Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Пытьев Ю.П.

Московский государственный университет, Москва, Россия

1. Введение

Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных

условиях освещения и(или) измененных[1]

оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство

порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации

изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий

регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного

объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне

при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной

и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.

Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад,

[1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для

применения к черно-белым изображениям[2] и

оказались достаточно эффективными, [5-11].

Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность

разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в

задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего

цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах

цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности

в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного

освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных

(спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии

[12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными

чувствительностями

j=1,2,...,n, где l(0,¥) - длина волны излучения. Их

выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e

(l)0, lÎ(0,¥), далее называемой излучением, образуют

вектор , w

(×)=.

Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов

, lÎ(0,¥), и соответствующий суммарный сигнал

назовем яркостью излучения e(×). Вектор

назовем цветом излучения e(×). Если

цвет e(×) и само излучение назовем черным. Поскольку

равенства и

эквивалентны, равенство

имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае

- произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e

(×) назовем белым и его цвет обозначим

если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:

.

Векторы , и

, , удобно считать

элементами n-мерного линейного пространства

. Векторы fe, соответствующие различным

излучениям e(×), содержатся в конусе

. Концы векторов

содержатся в множестве

, где Ï - гиперплоскость

.

Далее предполагается, что всякое излучение

, где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями

все их выпуклые комбинации (смеси)

Поэтому векторы в

образуют выпуклый конус

, а векторы .

Если то и их аддитивная смесь . Для нее

. (1)

Отсюда следует

Лемма 1. Яркость fe и цвет j

e любой аддитивной смеси e(×) излучений e1

(×),...,em(×), m=1,2,... определяются яркостями и

цветами слагаемых.

Подчеркнем, что равенство

, означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e(×) и

, как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном

спектральном составе. Однако замена e(×) на

в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

Далее предполагается, что вектор w(×) таков, что в E можно указать

базовые излучения ,

для которых векторы

, j=1,...,n, линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений

непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными,

, j=1,...,n. В таком случае излучение

характеризуется лишь цветом

, j=1,...,n.

Для всякого излучения e(×) можно записать разложение

, (1*)

в котором - координаты в базисе ,

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, -

, где ,

, - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению e

j(×), i, j=1,...,n. Матрица

- стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений

неотрицательны и ,

j=1,...,n. При этом яркость

и вектор цвета ,

, j=1,...,n, (конец которого лежит в Ï) определяются

координатами aj и цветами излучений

, j=1,...,n, и не зависят непосредственно от спектрального

состава излучения e(×).

В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых

излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение,

которому в (1*) отвечают равные координаты:

.

Заметим, что слагаемые в (1*), у которых aj<0,

[3] физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным"

в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj>0:

. В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

Определим в

скалярное произведение

и векторы ,

биортогонально сопряженные с

: , i,j

=1,...,n.

Лемма 2. В разложении (1*)

, j=1,...,n,

. Яркость , где

, причем вектор y ортогонален гиперплоскости Ï, так

как , i,j=1,...,n.

Что касается скалярного проиведения

, то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов

были координатами fe в некотором

ортонормированном базисе

. В этом базисе конус

. Заметим, что для любых векторов

и, тем более, для ,

[4].

Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на

плоскости R2, или на сетке

, спектральная

чувствительность j-го детектора излучения, расположенного в точке

; - излучение,

попадающее в точку

. Изображением назовем векторнозначную функцию

(2**)

Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое

пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X.

Цветное (спектрозональное) изображение

определим равенством

, (2)

в котором почти для всех , , - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что

.

Цветные изображения образуют подкласс функций

лебеговского класса

функций . Класс

цветных изображений обозначим LE,n.

Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент

называется цветным изображением, а условие

(2*)

условием физичности изображений f(×).

Если f(×) - цветное изображение (2), то

, как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е.

, .

