: Три кризиса в развитии математики
ÐÅÖÅÍÇÈß
íà äèïëîìíóþ ðàáîòó ñòóäåíòà V êóðñà
ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÀÃÏÈ
Áîëüøàêîâà À. À. íà òåìó:
“Òðè êðèçèñà â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè”
Ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè íå îäíàæäû ïðèâîäèëî â ïðîøëîì ê íåîáõîäèìîñòè îñìûñëåíèÿ è ïåðåñòðîéêè å¸ îñíîâ. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. ïîñâÿùåíà îáçîðó òðåõ ïåðèîäîâ èíòåíñèâíûõ ïîèñêîâ ïóòåé ïðåîäîëåíèÿ íàêîïèâøèõñÿ âíóòðåííèõ ïðîòèâîðå÷èé: àíòè÷íûé ïåðèîä, ïåðèîä îáîñíîâàíèÿ àíàëèçà è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé ïåðèîä.
 ðàáîòå ïðèâîäèòñÿ ìíîãî èíòåðåñíûõ èñòîðè÷åñêèõ ñâåäåíèé. Ïîêàçàíû íåïðîñòûå ïóòè ôîðìèðîâàíèÿ íåêîòîðûõ îñíîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé.
Àâòîð ïîêàçûâàåò ãëóáîêîå ïðîíèêíîâåíèå â òåìó è õîðîøåå âëàäåíèå ìàòåðèàëîì. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. çàñëóæèâàåò âûñîêîé îöåíêè.
Çàâåäóþùèé êàôåäðîé
ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà,
êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ
íàóê
Çàõàðîâ Ñ. À.
Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
Àñòðàõàíñêèé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ. Ì. Êèðîâà
Òðè êðèçèñà
â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè
ÄÈÏËÎÌÍÀß ÐÀÁÎÒÀ
студента физико-математического
факультета
Большакова Александра Анатольевича
Научный руководитель
Ованесов Н. Г.
Àñòðàõàíü · 96
Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå
I. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â äðåâíåé Ãðåöèè îò Ïèôàãîðà äî Åâêëèäà.
1. Ìàòåìàòèêà ïèôàãîðåéöåâ
2. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòè â äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêå
3. Òðè çíàìåíèòûõ çàäà÷è äðåâíîñòè
4. Ïðåîäîëåíèå êðèçèñà îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè
II. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â XVIII è â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà
1. Îñîáåííîñòè ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â êîíöå XVII è â XVIII âåêå
2. Ðàçðàáîòêà ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII è ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà
III. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XIX âåêà è íà÷àëà XX âåêà
1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà
2. Òðóäíîñòè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Êðèòèêà êîíöåïöèè Ã. Êàíòîðà
3. Ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) òåîðèè ìíîæåñòâ
4. Àêñèîìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ ïî Öåðìåëî
5. Ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû.
Введение
Ñîçäàíèå íîâûõ è äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ñóùåñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ñâÿçàíî îáû÷íî ñ óòî÷íåíèåì (îáîáùåíèåì) èõ èñõîäíûõ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ïîñûëîê è îñíîâàííûõ íà íèõ ìåòîäîâ. Ìàòåìàòèêè íåðåäêî âñòðå÷àëèñü ñ òðóäíîñòÿìè, ïðåîäîëåòü êîòîðûå èì óäàâàëîñü òîëüêî ïîñëå ïðîäîëæèòåëüíûõ ïîèñêîâ. Ýòè òðóäíîñòè ðîñòà ìàòåìàòèêè — òðóäíîñòè å¸ îáîñíîâàíèÿ: îíè áûëè, åñòü è áóäóò â äàëüíåéøåì.
Òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èãðàþò íàèáîëåå çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè òîãäà, êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â êîðåííîé ïåðåðàáîòêå îñíîâ è ìåòîäîëîãèè âñåõ (èëè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà) ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò î êðèçèñå îñíîâ ìàòåìàòèêè. Èçâåñòíû òðè òàêèõ êðèçèñà.
Âïåðâûå êðèçèñ îñíîâ íàóê âîçíèê â ìàòåìàòèêå â äðåâíåé Ãðåöèè, â íà÷àëå å¸ ôîðìèðîâàíèÿ êàê íàó÷íîé ñèñòåìû. Âòîðîé èìåë ìåñòî â êîíöå XVII è â XVIII âåêå. Òðåòèé âîçíèê â êîíöå XIX âåêà, îí íå ïðåîäîëåí è â íàøå âðåìÿ è îêàçûâàåò âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè.
Ìû ðàññìîòðèì ñóùíîñòü ýòèõ êðèçèñîâ ìàòåìàòèêè, èìåÿ â âèäó ïðåèìóùåñòâåííî ïîäòâåðæäåíèå âûâîäîâ, ñäåëàííûõ ðàíåå î çàêîíîìåðíîñòÿõ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè êàê òåîðèè.
I. Способы обоснования математики в
древней Греции от Пифагора до Евклида. 1. Математика пифагорейцев
Ìàòåìàòèêà êàê òåîðèÿ ïîëó÷èëà ðàçâèòèå â øêîëå Ïèôàãîðà (571–479 ãã. äî í. ý.).
Ãëàâíîé çàñëóãîé ïèôàãîðåéöåâ â îáëàñòè íàóêè ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîå ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè êàê ïî ñîäåðæàíèþ, òàê è ïî ôîðìå. Ïî ñîäåðæàíèþ — îòêðûòèå íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ. Ïî ôîðìå — ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè êàê òåîðåòè÷åñêèõ, äîêàçàòåëüíûõ íàóê, èçó÷àþùèõ ñâîéñòâà îòâëå÷åííûõ ïîíÿòèé î ÷èñëàõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîðìàõ.
Äåäóêòèâíîå ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè ÿâèëîñü ìîùíûì ñòèìóëîì å¸ äàëüíåéøåãî ðîñòà.
Ïèôàãîðåéöû
ðàçâèëè è
îáîñíîâàëè
ïëàíèìåòðèþ
ïðÿìîëèíåéíûõ
ôèãóð:
ó÷åíèå î
ïàðàëëåëüíûõ
ëèíèÿõ,
òðåóãîëüíèêàõ,
÷åòûðåõóãîëüíèêàõ,
ïðàâèëüíûõ
ìíîãîóãîëüíèêàõ.
Ïîëó÷èëà
ðàçâèòèå
ýëåìåíòàðíàÿ
òåîðèÿ
îêðóæíîñòè
è êðóãà.
Íàëè÷èå ó
ïèôàãîðåéöåâ
ó÷åíèÿ î
ïàðàëåëüíûõ
ëèíèÿõ
ãîâîðèò î
òîì, ÷òî îíè
âëàäåëè
ìåòîäîì
äîêàçàòåëüñòâà
îò
ïðîòèâíîãî
è âïåðâûå
äîêàçàëè
òåîðåìó î
ñóììå óãëîâ
òðåóãîëüíèêà.
Âåðøèíîé
äîñòèæåíèé
ïèôàãîðåéöåâ
â
ïëàíèìåòðèè
ÿâëÿåòñÿ
äîêàçàòåëüñòâî
òåîðåìû
Ïèôàãîðà.
Ïîñëåäíÿÿ çà
ìíîãî
ñòîëåòèé
ðàíüøå áûëà
ñôîðìóëèðîâàíà
âàâèëîíñêèìè,
êèòàéñêèìè
è
èíäèéñêèìè
ó÷åíûìè,
îäíàêî å¸
äîêàçàòåëüñòâî
èì íå áûëî
èçâåñòíî.
Óñïåõè ïèôàãîðåéöåâ â ñòåðåîìåòðèè áûëè çíà÷èòåëüíûìè. Îíè çàíèìàëèñü èçó÷åíèåì ñâîéñòâ øàðà, îòêðûëè ïîñòðîåíèå ÷åòûðåõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ — òåòðàýäðà, êóáà, îêòàýäðà è äîäåêàýäðà (èêîñàýäð èññëåäîâàë âïîñëåäñòâèè Ãåýòåò).
Îäíàêî îíè
íå ñìîãëè
îáîñíîâàòü
óòâåðæäåíèÿ,
îòíîñÿùèåñÿ
ê îáúåìàì
òåë
(ïèðàìèäû,
êîíóñà,
öèëèíäðà è
øàðà), õîòÿ,
êîíå÷íî, ýòè
óòâåðæäåíèÿ
áûëè
óñòàíîâëåíû
ýìïèðè÷åñêè
ìíîãî âåêîâ
ðàíüøå. Íå
çíàëè
ïèôàãîðåéöû
è îòíîøåíèÿ
ïîâåðõíîñòè
øàðà ê
áîëüøîìó
êðóãó. Â
îáëàñòè
àðèôìåòèêè
ïèôàãîðåéöû
èçó÷àëè
ñâîéñòâà
÷åòíûõ è
íå÷åòíûõ,
ïðîñòûõ è
ñîñòàâíûõ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë,
èñêàëè
ñîâåðøåííûå
÷èñëà, ò. å.
òàêèå,
êîòîðûå
ðàâíû ñóììå
âñåõ ñâîèõ
äåëèòåëåé
(íàïðèìåð, 6=1+2+3;
28=1+2+4+7+14). Ïî
âèäèìîìó,
îíè
óñòàíîâèëè,
÷òî åñëè
÷èñëî 2ï–1
ÿâëÿåòñÿ
ïðîñòûì, òî
÷èñëî 2ï–1´(2
ï–1) —
ñîâåðøåííîå.
Ïèôàãîðåéöû
çíàëè òàêæå
äðîáíûå
÷èñëà è â
ýòîé ñâÿçè
ðàçðàáîòàëè
òåîðèþ
àðèôìåòè÷åñêîé
è
ãåîìåòðè÷åñêîé
ïðîïîðöèé.
Îíè âëàäåëè
ïîíÿòèÿìè
ñðåäíåãî
àðèôìåòè÷åñêîãî,
ñðåäíåãî
ãåîìåòðè÷åñêîãî
è ñðåäíåãî
ãàðìîíè÷åñêîãî.
Êàê íè âåëèêè çàñëóãè ïèôàãîðåéöåâ â ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñèñòåìàòèçàöèè ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè, îäíàêî âñå îíè íå ìîãóò ñðàâíèòüñÿ ñî ñäåëàííûì èìè æå îòêðûòèåì íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí. Ýòî îòêðûòèå ÿâèëîñü ïîâîðîòíûì ïóíêòîì â èñòîðèè àíòè÷íîé ìàòåìàòèêè.
Ïî ïîâîäó ýòîãî îòêðûòèÿ Àðèñòîòåëü ãîâîðèë, ÷òî Ïèôàãîð ïîêàçàë, ÷òî åñëè áû äèàãîíàëü êâàäðàòà áûëà áû ñîèçìåðèìà ñ åãî ñòîðîíîé, òî ÷åòíîå ðàâíÿëîñü áû íå÷åòíîìó.
 Ðèñ. 1
|
Ýòî çàìå÷àíèå Àðèñòîòåëÿ ÿñíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåñîèçìåðèìîñòè äèàãîíàëè êâàäðàòà ñ åãî ñòîðîíîé Ïèôàãîð èñïîëüçîâàë ìåòîä îò ïðîòèâíîãî (ðèñ. 1).
Ïóñòü, äåéñòâèòåëüíî, äèàãîíàëü ÀÂ ñîèçìåðèìà ñî ñòîðîíîé ÀÑ êâàäðàòà ÀÑÂÄ.
Òîãäà  , ãäå ð è q — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Äðîáü  ìîæíî ñ÷èòàòü íåñîêðàòèìîé (èíà÷å å¸ ìîæíî áûëî áû ñîêðàòèòü); çíà÷èò, ð èëè q áóäåò ÷èñëîì íå÷åòíûì.
Ïðèìåì ÀÑ=1. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà äîëæíî áûòü:
 ;
Çíà÷èò
 ,
ò. å. ð2 äåëèòñÿ íàöåëî íà 2; ñëåäîâàòåëüíî è ð òàêæå äåëèòñÿ íàöåëî íà 2:
ð=2ð1,
ãäå ð1 — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:
q=2q1,
ãäå q1 òàêæå íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Èòàê, ð è q —
îáà ÷åòíûå
÷èñëà.
Ïîñêîëüêó ð
èëè q — ÷èñëî
íå÷åòíîå,
âûõîäèò, ÷òî
÷åòíîå
÷èñëî ðàâíî
íå÷åòíîìó
÷èñëó. Â
êîíöå V âåêà
äî í. ý. Ôåîäîð
èç Êèðåíû
óñòàíîâèë,
÷òî
íåñîèçìåðèìîñòü
äèàãîíàëè
êâàäðàòà ñ
åãî
ñòîðîíîé íå
ÿâëÿåòñÿ
èñêëþ÷åíèåì.
Îí ïîêàçàë,
÷òî ñòîðîíû
êâàäðàòîâ,
ïëîùàäè
êîòîðûõ
ðàâíû 3, 5, 6, ., 17
íåñîèçìåðèìû
ñî ñòîðîíîé
åäèíè÷íîãî
êâàäðàòà.
Ïèôàãîð
ó÷èë, ÷òî
ñóùíîñòü
âñåõ âåùåé
åñòü ÷èñëî;
÷èñëî — ñàìè
âåùè;
ãàðìîíèÿ
÷èñåë —
ãàðìîíèÿ
ñàìèõ âåùåé.
Àðèñòîòåëü
ãîâîðèë, ÷òî
ó
ïèôàãîðåéöåâ
÷èñëà
ïðèíèìàëèñü
çà íà÷àëî è â
êà÷åñòâå
ìàòåðèè è â
êà÷åñòâå
[âûðàæåíèÿ
äëÿ] èõ
ñîñòîÿíèÿ è
ñâîéñòâ.
Îòêðûòèå íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí ñíà÷àëà “âûçâàëî óäèâëåíèå” (Àðèñòîòåëü). Ýòî åñòåñòâåííî: äî îòêðûòèÿ Ïèôàãîðà äðåâíåãðå÷åñêèå ìàòåìàòèêè ñ÷èòàëè, ÷òî ëþáûå äâà îòðåçêà èìåþò îáùóþ ìåðó, õîòÿ, ìîæåò áûòü, è î÷åíü ìàëóþ. Êîãäà, îäíàêî, ïèôàãîðåéöû óáåäèëèñü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí áåçóïðå÷íî, îíè ïîíÿëè, ÷òî èõ ôèëîñîôèÿ îêàçàëàñü â çàòðóäíèòåëüíîì ïîëîæåíèè.
Ïèôàãîðåéöû
çíàëè
òîëüêî
ïîëîæèòåëüíûå
öåëûå è
äðîáíûå
÷èñëà.
Ñëåäóÿ ñâîåé
ôèëîñîôñêîé
óñòàíîâêå,
îíè, ïî ñóòè
äåëà,
ñ÷èòàëè, ÷òî
êàæäàÿ âåùü
ìîæåò áûòü
îõàðàêòåðèçîâàíà
ïîëîæèòåëüíûì
öåëûì èëè
äðîáíûì
÷èñëîì,
êîòîðîå
“âûðàæàåò
ñóùíîñòü”
ýòîé âåùè.
Íà äåëå ýòî
îçíà÷àëî,
÷òî
ãåîìåòðèÿ
ñòðîèëàñü
íà áàçå
àðèôìåòèêè.
Îòêðûòèå
íåñîèçìåðèìûõ
îòðåçêîâ
çíàìåíîâàëî
ïîýòîìó
íà÷àëî
êðèçèñà
ïèôàãîðåéñêîé
ôèëîñîôèè è
ìåòîäîëîãè÷åñêèõ
îñíîâ
ðàçâèâàåìîé
èìè ñèñòåìû
ìàòåìàòèêè.
Ïîñëå
îáíàðóæåíèÿ
ñóùåñòâîâàíèÿ
íåñîèçìåðèìûõ
âåëè÷èí
ïåðåä
ïèôàãîðåéöàìè
îòêðûëèñü
äâå
âîçìîæíîñòè.
Ìîæíî áûëî
ïîïûòàòüñÿ
ðàñøèðèòü
ïîíÿòèå
÷èñëà çà
ñ÷åò
ïðèñîåäèíåíèÿ
ê
ðàöèîíàëüíûì
÷èñëàì
÷èñåë
èððàöèîíàëüíûõ,
îõàðàêòåðèçîâàòü
íåñîèçìåðèìûå
âåëè÷èíû
÷èñëàìè
èíîé ïðèðîäû
è òàêèì
îáðàçîì
âîññòàíîâèòü
ñèëó
ôèëîñîôñêîãî
ïðèíöèïà “âñå
åñòü ÷èñëî”.
Îäíàêî, ýòîò
ïóòü ñòîëü
åñòåñòâåííûé
è ïðîñòîé ñ
ñîâðåìåííîé
òî÷êè
çðåíèÿ, äëÿ
ïèôàãîðåéöåâ
áûë çàêðûò. Â
ýòîì ñëó÷àå
íàäî áûëî
ïîñòðîèòü
äîñòàòî÷íî
ñòðîãóþ
àðèôìåòè÷åñêóþ
òåîðèþ
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë, ÷òî
ïðè óðîâíå
ïèôàãîðåéñêîé
ìàòåìàòèêè
áûëî äåëîì
íåâûïîëíèìûì.
Ïîýòîìó
íàäî áûëî
èäòè ïî
äðóãîìó
ïóòè — ïî ïóòè
îïðåäåëåííîãî
ïåðåñìîòðà
èñõîäíûõ
ïðèíöèïîâ,
íàïðèìåð
ïðèíÿòü, ÷òî
ãåîìåòðè÷åñêèå
îáúåêòû
ÿâëÿþòñÿ
âåëè÷èíàìè
áîëåå îáùåé
ïðèðîäû, ÷åì
äðîáíûå è
öåëûå ÷èñëà,
è ïûòàòüñÿ
ñòðîèòü âñþ
ìàòåìàòèêó
íå íà
àðèôìåòè÷åñêîé,
à íà
ãåîìåòðè÷åñêîé
îñíîâå.
Èìåííî ýòîò
âòîðîé ïóòü
è èçáðàëè
ïèôàãîðåéöû,
à âñëåä çà
íèìè
áîëüøèíñòâî
äðåâíåãðå÷åñêèõ
ìàòåìàòèêîâ,
âïëîòü äî
Àðõèìåäà è
Àïîëëîíèÿ.
2. Проблема бесконечности в
древнегреческой философии и математике
 äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè ïîÿâèëîñü âïåðâûå ó ìàòåðèàëèñòîâ ìèëåòñêîé øêîëû. Àíàêñèìàíäð (610–546 ãã. äî í. ý.), ïåðååìíèê Ôàëåñà, ó÷èë: ìàòåðèÿ áåñêîíå÷íà â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè; âñåëåííàÿ áåñêîíå÷íà, ÷èñëî ìèðîâ áåñêîíå÷íî. Àíàêñèìåí (546 ã. äî í. ý. — ðàñöâåò äåÿòåëüíîñòè) ãîâîðèë: âå÷íûé êðóãîâîðîò ìàòåðèè — ýòî è åñòü áåñêîíå÷íîñòü.
Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ âïåðâûå ïîÿâëÿåòñÿ ó Àíàêñèãîðà (îêîëî 500–428 ãã. äî í. ý.).  ñî÷èíåíèè “Î ïðèðîäå” Àíàêñèãîð ïèñàë: âåùè áåñêîíå÷íî äåëèìû, íåò ïîñëåäíåé ñòóïåíè äåëèìîñòè ìàòåðèè; ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñåãäà èìååòñÿ íå÷òî áîëüøåå, ÷òî ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì.
