Определение 1. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, ., xn). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x2=с2, x3=с3, ., хn=cn; y=f(x1, c2, ., cn) - функция одной переменной х1.

Пример. - функция двух переменных,

- функция трех переменных.

Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).

Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных.

3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по одной из переменных.

4.Непрерывность сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d может быть записано как |x-x0|<d , и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква d . Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

5.Частные производные функции m переменных.

6.Дифференцируемость функции m переменных.

7.Дифференциал функции m переменных.

8.Дифференцирование сложной функции.

9.Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных , - направляющие косинусы вектора .

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается . Поскольку , где - угол между и , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции , а его модуль равен производной по этому направлению.

10.Квадратичные формы. Критерии Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Скалярная функция векторного аргумента, которая представляет собой однородный многочлен второго порядка, называется квадратичной формой.

(критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы А являются положительными, т.е.

11.Локальный экстремум функции m переменных. Необходимое условие локального экстремума.

12.Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х0существует f'(х) ( в самой точке х0производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х0слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а после точки х0убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х0имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)>0 при х< х0 и f'(х)<0 при х > х0, то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)<0 при х< х0 и f'(х)>0 при х > х0, то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х0, в том числе и в самой точке х0, существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х0существует вторая производная f''(х0). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х0)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Допустим, что f''(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание f'(х0)<0, при х < х0и f'(х0)>0, при х > х0 . (для значений х из достаточно малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х0 . Аналогичное рассуждение при f''(х0)<0 приводит к существованию максимума в точке х0 . Вывод: если f'(х0)=0, а f''(х0)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х0 . Если f'(х0)=0, а f''(х0)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.

13.Неявные функции. Производные неявных функций.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением , является графиком некоторой функции , определяемой уравнением . В этом случае говорят, что функция задана неявно уравнением . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция и ее частная производная по непрерывны в , . Тогда в некоторой окрестности точки существует единственная непрерывная функция , задаваемая уравнением , так, что в этой окрестности .

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или .

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

14.Условный экстремум функции m переменных.

Пусть функция определена в некоторой области и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной .

15.Метод множителей Лагранжа.

Если уравнение не разрешимо ни относительно , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа. Необходимым условием существования условного экстремума функции при условии является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа: .

16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.

17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.

Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx=F(x)+c

Свойства:

1) ( òf(x) dx )¢=f(x);

2) òf¢ (x) dx= f(x)+C ;

3) d òf(x) dx= f(x)dx;

4) òd f(x)=f(x)+C ;

5) òkf(x)dx=kòf(x) dx;

6) ò(f(x)+g(x))dx=ò f(x) dx+òg(x) dx ;

7)Если òf(x) dx = F(x) + C, то òf(ax+b) dx =(a ¹ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

18.Метод замены переменных.

В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные и связаны соотношением , где - обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену .

В частности, используя замену (или ), получаем формулу

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

(),

где и - произвольные постоянные, .

19. Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

(Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

за u ®

Интегрирование с подстановкой выражений вида после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.

20.Основные типы интегралов, берущихся по частям.+++21.Интегрирование рациональный алгебраических функций.

(см. дополн шпору)

22.Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. A1 .n

Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф.B1 C1.

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

23.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b].

1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек х0 , х1 ... хn , где

а = х0 < х1< х2 < .... < хn-1 < хn = b

2) обозначим через D хi = хi – хi-1, i=1, 2, ., n

Диаметром разбиения называется

D = - длина максимального из отрезков разбиения.

На каждом отрезке , i = 1, 2, ., n, произвольно выберем и составим сумму

(13)

которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей

данному разбиению отрезка [а, b] и выбору точек .

Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана.

Пусть f (х) непрерывная на отрезке [а, b] функция, причем f (х)0, .

Произведение f()Dхi равно заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1 и высотой f ().

Тогда сумма

представляет собой сумму площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f (), i = 1, 2., n. Здесь х0=а, хn = b.

Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции.

24.Свойства определенного интеграла.

Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.

1. Пусть сущ. определенный интеграл сущ. определенный интеграл и справедливо равенство

Док-во:

3. Свойство линейности определенного интеграла:

1. Пустьф-ииинтегрируемы на ***

2. Пусть , то для любой произвольной постоянной - справедлива формула

4. Аддитивность определенного интеграла:

Пусть ф-ия интегрируема на большем их трех помежутков , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

Свойство монотонности.

1. Пусть ф-ия неотрицательна на и интегрируема на нем,

Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным.

2. Пусть ф-ия на , искл. конечн. точек, и интегрируема на , тогда

Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на . Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к ****

Df Две ф-ии , заданные на , значения которых различны на лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.

3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.

Пусть эквивалентны и интегрируемы на , тогда (они не совпадают а интегралы совпадают).

Д-во:

на лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по 2му

4. Пусть на , кроме конечного ч. точек, инт. на , , то

5. Пусть инт-ма на Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на и справедливо неравенство:

6. Пусть интегрируема на , , то существует М, такая что

25.Интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема о его непрерывности.

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

непрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆хÎ[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

a x0 x х+∆х b

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Получим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

.(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.

26.Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):

( в качестве числа х0 взято число а).

