Шпора: Шпаргалки по математике

1. Математическая модель экономических задач. Постановка ЗЛП.

Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)

Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре:

требуется за время Т выпустить n1, n2, nk

единиц продукции P1,P2,Pk. Продукция

производится на станках S1,S2,Sn. Для каждого

станка известна производительность aij, т.е. число продукции Pj

, которое можно произвести на станке Si, и затраты bij на

изготовление продукции Тj на станке Si единицу времени.

Необходимо составить такой план работы станков, т.е. распределить выпуск

продукции между станками, чтобы затраты на производство всей продукции были

min.

Экономико-математическая модель задачи:

Обозначим xij – время в течение которого станок Si будет

занят изготовлением продукции Pj. Т.к. время работы каждого станка

ограничено и не превышает Т, то справедливо неравенство:

x11+x12+.+x1k≤T

x21+x22+.+x2k≤T (1)

........

xm1+xm2+.+xmk≤T

Для реализации плана выпуска

продукции по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства:

a11x11+ a21x21+.+ am1xm1=n1

a12x12+ a22x22+.+ am2xm2=n2 (2)

..............

a1kx1k+ a2kx2k+.+ amkxmk=nk

Кроме того, xij≥0, (i=1,2,.,m; j=1,2,.,k) (3)

Затраты на производство всей продукции выразиться функцией:

F= b11x11+ b12x12+.+ bmkxmk (4)

Экономико-математическая модель задач об использовании мощностей.

Найти такое решение x=( x11,x12.,xmk)

удовлетворяющим системам (1), (2) и условию (3), при котором функция (4)

принимает min значение.

Постановка ЗЛП.

Общая ЗЛП имеет вид:

a11x1+ a12x2+.+ a1nxn≤b1

a21x1+ a22x2+.+ a2nxn≤b2

............

am1x1+ am2x2+.+ amnxn≤bm

x1≥0; x2≥0;. xn≥0

f= C1X1+C2X2+.+ CnXn→min(max)

Система неравенств называется системой ограничений, ее матрица имеет ранг

r≤n, f – целевая функция. Неотрицательное решение (x10

, x20,., xn0) системы неравенств

называется допустимым решением – планом ЗЛП. Допустимое решение называется

оптимальным, если оно обращает целевую функцию в min или max (оптимум).

2.Геометрический метод решения ЗЛП.

Множество допустимых решений (многогранник решений) ЗЛП представляет собой

выпуклый многогранник (или выпуклую многогранную область). Выпуклая область –

это такая область, у которой любая точка отрезка, концы которого лежат на

границе области принадлежат этой области. Оптимальное решение задачи находится,

по крайней мере, в одной из угловых точек многогранника решений. Рассмотрим

задачу стандартной формы с двумя переменными (n=2). В такой форме можно

привести к классическую задачу (с ограничениями, в виде уравнений, когда число

переменных n больше числа уравнений m на 2, т.е. n-m=2). Пусть геометрическим

изображением системы ограничений является многоугольник ABCDE (рис.1).

Необходимо среди точек этого многоугольника найти такую точку, в которой

линейная функция f= C1X1+C2X2

принимает max или min значение.

Рассмотрим линию уровня линейной функции f, т.е. линию вдоль которой это функция

принимает одно и то же фиксированное значение, т.е. f=a, или C1X

1+C2X2=a (1)

На многоугольнике решений следует найти точку через которую проходит линия

уровня функции f с наиб. или наим. уровнем. Уравнение линии уровня функции (1)

есть уравнение прямой линии. При различных уравнениях a, линия уровня

параллельна, т.к. их угловые коэффициенты определяются только соотношением

между коэффициентами C1 и C2 и следовательно равны.

Т.о. линия уровня функции f – это своеобразные параллели, расположенные под

каким-то углом к осям координат. Важное свойство линии уровня состоит в том,

что при параллельном смещении в сторону градиента, уровень только возрастает, а

при смещении в другую сторону только убывает. Это и есть свойство градиента.