Изображение ,

назовем черно-белым вариантом цветного изображения f

(×), а цветное изображение

, f(x)0, xÎX - цветом изображения f

(×). В точках множества Â={xÎX: f(x

)=0} черного цвета j(x), xÎÂ, - произвольные

векторы из ,

удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом

цветного изображения f(×) будем также называть

цветное изображение b(×), имеющее в каждой точке Х

ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x), xÎX

, и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b,

xÎX.

3. Форма цветного изображения.

Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов

в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного

класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его

регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в

частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально

изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения

освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием

, в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения

в каждой точке при

неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке

у вектора f(x) может измениться длина, но направление

останется неизменным.

Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается

значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно

однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между

спектром излучения e и цветом j нет взаимно однозначного

соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f

(x) в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого

определим отображение A(×):

, ставящее в соответствие каждому вектору цвета

подмножество поля зрения

в точках которого изображение

, имеет постоянный цвет

.

Пусть при рассматриваемом изменении освещения

и, соответственно, ;

предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет

преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве

A(j), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j.

Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство

влечет . Если

- самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах

A(j¢) и A(j) цвет изображения

может оказаться одинаковым[5].

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и

т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно

преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять

изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

Для определения понятия формы цветного изображения f(×)

на удобно ввести

частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1)

, 2) ,

, то ,

; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с

условием физичности), а именно,

, если . Отношение p

интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2],

а именно,

означает, что изображения f(×) и g

(×) сравнимы по форме, причем форма g(×)

не сложнее, чем форма f(×). Если

и , то f

(×) и g(×) назовем совпадающими по

форме (изоморфными), f(×) ~ g

(×). Например, если f(×) и g

(×) - изображения одной и той же сцены, то g

(×), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее

(подробнее, детальнее), чем f (×), если

.

В рассматриваемом выше примере преобразования изображений

, если между множествами A(j),

и A¢(j¢),

существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция

, такая, что A¢(j¢(j))= A(

j),, причем

, если . В этом

случае равенства и

эквивалентны, и

изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

Если же не взаимно

однозначно, то A¢(j¢)=U A(

j) и . В этом

случае равенство

влечет (но не

эквивалентно) ,

передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в

.

Пусть, скажем, g(×) - черно-белый вариант f

(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b

, xÎX. Если преобразование

- следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно,

. Аналогично, если f(×), g(×)

- изображения одной и той же сцены, но в g(×),

вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то

. Пусть F - некоторая полугруппа преобразований

, тогда для любого преобразования FÎF

, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении

f(×), то они, тем более, не будут отражены в g

, форма которых не сложнее, чем форма f`(×), и их пределов в

(черта символизирует замыкание в

). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем

минимальное линейное подпространство

, содержащее .

Если считать, что

для любого изображения

, то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости

в в том смысле,

что .

Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных

классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть

охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения

X в виде

здесь -

индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi,

i=1,....,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых

функции ,

, j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны. Поскольку

согласно лемме 2

, (3)

то цветное изображение fe(×), такого

объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и

цвета на каждом подмножестве Ai, i=1,...,N.

Для изображения ,

где , также

характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai

, если , -

непрерывные функции.

Если, в частности, цвет и яркость

постоянны на Ai, i=1,...,N, то это верно и для

всякого изображения

, если не зависит

явно от .

Для такого изображения примем следующее представление:

, (4)

его черно-белый вариант

(4*)

на каждом Ai имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4)

(4**)

не меняется на Ai и равен , i=1,...,N.

Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности

(2*), , то

форму изображения (4), имеющего на различных множествах Аi

конус:

. (4***)

v(a), очевидно, содержится в n×N мерном линейном подпространстве

, (4****)

которое назовем формой a(×) в широком смысле.

Форму в широком смысле любого изображения a(×), у которого не

обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai

,i=1,...,N, определим как линейное подпространство

, натянутое не вектор-функции Fa(×),FÎF, где F -

класс преобразований

, определенных как преобразования векторов a(x)®Fa(x) во всех точках

xÎX; здесь F - любое преобразование

. Тот факт, что F означает как преобразование

, так и преобразование

, не должен вызывать недоразумения.

Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма

a(×) (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение

яркости или(и) цвета на различных множествах Аi,

i=1,......,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в

одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает

меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание

касается и L(a(×)), если речь идет о форме в широком смысле.

Лемма 3. Пусть {Аi} - измеримое разбиение X: .

Изображение (3) имеет на каждом подмножестве Ai :

- постоянную яркость и цвет , если и только если выполняется равенство (4);

- постоянный цвет

, если и только если в (3)

;

- постоянную яркость fi , i=1,...,N, если и только

если в (3)

не зависит от ,

i=1,....,N.

Доказательство . На множестве Ai яркость и цвет

изображения (3) равны соответственно[6]

, , i=1,....,N.

Если выполнено равенство (4), то

и от

не зависят. Наоборот, если

и , то и

, т.е. выполняется (4).

Если , то цвет

не зависит от .

Наоборот, пусть

не зависит от . В

силу линейной независимости

координаты j(i)(x) не зависят от

, т.е. и,

следовательно,

где - яркость на

A i и

. Последнее утверждение очевидно n

Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности

изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего

электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для

регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения,

покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное

излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как

правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет

информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в

значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в

задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет

понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное

i=1,...,N, поля зрения X.

Итак, пусть в согласии с леммой 3

, (5)

где, - индикаторная функция Ai, , функция gi(×) задает распределение яркости

(6)

в пределах Ai при постоянном цвете

, i=1,...,N, (7)

причем для изображения (5) цвета j(i), i=1,....,N,

удовлетворяющими условиям

i=1,....,N.

Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно

принять условие нормировки

, позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета.

С учетом нормировки распределение яркости на Ai задается

функцией а цвет

на Ai равен

(7*)

Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

(8)

,

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах

каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее,

чем форма f(×) (5), поскольку в изображении

на некоторых различных подмножествах Ai, i=1,...,N, могут

совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f

(×) (5). Совпадение цвета

на различных подмножествах Ai, i=1,...,N ведет к упрощению

формы изображения

по сравнению с формой f(×) (5). Все изображения

, имеющие различный цвет на различных Ai, i=1,...,N,

считаются изоморфными f(×) (и между собой), форма

остальных не сложнее, чем форма f(×). Если

, то, очевидно, .

Если в (8) яркость

, то цвет на A

i считается произвольным (постоянным), если же

в точках некоторого подмножества

, то цвет на A

i считается равным цвету

на , i=1,...,N.

Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи

все изображения ,

форма которых не сложнее, чем форма

, должны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у

то следует потребовать, чтобы

, в то время, как яркости

остаются произвольными (если

, то цвет на A

i определяется равным цвету f(×) на A

i, i=1,...,N).

Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения

f(×) в том случае, когда допустимы произвольные изменения

яркости при

неизменном цвете j(x) в каждой точке

. Множество, содержащее все такие изображения

(9)

назовем формой в широком смысле изображения

, у которого f(x)¹0, m-почти для всех

, [ср. 2]. является

линейным подпространством

, содержащем любую форму

, (10)

в которой включение

определяет допустимые значения яркости. В частности, если

означает, что яркость неотрицательна:

, то - выпуклый

замкнутый конус в ,

принадлежащий .

Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе

методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как

оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление

формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего

приближения.

Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными)

изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения

в том случае, когда считается, что

для любого преобразования

, действующего на изображение

как на вектор в

каждой точке и

оставляющего

элементом , т.е.

изображением. Форма в широком смысле

определяется как оператор

наилучшего приближения изображения

изображениями

где - класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что

(10*)

а - оператор

наилучшего приближения элементами множества

, форма которых не сложнее, чем форма

. Характеристическим для

является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для

любого .

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых

постоянны на подмножествах разбиения

поля зрения X.