Áåñêîíå÷íîñòü äëÿ Àíàêñîãîðà — ïîòåíöèàëüíàÿ; îíà ñóùåñòâóåò â äâóõ ôîðìàõ: êàê áåñêîíå÷íî ìàëîå è áåñêîíå÷íî áîëüøîå.  ìàòåìàòèêå òî÷êà çðåíèÿ Àíàêñàãîðà íàøëà áëàãîïðèÿòíóþ ïî÷âó áëàãîäàðÿ îòêðûòèþ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí — âåëè÷èí, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû ëþáîé, êàêîé óãîäíî ìàëîé, îáùåé ìåðîé.
Äåìîêðèò (îêîëî 560–570 ãã. äî í. ý.), ïî-âèäèìîìó, èçó÷àë òàê íàçûâàåìûå ðîãîâèäíûå óãëû (óãëû, îáðàçóåìûå äóãîé îêðóæíîñòè è êàñàòåëüíîé ê íåé).
Ïîñêîëüêó êàæäûé ðîãîâèäíûé óãîë “ìåíüøå” ëþáîãî ïðÿìîëèíåéíîãî óãëà, çäåñü ïîÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå àêòóàëüíî áåñêîíå÷íî ìàëîãî. Âïîñëåäñòâèè ïîÿâèëîñü è ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè.
Àðèñòîòåëü (384–322
ãã. äî í. ý.)
îò÷åòëèâî
ðàçëè÷àåò
äâà âèäà
áåñêîíå÷íîñòè:
ïîòåíöèàëüíóþ
è
àêòóàëüíóþ.
Ïîíÿòèå
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè
â äðåâíåé
Ãðåöèè íå
ïîëó÷èëî
ðàçâèòèÿ
êàê â
ôèëîñîôèè,
òàê è â
ìàòåìàòèêå.
Ìàòåìàòèêè
ñ÷èòàëè, ÷òî
“öåëîå áîëüøå
ëþáîé ñâîåé
÷àñòè” è, òåì
ñàìûì, ïî
ñóùåñòâó,
èñêëþ÷àëè
àêòóàëüíóþ
áåñêîíå÷íîñòü.
Ôèëîñîôû
(Àðèñòîòåëü,
íàïðèìåð)
äîêàçûâàëè
ïðîòèâîðå÷èâîñòü
ïîíÿòèÿ
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè
è òåì ñàìûì
ïîääåðæèâàëè
ìàòåìàòèêîâ.
Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè ïîäâåðãàëîñü ñåðüåçíîé êðèòèêå ñî ñòîðîíû Çåíîíà Ýëåéñêîãî (îêîëî 490–430 ãã. äî í. ý.). Çåíîí áûë ó÷åíèêîì Ïàðìåíèäà, ãëàâû ýëåéñêîé øêîëû. Ïàðìåíèä óòâåðæäàë, ÷òî áûòèå åäèíî, íåïîäâèæíî è íåèçìåííî. Äâèæåíèå, èçìåíåíèå — ýòî òîëüêî âèäèìîñòü, îáóñëîâëåííàÿ íåñîâåðøåíñòâîì íàøèõ îðãàíîâ ÷óâñòâ. Ìèð (áûòèå) ìîæåò áûòü ïîçíàí òîëüêî ðàçóìîì, íî íå ÷óâñòâàìè.
Çåíîí Ýëåéñêèé âûäâèíóë 45 àïîðèé (àíòèíîìèé), èìåÿ ïðè ýòîì öåëüþ ðàçâèòü è ëó÷øå îáîñíîâàòü ó÷åíèå Ïàðìåíèäà. Èç ýòèõ àíòèíîìèé äî íàøåãî âðåìåíè äîøëî òîëüêî 9. Âîò íàèáîëåå õàðàêòåðíûå èç íèõ.
Ïðîòèâ äâèæåíèÿ.
“Дихотомия”. Äâèæåíèÿ íåò, ïîòîìó ÷òî òî, ÷òî äâèæåòñÿ, äîëæíî äîéòè äî ñåðåäèíû, ïðåæäå ÷åì îíî äîéäåò äî êîíöà. Íî åñëè áû òåëî äîøëî äî ñåðåäèíû, îíî äîëæíî áûëî áû ðàíüøå äîéòè äî ñåðåäèíû ýòîé ñåðåäèíû è ò. ä. äî áåñêîíå÷íîñòè, à ýòî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì äâèæåíèå íå ìîæåò íà÷àòüñÿ.
“Ахиллес и черепаха”. Ìåäëåííûé â áåãå íèêîãäà íå áóäåò ïåðåãíàí áûñòðûì, ïîòîìó ÷òî òîò, êòî ïðåñëåäóåò, äîëæåí ñíà÷àëà äîñòè÷ü òî÷êè, èç êîòîðîé íà÷àë óáåãàþùèé, òàê ÷òî óáåãàþùèé âñåãäà áóäåò íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè âïåðåäè.
Çàñëóãà Çåíîíà Ýëåéñêîãî â ðàçâèòèè ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí âûÿâèë ðåàëüíóþ ïðîòèâîðå÷èâîñòü âðåìåíè, äâèæåíèÿ è ïðîñòðàíñòâà, à çíà÷èò è áåñêîíå÷íîñòü. Â. È. Ëåíèí ïèñàë, ÷òî Çåíîí íå îòðèöàë ÷óâñòâåííóþ äîñòîâåðíîñòü äâèæåíèÿ; åãî èíòåðåñîâàë âîïðîñ, êàê âûðàçèòü ñóùíîñòü äâèæåíèÿ â ëîãèêå ïîíÿòèé.
Îäíàêî, Çåíîí ïîñëåäíþþ çàäà÷ó íå ðåøèë, íå ðåøèëè å¸ è äðóãèå ó÷åíûå äðåâíåé Ãðåöèè.
3. Три знаменитых задачи древности
 ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè äðåâíåé Ãðåöèè âûäàþùóþñÿ ðîëü ñûãðàëè òðè çàäà÷è: òðèñåêöèÿ óãëà, óäâîåíèå êóáà (äåëèéñêàÿ çàäà÷à) è êâàäðàòóðà êðóãà.
Ïðîáóæäåíèå îñîáîãî èíòåðåñà ê ýòèì çàäà÷àì èìåííî â äðåâíåé Ãðåöèè íå ñëó÷àéíî. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòèêè êàê äåäóêòèâíîé ñèñòåìû, áàçèðóþùåéñÿ íà ãåîìåòðè÷åñêîì ôóíäàìåíòå äâå ïåðâûå çàäà÷è ïîÿâëÿþòñÿ êàê åñòåñòâåííûå îáîáùåíèÿ áîëåå ýëåìåíòàðíûõ çàäà÷. Çàäà÷à î êâàäðàòóðå êðóãà áûëà ïîëó÷åíà “ïî íàñëåäñòâó” îò äðåâíèõ åãèïòÿí è âàâèëîíÿí.
Трисекция угла. Äàí ÐÀÂÑ, òðåáóåòñÿ ðàçäåëèòü åãî íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è îòíîñèòñÿ ê ëþáîìó óãëó è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàäà÷è î äåëåíèè äàííîãî óãëà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè.
 Ðèñ. 2
|
Удвоение куба. Ïîñòðîèòü
êóá, îáúåì
êîòîðîãî â
äâà ðàçà
áîëüøå
îáúåìà
äàííîãî
êóáà.
Ïîñòðîèòü
êâàäðàò,
ïëîùàäü
êîòîðîãî â
äâà ðàçà
áîëüøå
ïëîùàäè
äàííîãî
êâàäðàòà.
Åñëè
ñòîðîíà
äàííîãî
êâàäðàòà à,
à èñêîìîãî
õ, òî õ2=2à
2;  .
Ñëåäîâàòåëüíî,
ñòîðîíà
èñêîìîãî
êâàäðàòà
ðàâíà
äèàãîíàëè
äàííîãî.
Îòñþäà
îñóùåñòâèìîñòü
ïîñòðîåíèÿ
öèðêóëåì è
ëèíåéêîé
èñêîìîãî
êâàäðàòà AA`CC`
(ðèñ. 2).
Âïîëíå åñòåñòâåííî áûëî ïåðåéòè îò ýòîé çàäà÷è íà ïëîñêîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâå: ïîñòðîèòü êóá, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà.
Квадратура круга. Ïîñòðîèòü êâàäðàò, ïî ïëîùàäè ðàâíûé äàííîìó êðóãó.
Íè îäíà èç óêàçàííûõ çàäà÷ íå ðàçðåøèìà öèðêóëåì è ëèíåéêîé.
4. Преодоление кризиса основ
древнегреческой математики
Ïèôàãîðåéöû çàëîæèëè îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé àëãåáðû. Òåýòåò è Åâêëèä óñòàíîâèëè êëàññèôèêàöèþ êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé.
Åâäîïñ ðàçâèë îáùóþ òåîðèþ ïðîïîðöèé — ãåîìåòðè÷åñêèé ýêâèâàëåíò òåîðèè ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë — è ðàçðàáîòàë ìåòîä èñ÷åðïûâàíèÿ — çà÷àòî÷íóþ ôîðìó òåîðèè ïðåäåëîâ, îñíîâàííóþ íà ãåîìåòðè÷åñêîé áàçå. Ýòè òåîðèè ñîçäàëè ïðî÷íûé êàðêàñ çäàíèÿ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè, ôóíäàìåíòîì êîòîðîãî áûëà ãåîìåòðèÿ; òåì ñàìûì ïðåîäîëåâàëèñü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ôàêòîì ñóùåñòâîâàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí.
×òîáû èçáåæàòü òðóäíîñòåé â îáîñíîâàíèè ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûõ ñ ïàðàäîêñàìè áåñêîíå÷íîñòè (Çåíîí, Àðèñòîòåëü), áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ äðåâíåé Ãðåöèè ïðåäïî÷ëè îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå èäåé áåñêîíå÷íîñòè è äâèæåíèÿ èëè ñâåñòè èõ ïðèìåíåíèå ê ìèíèìóìó.  êà÷åñòâå òàêîãî ìèíèìóìà áûëî ïðèíÿòî óòâåðæäåíèå î íåîãðàíè÷åííîé äåëèìîñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí.
Ðàññìîòðåíèå òðåõ çíàìåíèòûõ çàäà÷ ïðèâåëî äðåâíåãðå÷åñêèõ ó÷åíûõ ê óáåæäåíèþ, ÷òî ðåøåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷è ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ âûïîëíåííûì ñòðîãî ãåîìåòðè÷åñêè ëèøü ïðè óñëîâèè èñïîëüçîâàíèÿ òîëüêî (èäåàëüíûõ) öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Èñïîëüçîâàíèå ìåõàíè÷åñêèõ ñðåäñòâ â ãåîìåòðèè íå äîïóñêàåòñÿ.
Òîëüêî ïîñëå îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáîò ïèôàãîðåéöåâ, Òåýòåòà, Åâäîêñà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ, ïîñëå ñîãëàøåíèÿ î íåîáõîäèìûõ îãðàíè÷åíèÿõ è äîïóñòèìûõ ñðåäñòâàõ ïîñòðîåíèÿ, Åâêëèä íàïèñàë “Íà÷àëà”, ïîñâÿùåííûå îñíîâàì è ìåòîäàì äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè.  “Íà÷àëàõ” Åâêëèäà êðèçèñ îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè áûë ïðåîäîëåí — êîíå÷íî, äëÿ ñâîåãî âðåìåíè, è, äîáàâèì, ïðåîäîëåí íå âî âñåõ ïóíêòàõ è íå âñåãäà ñîâåðøåííûì îáðàçîì.
II. Способы обоснования математики в
XVIII и в первой половине XIX века 1. Особенности способов обоснования
математики в конце XVII и в XVIII веке
 êîíöå XVII è â XVIII âåêå âñå âîçðàñòàþùèå çàïðîñû ïðàêòèêè è äðóãèõ íàóê ïîáóæäàëè ó÷åíûõ ìàêñèìàëüíî ðàñøèðÿòü îáëàñòü è ìåòîäû èññëåäîâàíèé ìàòåìàòèêè. Ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íîñòè, äâèæåíèÿ è ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè âûäâèãàþòñÿ íà ïåðâîå ìåñòî, ñòàíîâÿòñÿ îñíîâîé íîâûõ ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè.
 êîíöå XVII è â XVIII
âåêå â
ìàòåìàòèêå
è ìåõàíèêå
áûëè
ïîëó÷åíû
êëàññè÷åñêèå
ðåçóëüòàòû
ôóíäàìåíòàëüíîãî
çíà÷åíèÿ.
Îñíîâíûì
çäåñü áûëî
ðàçâèòèå
äèôôåðåíöèàëüíîãî
è
èíòåãðàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ,
òåîðèè
äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé,
âàðèàöèîííîãî
èñ÷èñëåíèÿ
è
àíàëèòè÷åñêîé
ìåõàíèêè.
Çíà÷èòåëüíûå
ðåçóëüòàòû
áûëè
ïîëó÷åíû â
àëãåáðå è
òåîðèè
÷èñåë. À.
Ýéëåð, à âñëåä
çà íèì è
íåêîòîðûå
äðóãèå
ó÷åíûå
âòîðîé
ïîëîâèíû XVIII
âåêà
ïðîäåëàëè
áîëüøóþ
ðàáîòó ïî
ñèñòåìàòèçàöèè
ñîäåðæàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
äèñöèïëèí, â
ïåðâóþ
î÷åðåäü
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà, à
âìåñòå ñ íèì
àëãåáðû è
òðèãîíîìåòðèè.
Âìåñòå ñ òåì, â ðàññìàòðèâàåìûé ïåðèîä ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé — îñîáåííî äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ — ðåçêî îòñòàâàëè îò áóðíî ðàçâèâàþùåãîñÿ ñîäåðæàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ýòî îòñòàâàíèå ïðîÿâèëîñü â ðàçëè÷íûõ, ìåæäó ñîáîé ñâÿçàííûõ ôîðìàõ è ïðèòîì ñâîåîáðàçíî â îòäåëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ.
Îáùåé
÷åðòîé
ïîïûòîê
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè
ñ êîíöà XVII è
ïëàíîìåðíî
äî ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XVIII
âåêà áûëî
ñòðåìëåíèå
îáîñíîâàòü
êàæäóþ
ìàòåìàòè÷åñêóþ
òåîðèþ â
ïîëíîì
ñîîòâåòñòâèè
ñ èñòèíàìè
ýëåìåíòàðíîé,
“íèçøåé” (ïî
òåðìèíîëîãèè
Ô. Ýíãåëüñà)
ìàòåìàòèêè,
ò. å.
ýëåìåíòàðíîé
ìàòåìàòèêè,
êàêîé îíà
áûëà
ïðèìåðíî äî
îòêðûòèÿ
àíàëèòè÷åñêîé
ãåîìåòðèè.
Ýòî
ñòðåìëåíèå
ïðîÿâèëîñü â
äâóõ ôîðìàõ.
Ñíà÷àëà
ìàòåìàòèêè
ïûòàëèñü
âîçäâèãíóòü
ðàçâèâàåìûå
èìè
ìàòåìàòè÷åñêèå
òåîðèè íà
ôóíäàìåíòå,
ïîñòðîåííîì
â ñâîå âðåìÿ
äëÿ
îáîñíîâàíèÿ
“íèçøåé”
ìàòåìàòèêè.
Ýòî õîðîøî
ïîêàçûâàþò
ãîñïîäñòâîâàâøèå
â òî âðåìÿ
ñïîñîáû
îáîñíîâàíèÿ
àëãåáðû è
ó÷åíèÿ î
÷èñëå. Åñëè
æå òàêîå
ïîñòðîåíèå
ÿâíî íå
óäàâàëîñü
(÷òî áûëî
îñîáåííî
ÿñíî â
îòíîøåíèè
äèôôåðåíöèàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ
ñ ìîìåíòà
åãî
âîçíèêíîâåíèÿ),
òî
ñòàðàëèñü
îáîñíîâàòü
ìàòåìàòè÷åñêóþ
òåîðèþ íà
ïðèíöèïàõ,
ñïåöèàëüíî
äëÿ íå¸
ðàçðàáîòàííûõ,
ñîäåðæàíèå
êîòîðûõ
ìîæíî
ìàêñèìàëüíî
ñîãëàñîâàòü,
“ïðèìèðèòü”
(Ýíãåëüñ) ñ
èñòèíàìè
“íèçøåé”
ìàòåìàòèêè.
Èíà÷å ãîâîðÿ, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðèíöèïû è óòâåðæäåíèÿ “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ìåòàôèçè÷åñêè àáñîëþòèçèðîâàëèñü, ðàññìàòðèâàëèñü êàê íåçûáëåìûé ôóíäàìåíò êàæäîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.
 êîíöå XVII è îñîáåííî â ïåðâûõ òðåõ ÷åòâåðòÿõ XVIII âåêà îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû, óñòàíîâëåííûå â îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ÷àñòî ïåðåíîñèëèñü â íîâûå îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ, ñîâåðøåííî ôîðìàëüíî, ò. å. áåç îáîñíîâàíèÿ.
Çàêîíû àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôîðìèðîâàëèñü áåç óêàçàíèÿ ïåðåìåííûõ, äëÿ êîòîðûõ îíè ñïðàâåäëèâû, è áåç óêàçàíèÿ ãðàíèö èõ ïðèìåíèìîñòè. Òàêàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, åñòåñòâåííî, ðàñïðîñòðàíÿëàñü è íà îñíîâûâàþùèåñÿ íà íèõ àëãîðèòìû.
Ê ñåðåäèíå XVIII âåêà îïèñàííàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è àëãåáðû ñòàëà íàñòîëüêî îáùåïðèíÿòîé, ÷òî Ë. Ýéëåð ñ÷åë âîçìîæíûì èñòîëêîâàòü å¸ êàê îñíîâíîé ïðèíöèï ìåòîäîëîãèè àíàëèçà âîîáùå. Ñëó÷èëîñü ýòî ïðè ñëåäóþùèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ.
 íà÷àëå XVIII âåêà ìåæäó Ëåéáíèöåì è È. Áåðíóëëè âîçíèê ñïîð î “ïðèðîäå” ëîãàðèôìîâ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. È. Áåðíóëëè ïîëàãàë, ÷òî ïðè õ>0, ln(–x)=ln x, òàê êàê  .
Ëåéáíèö íå ñîãëàñèëñÿ ñ È. Áåðíóëëè; îí óòâåðæäàë, ÷òî îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ëîãàðèôìîâ, ïðè÷åì âñå îíè — ÷èñëà êîìïëåêñíûå. Ñðåäè äðóãèõ ñâîèõ àðãóìåíòîâ Ëåéáíèö óêàçàë, ÷òî ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ln x, óñòàíîâëåííîå äëÿ õ>0, íå îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâûì è äëÿ ln(–x).
Ïðè ïîìîùè îñîáîé àðãóìåíòàöèè Ë. Ýéëåð ðåøèë ñïîð â ïîëüçó Ëåéáíèöà. Îäíàêî óêàçàííûé àðãóìåíò Ëåéáíèöà Ýéëåð ðåøèòåëüíî îòêëîíèë. “Ýòî âîçðàæåíèå,— óêàçûâàë Ýéëåð,— åñëè áû îíî áûëî âåðíî, ïîêîëåáàëî áû îñíîâíîå ïîëîæåíèå âñåãî àíàëèçà, çàêëþ÷àþùååñÿ, â îñíîâíûõ ÷åðòàõ, â îáùíîñòè ïðàâèë è îïåðàöèé, ïðèçíàâàåìûõ ñïðàâåäëèâûìè, êàêîâà áû íè áûëà ïðèðîäà êîëè÷åñòâ, ê êîòîðûì îíè ïðèëàãàþòñÿ”.
Êàê ìû âèäèì, ïîäõîä ìàòåìàòèêîâ â XVIII âåêå ê âûÿñíåíèþ ãðàíèö ïðèëîæèìîñòè ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè è òðàêòîâêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè ÿâíî ìåòàôèçè÷åñêèìè.