Одну линий уровня можно взять, проходящей через начало координат (если линейная

функция имеет вид f= C1X1+C2X2,

т.е. без свободного члена.), то это соответствует нулевому уровню.

Этапы решения задач.

1. Сначала на координатной плоскости X1O X2 строится

допустимая многоугольная область, соответствующая ограничениям. Далее строится

вектор градиент, координаты которого являются частными производными функции f.

Вектор показывает направление возрастания линейной функции f, в какой-нибудь

точке X0, принадлежащей допустимой области.

2. Прямая f= C1X1+C2X2

перпендикулярно вектору-градиенту передвигается в направлении этого вектора, в

случае максимизации f, до тех пор, пока не покинет многоугольной области.

Предельная точка (или точки) области при этом движении и являются точкой max f.

3. Для нахождения координат точки max достаточно из соответствующих ограничений,

и дающих пересечения точки max. Значение f, найденное в получаемой точке

являются max. В случае минимизации f, прямую f= C1X1+C

2X2, надо двигать в направлении, противоположному

вектору-градиенту. Ясно, что, если прямая f= C1X1+C2

X2 не покидает допустимой области, то соответствующий max или min f

не существует.

4. Вопрос 4. Взаимодвойственные задачи ЛП. Основные теории двойственности. С

каждой задачей ЛП связана некоторая другая задача ЛП, называемая двойственной

по отношению к данной (исходной). Различают симметричную и несимметричную

формы взаимодвойственных задач. Рассмотрим симметричную форму: Пусть дана зад

ЛП станд. Формы:

a11x1+a12x2+...+a1n xn>=b1

a21x1+a22x2+...+a2nxn>=b2

...-....-....-....-...-....-....-....-

am1x1+am2x2+...+amnxn>=bm

x1>=0; x2>=0;...., 1n>=0

f = c1x1+c2x2+...+cnxn

Составим др. зад., связанную с данной кот. Назовем двойственной:

A11y1+a12y2+...+am1ym <= c1

A12y1+a22y2+...+am2ym <= c2

...-...-...-...-...-...-...-...-...-...-.

a1ny1+a2nyn+...+amnym <= cn

yi >=0, i=1,m

f = b1y1+b2y2+...+bnym

Сопоставляя пару взаимодвойственных зад. М. установить взаимосвязи:

1) матрицы системы неравенств исх. Двойственных зад.

Транспонир. Др.др,

2) если исх. Зад. Имеет min, то двойств к ней max,

3) коэффициенты целевой функции исх. Зад. Являются

свободн. членами сист. Неравенств двойств. и обратно, своб чл. Сист. Исх.

Являются коэф-ами целевой функции двойственной.

4) в сист. ограничений исход. и двойственных задач

неравенства имеют противоположный смысл.

5) число неравенств исх. задач = числу неизв. двойств-ой

и обратно числу неравенств двойствен. – числу неизв. исходных.

6) свойства взаимодвойственных задач:

a) если одна из 2ух взаимодвойств.

зад. имеет оптим. план., то и др. имеет оптим. план, причем min f = max φ

(осн. теорема двойствен-ти)

b) значение целевой функции исх.

задачи не превышает значение целевой функции двойств. зад., т.е.

f(x)<=φ(y) для

c) если целевая ф-ция исх. зад.

неограниченна снизу, то двойств. не имеет оптимального плана.

Приведенные взаимодв. и св-ва взаимодв. зад. позволяют сделать вывод о том,

что решение одной из них фактич. дает решение двойств. ей задач.

Во-первых, по осн. теории двойств-ти, оптим-ое значение целевой ф-ции

совпадает min f = max φ; во-вторых, остается найти координацию точек

оптимумов этих функций.

5. Экономико-математическая модель транспортной задачи. Составление

первоначального опорного плана.