Задано разбиение

. Рассмотрим задачу наилучшего приближения в

цветного изображения f(×) (2) изображениями (4), в

которых считается заданным разбиение

поля зрения X и требуется определить

из условия

(11)

Теорема 1. Пусть . Тогда решение задачи (11) имеет вид

, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)

и искомое изображение (4) задается равенством

. (13)

Оператор

является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****)

изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах

Черно-белый вариант

(4*) цветного изображения

(4) является наилучшей в

аппроксимацией черно-белого варианта

цветного изображения f(×) (2), если цветное

изображение (4)

является наилучшей в

аппроксимацией цветного изображения f(×) (2).

В точках множества

цвет (4**)

наилучшей аппроксимации

(4) цветного изображения f(×) (2)

является цветом аддитивной смеси составляющих f(×)

излучений, которые попадают на

.

Доказательство. Равенства (12) - условия минимума

положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный

проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная

проекция f(×) на

. Второе утверждение следует из равенства

, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k

следует заменить на xÎX. ■

Замечание 1. Для любого измеримого разбиения

ортогональные проекторы

и определяют

соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и

, ибо , и

для разных

,[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует

считать проектор

на выпуклый замкнутый конус

(4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор

на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что

[2]. Дело в том, что оператор

определяет форму

изображения (4), а именно

- множество

собственных функций оператора

. Поскольку

f(×) - наилучшее приближение изображения

изображениями из ,

для любого изображения

из и только для

таких -

. Поэтому проектор

можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(×)

,[7] [2]. И проектор

можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения

элементами и

, которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если

оператор наилучшего в

приближения злементами выпуклого замкнутого (в

и в ) конуса

, то . Иначе

говоря, для определения наилучшего в

приближения

элементами можно

вначале найти ортогональную проекцию

изображения на

, а затем

спроецировать в на

. При этом конечномерный проектор

для каждого конкретного конуса

может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач

морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь

проектора П .

Форма в широком смысле

(4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением

, последнее, в свою очередь определяется изображением

,

если векторы

попарно различны. Если при этом

, то форма в широком смысле

может быть определена и как оператор П ортогонального

проецирования на ,

определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в

широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное

подпространство

(10*) для произвольного изображения

. Пусть -

множество значений

и - измеримое

разбиение X , порожденное

, в котором -

подмножество X , в пределах которого изображение

имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором

, если .

Однако для найденного разбиения условие

, вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить

ортогональный проектор П на

. Покажем, что П можно получить как предел последовательности

конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение

можно представить в виде предела (в

) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

(*)

где - индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению

В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую

последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

- - C - измеримо,

;

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого

, найдется i=i(j),

, такое, что

;

- минимальная s-алгебра, содержащая все , совпадает с C.

Лемма (*). Пусть

Тогда для любой C-измеримой функции

и m-почти для всех [ ]. n

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П

произвольного изображения

. Пусть -

минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо

, т.е. пусть , где

- прообраз борелевского множества

, B - s-алгебра борелевских множеств

. Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C

на и выберем эту,

зависящую от ,

исчерпывающую последовательность (

- измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть

, -

исчерпывающая последовательность разбиений X, причем

- минимальная s-алгебра, содержащая все

и П(N) - ортогональный проектор

, определенный равенством

,

Тогда

1) для любого -измеримого изображения и почти для всех , ,

2) для любого изображения при (в ), где П - ортогональный проектор на .

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и

определения . Для

доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1)

- продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то

последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно

неубывает:

и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П.

Так как - множество

всех -измеримых

изображений и их пределов (в

), а в силу леммы (*) для любого

-измеримого изображения

, то для любого

изображения

и для любого

, ибо -измеримо,

N=1,2,... n

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая

последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f1,...,fq, требуется

значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу

приближения цветного изображения f(×), в которой

задано не разбиение

поля зрения X, а векторы

в , и требуется

построить измеримое разбиение

поля зрения, такое, что цветное изображение

- наилучшая в

аппроксимация f(×). Так как

, (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки

, для которых ,

=1,2,...,q, или, что то же самое,

=1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены

к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу.

Учитывая это, условимся считать, что запись

, (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и .

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа,

рассмотрим разбиение

, в котором

(15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор

F, действующий из

в по формуле

, , i=1,...,

q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы

включения и

, i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.

