Шпора: Шпора алгебра (институт)

1. Определитель это число соответствующее данной квадратной матрице и

вычисленное определённым образом. detA=

. Определитель можно подсчитать 2 способами. Правило треугольников и правило

дописывания элементов.

Правило треугольников.

Правило дописывания элементов

=

2 Свойства определителя. а) Если строка или столбец в определители

состоит из нулей, то определитель равен 0. б) Если в определители две

одинаковые строки (столбцы) то d=0 в) Общий множитель строки столбца можно

вынести за скобку г) d не измениться, если к элементам соответствующей строки

добавить соответствующие элементы другой строки или столба умноженное на одно

и тоже число. Д). Если в определителе какая – либо строка (столбец)

может быть представлен в виде двух слагаемых то самоопределитель может быть

представлен в виде суммы двух определителей в которых все элементы такие же

как в исходном определителе кроме указанной строки (столбца). В первом

определителе стоят первые слагаемые во втором вторые. З). Если в

определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит

знак на противоположный. Е). Если в определителе две строки (столбца)

пропорциональны то он равен 0. к). При транспонирование значение

определителя не меняется. Транспонирование – это замена строк столбцами и

наоборот.

3. Минором элемента

называется d полученный из исходного вычеркиванием i строки и j столбца.

Алгебраическое дополнением элемента

называется его минор взятый с определённым знаком.

4.Для вычислений d порядка>3 используется: любой d может быть

представлен как сумма произведений элементов какой либо строки (столбца) на их

алгебраическое дополнение. Также есть правило треугольников и правило

дописывания элементов.

5. Таблица чисел состоящая из m строк и n столбцов называется

матрицей. A1*x1+A2*x2=b1 расширенная | a1 a2 b1|

6 Правило Крамара (если система неоднородна, т.е. свобдые члены не равны

и не равны 0): если d

то система имеет одно единственное решение, которое можно найти по формулам

Крамара . В этих

формулах это

определители, полученные из основного определителя заменой соответствующего

столбца на столбец свободных членов. Основной определитель системы равен 0, а

хотя бы один из определителей

то система не имеет решений. Определитель равен 0

, бесконечное множество решений.

7 Система однородных линейных уравнений имеет единственное нулевое решение когда

8 Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, если

основной определитель системы равен 0

9 Метод Гаусса Нужно смотреть всегда, не пришла ли система к виду

0x1+0x2..+0xn=b b не равно 0.(не имеет решений) Далее приводим систему к

ступенчатому виду и смотрим, не появилось ли это уравнение. И приводим систему

к ступенчатому виду. Если система принимает вид треугольника),сло лесенок

совпадает с числом неизвестных ) то система имеет одно единственное решение

. Если система к треугольному виду не привелась т.е остаётся ступенчатый вид, то

она имеет бесконечное множество решений. Для однородной системы линейных

уравнений при решении методом гаусса если число уравнений меньше числа

неизвестных то система имеет не нулевое решение.

10 Рангом матрицы называется наивысший порядок Минора этой матрицы

отличного от нуля. Минор матрицы наивысший порядок которого совпадает с рангом

матрицы и отличный от 0 называется базисным минором матрицы. Чтобы найти ранг

матрицы можно воспользоваться методом гаусса и привести её к ступенчатому виду.

И ранг будет равен числу отличных от нуля элементов стоящих на ступеньке.

11 Свободными в системе уравнений называются элементы матрицы со

свободными членами, базисными называются

12 Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых,

называются коллинеарными(

.) Векторы a b c называются компланарными, если они лежат в одной

плоскости или же находятся в параллельных плоскостях. (a*b)c=0 – компланарны

13 Сложение, умножение вектора на число называется линейными операциями

над векторами.

14 Сложение происходит по правилу треугольника (a+b называется вектор,

который идет из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b

приложен к концу вектора а), правило параллелограмма ( если векторы а и b

приведены к общему началу и на них построен параллелограмм то сумма равна

диагонали идущего из начала а и b. a+b=b+a коммутативность.

1) при сложении координаты складываются.2) При умножении на число умножитель

умножается на все координаты вектора.

15 Для любых трёх векторов (неколлинеарных)

Три неколлинеарные вектора

и неравные нулю называются базисом на плоскости. Любой вектор

в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации базисных

векторов

называется координатами данного вектора в данном базисе.(Совокупность n-линейно

независимых x векторов n мерного пространства называется базисом.

16. вектор an называется линейной комбинацией векторов если am=

a1,a2... векторы.

Векторы a1,a2,an называются линейно зависимыми если найдётся отличные от нуля

числачто выполняется

.

Если для векторов a1,a2,an равенство

выполняется при условии

то такие вектора называются линейно независимыми. Если система векторов состоит

из одного вектора она будет являться линейно зависимой если вектор не равен 0

a, а линейно

зависимой если а=0 . Если среди векторов а1,а2,аn имеется нулевой вектор то

такая система линейно –зависима. 2) Если часть векторов системы а1,а2, линейно

зависима то все векторы линейно зависимы

Если ранг матрицы данной системы равен количеству компонент то система

является линейно независимой.