Приведем экономическую формулировку транспортной задачи (ТЗ) по критерию

стоимости: однородный груз, имеющийся в m пунктах отправителя А1, А2. Требуется

доставить каждый груз из n пунктов назначения В1, В2, .,Вn. Стоимость перевозки

из ai в bi известна для всех маршрутов и равна Sij

. Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов

отправления вывозится и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются. x

ij>>0

Из приведенной таблицы легко усматривается и составляется математическая модель

ТЗ для закрытой модели. ( Σi=1mai= Σ

j=1mbj)

X11+X12+.+X1n=a1

X21+X22+.+X2n=a2

..........

Xm1+Xm2+.+Xmn=am (1)

X11+X21+.+Xm1=b1

X21+X22+.+X2n=b2

..........

X1n+X2n+.+Xmn=bn

F=C11X11+C12X12+.+C1nX1n+.+CmnXmn →min (общая стоимость перевозок) (2)

Число r=m+n-1 равное рангу систем (1) называется рангом транспортной системы.

Если число заполненных клеток таблицы равно r, то план называется

невырожденным. А если это число меньше, то – вырожденным. В случае открытой

модели Σai≠Σbj легко сводится к закрытой

модели путем введения Bn+1 с потребностью bn+1= Σa

i+Σbj либо a n+1=Σbj

-Σai.

Составление опорного плана.

1. Способ северо-западного угла (диагонали). Сущность способа заключается в том,

что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка. Оставшейся части таблицы

причем максимально возможным числом: либо полностью вывозится груз из ai

, либо полностью удовлетворяется потребность bj. Процедура

производится до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы ai

и не удовлетворятся потребности bj. В заключении проверяют, что

найденные компоненты плана удовлетворяют горизонтальным и вертикальным

уравнениям и что выполняются условия невырожденности плана.

2. Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что каждый шаг

записывается та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший

тариф. В основном действует аналогичный способ.

6. Метод потенциалов, открытая модель ТЗ. Приложение транспортных моделей к

решению некоторых экономических задач.

Потенциалом решения называется числа αi→Ai, βi

→Bj удовлетворяющие условию αi+βi→Сj

(1), для всех заполненных клеток ij. Соотношение (1) определяет систему из

m+n-1 линейных уравнений с m+n неизвестными, имеющих бесчисленное множество

решений. Для определения этой системы одному неизвестному придают любое число,

обычно αi=0, тогда все остальные неизвестные определяются

однозначно.

Критерий оптимальности:1. Если известны потенциальное решение х0 и для всех

незаполненных клеток выполняется условие αi+βi

≤Сj, то х0 является оптимальным планом Тз. 2.если план не оптимален, то

необходимо перейти к следующему плану таблицы так, чтобы транспортные расходы

не увеличились.

Алгоритм метода потенциала.

1. проверяем тип модели ТЗ и в случае открытой модели сводим ее к закрытой.

2. находим оформленный бланк перевозок путем составления первой таблицы одним

из способов северо-западного угла или наименьшего тарифа.

3. проверяем план на удовлетворение системы уравнений и на невырожденность. В

случае вырожденности плана добавляем условно заполненные клетки.

4. проверяем опорный пан на оптимальность для чего:а) составим систему уравнений

потенциалов по заполненным клеткам.б)находим одно из ее решений при α

i=0.в)находим суммы.г)сравниваем косвенные тарифы с истинными. Если

косвенные тарифы не превосходят соответсвующих им истинных С’ij≤Cij во

всех пустых клетках, то план оптимален. Решение закончено. Ответ дается в виде

плана перевозок последней таблицы и значения minf. Если критерий

оптимальности не выполняется. То переходим к сдудующему шагу.

5.а)выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф обычно всех больше

истинного. С’ij=αi+βi>Сij. б)составим цикл

пересчета для этой клетки расставим знаки + и – в вершинах цикла путем их

чередования, приписывая пустой клетке +. в)находим число пересчетов по циклу.

Число х=хmin{хij}, где хij – числа, заполненных клетках со знаком -. г)составим

новую таблицу, прибавляя х в положительные клетки и отнимая х из отрицательных

клеток.

