Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

1.Метрические, линейные, нормированные пространства.

2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.

Понятие:

Пусть даны множества DШпора: Шпора 2 по мат анализу Rn и IШпора: Шпора 2 по мат анализу R.

Определение 1. Если каждой точке Шпора: Шпора 2 по мат анализу множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, ., xn). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x2=с2, x3=с3, ., хn=cn; y=f(x1, c2, ., cn) - функция одной переменной х1.

Пример.Шпора: Шпора 2 по мат анализу - функция двух переменных,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу - функция трех переменных.

Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).

Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных.

3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по одной из переменных.

4.Непрерывность сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d может быть записано как |x-x0|<d , и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква d . Это необходимо для согласования с квантором Шпора: Шпора 2 по мат анализу в предыдущей строке и взаимного уничтожения Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

5.Частные производные функции m переменных.

6.Дифференцируемость функции m переменных.

7.Дифференциал функции m переменных.

8.Дифференцирование сложной функции.

9.Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный векторimage186.gif (1276 bytes) , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению:image188.gif (2018 bytes) . В частности, для функции трех переменных image189.gif (1834 bytes), image190.gif (1132 bytes)- направляющие косинусы вектора image191.gif (859 bytes).

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора image191.gif (859 bytes)и вектора с координатами image192.gif (1381 bytes), который называется градиентом функции image193.gif (1026 bytes)и обозначается image194.gif (979 bytes). Поскольку image195.gif (1371 bytes), где image196.gif (874 bytes)- угол между image197.gif (979 bytes)и image191.gif (859 bytes), то векторimage197.gif (979 bytes) указывает направление скорейшего возрастания функции image199.gif (1026 bytes), а его модуль равен производной по этому направлению.

10.Квадратичные формы. Критерии Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Скалярная функция векторного аргумента, которая представляет собой однородный многочлен второго порядка, называется квадратичной формой.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу R.

(критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы А являются положительными, т.е.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

11.Локальный экстремум функции m переменных. Необходимое условие локального экстремума.

12.Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х0существует f'(х) ( в самой точке х0производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х0слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а после точки х0убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х0имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)>0 при х< х0 и f'(х)<0 при х > х0, то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)<0 при х< х0 и f'(х)>0 при х > х0, то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х0, в том числе и в самой точке х0, существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х0существует вторая производная f''(х0). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х0)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Допустим, что f''(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание f'(х0)<0, при х < х0и f'(х0)>0, при х > х0 . (для значений х из достаточно малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х0 . Аналогичное рассуждение при f''(х0)<0 приводит к существованию максимума в точке х0 . Вывод: если f'(х0)=0, а f''(х0)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х0 . Если f'(х0)=0, а f''(х0)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.

13.Неявные функции. Производные неявных функций.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области image212.gif (871 bytes)плоскости image213.gif (933 bytes)задана функция image214.gif (992 bytes), и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением image215.gif (1040 bytes), является графиком некоторой функции image216.gif (873 bytes), определяемой уравнением image217.gif (1000 bytes). В этом случае говорят, что функция image216.gif (873 bytes)задана неявно уравнением image215.gif (1040 bytes). Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция image214.gif (992 bytes)и ее частная производная по image218.gif (870 bytes)непрерывны в image212.gif (871 bytes),image219.gif (1528 bytes) . Тогда в некоторой окрестности точки image220.gif (890 bytes)существует единственная непрерывная функция image216.gif (873 bytes), задаваемая уравнением image217.gif (1000 bytes), так, что в этой окрестности image221.gif (1099 bytes).

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение image222.gif (1070 bytes)задает неявно функцию image223.gif (1032 bytes). Это же уравнение может задавать неявно функцию image224.gif (1030 bytes)или image225.gif (1028 bytes).

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение image215.gif (1040 bytes):image226.gif (1309 bytes) . Отсюда получим формулу для производной функции image217.gif (1000 bytes), заданной неявно: image227.gif (1136 bytes). Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением image222.gif (1070 bytes): image228.gif (1126 bytes), image229.gif (1141 bytes).

14.Условный экстремум функции m переменных.

Пусть функция image270.gif (1032 bytes)определена в некоторой области image271.gif (971 bytes)и в этой области задана кривая уравнением image272.gif (1058 bytes). Условным экстремумом функции двух переменных image270.gif (1032 bytes)называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить image273.gif (997 bytes), то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной image274.gif (1090 bytes).

15.Метод множителей Лагранжа.

Если уравнение image275.gif (1058 bytes)не разрешимо ни относительно image276.gif (997 bytes), ни относительно image277.gif (994 bytes), то рассматривают функцию Лагранжаimage278.gif (1341 bytes). Необходимым условием существования условного экстремума функции image270.gif (1032 bytes)при условии image275.gif (1058 bytes)является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа: image280.gif (1314 bytes).