[8]

Теорема 2. Пусть - заданные векторы Rn. Решение задачи

наилучшего в

приближения изображения f(×) изображениями

имеет вид ,

где -

индикаторная функция множества

. Множество

определено равенством (15). Нелинейный оператор

, как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2

=F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом

варианте, то есть заданы числа

, i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию

, то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

где , и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q единичной длины: , i=1,...,q. Тогда

. (16)

Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными

гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что

соответствующее приближение

изображения f(×) инвариантно относительно

произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например

), в частности, относительно образования теней на f(×)

.

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов

оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму

изображения, принимающего значения

соответственно на измеримых множествах

(любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в

) точкой F: ,

если , все они

изоморфны между собой. Если некоторые множества из

- пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую

форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения

является множество всех изображений, принимающих заданные значения

на множествах положительной меры

любого разбиения X, и их пределов в

.

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего

приближения изображения f(×) изображениями

, в котором требуется определить как векторы

так, чтобы

.

Следствие 1.

Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn

(15), П - ортогональный проектор (13),

, где .

Тогда необходимые и достаточные условия

суть следующие:

, где ,

.

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых

в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть

- исходные векторы в задаче (14*),

- соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор

наилучшего приближения и

- невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения

. Согласно выражению (13)

, и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13)

обеспечит не менее точное приближение f(×), чем

F(1):

. Выберем теперь в теореме 2

, определим соответствующее оптимальное разбиение

и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда

. На следующем шаге по разбиению

строим и

оператор П(3) и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего

-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции

. Выберем произвольно попарно различные векторы

из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn

. Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)), множества

, j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными

пересечениями

множеств из .

Последовательность соответствующих разбиений X

, i=1,...,N(q), q=1,2...

-измеримы и

является продолжением

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах

разбиения поля

зрения X.

Задано разбиение

каждом Ai,i=1,...,N.

Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс

изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств

поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями

такого класса.

Запишем изображение (5) в виде

(17)

где .

Пусть A1,...,AN - заданное разбиение X,

- индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу

наилучшего в

приближения изображения

изображениями (17), не требуя, чтобы

(18)

Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения

изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из

, в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из

заданных подмножеств A1,...,AN поля зрения X

, (см. Лемму 3).

Так как

то минимум S (19) по достигается при

, (20)

и равен

(21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

. (22)

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный

оператор

. (23)

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы

на сфере в R

n, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном

векторе yi оператора Фi,

отвечающем максимальному собственному значению

>0,

,

и равен , т.е.

. Следовательно, максимум в (22) равен

и достигается, например, при

Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое

)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения

изображениями g(×)

(17) является изображение

(24)

Операторы ,

i=1,...,N, и -

нелинейные (зависящие от f(×)

) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы

на линейное подпространство

, натянутое на собственный вектор

оператора Фi (23), отвечающий наибольшему

собственному значению ri,

; (25)

П проецирует в

изображение

на минимальное линейное подпространство

, содержащее все изображения

Невязка наилучшего приближения

(19*).

Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из

(17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф

i (23). Поскольку Фi

самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные

значения (23) разрешима, все собственные значения Фi

неотрицательны и среди них ri - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N,

и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f

(×):

(26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П

i, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата

однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть fi - cсобственный вектор Ф

i , отвечающий максимальному собственному значению ri

. Чтобы определить

следует решить задачу на собственные значения для оператора

:

.

Поскольку rank=1,

имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно

проверить, равно ri, и ему соответствует единственный

собственный вектор fi. Поэтому

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для

n

Лемма 4. Для любого изображения

решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и

является элементом

.

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до

положительного множителя) собственный вектор fi

оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri

, можно выбрать так, чтобы

, поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Действительно, если

то согласно (23) ,

поскольку включение

означает, что

; отсюда и из (25) получим, что

,i=1,...,N, а поэтому и в (24)

.

Убедимся в неотрицательности

. В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором

, выходной сигнал i-го детектора в точке

(см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид

, p=1,...,n,

где , .