В этом тождестве положим х=а и получим ,

Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:

27.Замена переменных в определенном интеграле.

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница

Получаем

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

28.Формула интегрирования по частям определенного интеграла.

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.

В левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:

Получим:

29.Приложение определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.

Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2+Вх+С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой

(2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2+Вх+С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1=Аh2-Вh+С; у2=С; у3=Аh2+Вh+С, откуда следует, что

2Аh2+2С=у1+у3; С=у2 (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x0<x1<x2<...<x2k<x2k+1<x2k+2<...<x2n-1<x2n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ..., М2k , М2k+1 , М2k+2, ..., М2n-2 , М2n-1 , М2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

М0 М1 М2 , ..., М2k М2k+1 М2k+2, ..., М2n-2 М2n-1 М2n

проведем кривую вида у=Ах2+Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k, x2k+2], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

где yk=f(xk), k=0, 1, 2, ...,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

или в развернутом виде

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

30.Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³ 0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0<x1<x2<...<xk-1<xk<...<xn=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(xk-1) и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

31.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. +++32.Несобственные интегралы второго ряда.

Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.

Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся.

Аналогично

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают

33.Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов.

Рассмотрим числовую последовательность

(an)=a1,a2,...,an,.

Составим из нее новую последовательность (Sn) следующим образом:

S1=а1,

S2=a1+a2

S3=a1+a2+a3,,

Sn=a1+a2+.+аn=

Sn+1=Sn+an+1

Выражение

a1+a2+.+аn+an+1+. (1)

обозначается символом и называется числовым рядом.

Числа а1, а2,.,аn,. называются членами ряда, а число аn- n – м членом или общим членом ряда.

Простейшие свойства числовых рядов

1о. Сходимость ряда не нарушится, если произвольным образом изменить (переставить, добавить или отбросить) конечное число членов ряда.

2о. Сходящийся ряд можно почленно умножить на любой множитель , т.е. если ряд имеет сумму S, то ряд

3о. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е. если даны ряды

то ряд

34.Необходимые условия сходимости ряда.

Теорема: Пусть числовой ряд

u1+u2+...+un+... , (1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член un стремится к нулю

Доказательство. Из условия теоремы имеем

Так как

Sn - Sn-1 = un

то

Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

а он, однако не является сходящимся.

Так гармонический ряд

для которого

расходится.

Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

то ряд (1) расходится.

В самом деле, если бы он сходился, то

равнялся бы нулю.

Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы Sn, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

расходится, так как

35.Сходимость гармонического ряда.

-------(нету)

36.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 1. (Признак сравнения).

Пусть для членов рядов

имеет место неравенство

(8)

n=1,2,.

Тогда:

1. Если сходится ряд , то сходится и ряд

2. Если расходится ряд , то расходится и ряд .

Этот признак утверждает, что при выполнении условия (8) из сходимости ряда с большими членами вытекает сходимость ряда с меньшими членами, а из расходимости ряда с меньшими членами вытекает расходимость ряда с большими членами.

Теорема 2. (Предельный признак сравнения).

Пусть члены рядов и положительны и

Тогда ряды и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

37.Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с полжительными членами. и Причем, каждый член ряда не превосходит соответствующего члена ряда , то есть для всех . Тогда

· если сходится ряд с большими членами, то сходится и ряд с меньшими членами;

· если расходится ряд с меньшими членами, то расходится и ряд с большими членами.

Теорема остается верна, если соотношения между членами рядов выполняются не для всех , а лишь начиная с некоторого номера .

При использовании признаков сравнений чаще всего исследуемый ряд сравнивают с бесконечной геметрической пргрессией , которая сходится при и расходится при , или с рядом , который сходится при и расходится при .

38.Признак Даламбера.

Пусть l - предел отношения последующего члена un+1 ряда (1) к предидущему un при n®¥ , т.е.

Тогда,

если l < 1, то ряд l сходится,

если l > 1, то ряд l расходится,

Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

Доказательство. Согласно определению предела переменной величины, равенство

означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства

где e - наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Рассмотрим три случая:

а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e настолько малым, чтобы выполнялось неравенство

l + e < 1

и, начиная с некоторого n , неравенство

где q = l + e , в силу чего (см. теорему 1) ряд (1) будет сходящимся;

б) пусть l > 1 . Выбираем e так, чтобы

e = l - 1 > 0

Тогда l - e = 1 и

т.е. ряд (1) расходится (см. теорему 1)

в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

В самом деле, для гармонического ряда

который расходится, имеем,

С другой стороны, ряд

сходится, а для него также

потому что

Таким образом, доказано, что если

то ряд (1) сходится; если l > 1 , то ряд (1) расходится.

39.Интегральный признак Коши.

Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

40.Знакопеременные ряды.

Числовой ряд, члены которого имеют различные знаки, называется знакопеременным рядом.

Пусть дан знакопеременный ряд

. (1)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

. (2)

Определение 1. Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.

Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сам ряд (1) сходится и ряд из абсолютных величин тоже сходится.

Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то и сам ряд сходится (из абсолютной сходимости следует условная).

41.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница.

Пусть дан знакочередующийся ряд

(монотонно стремится к 0), тогда А сходится.