6.см п.3 а-д. Через оптимальное число шагов обязательно приходим к ответу,

ибо ТЗ всегда имеет решение.

7. Постановка задачи целочисленного программирования (ЗЦЛП). Метод Гомори.

Мат. модель ЗЦЛП имеет вид:

, где Z – множество целых чисел

Разложенные задачи полностью целочисленные, в которых условие целочисленности

распространяются на все переменные и частично целочисленны, в целочисленности

налагается только на часть переменных.

Если в (2) среди и

есть дробные числа, то каждое уравнение или неравенство с дробными

коэффициентами может привести к общему знаменателю и затем обе части умножить

на этот общий знаменатель, поэтому не нарушив общности рассуждений, можно

предполагать, что коэффициенты целочислены.

Решение целочисленных и непрерывных задач оптимизации имеет принципиальные

различия, суть которого заключается в следующем: непрерывные задачи обычно

решаются симплекс-методом с построением симплекс-таблиц.

Известно, что для ЗЛП экстремум достигается в крайней точке выпуклого

множества или в точке, в которой является выпуклой линейной комбинацией

крайних точек. Для ЗЦЛП точкой оптимума может быть любая точка области

допустимых решений, поэтому невозможно заменить дискретную задачу непрерывным

аналогом, и найдя соответствующее решение и округлить его значение до

ближайших целых значений.

Пусть целая часть числа x – [x], огромная – {x}, тогда

Если даже оптимальный непрерывной задачи, округлённой до целых значений

компонент окажется допустимым, то целевая функция может вести себя так, что её

значение будет на нём значительно хуже, чем на оптимальном плане целочисленной

задачи.

Перечисленные проблемы предопределяли необходимость разработки специальных

методов решения ЗЦЛП, ибо методы последовательного улучшения приводит к

целочисленному решению лишь для немногих задач. Методы ЦЛП можно разделить на

3 основные группы:

1. Метод отсечения.

2. Комбинаторные.

3. Приближённые

Сущность 1 состоит в том, что сначала задача решается без условия

целочисленности. Если полученный план будет целочисленным, то задача решена.

Решение обладает следующими свойствами:

1) Оно должно быть линейным.

2) Должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный

план.

3) Не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительные ограничения, обладающие указанными свойствами, называются

правильным отсечением. Затем полученные оптимизационные задачи решаются с

учётом нового ограничения. После этого в случае необходимости добавляется

новое ограничение.

Геометрическое добавление каждого линейного ограничения отвечает проведению

плоскости (гиперплоскости), которая отсекает от многоугольника

(многогранника) некоторую его часть вместе с оптимальной точкой с нецелевыми

координатами, но не затрагивая ни одной из целочисленных точек этого

многоугольника.

Метод Гомори.

Основная идея метода отсекающих плоскостей состоит в том, что на каждом шаге

рассматривается задача с ослабленными ограничениями без требования

целочисленности, для которой по специальному алгоритму строится некоторое

дополнительное ограничение, отсекающее только некоторые нецелочисленные

точки. Если полученный в результате оптимальный план содержит только целые

компоненты, то автоматически получается соответст. решению ЗЦЛП. В противном

случае к системе ограничений задачи должно быть добавлено такое ограничение,

для которого:

1) Найденный нецелочисленный оптимальный план не

удовлетворяет вновь добавленному ограничению;

2) Любой допустимый целочисленный план непрерывной

задачи 1-4 удовлетворяет вновь добавленному ограничению.

Приведём обобщённую схему алгоритма Гомори. Структурно он делится на, т. н.,

большие итерации, каждая из которых содержит этапы:

1. Решение текущей задачи 1, 2 отбросит условия неотрицательности 3

симплекс-методом (малая итерация). Пусть решение исходной задачи с ослабленными

ограничениями дало на последнем шаге, соответствующему оптимальному решению,

следующие выражения, основных переменных

через свободные переменные

Кратко это записывается в виде:

Как следует из теории симплекс-метода оптимальным решением задачи в этом случае

является вектор

2. Если все компоненты оптимального плана, полученного на первой итерации в

целом, то он является оптимальным и для ЗЦЛП 1-4. Если задача ЛП 1-3 не

разрешима, то и ЗЦЛП 1-4 также не разрешима. Если среди компонентов

оптимального плана есть не целая, то перейдём к следующему этапу.