16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.

17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.

Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx=F(x)+c

Свойства:

1) ( òf(x) dx )¢=f(x);

2) ò (x) dx= f(x)+C ;

3) d òf(x) dx= f(x)dx;

4) òd f(x)=f(x)+C ;

5) òkf(x)dx=kòf(x) dx;

6) ò(f(x)+g(x))dx=ò f(x) dxg(x) dx ;

7)Если òf(x) dx = F(x) + C, то òf(ax+b) dx =Шпора: Шпора 2 по мат анализу (a ¹ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

18.Метод замены переменных.

В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные Шпора: Шпора 2 по мат анализу и Шпора: Шпора 2 по мат анализу связаны соотношением Шпора: Шпора 2 по мат анализу , где Шпора: Шпора 2 по мат анализу - обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

В частности, используя замену Шпора: Шпора 2 по мат анализу (или Шпора: Шпора 2 по мат анализу ), получаем формулу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу (Шпора: Шпора 2 по мат анализу ),

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

где Шпора: Шпора 2 по мат анализу и Шпора: Шпора 2 по мат анализу - произвольные постоянные, Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

19. Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Пример:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу (Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

за u ® Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Интегрирование с подстановкой выражений вида Шпора: Шпора 2 по мат анализу после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.

20.Основные типы интегралов, берущихся по частям.+++21.Интегрирование рациональный алгебраических функций.

(см. дополн шпору)

22.Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида Шпора: Шпора 2 по мат анализу соотв. сумма из n простейших дробей вида:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу с неопределенным коэф. A1 .n

Каждому множителю видаШпора: Шпора 2 по мат анализу соот. сумма из m простейших дробей вида:Шпора: Шпора 2 по мат анализу

с неопределенным коэф.B1 C1.

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

23.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b].

1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек х0 , х1 ... хn , где

а = х0 < х1< х2 < .... < хn-1 < хn = b

2) обозначим через D хi = хi – хi-1, i=1, 2, ., n

Диаметром разбиения называется

D = Шпора: Шпора 2 по мат анализу Шпора: Шпора 2 по мат анализу - длина максимального из отрезков разбиения.

На каждом отрезке Шпора: Шпора 2 по мат анализу , i = 1, 2, ., n, произвольно выберем Шпора: Шпора 2 по мат анализу и составим сумму

Шпора: Шпора 2 по мат анализу (13)

которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей

данному разбиению отрезка [а, b] и выбору точек Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана.

Пусть f (х) непрерывная на отрезке [а, b] функция, причем f (х)Шпора: Шпора 2 по мат анализу 0, Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

Произведение f(Шпора: Шпора 2 по мат анализу )Dхi равно заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1 и высотой f (Шпора: Шпора 2 по мат анализу ).

Тогда сумма

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

представляет собой сумму площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f (Шпора: Шпора 2 по мат анализу ), i = 1, 2., n. Здесь х0=а, хn = b.

Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции.

24.Свойства определенного интеграла.

Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.

1. Пусть сущ. определенный интеграл Шпора: Шпора 2 по мат анализу сущ. определенный интегралШпора: Шпора 2 по мат анализу и справедливо равенство

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

2. Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Док-во:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

3. Свойство линейности определенного интеграла:

1. Пустьф-ииШпора: Шпора 2 по мат анализу интегрируемы на Шпора: Шпора 2 по мат анализу ***

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

2. Пусть Шпора: Шпора 2 по мат анализу , то для любой произвольной постоянной Шпора: Шпора 2 по мат анализу Шпора: Шпора 2 по мат анализу - справедлива формула Шпора: Шпора 2 по мат анализу

4. Аддитивность определенного интеграла:

Пусть ф-ия Шпора: Шпора 2 по мат анализу интегрируема на большем их трех помежутков Шпора: Шпора 2 по мат анализу , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Свойство монотонности.

1. Пусть ф-ия Шпора: Шпора 2 по мат анализу неотрицательна на Шпора: Шпора 2 по мат анализу и интегрируема на нем, Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

2. Пусть ф-ия Шпора: Шпора 2 по мат анализу на Шпора: Шпора 2 по мат анализу , искл. конечн. точек, и интегрируема на Шпора: Шпора 2 по мат анализу , тогда Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к ****

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Df Две ф-ии Шпора: Шпора 2 по мат анализу , заданные на Шпора: Шпора 2 по мат анализу , значения которых различны на Шпора: Шпора 2 по мат анализу лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.

3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.