 XVIII âåêå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íåðåäêî ïðîâîäèëè, îïèðàÿñü íà ãîñïîäñòâîâàâøèå òîãäà ìåõàíè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ. Íà÷àëî øèðîêîìó èñïîëüçîâàíèþ ìåõàíè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé êàê áàçû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëîæèë Íüþòîí â ñâîåì ó÷åíèè î ôëþåíòàõ è ôëþêñèÿõ. ×òî æå êàñàåòñÿ óêàçàííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, òî ïðîùå âñåãî âûÿñíèòü ñóòü äåëà íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.
 íàøå âðåìÿ
òåîðåìà î
ïðîõîæäåíèè
íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè
÷åðåç
íóëåâîå
çíà÷åíèå
äîêàçûâàåòñÿ
â
êëàññè÷åñêîì
ìàòåìàòè÷åñêîì
àíàëèçå
÷èñòî
àíàëèòè÷åñêè
ñ
èñïîëüçîâàíèåì
ïîíÿòèÿ
áåñêîíå÷íîãî
ìíîæåñòâà. Â
XVIII âåêå åñëè
ýòà òåîðåìà
è
äîêàçûâàëàñü,
òî ÷àùå
âñåãî
óêàçàíèåì
íà òî, ÷òî
íåïðåðûâíàÿ
êðèâàÿ f(x),
ñîåäèíÿþùàÿ
òî÷êè À è Â
,
ðàñïîëîæåííûå
â ïëîñêîñòè
ïî ðàçíûå
ñòîðîíû îñè
ÎÕ,
ñóùåñòâóåò
ïî ìåíüøåé
ìåðå îäíà
òî÷êà ñ
àáñöèññîé
õ=ñ, a<c<b, äëÿ
êîòîðîé f(ñ)=0
(ðèñ. 3).
Ðèñ. 3
Ïîäîáíîãî ðîäà ãåîìåòðèçàöèÿ íåðåäêî âñòðå÷àëàñü â ðóêîâîäñòâàõ ïî àëãåáðå è àðèôìåòèêå.
Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè ab=ba, ÿêîáû âåðíîãî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë è âåëè÷èí, îáû÷íî ñâîäèëè íà äâà ðàâíûõ, íî ðàçëè÷íî ðàñïîëîæåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 4).
Ðèñ. 4
Ýéëåð è
äðóãèå
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà
çàäàâàëè
ôóíêöèþ
îäíèì
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì
è îò ýòîãî
àíàëèòè÷åñêîãî
âûðàæåíèÿ å¸
íå îòäåëÿëè.
Ïðè ýòîì, ïîä
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì,
âîîáùå
ãîâîðÿ,
ïîíèìàëîñü
âûðàæåíèå,
êîòîðîå
ìîæíî
ïîëó÷èòü,
ñâÿçûâàÿ
ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè
(àëãåáðàè÷åñêèå
è íåêîòîðûå
òðàíñöåíäåíòàëüíûå,
îäíîãî èëè
íåñêîëüêèõ
àðãóìåíòîâ)
ïîñðåäñòâîì
ñëîæåíèÿ,
âû÷èòàíèÿ,
óìíîæåíèÿ è
äåëåíèÿ,
âîçâåäåíèÿ â
ñòåïåíü è
èçâëå÷åíèÿ
êîðíÿ,
ðåøåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé è
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ñ÷èòàëè, ÷òî
çàäàíèå
ôóíêöèè íà
ëþáîì
ïðîìåæóòêå
îïðåäåëÿåò
å¸ ïîâåäåíèå
íà âñåé îñè
ÎÕ.
Ñîîòâåòñòâåííî
ôóíêöèÿ
ïðåäñòàâëÿëàñü
êðèâîé,
÷àñòè
êîòîðîé
çàâèñÿò
äðóã îò äðóãà
è êîòîðóþ
ìîæíî
çàäàòü
îäíèì
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì
óêàçàííîãî
âèäà. Òàêèå
ôóíêöèè
ñ÷èòàëè
íåïðåðûâíûìè
(â ñìûñëå
Ýéëåðà),
íàçûâàëèñü
ïðàâèëüíûìè.
Ïðåäñòàâëåííàÿ
íà ÷åðòåæå
(ðèñ. 5)
íåïðåðûâíàÿ
â
ñîâðåìåííîì
ñìûñëå
ôóíêöèÿ ó=|õ|
â ñìûñëå
Ýéëåðà íå
áûëà
íåïðåðûâíîé.
Äåéñòâèòåëüíî,
åñëè
èñïîëüçîâàòü
çàïàñ
ôóíêöèé, ñ
êàêèì
ðàáîòàëè â XVIII
âåêå, òî ýòà
ôóíêöèÿ
äîëæíà áûòü
çàäàíà
äâóìÿ
ôîðìóëàìè:
f(x)=x, 0£x;
f(x)=–x, x£0.
Ðèñ. 5
Âìåñòå ñ
äðóãèìè
ìàòåìàòèêàìè
XVIII âåêà Ýéëåð
ñ÷èòàë, ÷òî
òàêîå
òîëêîâàíèå
ôóíêöèè è å¸
íåïðåðûâíîñòè
äîñòàòî÷íû
äëÿ
èíòåãðàëüíîãî
è
äèôôåðåíöèàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ
è òåîðèè
îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé.
Íî âîïðåêè
èì îí
ïîëàãàë
âîçìîæíûì
ðàññìàòðèâàòü
â òåîðèè
óðàâíåíèé ñ
÷àñòíûìè
ïðîèçâîäíûìè
è ôóíêöèè,
çàäàíèå
êîòîðûõ íà
îòðåçêå íå
îïðåäåëÿåò
èõ ïîâåäåíèÿ
â öåëîì, ò. å. â
åãî
òåðìèíàõ
ïðîèçâîëüíûå
ôóíêöèè.
Ýéëåð
òðàêòîâàë
íåïðåðûâíîñòü
òàêèõ
ôóíêöèé â
ñîâðåìåííîì
ñìûñëå è
íàçûâàë èõ
ñâÿçíûìè. Ê
òàêîìó
ðàñøèðåíèþ
ïîíÿòèÿ
ôóíêöèè
Ýéëåð ïðèøåë
â ñâÿçè ñ
àíàëèçîì
ðåçóëüòàòîâ
èññëåäîâàíèé
(ñâîèõ è
äðóãèõ
ìàòåìàòèêîâ)
î
êîëåáëþùèõñÿ
ñòðóíàõ.
Ðàññìàòðèâàÿ
òîëüêî
íåïðåðûâíîå
è
ìîíîòîííîå
èçìåíåíèå
ïåðåìåííûõ —
â òî âðåìÿ
òàê
ïîñòóïàëè â
ìåõàíèêå è
ãåîìåòðèè,—
Íüþòîí,
Äàëàìáåð è
íåêîòîðûå
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà
òîëêîâàëè
ïðåäåë òîëüêî
êàê òî, ÷òî
ïîðîæäàåòñÿ
ïåðåìåííîé,
ôàêòè÷åñêè
êàê
ïîñëåäíåå
çíà÷åíèå
ïåðåìåííîé
èëè êàê
ïîñëåäíåå
îòíîøåíèå
ïåðåìåííûõ.
Âîïðîñ,
äîñòèãàåò
ëè
ïåðåìåííàÿ
ýòîãî
ñâîåãî
ïîñëåäíåãî
çíà÷åíèÿ,
èëè ìîæåò
ïîäîéòè ê
íåìó êàê
óãîäíî
áëèçêî,
íèêàêîé
ðîëè íå
èãðàåò. Â
ïðàêòèêå
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
ïðåäåë
äåéñòâèòåëüíî
èçâëåêàëñÿ
èç
ïåðåìåííîé
êàê å¸
ïîñëåäíåå
çíà÷åíèå,
êîòîðîå îíà
ïðèíèìàåò
èëè ìîæåò
ïðèíÿòü. Â
êîíöå XVIII âåêà
Ëàçàð Êàðíî
íàçûâàåò
ïðåäåëîì
ïîñëåäíåå
çíà÷åíèå
ïåðåìåííîé,
êîòîðàÿ ê
íåìó
ïðèáëèæàåòñÿ.
Äàæå â 40-õ
ãîäàõ
ïðîøëîãî
ñòîëåòèÿ Â. Â.
Áóíèêîâñêèé
ñ÷èòàë
çàäà÷åé
äèôôåðåíöèàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ
“óëîâèòü
îòíîøåíèÿ
èçìåíÿþùèõñÿ
ïî
èçâåñòíîìó
çàêîíó
âåëè÷èí â òî
ñàìîå
ìãíîâåíèå,
êîãäà ýòè
âåëè÷èíû
èñ÷åçàþò”, ò.
å. óëîâèòü
ïîñëåäíåå
çíà÷åíèå
îòíîøåíèÿ
ïåðåìåííûõ.
Êàê ìû
óâèäèì ýòà
óçêàÿ (íî
âûäàâàåìàÿ
çà âñåîáùóþ)
òðàêòîâêà
ïîíÿòèÿ
ïðåäåëà
ñûãðàëà
îñîáî
âàæíóþ ðîëü â
ðàçâåðòûâàíèè
òðóäíîñòåé
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà â XVIII è
íà÷àëå XIX
âåêà.
Ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ ïîëàãàëè òàêæå, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x) â êàæäîé òî÷êå, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, èõ êîíå÷íîãî ÷èñëà èìååò ïðîèçâîäíóþ f`(x). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ÷àñòî ïîëàãàëè âîçìîæíûì ïðåäñòàâèòü íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ êðèâîé, êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, â êàæäîé òî÷êå èìååò êàñàòåëüíóþ.
 ïåðâîé
ïîëîâèíå XVIII
âåêà
ïîíÿòèå
÷èñëà
îïðåäåëÿëîñü
÷àùå âñåãî
ïî Åâêëèäó:
÷èñëî åñòü
ñîâîêóïíîñòü
åäèíèö. Âî
âòîðîé
ïîëîâèíå XVIII
âåêà ÷èñëî
èñòîëêîâûâàåòñÿ
ïðåèìóùåñòâåííî
êàê
ðåçóëüòàò
èçìåðåíèÿ
îäíîé
âåëè÷èíû
äðóãîé
âåëè÷èíîé
òîãî æå ðîäà,
ïðèíÿòîé çà
åäèíèöó. Íî
äàæå
ïîñëåäíåå,
çíà÷èòåëüíî
áîëåå
øèðîêîå,
èñòîëêîâàíèå
ïîíÿòèÿ
÷èñëà íå
îõâàòûâàëî
âñå â òî
âðåìÿ
èçâåñòíûå
âèäû ÷èñåë.
Äîñòàòî÷íî
âñïîìíèòü,
÷òî â XVII–XVIII
âåêàõ
ìàòåìàòèêè
çíàëè è ñ
óñïåõîì
èñïîëüçîâàëè
ïîíÿòèå
êîìïëåêñíîãî
÷èñëà.
Ïîýòîìó,
íàðÿäó ñ
ïîíÿòèåì
÷èñëà,
ïðèáåãàëè ê
ïðèáåãàëè ê
ïîíÿòèÿì î
ïîëîæèòåëüíûõ
è
îòðèöàòåëüíûõ
âåëè÷èíàõ, î
ìíèìûõ
âåëè÷èíàõ, î
âåëè÷èíàõ
ðåàëüíûõ è
ëîæíûõ è ò. ï.
Àëãåáðà òðàêòîâàëàñü êàê íàóêà, èçó÷àþùàÿ òîëüêî îáùèå ñâîéñòâà îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí.
Ïîëàãàëè, ÷òî êàæäàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ — òðèãîíîìåòðèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ò. ï. — ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íàäñòðîéêîé íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà è ïîýòîìó äîëæíà ñòðîèòüñÿ íà ôóíäàìåíòå ïîñëåäíåé.
Êîãäà îïèñàííûå âûøå èñòîëêîâàíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé, ïðèíöèïîâ è ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè ïîëó÷èëè äîñòàòî÷íî øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå, â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ íà÷àëè îáíàðóæèâàòüñÿ ïàðàäîêñû; â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàæå ïðèõîäèëè ê ëîæíûì çàêëþ÷åíèÿì, êîòîðûå, îäíàêî, ñ÷èòàëè èñòèííûìè.
Ïàðàäîêñû (è
ëîæíûå
çàêëþ÷åíèÿ)
îáíàðóæèëèñü
âïåðâûå â XVI–XVII
âåêàõ â
ó÷åíèè î
÷èñëå. Îíè
ñîõðàíèëè
ñâîþ ñèëó è â
XVIII âåêå.
Îñíîâîé èõ
áûëî òî, ÷òî
ïî÷òè äî
êîíöà XVIII âåêà
áîëüøèíñòâî
ìàòåìàòèêîâ
ïûòàëèñü
ïîñòðîèòü
ó÷åíèå î
÷èñëå (âïëîòü
äî
àðèôìåòèêè
êîìïëåêñíûõ
÷èñåë!) íà
ôóíäàìåíòå,
â ñâîå âðåìÿ
ðàçðàáîòàííîì
äëÿ
àðèôìåòèêè
êîëè÷åñòâåííûõ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
Îáû÷íûå,
âåðíûå äëÿ
êîëè÷åñòâåííûõ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë,
îïðåäåëåíèÿ
àðèôìåòè÷åñêèõ
äåéñòâèé è
âñå ïÿòü
çàêîíîâ
ñ÷åòà
çàðàíåå ïðè
ýòîì
ñ÷èòàëèñü
ñïðàâåäëèâûìè
â êàæäîé
îáëàñòè
÷èñåë. Â
ñâÿçè ñ ýòèì
íàõîäÿòñÿ
õàðàêòåðíûå
äëÿ âòîðîé
ïîëîâèíû XVII è XVIII
âåêà
“äîêàçàòåëüñòâà”
ïðàâèëà
çíàêîâ (–a)(–b)=+ab;
ñîìíåíèÿ â
èñòèííîñòè
ïðîïîðöèè +1: –1= –1: +1
(“êàê áîëüøåå,
äåëåííîå íà
ìåíüøåå,
ìîæåò áûòü
ðàâíî
ìåíüøåìó,
äåëåííîìó
íà áîëüøåå?”);
îòðèöàíèå
îáúåêòèâíîñòè
ïîíÿòèÿ
êîìïëåêñíîãî
÷èñëà è ò. ï.
Îäíàêî, äî
íà÷àëà XIX
âåêà
òðóäíîñòè
îáîñíîâàíèÿ
ó÷åíèÿ î
÷èñëå íå
ìåøàëè
óñïåøíîìó
èñïîëüçîâàíèþ
ïîíÿòèÿ
÷èñëà â
ìàòåìàòèêå,
òî÷íûõ
íàóêàõ è
òåõíèêå. Ýòî
èìåëî
îñíîâàíèåì
òî, ÷òî â
ëþáîé
îáëàñòè
÷èñåë, îò
íàòóðàëüíûõ
äî
êîìïëåêñíûõ,
âñå ïÿòü
çàêîíîâ
ñ÷åòà
âûïîëíÿþòñÿ.
Êðîìå òîãî, â
ýòîò ïåðèîä â
ìàòåìàòèêå
âåäóùåå
ïîëîæåíèå
ïðèíàäëåæàëî
ìàòåìàòè÷åñêîìó
àíàëèçó.
Ïîýòîìó
âîïðîñû
îáîñíîâàíèÿ
ó÷åíèÿ î
÷èñëå õîòÿ è
îáñóæäàëèñü
àêòèâíî, íî â
äåëå
ðàçðàáîòêè
îñíîâ
ìàòåìàòèêè
èãðàëè
âòîðîñòåïåííóþ
ðîëü.
Ó÷åíûå è ôèëîñîôû îáðàòèëè ñåðüåçíîå âíèìàíèå íà òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè ëèøü òîãäà, êîãäà Ëåéáíèö è Íüþòîí ðàçâèëè äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå.
Ëåéáíèö è
åãî
ïîñëåäîâàòåëè
— áðàòüÿ
Áåðíóëëè,
Ëîïèíòàëü è
äðóãèå —
òðàêòîâàëè
äèôôåðåíöèàëû
êàê
áåñêîíå÷íî
ìàëûå
ðàçíîñòè
îáû÷íûõ
êîíå÷íûõ
âåëè÷èí,
êàê òîãäà
ãîâîðèëè —
“ðåàëüíûõ”
âåëè÷èí.
Ïîýòîìó îíè
îáðàùàëèñü
ñ òåìè è
äðóãèìè
îäèíàêîâî è
â
èñ÷èñëåíèè
ïðèìåíÿëè ê
ïåðâûì òå æå
ïðèåìû,
êîòîðûå
ñïðàâåäëèâû
ïðè
äåéñòâèÿõ
ñî âòîðûìè.
Âìåñòå ñ òåì
âûÿñíèëîñü,
÷òî òàêèì
îáðàçîì
òðàêòóåìûì
áåñêîíå÷íî
ìàëûì
ïðèñóùå
ñâîéñòâî,
ïðîòèâîðå÷àùåå
îäíîìó
îñíîâíîìó
ñâîéñòâó
îñíîâíûõ
êîíå÷íûõ
âåëè÷èí:
åñëè À —
êîíå÷íàÿ
âåëè÷èíà, à a
— áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ, òî,
÷òîáû
ðåçóëüòàò
èñ÷èñëåíèÿ
ïîëó÷àëñÿ
ñîâåðøåííî
òî÷íûì,
îêàçàëîñü
íåîáõîäèìûì
ïðîâîäèòü
âû÷èñëåíèÿ
â
ïðåäïîëîæåíèè,
÷òî À+a=À.
Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, çíà÷åíèå êîòîðîãî äëÿ ðàçâèòèÿ íàóêè è òåõíèêè áûëî âíå ñîìíåíèé, îêàçàëîñü â ïàðàäîêñàëüíîì ïîëîæåíèè: ÷òîáû åãî ìåòîäàìè ïîëó÷èòü òî÷íûé ðåçóëüòàò, íàäî áûëî èñõîäèòü èç îøèáî÷íîãî óòâåðæäåíèÿ.
Íüþòîí ïûòàëñÿ îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà çàêîíàõ ìåõàíèêè è ïîíÿòèè ïðåäåëà. Íî åìó íå óäàëîñü îñâîáîäèòü ñâîå èñ÷èñëåíèå ôëþêñèé îò íåäîñòàòêîâ, ïðèñóùèõ äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ Ëåéáíèöà.  ïðàêòèêå âû÷èñëåíèÿ Íüþòîí, êàê è Ëåéáíèö, ïðèìåíÿë ïðèíöèï îòáðàñûâàíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëûõ.
Ê. Ìàðêñ íàçûâàë äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå Ëåéáíèöà–Íüþòîíà ìèñòè÷åñêèì. Ýòèì îí õîòåë â ïåðâóþ î÷åðåäü ïîä÷åðêíóòü, ÷òî Ëåéáíèö è Íüþòîí ââîäèëè â äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûå ìåòàôèçè÷åñêè, ñðàçó ïîëàãàÿ èõ ñóùåñòâóþùèìè, áåç âûÿñíåíèÿ èõ âîçíèêíîâåíèÿ è ðàçâèòèÿ è áåç àíàëèçà ïðèðîäû èõ ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâ.
Ïàðàäîêñû âîçíèêëè è â òåîðèè ðÿäîâ. Íàïðèìåð, â XVIII âåêå ïîëàãàëè, ÷òî “ñóììà ðÿäà”
ðàâíà 0, òàê êàê
à
 .
Ìíîãî ñïîðîâ âûçâàë âîïðîñ î “ñóììå” ðÿäà
1–1+1–1.
ïîñêîëüêó, êàê ãîâîðèëè, “ñ îäíîé ñòîðîíû,
(1–1)+(1–1).=0,
à ñ äðóãîé —
1–(1–1)-(1–1).=1”.