3. Среди базисных нецелых компонентов оптимального плана следует выбрать

компоненту с наибольшей дробной частью.

Пусть компонента не

целое число. Рассмотрим уравнение, в котором

базисная переменная:

, где R – множество индексов свободных переменных.

Разобьем все коэффициенты и свободные члены уравнения (5) на 2 слагаемых:

целую и дробную часть.

или

Для любого целочисленного решения задачи левая часть (6) – есть целое число,

следовательно и правая часть равенства также будет целое число, причём правая

часть равенства (6) должна удовлетворяет неравенству:

Это будет сечение Гомори. Т. о., третья итерация состоит в построении для

нецелевой базисной компоненты условия отсечения.

4. Неравенство (7) выделением дополнительной неотрицательной целочисленной

переменной преобразуется в уравнение и присоединяется к ранее решённой задаче

(включить его в симплекс-таблицу с нецелочисленным оптимальным планом).

Формируется новая текущая задача. Переход на начало следующей большой

итерации.

5. Полученная расширенная ЗЛП решается симплекс-методом. Если полученный

оптимальный план будет целочисленным, то ЗЦЛП 1-4 решена. В противном случае

следует вернуться к пункту алгоритма 3. Если задача разрешима в целых числах,

то после конечного числа итерации оптимальный целочисленный план будет

найден.

Замечание:

· Если в процессе решения появится строка с

нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то

соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В таком случае и

данная задача не имеет целочисленного оптимального плана.

· Если число

с наибольшей дробной частью окажется несколько то из них выбирается

первое по коэффициенту.

· Несмотря на точность, методы отсечения имеют

весьма ограниченную применимость, с их помощью нельзя решить задачи большой

размерности.

· При практической реализации метода Гомори на ЭВМ

следует считаться с ошибками округления.

8. Пример решения ЗЦЛП методом Гомори.

Находим общее решение системы:

Выразим целевую функцию через свободные переменные x1 и x3:

Полученный стандартный вид ЦФ применим для решения задач симплекс-методом.

Итерация 1. Используя обычный симплекс-алгоритм решаем непрерывный аналог

исходной задачи в котором игнорируются условия целочисленности.

	X1	X2	X3	X4	X5	Bi
X2	2	1	-3	0	0	10
X4	1	0	1	1	0	7
X5	3	0	-2	0	1	4
f	-3	0	1	0	0	-3

	X1	X2	X3	X4	X5	Bi
X2	0	1	-5/3	0	-2/3	22/3
X4	0	0	5/3	1	-1/3	17/3
X1	1	0	-2/3	0	1/3	4/3
f	0	0	1	0	1	1

	X1	X2	X3	X4	X5	Bi
X2	0	1	0	1	-1	13
X3	1	0	1	3/5	-1/5	17/5
X1	0	0	0	2/5	1/5	18/5
f	0	0	0	3/5	4/5	22/5

Как видно из последней симплекс-таблицы полученный план:

является оптимальным, при котором ЦФ

.

Однако этот план не является целочисленным, т. к.

и Выбираем из чисел

с дробной частью

Выбираем базисная

переменная x1. Из последней симплексной таблицы выписываем строку с

базисной переменной

Тогда с учётом (7) сечение запишется в виде:

или где x6 – дополнительная неотрицательная переменная.

Присоединяя полученное ограничение к 1 задаче, получим другую задачу, после

чего переходим к следующей «большой» итерации.

Итерация 2. Исходная симплекс-таблица для поставленной задачи получается

путём добавления к симплекс-таблице 3 первой задачи строки соответст.

введённому сечению.

