (ðàíüøå å¸ îáû÷íî íàçûâàëè ïðîñòî àêñèîìîé Öåðìåëî: â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì íàçûâàòü å¸ èìåííî òàê):

Åñëè äàíî ìíîæåñòâî Ì, ñîñòîÿùåå èç ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è áåç îáùèõ ýëåìåíòîâ, òî èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N ìîæíî âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó; ñîâîêóïíîñòü âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ îáðàçóåò íîâîå ìíîæåñòâî Ð.

Âïîñëåäñòâèè îðòîäîêñàëüíûå ïîñëåäîâàòåëè Ã. Êàíòîðà íåðåäêî èçìåíÿëè ôîðìóëèðîâêó àêñèîìû Öåðìåëî òàê, ÷òî îíà ñòàíîâèëàñü óòâåðæäåíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ: Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà Ì ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è íå èìåþùèõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, ñóùåñòâóåò (ïî êðàéíåé ìåðå îäíî) ìíîæåñòâî Ð, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìó è òîëüêî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N.

Óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîæåñòâà Ð ïîíèìàëîñü, êîíå÷íî, â ñìûñëå Êàíòîðà.

Îïèðàÿñü íà

ýòó àêñèîìó

Öåðìåëî

äîêàçàë, ÷òî

âñÿêîå

ìíîæåñòâî

ìîæåò áûòü

ïðåäñòàâëåíî

â ôîðìå

âïîëíå

óïîðÿäî÷åííîãî

ìíîæåñòâà, ò.

å., ÷òî

ìîùíîñòü

ëþáîãî

ìíîæåñòâà

åñòü àëåîð.

Êàê

óêàçûâàëîñü

âûøå, ýòîò

ôàêò

îáåñïå÷èâàåò

âîçìîæíîñòü

ïîñòðîåíèÿ

àðèôìåòèêè

êàðäèíàëüíûõ

òðàíñôèíèòíûõ

÷èñåë ïî÷òè

âî âñåé

îáùíîñòè.

Äîñòàòî÷íî

ñêàçàòü, ÷òî

àêñèîìà

Öåðìåëî

ïîçâîëÿåò

ðåøèòü â

óòâåðäèòåëüíîì

ñìûñëå

ïðîáëåìó

òðèõîòîìèè

è äàåò

îáîñíîâàíèå

òðàíñôèíèòíîé

èíäóêöèè.

Òîëüêî

ãèïîòåçà

êîíòèíóóìà

îñòàâàëàñü

ïî ïðåæíåìó

çàãàäêîé.

Öåðìåëî ìîã

óòâåðæäàòü,

÷òî

ìîùíîñòü

êîíòèíóóìà

åñòü àëåîð,

íî êàêîå

ìåñòî íà

øêàëå

àëåîðîâ

çàíèìàåò Ñ

— ýòî

îñòàâàëîñü

íåèçâåñòíûì.

Ê ýòîìó

ìîæíî òîëüêî

ïðèáàâèòü,

÷òî

äîêàçàòåëüñòâà

ýêâèâàëåíòíîñòè

äðóã äðóãó

íåêîòîðûõ

ôîðì

ãèïîòåçû

êîíòèíóóìà

òàêæå

îïèðàþòñÿ

íà àêñèîìó

Öåðìåëî.

Áîëåå äåñÿòè ëåò ñ ìîìåíòà îïóáëèêîâàíèÿ ìåìóàðîâ Öåðìåëî ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû âûáîðà îãðàíè÷èâàëèñü îáëàñòüþ òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî. Êðîìå óêàçàííûõ, ìîæíî, íàïðèìåð, óïîìÿíóòü ïðèëîæåíèÿ ýòîé àêñèîìû â òåîðèè òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ è, â ÷àñòíîñòè, â òåîðèè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.

 20-õ è 30-õ ãîäàõ

ÕÕ âåêà ïîëå

ïðèëîæåíèÿ

àêñèîìû

Öåðìåëî

çíà÷èòåëüíî

ðàñøèðèëîñü.

Ìîæíî,

íàïðèìåð,

óêàçàòü íà

èññëåäîâàíèÿ

Áèðêãîôà

ñèñòåì

äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé, â

êîòîðûõ îí

ïðèìåíÿë

òðàíñôèíèòíóþ

èíäóêöèþ.

Îñîáåííî

âàæíî

óêàçàòü íà

òåîðèþ

ëèíåéíûõ

îïåðàòîðîâ,

êîòîðóþ Æ.

Àäàìàð â

íà÷àëå 30-õ

ãîäîâ

íàçûâàë

íàèáîëåå

ñèëüíûì

ìåòîäîì

èññëåäîâàíèÿ

ñîâðåìåííîé

ìàòåìàòèêè.