Ïîïûòêè ïîñòðîèòü àíàëèç áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè è èñòèíàìè “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ñ ñàìîãî íà÷àëà ê óñïåøíûì ðåçóëüòàòàì íå ïðèâåëè. Ïîýòîìó Ëåéáíèö è åãî ïîñëåäîâàòåëè ïûòàëèñü îïðàâäàòü ïðèíöèïû àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ è òåîðèþ ðÿäîâ òàêæå ïóòåì ñðàâíåíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ñ ïåñ÷èíêîé, êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðè âû÷èñëåíèè âûñîòû ãîðû, ïîñðåäñòâîì ññûëîê íà âåðîÿòíîñòü è ò. ï.
 XVII–XVIII âåêàõ
ïîëó÷èë
ðàçâèòèå è
äðóãîé
ïîäõîä ê
“ñîãëàñîâàíèþ”
íîâûõ èñòèí
ìàòåìàòèêè
ñ “âå÷íûìè”
èñòèíàìè
“íèçøåé”
ìàòåìàòèêè.
Êîãäà
ïîíÿòèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîé
òåîðèè ðåçêî
îòëè÷àëèñü
îò
ðàññìàòðèâàåìûõ
â “íèçøåé”
ìàòåìàòèêå,
îíè
îáúÿâëÿëèñü
“âîîáðàæàåìûìè”
è
ðàññìàòðèâàëèñü
êàê
âñïîìîãàòåëüíûå
ôóíêöèè,
íåîáõîäèìûå
äëÿ
èçó÷åíèÿ
ñâîéñòâ
îáû÷íûõ
êîíå÷íûõ
âåëè÷èí.
Êðóïíåéøèå
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà
íåîäíîêðàòíî
ïûòàëèñü
äîêàçàòü,
÷òî ïîíÿòèå
êîìïëåêñíîãî
÷èñëà íå
äîïóñêàåò
íèêàêîãî
ðåàëüíîãî
èñòîëêîâàíèÿ.
Òàêèå æå
ïîïûòêè
ïðèíèìàëèñü
è â
îòíîøåíèè
ïîíÿòèÿ
áåñêîíå÷íî
ìàëîé
âåëè÷èíû. Íî
è íà ýòîì
ïóòè
óñòàíîâèòü
åäèíñòâî
ìíåíèé íå
óäàëîñü. Â
ýòî âðåìÿ,
êàæäàÿ
çàäà÷à,
îòíîñÿùàÿñÿ
ê âåëè÷èíàì,
èçó÷àåìûì â
ìåõàíèêå,
àñòðîíîìèè,
òåõíèêå è ò.
ï., åñëè è
äîïóñêàëî
ðåøåíèå, òî
îáû÷íî
ïîñëåäíåå
âûðàæàëîñü
ïðè ïîìîùè
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë
(äåéñòâèòåëüíûõ
êîðíåé);
êîìïëåêñíûå
÷èñëà
(êîìïëåêñíûå
êîðíè)
óêàçûâàëè
íà
íåâîçìîæíîñòü
å¸ ðåøåíèÿ. Â
êîíöå XVII è â XVIII
âåêå òîëüêî
íåñêîëüêî
ìàòåìàòèêîâ
— Âàëëèñ, Êþí, â
êîíöå æèçíè
Ýéëåð —
ñ÷èòàëè
ïîíÿòèå
êîìïëåêñíîãî
÷èñëà
äîïóñêàþùèì
ðåàëüíîå
èñòîëêîâàíèå.
 êîíöå XVIII âåêà
Âåññåëü
ðàçðàáîòàë
ïîëíîå
ãåîìåòðè÷åñêîå
èñòîëêîâàíèå
àðèôìåòèêè
êîìïëåêñíûõ
÷èñåë. Ïî
îñíîâíûì
ñâîéñòâîì,
âàæíûì äëÿ
àëãîðèòìîâ
àëãåáðû è
àíàëèçà,
êîìïëåêñíûå
÷èñëà íå
îòëè÷àþòñÿ
îò ÷èñåë
äåéñòâèòåëüíûõ.
Ïðåäñòàâëÿëàñü
âîçìîæíîñòü
îáúÿâèòü
êîìïëåêñíûå
÷èñëà
“âîîáðàæàåìûìè”
è, îáîéäÿ
âîïðîñû
îáîñíîâàíèÿ
èõ
àðèôìåòèêè,
îñòàâèòü èõ
â
ìàòåìàòèêå
â êà÷åñòâå
“ïîëåçíûõ
âñïîìîãàòåëüíûõ
ôóíêöèé”.
Íàïðîòèâ,
òðàêòîâêà
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ êàê
“ïîëåçíûõ
ôóíêöèé”
øèðîêîãî
ðàñïðîñòðàíåíèÿ
íå ïîëó÷èëà:
ìàòåìàòèêè
çíàëè
ìåõàíè÷åñêîå
è
ãåîìåòðè÷åñêîå
èñòîëêîâàíèå
dx è dy.
2. Разработка способов обоснования
математики в последней четверти XVIII
и первой половине XIX века
Ïðèìåðíî ñ ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà îáëàñòü ïðèëîæåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íà÷èíàåò çíà÷èòåëüíî ïåðåêðûâàòü ãðàíèöû åãî îáû÷íîãî ïðèëîæåíèÿ â ìåõàíèêå è ãåîìåòðèè. Åù¸ áûñòðåå ðàçâåðòûâàåòñÿ ýòîò ïðîöåññ â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà.
Ìàòåìàòèêè
ïûòàëèñü
ñíà÷àëà
ðåøàòü íîâûå
çàäà÷è
ìåòîäàìè,
ðàçðàáîòàííûìè
êëàññèêàìè
XVIII âåêà —
Ýéëåðîì,
Äàëàìáåðîì,
Ëàãðàíæåì è
äðóãèìè.
Îäíàêî,
âñêîðå
âûÿñíèëîñü,
÷òî ìåòîäû
êëàññèêîâ
íåäîñòàòî÷íû,
÷òî íàäî
ðàçâèâàòü
íîâûå, áîëåå
îáùèå è
ñèëüíûå
ìåòîäû.
Âûÿñíèëîñü
òàêæå, ÷òî
íåäîñòàòî÷íîñòü
ìåòîäîâ
êëàññèêîâ
íåðåäêî
ñâÿçàíà ñ
óçîñòüþ
òðàêòîâêè
îñíîâíûõ
ïîíÿòèé, ñ
“èçãîíÿåìûì”
ïîíÿòèåì î
áåñêîíå÷íî
ìàëîì, ñ
“èñêëþ÷åíèÿìè”,
êîòîðûå
ðàíüøå
îñòàâàëèñü
â òåíè.
Ïîÿñíèì ñêàçàííîå îäíèì ïðèìåðîì.
Íüþòîí è Ëåéáíèö ðàçðàáîòàëè äâå òðàêòîâêè ïîíÿòèÿ îáû÷íîãî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
Íüþòîí òðàêòîâàë îïðåäåëåííûé èíòåãðàë êàê ðàçíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè:
 ,
ãäå F`(x)=f(x).
Äëÿ Ëåéáíèöà îïðåäåëåííûé èíòåãðàë áûë ñóììîé âñåõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ äèôôåðåíöèàëîâ.
 .
Ïåðâàÿ òðàêòîâêà îòâå÷àëà òåõíèêå âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ïðè ïîìîùè ïåðâîîáðàçíîé ïåðâîîáðàçíîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, âòîðàÿ — ïîòîìó, ÷òî â ïðèëîæåíèÿõ îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ïîÿâëÿëñÿ êàê ïðåäåë èçâåñòíîãî âèäà ñóììû (èíòåãðàëüíîé ñóììû).
Ïðèìåðíî äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà ïåðâàÿ òðàêòîâêà ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà çàíèìàëà ãîñïîäñòâóþùåå ïîëîæåíèå. Ýòîìó ñïîñîáñòâîâàëè äâà îáñòîÿòåëüñòâà.
1. Ê íà÷àëó XVIII âåêà áûëè óñòàíîâëåíû ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è íà÷àëàñü óñïåøíàÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ èõ ïåðâîîáðàçíûõ (ðàöèîíàëüíûõ, îòäåëüíûõ êëàññîâ èððàöèîíàëüíûõ è òðàíñöåíäåíòíûõ ôóíêöèé). Áëàãîäàðÿ ýòîìó òî÷êà çðåíèÿ íüþòîíà âïîëíå îòâå÷àëà ðàçâèòèþ ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.
2. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå  êàê ïðåäåëà èíòåãðàëüíîé ñóììû ñòîëêíóëîñü ñ ìíîãèìè òðóäíîñòÿìè. Åñòåñòâåííî, ÷òî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî óêðåïëåíèþ òî÷êè çðåíèÿ Ëåéáíèöà íå ñïîñîáñòâîâàëî.
Ëåéáíèöåâî
èñòîëêîâàíèå
îáû÷íîãî
îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà
ñóùåñòâåííî
îïèðàëîñü íà
ïîíÿòèå î
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ, îò
êîòîðîãî
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà
õîòåëè
îñâîáîäèòü
ìàòåìàòè÷åñêèé
àíàëèç. Ýòî
òàêæå
ñïîñîáñòâîâàëî
óêðåïëåíèþ
òî÷êè
çðåíèÿ
Íüþòîíà.
Ôàêò ýòîò
õîðîøî
ïîäòâåðæäàëñÿ
òåì, êàê
Ýéëåð
èñïîëüçîâàë
ïîíÿòèå îá
èíòåãðàëüíîé
ñóììå. Ýéëåð
íå âîçðàæàë
ïðîòèâ
ïðèáëèæåííîãî
âû÷èñëåíèÿ
îïðåäåëåííûõ
èíòåãðàëîâ
ïðè ïîìîùè
ñîîòâåòñòâóþùèõ
èíòåãðàëüíûõ
ñóìì. Íî
ðàññìàòðèâàòü
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàë
êàê ïðåäåë
èíòåãðàëüíîé
ñóììû îí íå
ìîã. Â ýòîì
ñëó÷àå âñå
ñëàãàåìûå
èíòåãðàëüíîé
ñóììû
ñòàíîâèëèñü
áåñêîíå÷íî
ìàëûìè, ò. å., ñ
òî÷êè
çðåíèÿ
Ýéëåðà, áûëè
íóëÿìè.
Êîíå÷íî, è äî
ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XVIII
âåêà
êîíöåïöèÿ
Íüþòîíà
ñòàëêèâàëàñü
ñ
òðóäíîñòÿìè.
 ýòîò ïåðèîä
âñòðå÷àëèñü
ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè,
ïåðâîîáðàçíûå
êîòîðûõ íå
ìîãóò áûòü
âûðàæåíû
÷åðåç
ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè.
Çíàëè
ìàòåìàòèêè
è íåêîòîðûå
íåñîáñòâåííûå
èíòåãðàëû, â
òîì ÷èñëå è
ðàñõîäÿùèåñÿ.
Íî òàêîãî
ðîäà ôàêòû
áûëè
åäèíè÷íûìè
è
óñòàíîâèâøåéñÿ
ýôôåêòèâíîé
êîíöåïöèè
èíòåãðàëà
íàðóøèòü íå
ìîãëè. Èíûì
îêàçàëîñü
ïîëîæåíèå â
ïîñëåäíåé
÷åòâåðòè XVIII è
îñîáåííî â
íà÷àëå XIX
âåêà.
Ñ 70-õ ãîäîâ XVIII âåêà ðåøåíèå çàäà÷ àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè, ôèçèêè è äðóãèõ äèñöèïëèí ïîòðåáîâàëî çíà÷èòåëüíîå ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Îñîáîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàþò äâîéíûå è òðîéíûå èíòåãðàëû (Ýéëåð, Ëàãðàíæ, Ëàïëàñ è äð.).
Ðàçðàáîòêà ïðèåìîâ âû÷èñëåíèÿ äâîéíûõ è òðîéíûõ èíòåãðàëîâ ïîêàçàëà, ÷òî âû÷èñëÿòü ýòè èíòåãðàëû òàê, êàê âû÷èñëÿëè îáû÷íûé îïðåäåëåííûé èíòåãðàë — ïðè ïîìîùè íåîïðåäåëåííîãî, î÷åíü òðóäíî èëè äàæå íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ìàòåìàòèêè âûíóæäåíû áûëè ñîõðàíÿòü êîíöåïöèþ Íüþòîíà òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òî÷íûõ íàóê, ñòàëè íà ïóòü Ëåéáíèöà. Îíè âû÷èñëÿëè ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëüíûå ñóììû (â ïðÿìîóãîëüíûõ, öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ) è íàõîäèëè èõ ïðåäåëû.
Êîðî÷å
ãîâîðÿ,
ðàçðàáîòêà
ñïîñîáîâ
âû÷èñëåíèÿ
íîâûõ âèäîâ
îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà
ïîêàçàëà,
÷òî
îáûêíîâåííûé,
äâîéíîé è ò. ä.
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàëû
äîëæíû áûòü
îáîñíîâàíû
ñàìè ïî ñåáå
íåçàâèñèìî
îò ïîíÿòèÿ
íåîïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà.
Íî êàæäîå
ñëàãàåìîå
ëþáîé
èíòåãðàëüíîé
ñóììû
ÿâëÿåòñÿ
áåñêîíå÷íî
ìàëîé
âåëè÷èíîé.
Òåì ñàìûì íå
òîëüêî
ñòàâèëñÿ
âîïðîñ î
ëåãàëèçàöèè
ðàíåå
“èçãîíÿåìîãî”
ïîíÿòèÿ
áåñêîíå÷íî
ìàëîãî, íî è î
ðàñêðûòèè
åãî
ðåàëüíîãî
ñîäåðæàíèÿ è
î
ñîîòâåòñòâóþùåì
åãî
èñïîëüçîâàíèè.
Êàê óæå
óêàçûâàëîñü,
÷òîáû âñ¸
ýòî ñäåëàòü
íàäî áûëî
ïðåîäîëåòü —
îáîáùèòü,
ðàçâèòü
òðàäèöèîííîå
(ýéëåðîâî)
òîëêîâàíèå
ôóíêöèè è
ïîíÿòèÿ
ïðåäåëà.
Èçó÷åíèå
ôóíêöèé
ïîêàçàëî,
÷òî ôîðìóëà,
ïðåäñòàâëÿþùàÿ
ôóíêöèþ, è
ôóíêöèÿ, åþ
ïðåäñòàâëÿåìàÿ
— ýòî íå îäíî è
òî æå.
Ôîðìóëà
ÿâëÿåòñÿ
îðóäèåì
îäíîãî èç
ñïîñîáîâ
(àíàëèòè÷åñêîãî)
ïðåäñòàâëåíèÿ
ôóíêöèè.
Íàïðèìåð,
ôóíêöèÿ f(x)=|x|
ìîæåò áûòü
çàäàíà íà
ïðîìåæóòêå (–p; +p)
äâóìÿ
ôîðìóëàìè:
ó=õ, ó=–õ;
âìåñòå ñ òåì
îíà ìîæåò
áûòü çàäàíà
è îäíèì
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì,
à èìåííî —
ñõîäÿùèìñÿ
ê íåé
òðèãîíîìåòðè÷åñêèì
ðÿäîì.
 ïîëüçó ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ãîâîðèëè è èíûå ñîîáðàæåíèÿ. “Íîâåéøèå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè,— Ïèñàë Ðèìàí,— ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ (òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî â çàäàííîì ïðîìåæóòêå ïðåäñòàâèòü ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, áóäåò ëè çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû w îò âåëè÷èíû z çàäàíà ïðîèçâîëüíî èëè ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëû.”
Ïî-íîâîìó áûë ïîñòàâëåí âîïðîñ î íåïðåðûâíîñòè è òî÷êàõ ðàçðûâà ôóíêöèè. Ýéëåðîâî ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè áûëî îñòàâëåíî, êàê íå îòâå÷àþùåå îáùåìó ïîíÿòèþ ôóíêöèè. Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, à âñëåä çà íèìè è äðóãèå ìàòåìàòèêè âûäâèãàþò íà ïåðâîå ìåñòî îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè “íà ÿçûêå e è d”.
“Ñîãëàñíî
ïðàâèëüíîìó
îáúÿñíåíèþ,—
óêàçûâàë
Áîëüöàíî,—
ïîíèìàþò
ïîä
âûðàæåíèåì,
÷òî ôóíêöèÿ
f(x)
èçìåíÿåòñÿ
ïî çàêîíó
íåïðåðûâíîñòè
äëÿ âñåõ
çíà÷åíèé õ
, êîòîðûå
ëåæàò
âíóòðè èëè
âíå
èçâåñòíûõ
ãðàíèö; ëèøü
òî, ÷òî, åñëè
õ —
êàêîå-íèáóäü
èç ýòèõ
çíà÷åíèé,
òîãäà
ðàçíîñòü f(x+w)–f(x)
ìîæåò áûòü
ñäåëàíà
ìåíüøå, ÷åì
ëþáàÿ
çàäàííàÿ
âåëè÷èíà,
åñëè ìîæíî
ïðèíÿòü w
ñòîëü ìàëûì,
ñêîëüêî ìû
õîòèì”.
Êîøè ïèñàë: f(x) íåïðåðûâíà äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ õ, êîãäà “áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ïåðåìåííîé ïðîèçâîäèò áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðèðàùåíèÿ ñàìîé ôóíêöèè”.
Ñíà÷àëà òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè îïðåäåëÿëèñü ÷èñòî îòðèöàòåëüíî. Êîøè ïèñàë: “Êîãäà f(x) ïåðåñòàåò áûòü íåïðåðûâíî â ñîïðåäåëüíîñòè ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà äåëàåòñÿ ïðåðûâíîþ è ÷òî äëÿ ýòîãî ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïðîèñõîäèò ðàçðûâ íåïðåðûâíîñòè”.
Âî âòîðîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà òî÷êè
ðàçðûâà
ôóíêöèè f(x)
èçó÷àëè
Ïóàññîí,
Ëèáðè è äð. Â
ñâîèõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìåìóàðàõ
Ëèáðè ïèñàë,
÷òî âïåðâûå
ðàçðûâíûå
ôóíêöèè
ñäåëàëèñü
ïðåäìåòîì
èññëåäîâàíèé
â ðàáîòàõ
Äàíèèëà
Áåðíóëëè,
Ýéëåðà è
Äàëàìáåðà.
Îäíàêî,
ïîä÷åðêíóë
îí, òîëüêî
èññëåäîâàíèÿ
Ôóðüå,
Ïóàññîíà è
äðóãèõ
ìàòåìàòèêîâ
î ðàçðûâíûõ
ôóíêöèÿõ
ðàññåÿëè âñå
ñîìíåíèÿ,
êîòîðûå âñå
åù¸
ñâÿçûâàëèñü
ñ ïðèðîäîé
ýòèõ
ôóíêöèé.
Òî÷íîå
ðàçëè÷èå
ìåæäó
òî÷êàìè
ðàçðûâà
ïåðâîãî è
âòîðîãî ðÿäà
è,
ñîîòâåòñòâåííî
ýòîìó, èõ
ïðÿìûå
îïðåäåëåíèÿ
âîøëè â
ïðàêòèêó
ìàòåìàòè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé
âî âòîðîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà.
Íàêîíåö, â ñâÿçè ñî âñåì ýòèì âûÿñíèëîñü, ÷òî íå êàæäàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âìåñòå ñ òåì è äèôôåðåíöèðóåìîé. Ïåðâûé ïðèìåð íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íå èìåþùåé ïðîèçâîäíîé â êàæäîé òî÷êå, äàë Áîëüöàíî, îäíàêî åãî ïðèìåð â ñâîå âðåìÿ îñòàëñÿ ìàòåìàòèêàì íåèçâåñòíûì.
Âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà ïðèìåð òàêîãî ðîäà ôóíêöèè ïîñòðîèë Áåéåðøòðàññ. Ëîáà÷åâñêèé äàë òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè è ïîä÷åðêíóë ðàçëè÷èÿ ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà êëàññè÷åñêèé àíàëèç ñòàíîâèòñÿ íàóêîé î âñåõ âîçìîæíûõ âèäàõ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî â èõ îáùåì âèäå. Êîðåííîìó èçìåíåíèþ ïîäâåðãñÿ íå òîëüêî îáúåêò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà; ïðîèçîøëî êîðåííîå èçìåíåíèå è â ìåòîäàõ èçó÷åíèÿ ôóíêöèé.
Êàê óæå
óêàçûâàëîñü,
ðàçâèòèå
ïîíÿòèÿ
èíòåãðàëà è
ðàçðàáîòêà
òåõíèêè åãî
âû÷èñëåíèÿ
ïîêàçàëè,
÷òî
îïðåäåëåííûé
èíòåãðàë
(äâîéíîé,
òðîéíîé
èíòåãðàëû ïî
ïîâåðõíîñòè,
íåñîáñòâåííûå
èíòåãðàëû)
íåîáõîäèìî
îáîñíîâûâàòü
ñàìîñòîÿòåëüíî,
íåçàâèñèìî
îò ïîíÿòèÿ
íåîïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà. Â
ñâÿçè ñ ýòèì
âîçíèê
âîïðîñ î
ñóùåñòâîâàíèè
ïðåäåëîâ
èíòåãðàëüíûõ
ñóìì,
ñëàãàåìûå
êîòîðûõ áûëè
áû
áåñêîíå÷íî
ìàëûìè. Â
ïåðâîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà
ïîíÿòèå
áåñêîíå÷íî
ìàëîé
îêàçàëîñü
íåîáõîäèìûì
è äëÿ
èçó÷åíèÿ è
ñîïîñòàâëåíèÿ
ñâîéñòâ
íåïðåðûâíûõ
è ðàçðûâíûõ
ôóíêöèé.
“Ìåæäó
ìíîãèìè
ïîíÿòèÿìè,—
óêàçûâàë
Êîøè,— òåñíî
ñâÿçàííûìè
ñî
ñâîéñòâàìè
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ,
ñëåäóåò
ïîìåñòèòü
ïîíÿòèå î
íåïðåðûâíîñòè
è
ïðåðûâíîñòè
ôóíêöèé”. Òóò
æå Êîøè äàåò
èñòîëêîâàíèå
íåïðåðûâíîñòè
ôóíêöèè,
êîòîðîå
áîëåå ÷åì
ÿñíî
ïîäòâåðæäàåò
ÿñíîñòü
ýòîãî åãî
óòâåðæäåíèÿ.
Íîâàÿ
ïîñòàíîâêà
çàäà÷
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
ÿñíî
ïîêàçûâàëà,
÷òî äåëî íå
òîëüêî â
ïðèçíàíèè è
ïðèìåíåíèè
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ — ýòî
äåëàëè è
ðàíüøå!— íî
ïðåæäå âñåãî
â íàó÷íîì
èñòîëêîâàíèè
èõ
ñîäåðæàíèÿ è
îáîñíîâàííîì
íà ýòîì
èñïîëüçîâàíèè
èõ â
àëãîðèòìàõ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà.
Îäíàêî,
÷òîáû ýòî
ñäåëàòü íàäî
áûëî
ïðåîäîëåòü
ãîñïîäñòâîâàâøåå
â XVIII âåêå
óçêîå
òîëêîâàíèå
ïîíÿòèÿ
ïðåäåëà,
ðàçðàáîòàòü
îáùóþ
òåîðèþ
ïðåäåëîâ.
Ïîëó÷åíèå
îñíîâîïîëàãàþùèõ
ðåçóëüòàòîâ
ñâÿçàíî
çäåñü ñ
èìåíåì Êîøè.
Èçó÷åíèå
ðàçðûâíûõ
ôóíêöèé è
ñîïîñòàâëåíèå
èõ ñ
ôóíêöèÿìè
íåïðåðûâíûìè
çàñòàâèëî
ïðèçíàòü òî,
÷òî ðàíåå
ñ÷èòàëîñü
íåâîçìîæíûì:
÷òî ïðåäåë, ê
êîòîðîìó
ñòðåìèòüñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
çíà÷åíèé
ôóíêöèè, ïðè
ñòðåìëåíèè
àðãóìåíòà â
íåêîòîðîé
òî÷êå ìîæåò
îêàçàòüñÿ
îòëè÷íûì îò
çíà÷åíèÿ
ôóíêöèè â
ýòîé òî÷êå.
Çíà÷èò,
ïðåäåë íå
âñåãäà
ÿâëÿåòñÿ
“ïîñëåäíèì”
çíà÷åíèåì
ïåðåìåííîé,
íî âî âñåõ
ñëó÷àÿõ
ïðåäåë åñòü
÷èñëî, ê
êîòîðîìó
ïåðåìåííàÿ
ïðèáëèæàåòñÿ
íåîãðàíè÷åííî.
Ñëåäîâàòåëüíî,
dx è dy íå
íåîáõîäèìî
íóëè èëè
ìèñòè÷åñêè
àêòóàëüíî
áåñêîíå÷íî
ìàëûå;
áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ — ýòî
ïåðåìåííàÿ,
èìåþùàÿ
ïðåäåëîì
íóëü, ïðè÷åì
ôàêò ýòîò ñ
ïðîòèâîðå÷èÿìè
è
ïàðàäîêñàìè
íå ñâÿçàí.
Êîøè ïðåîäîëåë è âòîðóþ îãðàíè÷èòåëüíóþ òåíäåíöèþ â ïðèíÿòîé äî íåãî òðàêòîâêå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà. Îí ïðèçíàë, ÷òî ïåðåìåííàÿ ìîæåò ïðèáëèæàòüñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëó íå òîëüêî ìîíîòîííî, íî è êîëåáëÿñü, ïîðîé ïðèíèìàÿ çíà÷åíèÿ, ðàâíûå å¸ ïðåäåëó.
Êàê ñïðàâåäëèâî îòìåòèë Í. Í. Ëóçèí, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèäàëî òåîðèè Êîøè íåîáõîäèìóþ îáùíîñòü è èñêëþ÷èòåëüíóþ ãèáêîñòü.
×òî ïîçâîëèëî Êîøè ñäåëàòü ýòî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé øàã? Îòâåò, êîíå÷íî, íàäî èñêàòü ïðåæäå âñåãî â ñâîåîáðàçèè òåõ ïðåäåëüíûõ ïðîöåññîâ, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèëîñü âñòðå÷àòüñÿ â êîíöå XVIII è íà÷àëå XIX âåêà â òî÷íûõ íàóêàõ, îñîáåííî â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ê ÷èñëó òàêèõ ïðîöåññîâ íàäî â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíåñòè îòûñêàíèå ïðåäåëîâ ðàçëè÷íîãî âèäà èíòåãðàëüíûõ ñóìì è íàõîæäåíèå ñóìì ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, îñîáåííî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ.
Âûïîëíåííûå Êîøè îáîáùåíèÿ òåîðèè ïðåäåëîâ Íüþòîíà-Äàëàìáåðà ïîçâîëèëè åìó äàòü ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå è ïîäâåñòè ïîä àëãîðèòì Ëåéáíèöà-Íüþòîíà äîñòàòî÷íûé íàó÷íûé ôóíäàìåíò. Áëàãîäàðÿ ýòîìó Êîøè ñìîã ïîäâåñòè íàó÷íûé ôóíäàìåíò ïîä ó÷åíèå î íåïðåðûâíîñòè è ðàçðûâàõ ôóíêöèé, îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå è, ÷òî îñîáåííî âàæíî, ðàçâèòü íà÷àëà íàó÷íîé êîíöåïöèè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
 ïðîöåññå òàêèõ èññëåäîâàíèé Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, Äèðèõëå, à âñëåä çà íèìè äðóãèå ïåðåäîâûå ìàòåìàòèêè ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïî-íîâîìó ïîäîøëè ê èñòîëêîâàíèþ ñòðîãîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ, â ïåðâóþ î÷åðåäü äîêàçàòåëüñòâ óòâåðæäåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ (êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïåðåìåííîé) îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî íåîáõîäèìûìè è äëÿ îáîáùåííîé òåîðèè ïðåäåëîâ.
Åñëè
ïåðåìåííàÿ
èçìåíÿåòñÿ
íåïðåðûâíî è
ìîíîòîííî,
òî
ïðèíèìàåìîå
åþ
ìíîæåñòâî
çíà÷åíèé
åñòü
èíòåðâàë, à
ïðåäåë — åãî
ïðàâàÿ èëè
ëåâàÿ òî÷êà.
Êàê ãîâîðèë
Í. Í. Ëóçèí, â
ýòîì ñëó÷àå
ïðåäåë
ÿâëÿåòñÿ
“îïòè÷åñêèì”:
îí âèäåí
ãëàçîì. Åñëè
æå ñíÿòü ýòè
îãðàíè÷åíèÿ,
äîïóñòèòü
ïðåðûâíîå è,
ãëàâíîå,
êîëåáëþùååñÿ
ïðèáëèæåíèå
ïåðåìåííîé ê
å¸ ïðåäåëó, òî,
âîîáùå
ãîâîðÿ, ïðåäåë
òåðÿåòñÿ; îí
“ãëóáîêî
ñïðÿòàí
ñðåäè
çíà÷åíèé,
ïðèíèìàåìûõ
ïåðåìåííîé”.
 ñâÿçè ñ
ýòèì
âîçíèêàåò
âîïðîñ: ïðè
âûïîëíåíèè
êàêèõ
óñëîâèé
ïåðåìåííàÿ
èìååò ïðåäåë?
Èçâåñòíî,
÷òî è ýòîò
âîïðîñ
ïîëíîñòüþ
ðåøèë Êîøè.
Îí äîêàçàë,
÷òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
õ1, õ2, ., õ
ï, . èìååò
ïðåäåë òîãäà
è òîëüêî
òîãäà, êîãäà
äëÿ âñÿêîãî
ïîëîæèòåëüíîãî
e, êàê óãîäíî
ìàëîãî,
ìîæíî íàéòè
òàêîå
íàòóðàëüíîå
÷èñëî ï, ÷òî
äëÿ ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî
÷èñëà ò
|xn+m–xn|<e.
Ýòà òåîðåìà â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü.
Êîãäà ñòàëè
ðàçðàáàòûâàòü
íîâóþ
òåîðèþ
ïðåäåëîâ,
ïîíÿòèå ðÿäà,
ðàíåå íå
ðàñ÷ëåíÿåìîå
íà ðÿäû
ñõîäÿùèåñÿ
è
íåñõîäÿùèåñÿ,
ïîëó÷èëî ïî
ýòèì
ïðèçíàêàì
îñíîâíîå
ïîäðàçäåëåíèå.
Áëàãîäàðÿ
ýòîìó
óäàëîñü
óñòàíîâèòü
òî÷íîå
ïîíÿòèå
ñóììû ðÿäà è
íàïðàâèòü ïî
ïðàâèëüíîìó
ïóòè
ðàçðàáîòêó
òåîðèè
÷èñëîâûõ è
ñòåïåííûõ
ðÿäîâ. Â
äàëüíåéøåì,
â ñâÿçè ñ
ðàçðàáîòêîé
ïðîáëåì
òåîðèè
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ðÿäîâ, áûëî
óñòàíîâëåíî,
÷òî
ñõîäÿùèåñÿ
÷èñëîâûå
ðÿäû
ðàñïàäàþòñÿ
íà äâà âèäà —
àáñîëþòíî è
óñëîâíî
ñõîäÿùèåñÿ
ðÿäû (Äèðèõëå,
Ðèìàí). Ïî
îñíîâíûì
ñâîéñòâàì
àáñîëþòíî
ñõîäÿùèåñÿ
ðÿäû ñõîäíû ñ
êîíå÷íûìè
ñóììàìè; èõ
ìîæíî
ïåðåìíîæàòü
è
ïåðåñòàâëÿòü
â íèõ ÷ëåíû.
Óñëîâíî
ñõîäÿùèåñÿ
ðÿäû
ñóùåñòâåííî
îòëè÷àþòñÿ
îò íèõ; Ðèìàí
äîêàçàë, ÷òî
â ëþáîì,
óñëîâíî
ñõîäÿùåìñÿ
ðÿäå ìîæíî
òàê
ïåðåñòàâèòü
åãî ÷ëåíû,
÷òî âíîâü
ïîëó÷åííûé
ðÿä áóäåò
èìåòü
ñóììîé
íàïåðåä
çàäàííîå
÷èñëî; ìîæíî
òàêæå
äîáèòüñÿ
òîãî, ÷òîáû
íîâûé ðÿä
îêàçàëñÿ
ðàñõîäÿùèìñÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî,
àëãîðèòìû,
îñíîâàííûå
íà ñâîéñòâå
êîíå÷íûõ
ñóìì, ìîæíî
îòíîñèòü
òîëüêî ê
àáñîëþòíî
ñõîäÿùèìñÿ
ðÿäàì. Ê
ïåðâîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà
îòíîñèòñÿ
îòêðûòèå
Êîøè
ôóíêöèè 
, äëÿ êîòîðîé
ìîæíî
ñîñòàâèòü
ðÿä
Ìàêëîðåíà,
ñõîäÿùèéñÿ
ïðè âñÿêîì õ
, íî êîòîðûé
ñõîäèòñÿ
âñþäó ê íóëþ,
à íå ê ýòîé
ôóíêöèè.
Òåì ñàìûì áûëà äîêàçàíà îøèáî÷íîñòü èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ Ëàãðàíæà, ñäåëàííîãî èì ïðè ïîïûòêå îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà áàçå òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Îñîáóþ ðîëü ñûãðàëè èññëåäîâàíèÿ ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäàì (Äèðèõëå, Ðèìàí, Ëîáà÷åâñêèé è äð.). Áëàãîäàðÿ èì íà÷àëà ñîçäàâàòüñÿ îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, âêëþ÷èâøàÿ òåîðèþ ñòåïåííûõ ðÿäîâ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé.
Òàêîãî ðîäà ôàêòû çàñòàâèëè ìàòåìàòèêîâ îòêàçàòüñÿ îò íåîáîñíîâàííîãî, ÷àñòî ôîðìàëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ñâîéñòâ êîíå÷íûõ ñóìì íà âñå áåñêîíå÷íûå ðÿäû è ïîìîãëè èì ðàçðàáîòàòü íàó÷íûå ïðèíöèïû òåîðèè ðÿäîâ, áàçèðóþùèåñÿ íà òåîðèè ïðåäåëîâ.
Ýòè æå ôàêòû ïîìîãëè ìàòåìàòèêàì ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïîíÿòü, ïî÷åìó ìàòåìàòèêè XVIII âåêà íå ñìîãëè ñäåëàòü â òåîðèè ðÿäîâ òî, ÷òî óäàëîñü ñäåëàòü èì. Òàê, ñîïîñòàâèâ ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, Ðèìàí çàìåòèë:
“Òîëüêî ê
ðÿäàì
ïåðâîãî
êëàññà
ïðèìåíèìû
çàêîíû
êîíå÷íûõ
ñóìì; òîëüêî
ýòè ðÿäû
ìîãóò áûòü â
ïîäëèííîì
ñìûñëå
ðàññìàòðèâàåìû
êàê ñóììà
âñåõ ñâîèõ
÷ëåíîâ; î
ðÿäàõ æå
âòîðîãî
êëàññà òîãî
æå ñêàçàòü
íåëüçÿ,—
îáñòîÿòåëüñòâî,
óïóùåííîå
èç âèäà
ìàòåìàòèêàìè
ïðîøëîãî
ñòîëåòèÿ,
âåðîÿòíî, ïî
òîé ïðè÷èíå,
÷òî ðÿäû,
ðàñïîëîæåííûå
ïî
âîçðàñòàþùèì
ñòåïåíÿì
ïåðåìåííîé,
âîîáùå
ãîâîðÿ (ò. å. äëÿ
âñåõ
çíà÷åíèé
ïåðåìåííîé,
êðîìå
íåêîòîðûõ
îòäåëüíûõ),
ïðèíàäëåæàò
ê ïåðâîìó
êëàññó.”
Îïèñàííûé âûøå ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ñîäåðæàíèÿ è êîðåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè ðÿäîâ â îáùèõ ÷åðòàõ áûë ïðèñóù áîëüøèíñòâó ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà.  ñâÿçè ñ ýòèì ñ ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ñîçäàåòñÿ, à âî âòîðîé ïîëó÷àåò âñåîáùåå ïðèçíàíèå íîâûé èäåàë ñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, ñâîäÿùèéñÿ ê òðåì òðåáîâàíèÿì:
1) íå ñ÷èòàòü íåâîçìîæíûì òî, ÷òî êàæåòñÿ ïàðàäîêñàëüíûì.
Ãàóññ ïèñàë: “Ìû íå ìîæåì ñìåøèâàòü òî, ÷òî íàì êàæåòñÿ íååñòåñòâåííûì, ñ òåì, ÷òî íàì êàæåòñÿ àáñîëþòíî íåâîçìîæíûì”.
2) èçó÷àòü âñå âîçìîæíîñòè, êàêèå ïðåäñòàâëÿåò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî ýòîìó ðàçâèâàòü îáùèå òåîðèè.
 ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ýòîò ïðèíöèï ñòàíîâèòñÿ ðóêîâîäÿùèì íà÷àëîì èññëåäîâàíèé ïî÷òè âñåõ âåäóùèõ ìàòåìàòèêîâ.
3) ïðåæäå ÷åì çàäàâàòüñÿ âîïðîñîì î çàâèñèìîñòè, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé îñòà¸òñÿ íåèçâåñòíûì, ñëåäóåò ïîñòàâèòü âîïðîñ, âîçìîæíà ëè â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêàÿ çàâèñèìîñòü.
(Àáåëü)
Âî âòîðîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà
îáû÷íûå
êîìïëåêñíûå
÷èñëà íàøëè
øèðîêîå
ïðèìåíåíèå
â òåîðèè
ôóíêöèé è
äàæå â
òåîðèè
÷èñåë.  òîæå
âðåìÿ
ðàçðàáîòêà
ïðîáëåì ï
-ìåðíîé
ãåîìåòðèè è
ìåòîäîâ
ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè
ïîòðåáîâàëà
äàëüíåéøåãî
îáîáùåíèÿ
ïîíÿòèÿ
÷èñëà,
ïåðåõîäà ê
íîâîãî âèäà
êîìïëåêñíûì
÷èñëàì ñ ï
îñíîâíûìè
åäèíèöàìè.
Êîìïëåêñíûå
è
ãèïåðêîìïëåêñíûå
÷èñëà ñòàëè
ïðåäñòàâèòåëÿìè
èññëåäóåìûõ
ðåàëüíûõ
âåëè÷èí —
âåêòîðîâ â
ïðîñòðàíñòâå
Rn; îòâåò íà
çàäà÷ó,
âûðàæåííûé
êîìïëåêñíûì
èëè
ãèïåðêîìïëåêñíûì
÷èñëîì, èìåë
â ýòîé
îáëàñòè
îáúåêòèâíûé
ñìûñë.
Îáúÿâëÿòü
êîìïëåêñíûå
(è
ãèïåðêîìïëåêñíûå)
÷èñëà
“ëîæíûìè”,
“âîîáðàæàåìûìè”,
“ìíèìûìè”,
êàê ýòî
äåëàëè
ìàòåìàòèêè
XVII–XVIII âåêîâ,
ñòàëî
íåâîçìîæíûì.