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	bi
X2	0	1	0	1	-1	0	13
X3	0	0	1	3/5	-1/5	0	17/5
X1	1	0	0	2/5	1/5	0	18/5
X6	0	0	0	-2/5	-1/5	1	-3/5
f	0	0	0	3/5	4/5	0	22/5

Решение: является

условно-оптимальным, поскольку условие оптимальности в последней строке таблицы

4 выполнено, но в столбце свободных членов есть отрицательный элемент.

Несмотря на это продолжаем выполнять симплексную операцию, выбирая

разрешающую строку и разрешающий столбец по положительной основе.

Цель этой итерации: не увеличивать значение ЦФ

как в симплекс-методе, а получить опорное решение новой задачи, выводя из базиса

переменную x6, т. к.

в базис вместо x0 введём переменную x4, получим следующую

симплекс-таблицу:

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	bi
X2	0	1	0	0	-3/2	5/2	23/2
X3	0	0	1	0	-1/2	3/2	5/2
X1	1	0	0	0	0	1	3
X4	0	0	0	1	-1/2	-5/2	3/2
f	0	0	0	0	1/2	3/2	7/2

Полученный план является целочисленным. Выбираем из чисел 23/2; 5/2; 3/2

число с наибольшей дробной частью. У всех у них дробная часть равняется

½.

Выбираем 1 строку:

Используя формулу (7) строим сечение:

Добавим 2-е сечение к таблице 5, получаем таблицу 6.

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	bi
X2	0	1	0	0	-3/2	5/2	0	23/2
X3	0	0	1	0	-1/2	3/2	0	5/2
X1	1	0	0	0	0	1	0	23
X4	0	0	0	1	1/2	-5/2	0	3/2
X7	0	0	0	0	-1/2	-1/2	1	-1/2
F	0	0	0	0	1/2	3/2	0	7/2

План базисное

решение новой задачи, но не опорное. Введём в базис переменную x5

вместо x7, т. к.

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	bi
X2	0	1	0	0	0	4	-13	13
X3	0	0	1	0	0	2	-1	3
X1	1	0	0	0	0	0	0	3
X4	0	0	0	1	0	-3	1	1
X5	0	0	0	0	1	1	-2	1
F	0	0	0	0	0	1	1	3

Получим целочисленное решение 3 задачи, оно будет оптимально и для исходной

задачи, т. е. при

9. Сущность метода отсечений - один из методов ЦЛП

Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без

условия целочисленности. Если полученный план будет целочисленным, то задача

решена, в противном случае к ограничению задачи добавится новое ограничение,

обладающее следующими свойствами:

1) оно должно быть линейным,

2) должно отсекать найденный нецелочисленный план,

3) не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительные ограничения, обладающие указанными свойствами, называются

правильным отсечением. Затем полученные оптимизационные задачи решают с

учетом нового ограничения. После этого в случае необходимости добавляется еще

одно ограничение и т.д. Геометрически добавление каждого линейного

ограничения отвечает проведению плоскости (гиперплоскости), которая отсекает

от многоугольника (многогранника) некоторую его часть вместе с оптимальной

точкой с нецелочисленной координацией, но не затрагивает ни одной из

целочисленных точек этого многоугольника.

Данный метод впервые был предложен Р.Е. Гомори в 1957-1958гг.,который также

носит название метода отсекающих плоскостей, предназначен для ЗЛП в

канонической форме 1-4. Т.о., основная идея метода состоит в том, что на

каждом шаге рассматривается задача с ослабленными ограничениями без

требования целочисленности, для которой по специальному алгоритму строится

некоторое дополнительное линейное ограничение (отсечение), отсекающее только

некоторые нецелочисленные точки. Он существенно использует известную

симплексную процедуру. Отправной точкой для решения задачи 1-4 является

решение ее непрерывного аналога, т.е. ЗЛП без учета целочисленности. Если

получаемый в результате оптимальный план содержит только целые компоненты, то

автоматически получается ЗЦЛП. В противном случае в системе ограничений

задачи д/б добавлено такое ограничение, для которого:

1)найденный нецелочисленный оптимальный план не удовлетворяет вновь

добавляемому ограничению,

2)любой допустимый целочисленный план задачи 1-4 удовлетворяет вновь

добавляемому ограничению

10. Основные понятия теории игр.