Òåîðèÿ

ëèíåéíûõ

îïåðàòîðîâ

ðàçâèâàåòñÿ

íà áàçå

îáùåãî

ó÷åíèÿ î

ìíîæåñòâàõ

è ïîëüçóåòñÿ

àêñèîìîé

Öåðìåëî äëÿ

óñòàíîâëåíèÿ

íåêîòîðûõ

âàæíåéøèõ

ñâîèõ

ïðåäëîæåíèé.

Øèðîêîå ïîëå

äëÿ

ïðèìåíåíèÿ

àêñèîìû

Öåðìåëî äàëè

àëãåáðà è

òîïîëîãèÿ.

Ñâîåîáðàçèå àêñèîìû Öåðìåëî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà íå òîëüêî ÿâëÿåòñÿ îðóäèåì îòûñêàíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ è ïðèäàåò èçâåñòíóþ îáùíîñòü ó÷åíèþ î ìíîæåñòâàõ, íî è óñóãóáëÿåò òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè.

Îäíà èç òðóäíîñòåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå (â ñìûñëå Êàíòîðà) ìíîæåñòâà, ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâ, íåîïðåäåëèìûõ â ñìûñëå Êàíòîðà. Âîò ïðèìåð.

Ðàññìîòðèì

âñå ôóíêöèè

äåéñòâèòåëüíîãî

ïåðåìåííîãî

õ,

îïðåäåëåííûå

íà ñåãìåíòå

[0, 1] è íå ðàâíûå

íà ýòîì

ñåãìåíòå

òîæäåñòâåííî

íóëþ.

Ðàçäåëèì

ýòè ôóíêöèè

íà ïàðû,

îòíîñÿ â

îäíó ïàðó

òàêèå äâå

ôóíêöèè,

êîòîðûå

îòëè÷àþòñÿ

òîëüêî

çíàêîì, ò. å.

ôóíêöèè f(x)ï–f(x).

Ïî àêñèîìå

Öåðìåëî

ñóùåñòâóåò

ìíîæåñòâî Ð

, âêëþ÷àþùåå

ïî îäíîé è

òîëüêî îäíîé

ôóíêöèè

êàæäîé ïàðû.

Ñëåäîâàòåëüíî,

ñîãëàñíî

àêñèîìå

Öåðìåëî,

ìîæíî

óòâåðæäàòü

ñóùåñòâîâàíèå

Ð ôóíêöèé

äåéñòâèòåëüíîãî

ïåðåìåííîãî

õ,

îïðåäåëÿåìûõ

íà ñåãìåíòå

[0, 1] è íå ðàâíûõ

íà ýòîì

ñåãìåíòå

òîæäåñòâåííî

íóëþ, òàêîãî,

÷òî

à) êàêîâû áû íè áûëè ôóíêöèè f1 è f2 ìíîæåñòâà Ð, âñåãäà : Три кризиса в развитии математики ;

á) êàêîâà áû íè áûëà ôóíêöèÿ j(õ), îïðåäåëåííàÿ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíàÿ íà íåì òîæäåñòâåííî íóëþ, ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ f ìíîæåñòâà Ð, òàêàÿ, ÷òî ëèáî f+j=0, ëèáî f–j=0 äëÿ ëþáîãî õ, : Три кризиса в развитии математики .

Îäíàêî ìíîæåñòâî Ð íå îïðåäåëåíî â ñìûñëå Êàíòîðà, òàê êàê ìû íå ìîæåì ñêàçàòü î ëþáîé ôóíêöèè j(õ), ïîä÷èíÿþùåéñÿ âûñòàâëåííûì óñëîâèÿì, ïðèíàäëåæèò ëè îíà Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.

Äðóãàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ÷àñòî âîçìîæíî îïðåäåëèòü êëàññ ìíîæåñòâ, â òî âðåìÿ êàê íè îäíîãî îáúåêòà èç ýòîãî êëàññà îïðåäåëèòü (ðàçëè÷èòü) íå óäàåòñÿ. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò êëàññ íåèçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Îäíàêî äî ñèõ ïîð íèêòî íå ñìîã ïîñòðîèòü (äàòü) èíäèâèäóàëüíîãî ïðèìåðà íåèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà.

5. Проблема существования в математике

 êîíöå XIX è íà÷àëå ÕÕ âåêà èññëåäîâàíèÿ ïî âîïðîñàì îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èìåëè ïðåèìóùåñòâåííî ïðåîäîëåíèå ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ òðóäíîñòåé.