Так как матрица

симметрическая и неотрицательно определенная (

) она имеет n неотрицательных собственных значений

, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов

, а поскольку матричные элементы

, то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение

- алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно

выбирать неотрицательным:

. Следовательно,

вектор fi определен с точностью до

положительного множителя

, . n

Замечание 4.

Если , т.е. если

аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения

имеет постоянный цвет, то в теореме 3

, .

Наоборот, если , то

, т.е. определяется выражением (17), в котором .

Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f1

,....,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств

A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком

смысле

изображения (17) есть множество решений уравнения

,, (27)

где , fi

- собственный вектор оператора Фi:

, отвечающий максимальному собственному значению ri,

i=1,...,N . В данном случае

, если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения

, естественно отождествить с формой в широком смысле изображения

(17).

Заданы векторы цвета j1,..., jq,

q и оптимальные распределения яркостей

[10].

Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения

. (28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого

, (29)

и достигается на

, (30)

то, как нетрудно убедиться,

, (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки x

ÎX, в которых выполняется равенство

могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или

Aj.

Пусть - разбиение , в котором

(32)

а F: Rn-> Rn оператор, определенный условием

(33)

Тогда решение задачи (28) можно представить в виде

, (34)

где - индикаторная

функция множества Ai (31), i=1,...,q и F

-оператор, действующий в

по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности

(35)

имеет решение

(36)

Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид

, (37)

где - индикаторная функция множества

, (38)

В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F

+: Rn-> Rn, действующий

согласно формуле

(39)

где

, так что ,i=1,...q. (40)

Подытожим сказанное.

Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в

приближения изображения

заданные цветами j1,..., jq

q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения

приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами

(38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) -

Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов j

1,..., jq на некоторых множествах положительной

оператор (34),

формой такого изображения является оператор F+ (37).

Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям

+g(×)=g(×), те из них, у которых m

(Ai)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более

простую форму. n

В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с

точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности,

преобразования яркости. Речь идет о форме изображения

, заданного распределением цвета

, при произвольном (физичном) распределении яркости, например,

. Для определения формы

рассмотрим задачу наилучшего в

приближения изображения

такими изображениями

, (41)

Теорема 5. Решение задачи (41) дается равенством

, (42)

в котором , где . Невязка приближения

, (43)

( !) n

Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета

, назовем выпуклый, замкнутый конус изображений

или - проектор на .

Всякое изображение g(×), распределение цвета которого есть

j(×) и только такое изображение содержится в

и является неподвижной точкой оператора

:

g(×) = g(×).

(#)

Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j

(×), не представлены на изображении f(×) = f

(×)j(×) в той области поля зрения, в которой яркость f

(x)=0, xÎX, будем считать, что

- форма любого изображения f(x) = f(x)j

(x), f(x)>0, xÎX(modm), все такие

изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×),

удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f

(×).

Замечание 5. Пусть j1,..., jN

- исходный набор цветов,

, A1,...,AN - соответствующее оптимальное

разбиение X, найденное в теореие 4 и

, (34*)

- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)

, (24*)

если A1,...,AN - исходное разбиение X в теореме

3. Наоборот, если A1,...,AN - заданное в теореме

3 разбиение X и f1,...,fN -

собственные векторы операторов Ф1,...,ФN (23)

соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f

1,...,fN

и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить ji

как цвет fi в (24), i=1,...,N.

Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A

i, i=1,...,N.

Разумеется, условие постоянства цвета на множествах Ai, i=1,...,N

, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно

повысить как путем перехода к более мелкому разбиению

, так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai,

i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений

(17*)

в котором в (3).

Поскольку в задаче наилучшего приближения f(×)

изображениями этого класса предстоит найти

, векторы при любом

i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив

, (*)

из условия минимума невязки по

. После этого для каждого i=1,...,N векторы

должны быть определены из условия

(**)

при дополнительном условии ортогональности

. Решение этой задачи дается в следующей лемме

Лемма 5. Пусть

ортогональные собственные векторы оператора Фi (23),

упорядоченные по убыванию собственных значений:

.