Пусть Шпора: Шпора 2 по мат анализу эквивалентны и интегрируемы на Шпора: Шпора 2 по мат анализу , тогда Шпора: Шпора 2 по мат анализу (они не совпадают а интегралы совпадают).

Д-во:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу на Шпора: Шпора 2 по мат анализу лишь в конеч. ч. точек отр. Шпора: Шпора 2 по мат анализу , следовательно по 2муШпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

4. Пусть Шпора: Шпора 2 по мат анализу на Шпора: Шпора 2 по мат анализу , кроме конечного ч. точек, Шпора: Шпора 2 по мат анализу инт. на Шпора: Шпора 2 по мат анализу , Шпора: Шпора 2 по мат анализу , то Шпора: Шпора 2 по мат анализу

5. Пусть Шпора: Шпора 2 по мат анализу инт-ма на Шпора: Шпора 2 по мат анализу Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на Шпора: Шпора 2 по мат анализу и справедливо неравенство:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

6. Пусть Шпора: Шпора 2 по мат анализу интегрируема на Шпора: Шпора 2 по мат анализу , Шпора: Шпора 2 по мат анализу , то существует М, такая что Шпора: Шпора 2 по мат анализу

25.Интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема о его непрерывности.

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

непрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆хÎ[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

a x0 x х+∆х b

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Получим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

.(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.

26.Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

( в качестве числа х0 взято число а).

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

В этом тождестве положим х=а и получим ,

Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

27.Замена переменных в определенном интеграле.

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница

Получаем

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

28.Формула интегрирования по частям определенного интеграла.

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

В левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:

Получим:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу Шпора: Шпора 2 по мат анализу Шпора: Шпора 2 по мат анализу

29.Приложение определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.

Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2+Вх+С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой

Шпора: Шпора 2 по мат анализу (2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2+Вх+С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1=Аh2-Вh+С; у2=С; у3=Аh2+Вh+С, откуда следует, что

2Аh2+2С=у1+у3; С=у2 (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x0<x1<x2<...<x2k<x2k+1<x2k+2<...<x2n-1<x2n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ..., М2k , М2k+1 , М2k+2, ..., М2n-2 , М2n-1 , М2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

М0 М1 М2 , ..., М2k М2k+1 М2k+2, ..., М2n-2 М2n-1 М2n

проведем кривую вида у=Ах2+Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k, x2k+2], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

где yk=f(xk), k=0, 1, 2, ...,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

или в развернутом виде

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

30.Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула трапеций.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Пусть требуется вычислить интеграл Шпора: Шпора 2 по мат анализу , где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³ 0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0<x1<x2<...<xk-1<xk<...<xn=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(xk-1) и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

31.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. +++32.Несобственные интегралы второго ряда.

Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.

Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся.

Аналогично

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

и

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

33.Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов.

Рассмотрим числовую последовательность

(an)=a1,a2,...,an,.

Составим из нее новую последовательность (Sn) следующим образом:

S1=а1,

S2=a1+a2

S3=a1+a2+a3,,

Sn=a1+a2+.+аn=Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Sn+1=Sn+an+1

Выражение

a1+a2+.+аn+an+1+. (1)

обозначается символом Шпора: Шпора 2 по мат анализу и называется числовым рядом.

Числа а1, а2,.,аn,. называются членами ряда, а число аn- n – м членом или общим членом ряда.

Простейшие свойства числовых рядов

1о. Сходимость ряда не нарушится, если произвольным образом изменить (переставить, добавить или отбросить) конечное число членов ряда.

2о. Сходящийся ряд можно почленно умножить на любой множитель Шпора: Шпора 2 по мат анализу , т.е. если ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу имеет сумму S, то ряд

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

3о. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е. если даны ряды

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

то ряд

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

34.Необходимые условия сходимости ряда.

Теорема: Пусть числовой ряд

u1+u2+...+un+... , (1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член un стремится к нулю

Доказательство. Из условия теоремы имеем

Шпора: Шпора 2 по мат анализу Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Так как

Sn - Sn-1 = un

то

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

а он, однако не является сходящимся.

Так гармонический ряд

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

для которого

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

расходится.

Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

то ряд (1) расходится.

В самом деле, если бы он сходился, то

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

равнялся бы нулю.

Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы Sn, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

расходится, так как

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

35.Сходимость гармонического ряда.

-------(нету)

36.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 1. (Признак сравнения).

Пусть для членов рядов

Шпора: Шпора 2 по мат анализу и Шпора: Шпора 2 по мат анализу

имеет место неравенство

Шпора: Шпора 2 по мат анализу (8)

n=1,2,.