1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà â ýòî âðåìÿ ôóíäàìåíòîì ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — îñíîâîé ìåòîäîâ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí. Âìåñòå ñ òåì ñàìà òåîðèÿ ìíîæåñòâ îêàçàëàñü íåîáîñíîâàííîé â ðÿäå ðåøàþùèõ ïóíêòîâ (ãèïîòåçà êîíòèíóóìà, ïðîáëåìà óïîðÿäî÷èâàíèÿ).

2.  òåîðèè ìíîæåñòâ áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè), óñòðàíåíèå êîòîðûõ — êàê ïîêàçàëè èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ è ëîãèêîâ, íà÷èíàÿ ñ Ðàññåëà — îêàçàëîñü îòíþäü íå ïðîñòûì äåëîì.

3. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ îêàçàëèñü èìåþùèìè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêóþ, íî è ëîãè÷åñêóþ ïðèðîäó; â ýòîé ñâÿçè åñòåñòâåííî âîçíèê âîïðîñ î ñðåäñòâàõ ëîãèêè, äîïóñòèìûõ â ìàòåìàòèêå.

Ýòè òðóäíîñòè ïîñòàâèëè ïåðåä ìàòåìàòèêàìè ïðîáëåìó ïîíèìàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðèìåíåíèè ê ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòàì.

×òîáû ëó÷øå óÿñíèòü ñìûñë ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòàíîâè ñíà÷àëà ðàçëè÷èå ìåæäó òàê íàçûâàåìûìè ýôôåêòèâíûìè è íåýôôåêòèâíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè ñóùåñòâîâàíèÿ. Ýòè ðàçëè÷èÿ ìû ïîñòàðàåìñÿ îïèñàòü ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâëåíèÿì, ãîñïîäñòâîâàâøèõ â ìàòåìàòèêå ïðèìåðíî äî êîíöà 20-õ — íà÷àëà 40-õ ãîäîâ ÕÕ âåêà.

Äîêàæåì, ÷òî

êàêîâû áû íè

áûëè

íàòóðàëüíûå

÷èñëà Ð1, ., Ð

ï,

ñóùåñòâóåò

íàòóðàëüíîå

÷èñëî Ð,

âçàèìíî

ïðîñòîå ñ

êàæäûì èç

ýòèõ ÷èñåë.

Ðàññìîòðèì

÷èñëî Ð=Ð1*.*Ð

ï+1; ïðè

äåëåíèè íà

ëþáîå èç

÷èñåë Ð1, ., Ð

ï ýòî ÷èñëî

äàåò â

îñòàòêå 1.

Ñëåäîâàòåëüíî,

îíî âçàèìíî

ïðîñòîå ñ

êàæäûì èç

÷èñåë Ð1, ., Ð

ï. Èòàê,

÷èñëî Ð

ñóùåñòâóåò.

Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ýôôåêòèâíî. Ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå ÷èñëà Ð òåì, ÷òî ïîêàçàëè, êàê ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàéòè ýòî ÷èñëî. Ê ÷èñëó ýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ îòíîñÿòñÿ òàêæå äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë äëÿ ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé, äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ò. ï. Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, ñ÷èòàþòñÿ îáîñíîâàííûìè ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, àðèôìåòèêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îïåðàöèÿ ïåðåõîäà ê ïðåäåëó.

Âîîáùå âñÿêîå ýôôåêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî òåì è õàðàêòåðèçóåòñÿ, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàê èëè èíà÷å îáîñíîâàííûõ ïîñûëîê îíî ïîçâîëÿåò èíäèâèäóàëüíî îõàðàêòåðèçîâàòü (âû÷èñëèòü, ïîñòðîèòü è ò. ï.) îáúåêò, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî äîêàçûâàþò.

Ðàññìîòðèì

òåïåðü

äðóãîé

ïðèìåð. ÷èñëî

íàçûâàåòñÿ

àëãåáðàè÷åñêèì,

åñëè îíî

ÿâëÿåòñÿ

êîðíåì

êàêîãî-ëèáî

àëãåáðàè÷åñêîãî

óðàâíåíèÿ ñ

öåëûìè

êîýôôèöèåíòàìè.

Íàïðèìåð,

÷èñëî : Три кризиса в развитии математики

àëãåáðàè÷åñêîå,

ò. ê. îíî

ÿâëÿåòñÿ

êîðíåì

óðàâíåíèÿ õ

2–2=0. Íàïðîòèâ,

÷èñëî, íå

óäîâëåòâîðÿþùåå

íèêàêîìó

àëãåáðàè÷åñêîìó

óðàâíåíèþ ñ

öåëûìè

êîýôôèöèåíòàìè,

íàçûâàåòñÿ

òðàíñöåíäåíòíûì

÷èñëîì.