17

Базис векторов называется ортонормированным если вектора ортогональны(угол

между ними 90)и имеют еденичные нормы(i j k)

18 Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется

заданием линейной единицы для измерения длин и тех пересекающихся в одной точке

взаимно перпендикулярных осей. Точка пересечения осей называется началом

координат, а сами оси – осями координат. Первая координатная ось называется

осью абсцисс, вторая – ординат. Третья – аппликат. Начало координат

обозначается буквой О оси: Ох, Оу, Оz.

19 Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О,

называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемой полярной

осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того должны указывается какие

повороты вокруг точки О являются положительными какие отрицательными.

Координаты точки М задаются расстоянием ОМ и углом АОМ.

20

21 Скалярным произведение

Свойства. 1)некоммутативность:

2)дистрибутивность

3) 4) свойства знака

Если два вектора перпиндикулярны их скалярное произведение равно 0 и наооборот5)

Произведение в координатных форме

22 Векторное произведение векторов

Свойства 1) Векторное произведение по модулю равно площади параллелограмма

построенного по этим векторам. Вектор с являющийся векторным произведением

всегда перпендикулярен к плоскости в которой лежат вектора а в . 3.

Вектор с направлен так, что кратчайший поворот от а к b, наблюдаемый с конца с

должен происходить против часовой стрелки. 4. Не коммутативность a*b=

-b*a 5. Векторное произведение равно 0 если один из векторов =0 или они

коллинеарные. 6. Ассоциативность по отношению к умножению на скаляр.

7. Дистрибутивность по отношению сложению векторов a*(b+c)=a*b+a*c.

Векторное произведение в координатной форме.

i j k

a*b=xa ya za

xb yb zb

23 Смешанное произведение векторов.

Смешанное произведение по модулю представляет собой объём параллепипида на этих

векторах как на рёбрах.

Знак смешанного произведения не измениться если менять порядок вектора в

круговом порядке1)

2)

3)Когда смешенное произведение равно 0 векторы компланарны (параллельны одной и

той же плоскости)

В координатной форме

=

27. Уравнение примой, проходящей через две точки на плоскости:

Прямую на плоскости можно охарактеризовать двумя точками А и В с координатами.

Каноническое уравнение примой на плоскости:

и в пространстве: можно охарактеризовать 3 и более мерами,

Каноническое уравнение прямой в (3мерном) пространстве:

28. Уровнение плоскости проходяшее через 3 точки:

Вектора А1А3, А1А2, А1В лежат в одной плоскости

следовательно их смешенное произведение равно 0. (z3-z1)(z2-z1)(z-z1)=0

вектороное уравнение плоскости проходяший через 3 точки

- уравнение плоскости проходящей через 3 точки

31. Эллипс называется множество точек плоскости обладаюших, имеющих

постоянную сумму расстояний до двух заданых точек называемыми фокусами эллипса.

Заданы величины а>с

обозначим тогда

А1(-a;0) A2(a;0)

A1A2 называется большой осью эллипса B1(0;-b);B2(0;-b)

B1B2 малая ось

32 Гипербола –Называется геометрическое место точки плоскости для которой

абсолютная величина разности расстояний от некоторой фиксированной точки

называется фокусом. Для любой точки данной кривой есть величина расстояний и

меньшая чем расстояния между фокусами.

Вывод:

возводим в квадрат

-2xc=4 : 4

-xc= *в квадрат : :a^2b^2

каноническое уравнение гиперболы

.Ассимптотами гиперболы называются---------------

если E стремиться к

бесконечности то отношение b к а растёти значит

гипербола вытягивается по оси oy . Если а=в то гипербола равнобокая

33 Парабола это множество точек плоскости для которой расстояние до

некоторой прямой равно расстоянию до некоторой фиксированной точки F . P

параметр параболы. Выведем уравнение параболы. Расположим ось абсцисс так,

чтобы она проходила через фокус перпендикулярно директрисе и имела

положительное направление от директрисы к фокусу (рис.1 ). За начало координат

выберем середину перпендикуляра FR, опущенного из фокуса на директрису. В

выбранной таким образом системе фокус имеет координаты F(p/2; 0). Уравнение

директрисы примет следующий вид: х = — р/2.

Пусть М(х; у) — точка параболы. По определению параболы, расстояние MN точки М

(х; у) от директрисы равно ее расстоянию MF от фокуса: MN = MF. MN=MQ+QM=

+x

у2 = 2рх.

35. Базисом линейного пространства называется произвольная линейно не

зависимая система из n векторов в Rn. Rn – это множество действительных чисел.

Если система е1 е2 и тд это система линейно не зависимых векторов в

пространство является n мерным а вектор е1 еn его базис.