Àðèôìåòèêà
êîìïëåêñíûõ
è
ãèïåðêîìïëåêñíûõ
÷èñåë
ïîêàçàëà
äàëåå, ÷òî
ïåðåõîä ê
íîâîé, áîëåå
øèðîêîé
îáëàñòè
÷èñåë
ñâÿçàí,
âî-ïåðâûõ, ñ
íåîáõîäèìîñòüþ
îáîáùàòü
îïðåäåëåíèÿ
äåéñòâèé,
äàííûõ äëÿ
èñõîäíîé
îáëàñòè
÷èñåë è,
âî-âòîðûõ,
ñîïðîâîæäàåòñÿ
ïîòåðåé
íåêîòîðûõ
ñâîéñòâ,
ïðèñóùèõ
÷èñëàì
èñõîäíîé
îáëàñòè
÷èñåë. Ïðè
ïåðåõîäå îò
äåéñòâèòåëüíûõ
ê
êîìïëåêñíûì
÷èñëàì
ïðèøëîñü
îòêàçàòüñÿ
îò
ñâÿçûâàíèÿ
èõ çíàêàìè >,
<. Â
àðèôìåòèêå
êâàòåðíèîíîâ
ñòàëî
íåîáõîäèìûì
äîïîëíèòåëüíî
îòêàçàòüñÿ
è îò çàêîíà
ïåðåìåñòèòåëüíîñòè
óìíîæåíèÿ.
Çàêîíû
ñ÷åòà —
èñòîðè÷åñêè
ñàìûå
ñòîéêèå, à
ïîýòîìó â
ïîíèìàíèè
ìàòåìàòèêîâ
XVII–XVIII âåêîâ
ñîñòàâëÿþùèå
îñíîâó
“íåèçìåííîé
ñóùíîñòè”
ïîíÿòèÿ
÷èñëà
îêàçàëèñü
çàêîíàìè ñ
îãðàíè÷åííîé
îáëàñòüþ
äåéñòâèÿ.
Ìåòàôèçè÷åñêîå ðàçäåëåíèå ÷èñåë íà “ðåàëüíûå” è “âîîáðàæàåìûå”, òðåáîâàíèå ñòðîèòü ó÷åíèå î ÷èñëàõ íà îáû÷íûõ îïðåäåëåíèÿõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé, ÷èñòî ôîðìàëüíîå ïîäâåäåíèå íîâûõ ÷èñåë ïîä âñå çàêîíû ÷èñåë èçâåñòíûõ — âñå ýòî îêàçàëîñü îêîí÷àòåëüíî äèñêðåäèòèðîâàííûì.
Ýòè ôàêòû (ñ
ó÷åòîì
îáùèõ
òåíäåíöèé
ðàçâèòèÿ
ñïîñîáîâ
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè)
ïîêàçàëè,
÷òî äëÿ
îáîñíîâàíèÿ
àðèôìåòèêè
êàêîãî
óãîäíî âèäà
÷èñåë,
îáúåêòèâíîñòü
êîòîðûõ óæå
äîêàçàíà,
äîñòàòî÷íî
ïåðå÷èñëèòü
å¸ îñíîâíûå
ïîíÿòèÿ,
îïðåäåëåíèÿ
è ïîñûëêè,
âûÿñíèòü,
êàêèå
çàêîíû
ñ÷åòà
âûïîëíÿþòñÿ
â
îáîñíîâûâàåìîé
îáëàñòè
÷èñåë, à âñå
îñòàëüíûå
å¸
óòâåðæäåíèÿ
ïîëó÷èòü â
ðåçóëüòàòå
äåäóêöèé. Íà
ýòîì ïóòè
óäàëîñü
îáîñíîâàòü
àðèôìåòèêè
öåëûõ,
ðàöèîíàëüíûõ,
êîìïëåêñíûõ
è
ãèïåðêîìïëåêñíûõ
÷èñåë.
Àðèôìåòèêà
íàòóðàëüíûõ
è
àðèôìåòèêà
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë
ïîëó÷èëà
ðåàëüíîå
îáîñíîâàíèå
âî âòîðîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà.
 òåñíîé ñâÿçè ñ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ÷èñëà è ñ íîâûìè ñïîñîáàìè îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå íàõîäèòñÿ âîçíèêíîâåíèå èñõîäíûõ èäåé “ôîðìàëüíîé” àëãåáðû. Ýòèìè èäåÿìè ìàòåìàòèêà îáÿçàíà Ïèêîêó, Ãàìèëüòîíó, À. äå Ìîðãàíó, Ãðåãîðè è Ãàíêåëþ.
 ãåîìåòðèè áûëè ñäåëàíû îòêðûòèÿ, èìåþùèå äëÿ å¸ îñíîâàíèé ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå.
Ëîáà÷åâñêèé è Áîéëè îòêðûëè íååâêëèäîâó ãåîìåòðèþ. Ïîíñåëå ðàçðàáîòàë ïðîåêòèâíóþ ãåîìåòðèþ, Ãðàññìàí — ãåîìåòðèþ ï-ìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðèíöèïû ýòèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ òåîðèé ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ïîñûëîê “Íà÷àë” Åâêëèäà.
Îäíàêî, â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà íååâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ ïðèçíàíèÿ íå ïîëó÷èëà. Ïðîåêòèâíàÿ ãåîìåòðèÿ áûëà ðàçðàáîòàíà Ïîíñåëå êàê íàäñòðîéêà íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà; å¸ áîëåå îáùåå ñîäåðæàíèå è ñïåöèôèêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè îñîçíàíû âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà. Ã. Ãðàññìàí ðàçâèë ñâîå ó÷åíèå íà ðóáåæå ñåðåäèíû XIX âåêà. Áëàãîäàðÿ ýòîìó óêàçàííûå âûâîäû ïîëó÷èëè âïîñëåäñòâèè øèðîêîå ïðèçíàíèå.
Âîò åù¸ îäèí
ðåçóëüòàò,
èìåþùèé
ôóíäàìåíòàëüíîå
çíà÷åíèå
äëÿ
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè.
Ìàòåìàòèêè
XVII–XVIII âåêîâ
ïûòàëèñü
äîêàçàòü,
÷òî âñÿêîå
óðàâíåíèå
ïÿòîé
ñòåïåíè
ðàçðåøèìî â
ðàäèêàëàõ. Â 1827
ãîäó Àáåëü
äîêàçàë, ÷òî
ýòî
íåâîçìîæíî.
Ïîñêîëüêó
âñå æå
ñóùåñòâóþò
óðàâíåíèÿ
ïÿòîé,
øåñòîé è
äðóãèõ
ñòåïåíåé,
ðàçðåøàåìûå
â ðàäèêàëàõ,
åñòåñòâåííî
âîçíèêàë
âîïðîñ: êàê
îõàðàêòåðèçîâàòü
êëàññ
óðàâíåíèé
äàííîé
ñòåïåíè,
êîòîðûå
äîïóñêàþò
ðåøåíèå â
ðàäèêàëàõ?
Ýòîò âîïðîñ
èìåë è
ïðàêòè÷åñêîå
çíà÷åíèå.
Êàê
ïîêàçàëè
Ýéëåð è
Äàëàìáåð,
èíòåãðèðîâàíèå
ëèíåéíûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ï
-ãîïîðÿäêà ñ
ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè
ñâîäèòñÿ ê
íàõîæäåíèþ
êîðíåé
àëãåáðàè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ï
-é ñòåïåíè.
Òàêèå
äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ
ÿâëÿþòñÿ
ìàòåìàòè÷åñêèì
àïïàðàòîì
òåîðèè
êîëåáàíèé.
×òîáû
ðåøèòü
óêàçàííûé
âûøå âîïðîñ,
Ý. Ãàëóà
ïîñòðîèë
îñîáûé
ìàòåìàòè÷åñêèé
àïïàðàò, â
êîòîðîì
ãëàâíàÿ ðîëü
îòâîäèòñÿ
ïîíÿòèþ
ãðóïïû.
Âûÿñíèëîñü,
÷òî ïîä
ïîíÿòèå
ãðóïïû
ïîäõîäÿò
ðàçëè÷íûå
îáëàñòè
îáúåêòîâ,
áëàãîäàðÿ
÷åìó îíî
íàõîäèò
ïëîäîòâîðíîå
ïðèìåíåíèå
â ðàçëè÷íûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
äèñöèïëèíàõ.
Îêàçàëîñü
òàêæå, ÷òî
ïîíÿòèå
ãðóïïû
îáíàðóæèâàåò
ñâîþ
äåéñòâåííîñòü
íàèëó÷øèì
îáðàçîì,
êîãäà åãî
òåîðèÿ
îáîñíîâûâàåòñÿ
àáñòðàêòíî,
íåçàâèñèìî
îò îïèñàíèÿ
ïðèðîäû
îáúåêòîâ,
îòíîøåíèÿ
êîòîðûõ åþ
îïèñûâàþòñÿ.
Âïåðâûå âñå
ýòè ôàêòû
îò÷åòëèâî
îñîçíàë è
îïèñàë Êýëè
â 1854 ãîäó; ýòîò
ãîä ïîýòîìó
ñ÷èòàþò
ãîäîì
íà÷àëà
àáñòðàêòíîé
òåîðèè ãðóïï.
Ïîä âëèÿíèåì
âñåõ ýòèõ
ôàêòîâ â
ïåðâîé
ïîëîâèíå XIX
âåêà
ïðåäïðèíèìàþòñÿ
ïîïûòêè
ðàñøèðèòü
òðàäèöèîííîå
îïðåäåëåíèå
ïðåäìåòà
ìàòåìàòèêè
êàê íàóêè
òîëüêî î
âåëè÷èíàõ è
èõ
èçìåðåíèè.
Íàïðèìåð, äëÿ
Ïóàíñî
ìàòåìàòèêà
— ýòî íàóêà î
ñâîéñòâàõ
÷èñåë,
âåëè÷èíàõ è
ïîðÿäêå.
Áîëüöàíî è
Ãðàññìàí
ñ÷èòàëè, ÷òî
òðàäèöèîííàÿ
òðàêòîâêà î
ïðåäìåòå
ìàòåìàòèêè
íå
îõâàòûâàåò
å¸
ñîäåðæàíèÿ â
öåëîì:
íàïðèìåð, îíî
íå ïðèëîæèìî
ê ó÷åíèþ î
ñî÷åòàíèÿõ.
Äëÿ
Ãðàññìàíà
ìàòåìàòèêà
— ó÷åíèå î
ôîðìàõ,
îäíàêî
ãåîìåòðèÿ ê
ìàòåìàòèêå
íå
ïðèíàäëåæèò.
 1854 ãîäó Äæ.
Áóëü
ïîä÷åðêèâàë,
÷òî “â ïðèðîäå
ìàòåìàòèêè
íå çàëîæåíà
íåîáõîäèìîñòü
çàíèìàòüñÿ
èäåÿìè
÷èñëà è
âåëè÷èíû”.
Èòàê, ðàçðàáîòàííûå â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ è ìåòîäû ìàòåìàòèêè ïîçâîëèëè ìàòåìàòèêàì ïåðåñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, àëãåáðó, ó÷åíèå î ÷èñëå è îò÷àñòè ãåîìåòðèþ â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè íîâîé ìåòîäîëîãèè. Íîâàÿ ìåòîäîëîãèÿ ìàòåìàòèêè ñïîñîáñòâîâàëà ïðåîäîëåíèþ êðèçèñà å¸ îñíîâ è ñîçäàëà äëÿ íå¸ øèðîêèå ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ.
III. Способы обоснования математики в последней четверти XIX века и начала XX
века 1. Теория множеств. Основные понятия
учения о множествах Г. Кантора
Äëÿ ÷åãî
ìàòåìàòèêè
ïîñëåäíèõ
äåñÿòèëåòèé
XIX âåêà
ïîòðåáîâàëîñü
îáùåå
ó÷åíèå î
ìíîæåñòâàõ,
îðãàíè÷åñêè
ñâÿçàííûõ ñ
ïîíÿòèåì
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè?
Ã. Êàíòîð
îòâåòèë íà
ýòîò âîïðîñ
òàê: “.äëÿ
îáîñíîâàíèÿ
àðèôìåòèêè
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë, äëÿ
äîêàçàòåëüñòâà
ôóíäàìåíòàëüíûõ
òåîðåì
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà è
òåîðèè
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ðÿäîâ”. Ã.
Êàíòîð
óêàçûâàë
òàêæå, ÷òî
èäåè è
ìåòîäû
îáùåãî
ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
ÿâëÿþòñÿ
äåéñòâåííûìè
îðóäèÿìè
îòûñêàíèÿ
íîâûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ôàêòîâ è
ðàçâèòèÿ
íîâûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèé. Â
ýòîé ñâÿçè
îí ñ÷åë
âîçìîæíûì
óòâåðæäàòü,
÷òî äëÿ
ìàòåìàòèêè
ïîíÿòèå
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè
ñóùåñòâåííî
íåîáõîäèìî.
Îñíîâíûì ïîíÿòèåì îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà (ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè). “Ïîä ìíîãîîáðàçèåì, èëè ìíîæåñòâîì,— ïèñàë Ã. Êàíòîð,— ÿ ïîíèìàþ âîîáùå âñÿêîå ìíîãîå, êîòîðîå ìîæíî ìûñëèòü êàê åäèíîå, ò. å. âñÿêóþ ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëåííûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñâÿçàíà â îäíî öåëîå ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî çàêîíà.”
Êàíòîð íàçûâàë ìíîæåñòâî Ð îïðåäåëåííûì, åñëè îòíîñèòåëüíî ëþáîãî îáúåêòà ìîæíî ñêàçàòü, ïðèíàäëåæèò îí ìíîæåñòâó Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.
Ïîíÿòèå çàêîíà Ã. Êàíòîð ñ÷èòàë èñõîäíûì, íåîïðåäåëèìûì. Âìåñòå ñ òåì, â åãî êîíöåïöèè ïîíÿòèå çàêîíà èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. Òàê êàê ñîãëàñíî çàêîíó ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû â îäíî öåëîå, òî çàêîí îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâà. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ìíîæåñòâî ñóùåñòâóåò, òî ìîæíî äàòü çàêîí, îáåñïå÷èâàþùèé åãî ñóùåñòâîâàíèå.
Îïåðàòèâíûìè ïîíÿòèÿìè îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìîùíîñòè è êîëè÷åñòâà ìíîæåñòâà.
Êàíòîð îïðåäåëèë ìîùíîñòü — òåïåðü ÷àñòî ãîâîðÿò: “êîëè÷åñòâåííîå ÷èñëî” — êàê ðåçóëüòàò àáñòðàêöèè îò ñîäåðæàíèÿ è ïîðÿäêà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà.
Îí íàçûâàë äâà ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíûìè è èìåþùèìè îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü, åñëè ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè âîçìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.
Äëÿ ðàçâèòèÿ îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì ÿâèëîñü äðóãîå îòêðûòèå Ã. Êàíòîðà — äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè ìîùíîñòÿìè.
Åñëè
ìíîæåñòâî
êîíå÷íî,
ïîíÿòèå
ìîùíîñòè
ñîâïàäàåò ñ
ïîíÿòèåì
÷èñëà åãî
ýëåìåíòîâ è
ìîæåò áûòü
âûðàæåíî
êîëè÷åñòâåííûì
íàòóðàëüíûì
÷èñëîì. Â
ñëó÷àÿõ
áåñêîíå÷íûõ
ìíîæåñòâ
íåëüçÿ
ãîâîðèòü î
÷èñëå èõ
ýëåìåíòîâ,
íî êàæäîìó
èç òàêèõ
ìíîæåñòâ
ìîæíî
ïðèïèñàòü
îïðåäåëåííóþ
ìîùíîñòü.
Ïðèíÿòî
îòíîñèòü
êàæäîìó
êëàññó
ìíîæåñòâ
íåêîòîðûé
ñèìâîë
ìîùíîñòè.
Òàê 
— ñèìâîë
ìîùíîñòè
ñ÷åòíîãî
ìíîæåñòâà,
ñ — ñèìâîë
ìîùíîñòè
êîíòèíóóìà,
2ò — ñèìâîë
ìîùíîñòè
ìíîæåñòâà
âñåõ
ïîäìíîæåñòâ
ìíîæåñòâà,
ìîùíîñòü
êîòîðîãî
åñòü ò.
Êàæäûé
òàêîé
ñèìâîë
Êàíòîð
íàçâàë
êàðäèíàëüíûì
òðàíñôèíèòíûì
÷èñëîì.
2. Трудности построения теории множеств.
Критика концепции Г. Кантора
Êàíòîð ïðåäïðèíÿë ïîïûòêó ðàçâèòü àðèôìåòèêó êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë. Îí äîêàçàë ìíîãèå àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ìîùíîñòåé êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ — ñ÷åòíûõ è ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Íàïðèìåð, åñëè ï — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî:
Íî êîãäà êàíòîð ïîïûòàëñÿ îáîáùèòü ïîëó÷åííûå èì àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ íà ëþáûå êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà, òî âñòðåòèëñÿ ñ ñåðüåçíûìè òðóäíîñòÿìè.
Ïóñòü Ì è N —
êàêèå
óãîäíî
áåñêîíå÷íûå
ìíîæåñòâà,
ò è ï —
ñîîòâåòñòâóþùèå
èì
êàðäèíàëüíûå
òðàíñôèíèòíûå
÷èñëà. Ìîæíî
ëè
óòâåðæäàòü,
÷òî ýòè
÷èñëà
âñåãäà
ìîãóò áûòü
ñâÿçàíû
îäíèì è
òîëüêî îäíèì
èç çíàêîâ =, >, <?
Äëÿ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë ò è ï
ýòî
óòâåðæäåíèå
ñïðàâåäëèâî,
äëÿ
êàðäèíàëüíûõ
òðàíñôèíèòíûõ
÷èñåë
ñïðàâåäëèâîñòü
åãî íå
î÷åâèäíà.
Êàíòîð ýòó
ïðîáëåìó íå
ðåøèë, å¸
íàçâàëè
ïðîáëåìîé
òðèõîòîìèè
. Êàíòîð íå
ñìîã òàêæå
äîêàçàòü
(èëè
îïðîâåðãíóòü),
÷òî äëÿ ëþáûõ
êàðäèíàëüíûõ
òðàíñôèíèòíûõ
÷èñåë
ñïðàâåäëèâû
ñîîòíîøåíèÿ:
1) ò+ï=òï;
2) ò=ò2;
3) åñëè ò2=ï2, òî ò=ï;
4) åñëè ò<ï è p<q, òî m+p<n+q;
5) åñëè ò<ï è p<q, òî mp<nq.
À. Òàðñêèé äîêàçàë, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíî òðèõîòîìèè.
Èçâåñòíî, ÷òî x0<c. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîæåñòâî Ì, ìîùíîñòü êîòîðîãî ò óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì:
õ0<m<c?
Ýòó ïðîáëåìó Êàíòîð òàêæå íå ðåøèë. Îí âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî Ì íå ñóùåñòâóåò. Ïðåäïîëîæåíèå Êàíòîðà íàçûâàëîñü ãèïîòåçîé êîíòèíóóìà; îíî ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî âñÿêîå íå÷åòíîå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.
Ïîñëå ïóáëèêàöèè ïåðâûõ ðàáîò Ã. Êàíòîðà, â êîòîðûõ îí èçëîæèë íà÷àëà ó÷åíèÿ î òðàíñôèíèòíûõ ÷èñëàõ (êîëè÷åñòâåííûõ è ïîðÿäêîâûõ), ìàòåìàòèêè, ëîãèêè, ôèëîñîôû è îñîáåííî òåîëîãè îòíåñëèñü ê åãî èäåÿì âåñüìà ñäåðæàííî. Íåêîòîðûå èç íèõ âûñòóïèëè ñ îòêðûòîé êðèòèêîé îñíîâíîãî ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ Êàíòîðà — ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè. Êàíòîð îòâåòèë íà ýòè âûñòóïëåíèÿ â íåñêîëüêèõ ñòàòüÿõ è â ïåðåïèñêå, êîòîðóþ âïîñëåäñòâèè ÷àñòè÷íî îïóáëèêîâàë.