Тогда решение задачи (**) дается равенствами .

Доказательство. Заметим, что, поскольку Фi -

самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения

неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они

образовали ортогональный базис в Rn. Пусть P

i - ортогонально проецирует в Rn на линейную

оболочку

собственных векторов

и

[Pi Фi Pi] - сужение оператора P

i Фi Pi на

. Тогда левая часть (*) равна следу оператора [Pi Фi P

i]

, где

- j-ое собственное значение оператора

(см., например, [10]). Пусть

. Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10],

, откуда следует утверждаемое в лемме. ■

Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом

случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.

Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f

(×) изображениями (17*) имеет вид

,

Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи

.

Невязка наилучшего приближения равна

. n

Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f

(×) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы

, и надлежит определить измеримое разбиение

и функции , как

решение задачи

(30)

При любом разбиении

минимум в (30) по

достигается при ,

определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

(31)

где точки , в

которых выполняется равенство

могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в

, либо в . Это

соглашение отмечено звездочкой в (31).

Таким образом доказана

Теорема 6. Пусть заданные векторы Rn. Решением задачи (30) является изображение

,

где ортогональный проектор

определен равенством (25), а

- индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка

наилучшего приближения равна

. n

Замечание 5. Так как при

,

то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде

, (32)

показывающем, что множество

в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения

, не изменяющего его цвет.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия

наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при

котором должны быть найдены

и ci0 , i=1,...,N, такие, что

.

Теорема 7. Для заданного изображения f(×)

определим множества

равенствами (32), оператор П - равенством (24),

- равенствами (25). Тогда

,

определено равенством (32), в котором

- собственный вектор оператора Фi (23),

отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23)

, наконец,

будет дано равенством (20), в котором

, где -

собственный вектор оператора

, отвечающий наибольшему собственному значению

; наконец,

. n

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании

: Для изображения f(×) зададим

и по теореме 5 найдем

и , затем по

теореме 3, используя

найдем и

. После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по

найдем и

и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений

очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность

, k=1,2,.... монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К

сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности

.

Формы (10) и (9) удобно задавать операторами Пf и П*f соответственно.

Теорема 7. Форма

в широком смысле изображения

определяется ортогональным проектором П*f :

,

при этом и .

Доказательство. Так как для

, то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения

рассмотрим выпуклую задачу на минимум

, решение которой определяется условиями (см., например, [11])

. Отсюда следует, что и тем самым доказано и второе утверждение n

Замечание. Так как

, где fi(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке

, причем fi(x)³0 ,i=1,...,n, и, следовательно

цвет реальных

изображений непременно имеет неотрицательные

, то для реальных изображений

, условия и

, эквивалентны. Если же для некоторого

, то условие не

влечет . Заметим

также, что для изображений g(×), удовлетворяющих условию

, всегда .

Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k

детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне

видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое

излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое

изображение можно представить разложением

(40)

В котором

. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению

с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения

изображениями f(×) , в которых f1(

×) - любая неотрицательная функция из

, j1(×) - фиксированное векторное поле цвета,

f2(×) - термояркость, j2(

×) - термоцвет в точке

. Форма П*f видимой компоненты f

(×) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

, в данном случае

, причем П

*f действует фактически только на "видимую компоненту"

g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в ноль.

Форма ИК компоненты f(×) может быть определена лишь тогда,

когда известно множество возможных преобразований j2(

×) f2(×).

Некоторые применения.

Задачи идентификации сцен.

Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным

геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д.

Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения

получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных

и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.

Можно ли считать f(×) и g(×)

изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями

яркости, например, наличием теней?

В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а

именно, f(×) и g(×) можно считать

изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета

, для которого v(j(×)) содержит f(×) и

g(×). Если

, и , то, очевидно,

существует , при

котором f(x)Îv(j(×)), g(x

)Îv(j(×)), а именно,

, , если

, , если

, и, наконец, -

произвольно, если

.