36 Линейное пространство R называется n мерным если в нём существует n

линейно независимых векторов, а любые из (n+1) линейно зависимые. Размерность у

пространства называется количество в нём линейно независимых векторов. DIM R.

Любой вектор x линейного пространства может быть представлен и при том

единственным способом в виде линейной комбинации базисных векторов.Если

система e1,e2,e3 это система линейно независимых векторов в пространстве и

любой вектор линейного выражается через данный вектор , то пространство

является n а вектор e1,e2,e3 базис данного векторного линейного

пространтва.

37Евклидово пространство. Скалярное произведением двух векторов

и xy=

Свойства скалярного произведения 1)xy=yx 2)x(y+z)=xy+xz 3) x(

y)=(xy) 4) xx>0

всегда кроме случая x=0

Линейное (векторное)пространство в котором определено скалярное произведение

векторов, удовлетворяющее перечисленным 4 свойствам называется евклидовым

пространством.

Угол между векторами

Во всяком Евклидовом n мерном пространстве существует ортанормированный базис

Переход от одного базиса к другому Переход осуществляется с помощью матрицы

перехода.

Пусть x имеет координаты в старом базисе а в новом базисе

имеет координаты

38 Аксиомы скалярного произведения векторов Скалярное произведением двух

векторов и

xy= Свойства

скалярного произведения 1)xy=yx 2)x(y+z)=xy+xz 3) x(

y)=(xy) 4) xx>0

всегда кроме случая x=0

Линейное (векторное)пространство в котором определено скалярное произведение

векторов, удовлетворяющее перечисленным 4 свойствам называется евклидовым

пространством

39 Нормой вектора x называют число, обозначаемое символом |x|

Свойства

1) |x|=0 x=0 2)

-действительное число 3) Свойства неравенство Коши-Буняковского

4)неравенство

треугольников

40 Угол между векторами

41 Два вектора называются ортоганальными если угол между ними 90.Нулевой

вектор ортоганален любому.

42. Линейные матричные операции

По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это

число все элементы матрицы.

Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же

размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов

слагаемых.

Произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы

две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно

числу строк второй. Если

, ,

то произведением матриц A и B, называется матрица

,

элементы которой вычисляются по формуле

c ij =a i1 b 1j + a i2 b 2j + ... +a in b nj , i=1, ..., m, j=1, ..., k.

Произведение матриц A и B обозначается AB, т.е. C=AB.

ПРИМЕР 1. Действия с матрицами.

Произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка

сомножителей. Если AB=BA, то матрицы A и B называются

перестановочными.

ПРИМЕР 2. Проверка перестановочности матриц.

Для квадратных матриц определена единичная матрица -

квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные -

нули:

Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или E n

, где n - порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить

основное свойство единичной матрицы:

AE=EA=A.

Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами

на главной диагонали; единичная матрица - частный случай скалярной матрицы.

ПРИМЕР 3. Умножение матрицы на матрицы специального вида

Для квадратных матриц определена операция возведения в целую

неотрицательную степень:

A 0 =E, A 1 =A, A 2 =AA, ..., A n =A n-1 A, ....

ПРИМЕР 4. Возведение матрицы в степень.

Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования

. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся

из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной

по отношению к матрице и обозначается A T:

, .

Верны соотношения:

(AT )T =A;

(AB)T =BT AT.

Квадратная матрица A, для которой A T =A, называется

симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно

главной диагонали, равны.

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица X, что

AX=XA=E.

Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A -1, т.е.

A A -1 =A -1A=E.

Известно, что если матрица A невырождена (т.е ее определитель отличен от

нуля), то у нее существует обратная матрица A -1.

Верно соотношение: (A-1)T =(AT ) -1.

ПРИМЕР 5. Обращение матрицы.

Квадратная матрица U, для которой U -1 =U T, называется ортогональной матрицей.

Свойства ортогональной матрицы:

· Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.

· Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной

матрицы равна единице.

· Сумма произведений элементов любого столбца

ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю.

Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы.

43. Умножение матриц:

*

Кол-во столбцов в первой матрице должно совпадать с кол-вом строк второй

матрицы.

44. Обратной матрицей А называется матрица А в (-1) степени, если

выполняется условие:

detA - это определитель составленный из коофициентов матрицы А

a12, a2n – это алгебраические дополнения к элементам матрицы

Обратная матрица может быть найдена единственным способом, для неё

выполняется соотношение A*A(-1)=A(-1)*A=E, она очевидна но не для всех, она

существует если определитель матрицы А отличен от нуля detA=\0

45Ранг матрицы называется наивысший порядок минора этой матрицы отличного от 0.

Минор матрицы- порядок которого совпадают рангом матрицы и отличный от 0

называется базисным минором матрицы.

46 Матричное решение систем линейных уравнений

составим определитель из коэффициентов при неизвестных

В этом случае можно решать методом обратной матрицы.

AX=B X=AB