Íàèáîëåå
ñåðüåçíûì
ïðîòèâíèêîì
êîíöåïöèè
Êàíòîðà áûë
Ë. Êðîíåêåð. Îí
ñ÷èòàë, ÷òî
äåéñòâèòåëüíî
ñóùåñòâóþùèìè,
ðåàëüíûìè
ìîæíî
ïðèçíàòü
ëèøü
íàòóðàëüíûå
÷èñëà,
âñëåäñòâèå
÷åãî îíè
ÿâëÿþòñÿ
åäèíñòâåííûì
îáúåêòîì
÷èñòîé
ìàòåìàòèêè.
Êðîíåêåð
óòâåðæäàë,
÷òî âñå
òåîðåìû
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
ïðàâîìåðíû
ëèøü
ïîñòîëüêó,
ïîñêîëüêó èõ
ìîæíî
èñòîëêîâàòü
êàê
îïèñàíèÿ
çàêîíîâ,
ãîñïîäñòâóþùèõ
â îáëàñòè
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë. Ñ ýòîé
òî÷êè
çðåíèÿ,
ïèñàë
Êàíòîð,
èçâåñòíàÿ
ðåàëüíîñòü
ïðèïèñûâàåòñÿ
òàêæå
ðàöèîíàëüíûì
÷èñëàì,
ïîñêîëüêó
îíè
“íåïîñðåäñòâåííî
âûòåêàþò” èç
àðèôìåòèêè
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
Êðîíåêåð
òðàêòîâàë
èððàöèîíàëüíûå
÷èñëà êàê
óäîáíûå
ñèìâîëû äëÿ
îïèñàíèÿ
åäèíûì
ñïîñîáîì
ñâîéñòâ
ãðóïï
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë;
ïîíÿòèå
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè
îí ïîëíîñòüþ
îòðèöàë.
Ñëåäóÿ ýòèì
èäåÿì,
Êðîíåêåð
îïóáëèêîâàë
èññëåäîâàíèå,
â êîòîðîì
íàìåòèë
êîíòóðû
íåêîòîðûõ
“âñïîìîãàòåëüíûõ
òåîðèé”, ïî
åãî ìíåíèþ
ïîçâîëÿþùèõ
îñâîáîäèòü
÷èñòóþ
ìàòåìàòèêó
îò
èððàöèîíàëüíûõ
÷èñåë.
Êàíòîð
îòìå÷àë, ÷òî
êîíöåïöèÿ
Êðîíåêåðà, â
ñðàâíåíèè ñ
îáùåïðèçíàííûìè
òåîðèÿìè
÷èñòîé
ìàòåìàòèêè,
îáëàäàåò
íåêîòîðûìè
ïðåèìóùåñòâàìè.
Åñëè ñòðîãî
ïðèäåðæèâàòüñÿ
êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà, òî
“âîçìîæíî
ïîòðåáîâàòü”,
÷òîáû
äîêàçàòåëüñòâà
àíàëèòè÷åñêèõ
òåîðåì áûëè
èñïûòàíû ïî
ñâîåìó
“òåîðåòèêî-÷èñëîâîìó
ñîäåðæàíèþ”
è ÷òîáû
êàæäûé
îáíàðóæèâàþùèéñÿ
â íèõ ïðîáåë
áûë
çàïîëíåí
ñîãëàñíî
ïðèíöèïàì
àðèôìåòèêè.
Â
âîçìîæíîñòè
ïîäîáíîãî
äîïîëíåíèÿ
çàêëþ÷àåòñÿ
íàñòîÿùèé
ïðîáíûé
êàìåíü äëÿ
ïðàâèëüíîñòè
è ïîëíîé
ñòðîãîñòè
äîêàçàòåëüñòâ.
Òàêèå
äîïîëíåíèÿ
ñïîñîáíû
ïðåäîõðàíèòü
èññëåäîâàòåëåé
îò îøèáîê è
óäåðæàòü
ïîëåò èõ
òâîð÷åñêîé
ôàíòàçèè â
íàäëåæàùèõ
ãðàíèöàõ.
Îäíàêî,
ïîä÷åðêèâàë
Êàíòîð,
ìåòîäîëîãè÷åñêèå
ïðèíöèïû
êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà íå
ÿâëÿþòñÿ
ïëîäîòâîðíûìè.
“Ìû íå
îáÿçàíû èì
íèêàêèìè
èñòèííûìè
óñïåõàìè è,
åñëè áû ìû â
äåéñòâèòåëüíîñòè
òî÷íî
ðóêîâîäñòâîâàëèñü
èìè, òî
ðàçâèòèå
íàóêè
îñòàíîâèëîñü
áû èëè áûëî
ââåäåíî â
ñàìûå óçêèå
ãðàíèöû.”
Âïðî÷åì,
çàìåòèë
Êàíòîð,
îêîí÷àòåëüíîå
ñóæäåíèå î
êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà
ñòàíåò
âîçìîæíûì
ëèøü òîãäà,
êîãäà îíà
áóäåò
ðàçðàáîòàíà
â öåëîì è â
äåòàëÿõ, â
ñâÿçè ñ ÷åì
âûÿñíèòñÿ
å¸
îòíîøåíèå ê
ãåîìåòðèè è
ìåõàíèêå.
Ïîêà ýòîãî
åù¸ íåò,
ïðèãîäíîñòü
êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà íå
ìîæåò áûòü
íàçâàíà
äîñòàòî÷íî
îáîñíîâàííîé.
Êðèòè÷åñêèå
çàìå÷àíèÿ
Êàíòîðà â
àäðåñ
êîíöåïöèè
Êðîíåêåðà
èìåþò
ìåòîäîëîãè÷åñêèì
ñòåðæíåì
åãî òðåòüå
“îãðàíè÷èòåëüíîå
òðåáîâàíèå”.
Îíè âåðíû è
íå ïîòåðÿëè
ñâîåãî
çíà÷åíèÿ äî
íàøåãî
âðåìåíè. Íî
âðÿä ëè ìîæíî
íàçâàòü
ïðàâèëüíûì
ñëåäóþùèå
êðèòè÷åñêèå
çàìå÷àíèÿ
Êàíòîðà,
êîòîðûå îí,
ïî-âèäèìîìó,
ñ÷èòàë
íàèáîëåå
ñåðüåçíûìè:
ìîùíîñòü
êîíòèíóóìà
âûøå
ìîùíîñòè
ìíîæåñòâà
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
Ñëåäîâàòåëüíî,
çàïàñ
íàòóðàëüíûõ
÷èñåë
íåäîñòàòî÷åí
äëÿ îïèñàíèÿ
òî÷åê
âðåìåííîãî
è
ïðîñòðàíñòâåííîãî
êîíòèíóóìà,
ïîýòîìó
êîíöåïöèÿ
Êðîíåêåðà íå
ìîæåò
ñ÷èòàòüñÿ
ñîâåðøåííîé.
Ýòà
àðãóìåíòàöèÿ
êàíòîðà
îáëàäàåò
äîêàçàòåëüíîé
ñèëîé ëèøü
äëÿ
ïðèâåðæåíöåâ
ó÷åíèÿ î
ñ÷åòíûõ è
íåñ÷åòíûõ
ìíîæåñòâàõ;
åãî
ïðîòèâíèêè
ñ÷èòàòüñÿ ñ
ýòîé
àðãóìåíòàöèåé
Êàíòîðà íå
îáÿçàíû.
Èäåè Êðîíåêåðà â íåêîòîðîé ìåðå ñïîñîáñòâîâàëè ñíà÷àëà îôîðìëåíèþ êîíöåïöèè èíòóèöèîíèçìà, à ïîòîì è êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè.
Äî ïîñëåäíåãî äåñÿòèëåòèÿ XIX âåêà ìàòåìàòèêè, ëîãèêè è ôèëîñîôû ïðèçíàâàëè ïîíÿòèÿ èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà, íî îòðèöàëè ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè; îíè ñ÷èòàëè åãî âíóòðåííå ïðîòèâîðå÷èâûì. Íåêîòîðûå èç íèõ ïûòàëèñü ýòî äîêàçàòü. Êàíòîð èçó÷èë ìåòîäîëîãè÷åñêóþ îñíîâó òàêèõ äîêàçàòåëüñòâ è ïîêàçàë èõ ïîëíóþ íåñîñòîÿòåëüíîñòü.
“Âñå òàê
íàçûâàåìûå
äîêàçàòåëüñòâà
ïðîòèâ
âîçìîæíîñòè
àêòóàëüíî
áåñêîíå÷íûõ
÷èñåë,— ïèñàë
Êàíòîð,—
îøèáî÷íû,
ïîòîìó, ÷òî
îíè çàðàíåå
ïðèïèñûâàþò
èëè, ñêîðåå,
íàâÿçûâàþò
ðàññìàòðèâàåìûì
÷èñëàì âñå
ñâîéñòâà
êîíå÷íûõ
÷èñåë. Ìåæäó
òåì,
áåñêîíå÷íûå
÷èñëà — åñëè
òîëüêî èõ
äîëæíî
ìûñëèòü â
êàêîé-íèáóäü
ôîðìå — äîëæíû
îáðàçîâàòü
áëàãîäàðÿ
ñâîåé
ïðîòèâîïîëîæíîñòè
ê êîíå÷íûì
÷èñëàì
ñîâåðøåííî
íîâûé
÷èñëîâîé
âèä,
ñâîéñòâà
êîòîðîãî
âïîëíå
çàâèñÿò îò
ïðèðîäû
âåùåé è
îáðàçóþò
ïðåäìåò
èññëåäîâàíèÿ,
à íå íàøåãî
ïðîèçâîëà
èëè íàøèõ
ïðåäðàññóäêîâ.”
Çàêëþ÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïðèâåäåííîãî âûñêàçûâàíèÿ Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé ñóùåñòâà ìåòîäîëîãèè åãî íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Îíà ïîêàçûâàåò, ÷òî èçáðàííûé Êàíòîðîì ïóòü îáîñíîâàíèÿ íàó÷íîé ñàìîñòîÿòåëüíîñòè ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, ìàòåðèàëèñòè÷åñêèì; îí ìîæåò áûòü ñîãëàñîâàí ñ èäåàëèçìîì (ñóáúåêòèâíûì èëè îáúåêòèâíûì — áåçðàçëè÷íî) òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå ïðîòèâîðå÷èò åìó. Ñòðåìëåíèå Êàíòîðà îáîñíîâàòü ñ ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé âîçìîæíîñòü òàêîé ñîãëàñîâàííîñòè è îáóñëîâèëî äâîéñòâåííîñòü åãî ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé â ïîíèìàíèè ïðèðîäû ìàòåìàòèêè è å¸ ìåòîäîâ.
3. Парадоксы (антиномии)
теории множеств
Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå òðóäíîñòÿìè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ â íåé áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) ïîñòàâèâøèå ïîä ñîìíåíèå ó÷åíèå Ã. Êàíòîðà â öåëîì. Ýòè ïàðàäîêñû ñòàëè îáúåêòîì îñîáîãî âíèìàíèÿ ìàòåìàòèêîâ. È, êîíå÷íî, íå ñëó÷àéíî. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, åù¸ ïðè æèçíè Êàíòîðà åãî òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà ôóíäàìåíòîì âñåãî çäàíèÿ ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — äåéñòâåííûì îðóäèåì ðàçâèòèÿ ìíîãèõ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.
Ïåðâûé ïàðàäîêñ îáíàðóæèë ñàì Êàíòîð â 1895 ãîäó è ñîîáùèë î íåì â ïèñüìå ê Ãèëüáåðòó. ÷åðåç äâà ãîäà ýòîò ïàðàäîêñ îáíàðóæèë Áóðàëè-Ôîðòè; îí ñäåëàë åãî äîñòîÿíèåì âñåõ ìàòåìàòèêîâ.
Парадокс Бурали-Форти.
Ïóñòü Ð —
ìíîæåñòâî
âñåõ
ïîðÿäêîâûõ
÷èñåë. Ýòî
ìíîæåñòâî
âïîëíå
óïîðÿäî÷åíî;
ñëåäîâàòåëüíî,
îíî
îïðåäåëÿåò
íåêîòîðîå
îðäèíàðíîå
òðàíñôèíèòíîå
÷èñëî ð.
Åñëè Ðð —
ìíîæåñòâî
ïîðÿäêîâûõ
÷èñåë
ìåíüøå ð, òî
Ðð èìååò
òîò æå
ïîðÿäêîâûé
òèï, ÷òî è Ð.
Íî Ðð —
îòðåçîê
ìíîæåñòâà Ð
,
îïðåäåëÿåìûé
÷èñëîì ð.
Ñëåäîâàòåëüíî
Ð è åãî
îòðåçîê Ðð
ïîäîáíû äðóã
äðóãó. Íî
Êàíòîð
äîêàçàë, ÷òî
âïîëíå
óïîðÿäî÷åííîå
ìíîæåñòâî
íå ìîæåò
áûòü ïîäîáíî
ëþáîìó
ñâîåìó
îòðåçêó.
 1899 ãîäó Êàíòîð îòêðûë åù¸ îäèí ïàðàäîêñ è ñîîáùèë î íåì Ð. Äåäåêèíäó.  1901 ãîäó ýòîò ïàðàäîêñ ïðèâëåê âíèìàíèå Á. Ðàññåëà.
Парадокс Кантора.
Ïóñòü N —
ìíîæåñòâî
âñåõ
âîçìîæíûõ
ìíîæåñòâ, S
—ìíîæåñòâî
âñåõ
âîçìîæíûõ
ïîäìíîæåñòâ
ìíîæåñòâà N.
Ïîñêîëüêó
ìîùíîñòü
ìíîæåñòâà
âñåõ
âîçìîæíûõ
ïîäìíîæåñòâ
ëþáîãî
ìíîæåñòâà
èìååò
ìîùíîñòü,
áîëüøóþ
ìîùíîñòè
ýòîãî
ìíîæåñòâà,
òî ìîùíîñòü
S äîëæíà áûòü
áîëüøå
ìîùíîñòè N.
Ñ äðóãîé
ñòîðîíû,
ìíîæåñòâî N
åñòü
ìíîæåñòâî
âñåõ
âîçìîæíûõ
ìíîæåñòâ;
ñëåäîâàòåëüíî
S ÿâëÿåòñÿ
ïîäìíîæåñòâîì
N. Íî
ìîùíîñòü
ïîäìíîæåñòâà
íå áîëüøå
ìîùíîñòè
ìíîæåñòâà;
çíà÷èò
ìîùíîñòü S
íå áîëüøå
ìîùíîñòè N.
Íàèáîëüøóþ èçâåñòíîñòü ïðèîáðåë ïàðàäîêñ, îòêðûòûé Á. Ðàññåëîì â 1902 ãîäó è îïóáëèêîâàííûé èì â 1903 ãîäó. Ýòîò ïàðàäîêñ îòêðûë è Ý. Öåðìåëî, íî â ïå÷àòè åãî íå îïóáëèêîâàë.
Парадокс Рассела.
Î íåêîòîðûõ
ìíîæåñòâàõ
ìîæíî
ñêàçàòü, ÷òî
îíè
ñîäåðæàò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ñâîåãî
ýëåìåíòà;
òàêîâî,
íàïðèìåð,
ìíîæåñòâî
âñåõ
ìíîæåñòâ.
Ðàñïðåäåëèì
âñå
âîçìîæíûå
ìíîæåñòâà
íà äâà
êëàññà. Ê
ïåðâûì
îòíåñåì òå
ìíîæåñòâà,
êîòîðûå íå
ñîäåðæàò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ñâîèõ
ýëåìåíòîâ.
Êî âòîðîìó
îòíåñåì âñå
îñòàëüíûå, ò.
å. êîòîðûå
ñîäåðæàò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ñâîèõ
ýëåìåíòîâ.
Ðàññìîòðèì
ïåðâûé êëàññ
ìíîæåñòâ.
Ýòîò êëàññ
ìíîæåñòâ â
ñâîþ î÷åðåäü
ÿâëÿåòñÿ
íåêîòîðûì
ìíîæåñòâîì
N, à ïîòîìó
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó èëè
êî âòîðîìó
êëàññó.
Äîïóñòèì,
÷òî
ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó
êëàññó.
Ïåðâûé êëàññ
— ýòî êëàññ
ìíîæåñòâ,
êàæäîå èç
êîòîðûõ íå
ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà. Íî
åñëè N
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó
êëàññó, òî
òàê êàê
ìíîæåñòâî N
åñòü
ìíîæåñòâî
âñåõ
ìíîæåñòâ
ïåðâîãî
êëàññà, îíî
äîëæíî
ñîäåðæàòü è
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà.
Èòàê, åñëè
ìíîæåñòâî N
íå ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà, òî
îíî ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà,
ñëåäîâàòåëüíî
íåëüçÿ
ïðåäïîëàãàòü,
÷òî
ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó
êëàññó.
Ïðåäïîëîæèì
òåïåðü, ÷òî
ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò
êî âòîðîìó
êëàññó, ò. å.
ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà. Íî
ýëåìåíòàìè
ìíîæåñòâà N
ÿâëÿþòñÿ
òîëüêî
ìíîæåñòâà,
íå
ñîäåðæàùèå
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà.
Ñëåäîâàòåëüíî,
åñëè N
ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà, òî
N íå ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà. Ìû
îïÿòü ïðèøëè
ê
ïðîòèâîðå÷èþ
è âûíóæäåíû
ïðèçíàòü,
÷òî
ìíîæåñòâî N
íå ìîæåò íè
ïðèíàäëåæàòü,
íè íå
ïðèíàäëåæàòü
ê ïåðâîìó
êëàññó.
 íàøå âðåìÿ èçâåñòíû è äðóãèå ïàðàäîêñû.
4. Аксиоматические построения
теории множеств по Цермело
Ñ íà÷àëà XX âåêà è äî íàøèõ äíåé íå ïðåêðàùàþòñÿ ïîïûòêè ïðåîäîëåòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì è ïàðàäîêñàìè òåîðèè ìíîæåñòâ. Óñòàíîâëåííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè ðåçóëüòàòû íå ïîëó÷èëè, îäíàêî, âñåîáùåãî ïðèçíàíèÿ. Åñëè è ìîæíî ãîâîðèòü î öåííûõ ðåçóëüòàòàõ, çäåñü íàéäåííûõ, òî â ïåðâóþ î÷åðåäü â ñâÿçè ñ ðàçëè÷íûìè âàðèàíòàìè àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ.
Âïåðâûå
àêñèîìàòè÷åñêîå
ïîñòðîåíèå
òåîðèè
ìíîæåñòâ
îñóùåñòâèë
Ý. Öåðìåëî â 1908
ãîäó.
Âïîñëåäñòâèè
àêñèîíîìàòèêà
Öåðìåëî áûëà
äîïîëíåíà è
âèäîèçìåíåíà
â ðàáîòàõ À.
Ôðåíêåëÿ (1922, 1925), Ò.
Ñêîëåìà (1922-1923, 1929),
Äæ. Íåéìàíà (1925,
1928), Ï. Áåðíàéñà
(1937-1954) è äðóãèõ
ìàòåìàòèêîâ.
Òàê, Ôðåíêåëü
äîïîëíèë
àêñèîíîìàòèêó
Öåðìåëî
îäíîé
àêñèîìîé,
ïîñëå ÷åãî
ïîëó÷èëàñü
íîâàÿ
ñèñòåìà
àêñèîì — å¸
íàçâàëè
ñèñòåìîé
Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ
— áîëåå
ñèëüíàÿ, ÷åì
èñõîäíàÿ
ñèñòåìà
àêñèîì
Öåðìåëî. Â
îòëè÷èå îò
ñèñòåìû
Öåðìåëî,
îáîçíà÷àåìîé
îáû÷íî
áóêâîé Z,
ñèñòåìó
Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ
îáîçíà÷àþò
äâóìÿ
áóêâàìè: ZF. Ñ
ïîìîùüþ ZF
ìîæíî
ïîëó÷èòü ðÿä
ôóíäàìåíòàëüíûõ
ðåçóëüòàòîâ,
íå
äîêàçóåìûõ
ñ ïîìîùüþ Z.