На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать

задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать

g(×) изображением сцены, представленной изображением f

(×)? Ответ следует считать утвердительным, если

.

Здесь j(×) - распределение цвета на изображении f

(×), символ ~0 означает, что значение d(g(×))

можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, -

наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g

(×) и f(×) с точностью до преобразования

распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g

(×) по сравнению с распределением цвета f(×),

представлены в .

2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и

пространственно однородном изменении спектрального состава освещения.

Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f

(×), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации,

например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава

освещения?

Пусть П - форма в широком смысле изображения f(×),

определенная в теореме @, П* - форма f

(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если

. Если изменение g(×) обусловлено не только изменившимися

условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых

объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут

представлены на .

3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.

Пусть f(×) - заданное изображение, AÌX -

подмножество поля зрения, cA(×) - его индикатор, c

A(×)f(×) -назовем фрагментом изображения

f(×) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент

сцены, изображенной на f(×). Пусть g

(×) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в

частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по

сравнению с f(×). Задача состоит в том, чтобы указать на

g(×) фрагмент изображения, представляющий на f

(×) фрагмент сцены и совместить его с cA(×)f

(×).

Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно

моделировать группой преобразований R2->R2,

преобразование изображения

назовем сдвигом g(×) на h. Здесь

Q(h): Rn->Rn, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст

.

В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на

h изображения g(×) в “окне” A:

(100)

причем, поскольку

где то в (100)

- ограничение на сдвиг “окна” А, которое должно оставаться в пределах

поля зрения X.

Если кроме цвета g(×) может отличаться от f

(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при

неизменном распределении цвета и

- форма фрагмента f(×), то задача выделения и совмещения

фрагмента сводится к следующей задаче на минимум

.(101)

При этом считается, что фрагмент изображения g(×),

соответствующий фрагменту cA(×)f

(×), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h

*, совпадает с cA(×)f(×)

с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это

означает, что

.

т.е. в (101) при h=h* достигается минимум.

4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных

видны” в остальных.

Рассмотрим два изображения

и . Определим форму

в широком смысле

как множество всех линейных преобразований

: (A -

линейный оператор R2->R2, не зависящий от

xÎX). Для определения проектора на

рассмотрим задачу на минимум

. [*]

Пусть ,

, тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A*AS -

2trAB ~

. Ее решение

(знаком - обозначено псевдообращение).

=

=

Рис.1.

fe - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению

e(×), je - его цвет; j1,j2,j

3, - векторы (цвета) базовых излучений, b - белый цвет, конец

вектора b находится на пересечении биссектрис.

Литература.

[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, -

Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.

[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983,

т. 296, №5, сс. 1061-1064.

[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, -

Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред.

Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.

[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, -

Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image

Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для

морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное

исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.

[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля

изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс.

2456-2458.

[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для

морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.

[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации

сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических

изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-

хххх.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using

Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE -

Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp.

163-167.

[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая

школа, 351 стр., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения.

М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института,

вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года и т.п.

[2] Фрагмент морфологического анализа

цветных изображений содержится в работе[3].

[3] вектор fe

будет иметь отрицательные координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу

[4]черта символизирует замыкание, - выпуклый замкнутый конус в Rn.

[5] Если

- более детальное изображение , то некоторые A(j) могут

“ращепиться” на несколько подмножеств A¢(j¢),

на каждом из которых цвет

постоянный, но различный на разных подмножествах A¢(

j¢). Однако, поскольку форма обычно строится исходя из данного

изображения f(×), v(f(×)) не может

содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную сцену.

[6] Для простоты яркость изображения

считается положительной в каждой точке поля зрения Х.

[7]- класс неотрицательных функций принадлежащих .

[8]Одна и та же буква F

использована как для оператора

, так и для оператора

. Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто используется в работе.

[9]Если m(As)=0, то в

задаче наилучшего приближения (18) цвет и распределение яркости на As

можно считать произвольными, поскольку их значения не влияют на величину невязки

s.

[10]Векторы j1,..., j

q выбираются, например, сообразно цветам объектов, представляющих

интерес.