Тогда:

1. Если сходится ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу , то сходится и ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу

2. Если расходится ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу , то расходится и ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

Этот признак утверждает, что при выполнении условия (8) из сходимости ряда с большими членами вытекает сходимость ряда с меньшими членами, а из расходимости ряда с меньшими членами вытекает расходимость ряда с большими членами.

Теорема 2. (Предельный признак сравнения).

Пусть члены рядов Шпора: Шпора 2 по мат анализу и Шпора: Шпора 2 по мат анализу положительны и

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Тогда ряды Шпора: Шпора 2 по мат анализу и Шпора: Шпора 2 по мат анализу одновременно сходятся или одновременно расходятся.

37.Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с полжительными членами. Шпора: Шпора 2 по мат анализу и Шпора: Шпора 2 по мат анализу Причем, каждый член ряда Шпора: Шпора 2 по мат анализу не превосходит соответствующего члена ряда Шпора: Шпора 2 по мат анализу , то есть Шпора: Шпора 2 по мат анализу для всех Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Тогда

· если сходится ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу с большими членами, то сходится и ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу с меньшими членами;

· если расходится ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу с меньшими членами, то расходится и ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу с большими членами.

Теорема остается верна, если соотношения между членами рядов выполняются не для всех Шпора: Шпора 2 по мат анализу , а лишь начиная с некоторого номера Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

При использовании признаков сравнений чаще всего исследуемый ряд сравнивают с бесконечной геметрической пргрессией Шпора: Шпора 2 по мат анализу , которая сходится при Шпора: Шпора 2 по мат анализу и расходится при Шпора: Шпора 2 по мат анализу , или с рядом Шпора: Шпора 2 по мат анализу , который сходится при Шпора: Шпора 2 по мат анализу и расходится при Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

38.Признак Даламбера.

Пусть l - предел отношения последующего члена un+1 ряда (1) к предидущему un при n®¥ , т.е.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Тогда,

если l < 1, то ряд l сходится,

если l > 1, то ряд l расходится,

Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

Доказательство. Согласно определению предела переменной величины, равенство

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

где e - наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Рассмотрим три случая:

а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e настолько малым, чтобы выполнялось неравенство

l + e < 1

и, начиная с некоторого n , неравенство

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

где q = l + e , в силу чего (см. теорему 1) ряд (1) будет сходящимся;

б) пусть l > 1 . Выбираем e так, чтобы

e = l - 1 > 0

Тогда l - e = 1 и

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

т.е. ряд (1) расходится (см. теорему 1)

в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

В самом деле, для гармонического ряда

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

который расходится, имеем,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

С другой стороны, ряд

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

сходится, а для него также

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

потому что

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Таким образом, доказано, что если

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

то ряд (1) сходится; если l > 1 , то ряд (1) расходится.

39.Интегральный признак Коши.

Пусть Шпора: Шпора 2 по мат анализу - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Тогда ряд Шпора: Шпора 2 по мат анализу и интеграл Шпора: Шпора 2 по мат анализу либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Интегрируя, получаем Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Тогда Шпора: Шпора 2 по мат анализу , или Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Поэтому если Шпора: Шпора 2 по мат анализу сходится, то Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Тогда Шпора: Шпора 2 по мат анализу Шпора: Шпора 2 по мат анализу и Шпора: Шпора 2 по мат анализу , Шпора: Шпора 2 по мат анализу ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Взяв произвольное Шпора: Шпора 2 по мат анализу выберем так, чтобы Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Тогда Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Значит, Шпора: Шпора 2 по мат анализу сходится.

40.Знакопеременные ряды.

Числовой ряд, члены которого имеют различные знаки, называется знакопеременным рядом.

Пусть дан знакопеременный ряд

Шпора: Шпора 2 по мат анализу . (1)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу . (2)

Определение 1. Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.

Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сам ряд (1) сходится и ряд из абсолютных величин тоже сходится.

Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то и сам ряд сходится (из абсолютной сходимости следует условная).

41.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница.

Пусть дан знакочередующийся ряд

Шпора: Шпора 2 по мат анализу (монотонно стремится к 0), тогда А сходится.

Доказательство.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Т.к. Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

Шпора: Шпора 2 по мат анализу , Шпора: Шпора 2 по мат анализу , то есть последовательность частичных сумм Шпора: Шпора 2 по мат анализу убывает, а Шпора: Шпора 2 по мат анализу возрастает.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу Каждая из последовательностей Шпора: Шпора 2 по мат анализу ограничена и Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

Следовательно, Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

Шпора: Шпора 2 по мат анализу Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Заметим, что:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

42.Степенные ряды. Признак Абеля.

Признак Абеля.

Пусть дан ряд:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу : Шпора: Шпора 2 по мат анализу Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Доказательство.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу Доказано.

43.Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

44.Теорема о радиусе сходимости степенного ряда.

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011