Öåðìåëî ñôîðìóëèðîâàë ñèñòåìó àêñèîì, â êîòîðîé îïèñàë íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ. Îñòàëüíûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ, óñòàíîâëåííûå â òåîðèè ìíîæåñòâ Êàíòîðà, Öåðìåëî ïûòàëñÿ âûâåñòè èç ñâîèõ àêñèîì.
Îñíîâíîé
çàìûñåë
Öåðìåëî
ñîñòîÿë â
òîì, ÷òîáû
îãðàíè÷èòü
îáëàñòü
ïðèìåíåíèÿ
àêñèîíîìàòèêè
Z òîëüêî
òàêèìè
ìíîæåñòâàìè,
ðàññìîòðåíèå
êîòîðûõ íå
ïðèâîäèò ê
ïàðàäîêñàì.
Âïîñëåäñòâèè,
ïðè
ðàçðàáîòêå
íîâûõ
âàðèàíòîâ
àêñèîíîìàòèêè
òåîðèè
ìíîæåñòâ,
ýòà
îãðàíè÷èòåëüíàÿ
òåíäåíöèÿ
ïîëó÷èëà
âñåîáùåå
ïðèçíàíèå.
Ïîçâîëèòåëüíî,
îäíàêî,
äóìàòü, ÷òî â
îäíîì
ñóùåñòâåííîì
ïóíêòå îíà
íå îòâå÷àåò
îñíîâíûì
óñòàíîâêàì
è çàìûñëó
ñàìîãî Ã.
Êàíòîðà.
Êàíòîð
ñòðåìèëñÿ
ðàçâèòü
òåîðèþ
ìíîæåñòâ âî
âñåé
îáùíîñòè,
êàê òåîðèþ,
îòíîñÿùóþñÿ
ê ëþáûì
ìíîæåñòâàì;
íàçâàííàÿ
îãðàíè÷èòåëüíàÿ
òåíäåíöèÿ
áûëà äëÿ íåãî
ñîâåðøåííî
÷óæäîé.
Åñëè ïðèíÿòü ñèñòåìó Z, òî â íåêîòîðûõ ñóùåñòâåííûõ ïóíêòàõ òåîðèÿ ìíîæåñòâ Êàíòîðà ïîëó÷èò äîñòàòî÷íîå îáîñíîâàíèå. Îáóñëîâëèâàåòñÿ ýòî ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè.  ñèñòåìå Öåðìåëî èìååòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ àêñèîìà âûáîðà (ðàíüøå å¸ îáû÷íî íàçûâàëè ïðîñòî àêñèîìîé Öåðìåëî: â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì íàçûâàòü å¸ èìåííî òàê):
Åñëè äàíî ìíîæåñòâî Ì, ñîñòîÿùåå èç ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è áåç îáùèõ ýëåìåíòîâ, òî èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N ìîæíî âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó; ñîâîêóïíîñòü âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ îáðàçóåò íîâîå ìíîæåñòâî Ð.
Âïîñëåäñòâèè îðòîäîêñàëüíûå ïîñëåäîâàòåëè Ã. Êàíòîðà íåðåäêî èçìåíÿëè ôîðìóëèðîâêó àêñèîìû Öåðìåëî òàê, ÷òî îíà ñòàíîâèëàñü óòâåðæäåíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ: Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà Ì ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è íå èìåþùèõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, ñóùåñòâóåò (ïî êðàéíåé ìåðå îäíî) ìíîæåñòâî Ð, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìó è òîëüêî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N.
Óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîæåñòâà Ð ïîíèìàëîñü, êîíå÷íî, â ñìûñëå Êàíòîðà.
Îïèðàÿñü íà
ýòó àêñèîìó
Öåðìåëî
äîêàçàë, ÷òî
âñÿêîå
ìíîæåñòâî
ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíî
â ôîðìå
âïîëíå
óïîðÿäî÷åííîãî
ìíîæåñòâà, ò.
å., ÷òî
ìîùíîñòü
ëþáîãî
ìíîæåñòâà
åñòü àëåîð.
Êàê
óêàçûâàëîñü
âûøå, ýòîò
ôàêò
îáåñïå÷èâàåò
âîçìîæíîñòü
ïîñòðîåíèÿ
àðèôìåòèêè
êàðäèíàëüíûõ
òðàíñôèíèòíûõ
÷èñåë ïî÷òè
âî âñåé
îáùíîñòè.
Äîñòàòî÷íî
ñêàçàòü, ÷òî
àêñèîìà
Öåðìåëî
ïîçâîëÿåò
ðåøèòü â
óòâåðäèòåëüíîì
ñìûñëå
ïðîáëåìó
òðèõîòîìèè
è äàåò
îáîñíîâàíèå
òðàíñôèíèòíîé
èíäóêöèè.
Òîëüêî
ãèïîòåçà
êîíòèíóóìà
îñòàâàëàñü
ïî ïðåæíåìó
çàãàäêîé.
Öåðìåëî ìîã
óòâåðæäàòü,
÷òî
ìîùíîñòü
êîíòèíóóìà
åñòü àëåîð,
íî êàêîå
ìåñòî íà
øêàëå
àëåîðîâ
çàíèìàåò Ñ
— ýòî
îñòàâàëîñü
íåèçâåñòíûì.
Ê ýòîìó
ìîæíî òîëüêî
ïðèáàâèòü,
÷òî
äîêàçàòåëüñòâà
ýêâèâàëåíòíîñòè
äðóã äðóãó
íåêîòîðûõ
ôîðì
ãèïîòåçû
êîíòèíóóìà
òàêæå
îïèðàþòñÿ
íà àêñèîìó
Öåðìåëî.
Áîëåå äåñÿòè ëåò ñ ìîìåíòà îïóáëèêîâàíèÿ ìåìóàðîâ Öåðìåëî ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû âûáîðà îãðàíè÷èâàëèñü îáëàñòüþ òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî. Êðîìå óêàçàííûõ, ìîæíî, íàïðèìåð, óïîìÿíóòü ïðèëîæåíèÿ ýòîé àêñèîìû â òåîðèè òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ è, â ÷àñòíîñòè, â òåîðèè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.
 20-õ è 30-õ ãîäàõ
ÕÕ âåêà ïîëå
ïðèëîæåíèÿ
àêñèîìû
Öåðìåëî
çíà÷èòåëüíî
ðàñøèðèëîñü.
Ìîæíî,
íàïðèìåð,
óêàçàòü íà
èññëåäîâàíèÿ
Áèðêãîôà
ñèñòåì
äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé, â
êîòîðûõ îí
ïðèìåíÿë
òðàíñôèíèòíóþ
èíäóêöèþ.
Îñîáåííî
âàæíî
óêàçàòü íà
òåîðèþ
ëèíåéíûõ
îïåðàòîðîâ,
êîòîðóþ Æ.
Àäàìàð â
íà÷àëå 30-õ
ãîäîâ
íàçûâàë
íàèáîëåå
ñèëüíûì
ìåòîäîì
èññëåäîâàíèÿ
ñîâðåìåííîé
ìàòåìàòèêè.
Òåîðèÿ
ëèíåéíûõ
îïåðàòîðîâ
ðàçâèâàåòñÿ
íà áàçå
îáùåãî
ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
è ïîëüçóåòñÿ
àêñèîìîé
Öåðìåëî äëÿ
óñòàíîâëåíèÿ
íåêîòîðûõ
âàæíåéøèõ
ñâîèõ
ïðåäëîæåíèé.
Øèðîêîå ïîëå
äëÿ
ïðèìåíåíèÿ
àêñèîìû
Öåðìåëî äàëè
àëãåáðà è
òîïîëîãèÿ.
Ñâîåîáðàçèå àêñèîìû Öåðìåëî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà íå òîëüêî ÿâëÿåòñÿ îðóäèåì îòûñêàíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ è ïðèäàåò èçâåñòíóþ îáùíîñòü ó÷åíèþ î ìíîæåñòâàõ, íî è óñóãóáëÿåò òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè.
Îäíà èç òðóäíîñòåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå (â ñìûñëå Êàíòîðà) ìíîæåñòâà, ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâ, íåîïðåäåëèìûõ â ñìûñëå Êàíòîðà. Âîò ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì
âñå ôóíêöèè
äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî
õ,
îïðåäåëåííûå
íà ñåãìåíòå
[0, 1] è íå ðàâíûå
íà ýòîì
ñåãìåíòå
òîæäåñòâåííî
íóëþ.
Ðàçäåëèì
ýòè ôóíêöèè
íà ïàðû,
îòíîñÿ â
îäíó ïàðó
òàêèå äâå
ôóíêöèè,
êîòîðûå
îòëè÷àþòñÿ
òîëüêî
çíàêîì, ò. å.
ôóíêöèè f(x)ï–f(x).
Ïî àêñèîìå
Öåðìåëî
ñóùåñòâóåò
ìíîæåñòâî Ð
, âêëþ÷àþùåå
ïî îäíîé è
òîëüêî îäíîé
ôóíêöèè
êàæäîé ïàðû.
Ñëåäîâàòåëüíî,
ñîãëàñíî
àêñèîìå
Öåðìåëî,
ìîæíî
óòâåðæäàòü
ñóùåñòâîâàíèå
Ð ôóíêöèé
äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî
õ,
îïðåäåëÿåìûõ
íà ñåãìåíòå
[0, 1] è íå ðàâíûõ
íà ýòîì
ñåãìåíòå
òîæäåñòâåííî
íóëþ, òàêîãî,
÷òî
à) êàêîâû áû íè áûëè ôóíêöèè f1 è f2 ìíîæåñòâà Ð, âñåãäà  ;
á) êàêîâà áû íè áûëà ôóíêöèÿ j(õ), îïðåäåëåííàÿ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíàÿ íà íåì òîæäåñòâåííî íóëþ, ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ f ìíîæåñòâà Ð, òàêàÿ, ÷òî ëèáî f+j=0, ëèáî f–j=0 äëÿ ëþáîãî õ,  .
Îäíàêî ìíîæåñòâî Ð íå îïðåäåëåíî â ñìûñëå Êàíòîðà, òàê êàê ìû íå ìîæåì ñêàçàòü î ëþáîé ôóíêöèè j(õ), ïîä÷èíÿþùåéñÿ âûñòàâëåííûì óñëîâèÿì, ïðèíàäëåæèò ëè îíà Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.
Äðóãàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ÷àñòî âîçìîæíî îïðåäåëèòü êëàññ ìíîæåñòâ, â òî âðåìÿ êàê íè îäíîãî îáúåêòà èç ýòîãî êëàññà îïðåäåëèòü (ðàçëè÷èòü) íå óäàåòñÿ. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò êëàññ íåèçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Îäíàêî äî ñèõ ïîð íèêòî íå ñìîã ïîñòðîèòü (äàòü) èíäèâèäóàëüíîãî ïðèìåðà íåèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà.
5. Проблема существования в математике
 êîíöå XIX è íà÷àëå ÕÕ âåêà èññëåäîâàíèÿ ïî âîïðîñàì îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èìåëè ïðåèìóùåñòâåííî ïðåîäîëåíèå ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ òðóäíîñòåé.
1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà â ýòî âðåìÿ ôóíäàìåíòîì ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — îñíîâîé ìåòîäîâ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí. Âìåñòå ñ òåì ñàìà òåîðèÿ ìíîæåñòâ îêàçàëàñü íåîáîñíîâàííîé â ðÿäå ðåøàþùèõ ïóíêòîâ (ãèïîòåçà êîíòèíóóìà, ïðîáëåìà óïîðÿäî÷èâàíèÿ).
2.  òåîðèè ìíîæåñòâ áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè), óñòðàíåíèå êîòîðûõ — êàê ïîêàçàëè èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ è ëîãèêîâ, íà÷èíàÿ ñ Ðàññåëà — îêàçàëîñü îòíþäü íå ïðîñòûì äåëîì.
3. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ îêàçàëèñü èìåþùèìè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêóþ, íî è ëîãè÷åñêóþ ïðèðîäó; â ýòîé ñâÿçè åñòåñòâåííî âîçíèê âîïðîñ î ñðåäñòâàõ ëîãèêè, äîïóñòèìûõ â ìàòåìàòèêå.
Ýòè òðóäíîñòè ïîñòàâèëè ïåðåä ìàòåìàòèêàìè ïðîáëåìó ïîíèìàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðèìåíåíèè ê ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòàì.
×òîáû ëó÷øå óÿñíèòü ñìûñë ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, óñòàíîâè ñíà÷àëà ðàçëè÷èå ìåæäó òàê íàçûâàåìûìè ýôôåêòèâíûìè è íåýôôåêòèâíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè ñóùåñòâîâàíèÿ. Ýòè ðàçëè÷èÿ ìû ïîñòàðàåìñÿ îïèñàòü ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâëåíèÿì, ãîñïîäñòâîâàâøèõ â ìàòåìàòèêå ïðèìåðíî äî êîíöà 20-õ — íà÷àëà 40-õ ãîäîâ ÕÕ âåêà.
Äîêàæåì, ÷òî
êàêîâû áû íè
áûëè
íàòóðàëüíûå
÷èñëà Ð1, ., Ð
ï,
ñóùåñòâóåò
íàòóðàëüíîå
÷èñëî Ð,
âçàèìíî
ïðîñòîå ñ
êàæäûì èç
ýòèõ ÷èñåë.
Ðàññìîòðèì
÷èñëî Ð=Ð1*.*Ð
ï+1; ïðè
äåëåíèè íà
ëþáîå èç
÷èñåë Ð1, ., Ð
ï ýòî ÷èñëî
äàåò â
îñòàòêå 1.
Ñëåäîâàòåëüíî,
îíî âçàèìíî
ïðîñòîå ñ
êàæäûì èç
÷èñåë Ð1, ., Ð
ï. Èòàê,
÷èñëî Ð
ñóùåñòâóåò.
Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ýôôåêòèâíî. Ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå ÷èñëà Ð òåì, ÷òî ïîêàçàëè, êàê ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàéòè ýòî ÷èñëî. Ê ÷èñëó ýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ îòíîñÿòñÿ òàêæå äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë äëÿ ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíåé, äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ò. ï. Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, ñ÷èòàþòñÿ îáîñíîâàííûìè ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, àðèôìåòèêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îïåðàöèÿ ïåðåõîäà ê ïðåäåëó.
Âîîáùå âñÿêîå ýôôåêòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî òåì è õàðàêòåðèçóåòñÿ, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàê èëè èíà÷å îáîñíîâàííûõ ïîñûëîê îíî ïîçâîëÿåò èíäèâèäóàëüíî îõàðàêòåðèçîâàòü (âû÷èñëèòü, ïîñòðîèòü è ò. ï.) îáúåêò, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî äîêàçûâàþò.
Ðàññìîòðèì
òåïåðü
äðóãîé
ïðèìåð. ÷èñëî
íàçûâàåòñÿ
àëãåáðàè÷åñêèì,
åñëè îíî
ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì
êàêîãî-ëèáî
àëãåáðàè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ñ
öåëûìè
êîýôôèöèåíòàìè.
Íàïðèìåð,
÷èñëî 
àëãåáðàè÷åñêîå,
ò. ê. îíî
ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì
óðàâíåíèÿ õ
2–2=0. Íàïðîòèâ,
÷èñëî, íå
óäîâëåòâîðÿþùåå
íèêàêîìó
àëãåáðàè÷åñêîìó
óðàâíåíèþ ñ
öåëûìè
êîýôôèöèåíòàìè,
íàçûâàåòñÿ
òðàíñöåíäåíòíûì
÷èñëîì.
Äîêàæåì,
ñëåäóÿ
Êàíòîðó,
ñóùåñòâîâàíèå
òðàíñöåíäåíòíûõ
÷èñåë.
Èçâåñòíî,
÷òî
ìíîæåñòâî
âñåõ
àëãåáðàè÷åñêèõ
÷èñåë
ñ÷¸òíî, â òî
âðåìÿ êàê
ìíîæåñòâî
âñåõ
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë
íåñ÷¸òíî.
Åñëè áû
òðàíñöåíäåíòíûå
÷èñëà íå
ñóùåñòâîâàëè,
êàæäîå
äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî áûëî
áû
àëãåáðàè÷åñêèì
è,
ñëåäîâàòåëüíî,
ìíîæåñòâî
âñåõ
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë áûëî
áû ñ÷åòíûì.
÷òîáû
èçáåæàòü
ïðîòèâîðå÷èÿ
îñòàåòñÿ
ïðèíÿòü, ÷òî
òðàíñöåíäåíòíûå
÷èñëà
ñóùåñòâóþò,
õîòü
äîêàçàòåëüñòâî
íå äàåò íàì
íè îäíîãî
ïðèìåðà
òðàíñöåíäåíòíîãî
÷èñëà. Ýòî
ïðèìåð
íåýôôåêòèâíîãî
äîêàçàòåëüñòâà.
Â
íåýôôåêòèâíûõ
äîêàçàòåëüñòâàõ
ñóùåñòâîâàíèÿ
(îñíîâàííûå,
íàïðèìåð, íà
ïðèíöèïå
èñêëþ÷åííîãî
òðåòüåãî) íå
äàåòñÿ
íèêàêîãî
ïðèìåðà
îáúåêòîâ,
ñóùåñòâîâàíèå
êîòîðûõ
äîêàçûâàåòñÿ.
Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ ÿâèëèñü äîïîëíèòåëüíûì (íî íå åäèíñòâåííûì) îñíîâàíèåì ïîñòàâèòü ïîä ñîìíåíèå íå òîëüêî ýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ, áàçèðóþùèåñÿ íà àêñèîìå Öåðìåëî, íî è ëþáûå íåýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ìîæíî ëè, ñïðàøèâàëè ìàòåìàòèêè, âûñêàçûâàâøèå ýòè ñîìíåíèÿ, ñ÷èòàòü ñóùåñòâóþùèì ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, êîòîðûé ìû íå óìååì ïîñòðîèòü, ìíîæåñòâî, íå îäíîãî ýëåìåíòà êîòîðîãî ìû íå ñóìååì óêàçàòü?
Êàêîå çíà÷åíèå èìåëè ñîìíåíèÿ â ïðàâîìåðíîñòè íåýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ìàòåìàòèêè íà÷àëà ÕÕ âåêà? Î÷åíü áîëüøîå! Îíè, ïî ñóòè, ñòàâèëè ïîä ñîìíåíèå êîíöåïöèþ Êàíòîðà, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå îáîñíîâàíèå ìàòåìàòèêè è ðÿä êîíêðåòíûõ ðåçóëüòàòîâ êëàññè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.
Íîâîå â ïîñòàíîâêå ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå íà÷àëà ÕÕ âåêà ñîñòîÿëî â òîì, ÷òî ýòà ïðîáëåìà ìíîãî øèðå è ãëóáæå, ÷åì ðàíüøå, çàõâàòèëà îñíîâíûå âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè è ëîãèêè è îêàçàëàñü òåñíî ñâÿçàííîé è ñ ôèëîñîôèåé.
Список литературы.
1. È. Í. Áóðîâà. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ è äèàëåêòèê.
2. À. Í. Êîëìîãîðîâ. Ìàòåìàòèêà â å¸ èñòîðè÷åñêîì ðàçâèòèè.
3. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ.
4. Â. Í. Ìîëîäøèé. Î÷åðêè ïî ôèëîñîôñêèì âîïðîñàì ìàòåìàòèêè.
5. Ã. È. Ðóçàâèí. Î ïðèðîäå ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ.
6. Ôèëîñîôñêèå ïðîáëåìû åñòåñòâîçíàíèÿ. Ïîä ðåä. Ñ. Ò. Ìèëþõèíà.
7. È. Ç. Öåõìèñòðî. Äèàëåêòèêà ìíîæåñòâåííîãî è åäèíîãî.
8. Ñ. À. ßíîâñêàÿ. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðîáëåìû íàóêè. |