Äîêàæåì,

ñëåäóÿ

Êàíòîðó,

ñóùåñòâîâàíèå

òðàíñöåíäåíòíûõ

÷èñåë.

Èçâåñòíî,

÷òî

ìíîæåñòâî

âñåõ

àëãåáðàè÷åñêèõ

÷èñåë

ñ÷¸òíî, â òî

âðåìÿ êàê

ìíîæåñòâî

âñåõ

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë

íåñ÷¸òíî.

Åñëè áû

òðàíñöåíäåíòíûå

÷èñëà íå

ñóùåñòâîâàëè,

êàæäîå

äåéñòâèòåëüíîå

÷èñëî áûëî

áû

àëãåáðàè÷åñêèì

è,

ñëåäîâàòåëüíî,

ìíîæåñòâî

âñåõ

äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë áûëî

áû ñ÷åòíûì.

÷òîáû

èçáåæàòü

ïðîòèâîðå÷èÿ

îñòàåòñÿ

ïðèíÿòü, ÷òî

òðàíñöåíäåíòíûå

÷èñëà

ñóùåñòâóþò,

õîòü

äîêàçàòåëüñòâî

íå äàåò íàì

íè îäíîãî

ïðèìåðà

òðàíñöåíäåíòíîãî

÷èñëà. Ýòî

ïðèìåð

íåýôôåêòèâíîãî

äîêàçàòåëüñòâà.

Â

íåýôôåêòèâíûõ

äîêàçàòåëüñòâàõ

ñóùåñòâîâàíèÿ

(îñíîâàííûå,

íàïðèìåð, íà

ïðèíöèïå

èñêëþ÷åííîãî

òðåòüåãî) íå

äàåòñÿ

íèêàêîãî

ïðèìåðà

îáúåêòîâ,

ñóùåñòâîâàíèå

êîòîðûõ

äîêàçûâàåòñÿ.

Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ ÿâèëèñü äîïîëíèòåëüíûì (íî íå åäèíñòâåííûì) îñíîâàíèåì ïîñòàâèòü ïîä ñîìíåíèå íå òîëüêî ýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ, áàçèðóþùèåñÿ íà àêñèîìå Öåðìåëî, íî è ëþáûå íåýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ìîæíî ëè, ñïðàøèâàëè ìàòåìàòèêè, âûñêàçûâàâøèå ýòè ñîìíåíèÿ, ñ÷èòàòü ñóùåñòâóþùèì ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, êîòîðûé ìû íå óìååì ïîñòðîèòü, ìíîæåñòâî, íå îäíîãî ýëåìåíòà êîòîðîãî ìû íå ñóìååì óêàçàòü?

Êàêîå çíà÷åíèå èìåëè ñîìíåíèÿ â ïðàâîìåðíîñòè íåýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ìàòåìàòèêè íà÷àëà ÕÕ âåêà? Î÷åíü áîëüøîå! Îíè, ïî ñóòè, ñòàâèëè ïîä ñîìíåíèå êîíöåïöèþ Êàíòîðà, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå îáîñíîâàíèå ìàòåìàòèêè è ðÿä êîíêðåòíûõ ðåçóëüòàòîâ êëàññè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.

Íîâîå â ïîñòàíîâêå ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå íà÷àëà ÕÕ âåêà ñîñòîÿëî â òîì, ÷òî ýòà ïðîáëåìà ìíîãî øèðå è ãëóáæå, ÷åì ðàíüøå, çàõâàòèëà îñíîâíûå âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè è ëîãèêè è îêàçàëàñü òåñíî ñâÿçàííîé è ñ ôèëîñîôèåé.

Список литературы.

1. È. Í. Áóðîâà. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ è äèàëåêòèê.

2. À. Í. Êîëìîãîðîâ. Ìàòåìàòèêà â å¸ èñòîðè÷åñêîì ðàçâèòèè.

3. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ.

4. Â. Í. Ìîëîäøèé. Î÷åðêè ïî ôèëîñîôñêèì âîïðîñàì ìàòåìàòèêè.

5. Ã. È. Ðóçàâèí. Î ïðèðîäå ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ.

6. Ôèëîñîôñêèå ïðîáëåìû åñòåñòâîçíàíèÿ. Ïîä ðåä. Ñ. Ò. Ìèëþõèíà.

7. È. Ç. Öåõìèñòðî. Äèàëåêòèêà ìíîæåñòâåííîãî è åäèíîãî.

8. Ñ. À. ßíîâñêàÿ. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðîáëåìû íàóêè.

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011