Игрой называется математическая модель конфликтной ситуации.Стороны, участвующие

в конфликте называются участниками игры или игроками, а исход

конфликта-выигрыш.В систему условий, регламентирующих возможные варианты

действия сторон, объем информации каждой стороны о поведении другой, а также

результат, к которому приводит данная совокупность действий составляет правила

игры. Игра состоит из ходов. Причем под ходом понимается выбор одного из

предусмотренных правилами игры действий. Ходы бывают личные и случайные.

Решение, принятое игроком при личном ходе называется выбранным ходом. Случайным

ходом называется выбор и осуществление одного из предписанных правилами игры

действия, которое производится не самим игроком, а некоторым механизмом

случайного выбора. Для каждого случайного хода аправила игры определяют

распределение ероятностей возможных исходов. Возможное для игрока действие

называют стратегией. Стратегия называется оптимальной, если она при

многократном повторении игры обеспечивает игроку максимальную возможность

среднего выигрыша. Заинтересованность игроков в ситуации проявляется в том, что

каждому игроку I в каждой ситуации

приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой

ситуации. Это число называется выигрышом игрока I в ситуации

и обозначается через H(

). Если число стратегий у каждого игрока конечно, то игра называется крнечной.

Если у игрока А m-стратегии, а у игрока В n-стратегии, то игра называется игрой

M×N. В общем виде постановка задачи теории игр производится следующим

образом. Имеется некоторая операция,в которой участвуют 2 игрока А и В с

противоположными интересами. Имеются правила, регламентирующие результаты, к

которым приводят возможные варианты действий игроков. Результаты действий

выражены в количественной форме и обозначены

(математическое ожидание выигрыша игрока А, сделавшего свой i-ый ход при j-ом

ходе игрока В. Тогда целью теории игр является выработка оптимальных для

игроков стратегий, которые при многократном повторении игры обеспечивают

максимально возможный выигрыш и минимально возможный средний проигрыш.

Рассмотрим конечную игру m×n, в которой игрок А имеет m-стратегию (а1,а2,

. . .аn), а игрок В n-стратегию(b1,b2, .bn). Если игроки используют только

личные ходы, то выбор стратегии А и В однозначно определяет

, т.е. число, характеризующее выигрыш игрока А при проигрыше игрока В. Причем

может быть и положительным и отрицательным. Будем считать, что при

≥0 игрок аА выигрывает, а игрок В проигрывает величину

.Если < 0, то

выигрывает игрок В и проигрывает игрок А. В этом случае вместо проигрыша

говорят об отрицательном выигрыше игрока А. Если в игре используют случайные

ходы, то выигрыш при 2 стратегии ai и aj является случайным. В этом случае за

оценку ожидания выирыша берется его мат.ожидание. Предположим, что нам известны

все значения в

игре m×n. Эти значения запишем в виде таблицы, называемой платежной

матрицей. Строки матрицы соответствуют стратегии ai, а столбцы – стратегии aj.

Построение платежной матрицы не всегда просто, поскольку количество

стратегий m,n могут оказаться очень большими. Однако любая конечная игра

может быть приведена к матричному виду.

Игры с нулевой суммой относят к классу антогонистических игр.

Среди всех чисел ai выберем наибольшее:

{}. Число а

называется нижней ценой игры. Это гарантированный выигрыш игрока А при любой

стратегии игрока В.

Среди всех чисел выберем наименьшее. Это гарантированный проигрыш игрока В.

Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и

верхней ценой игры. Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее

значение верхней и нижней цены игры

называется ценой игры. В эом случае игра называется вполне определенной или

игрой с Седловой точкой. Седловой точкой называется элемент платежной матрицы,

одновременно мин в своей строке и макс в своем столбце. Седловой точке

соответствуют оптимальные стратегии игроков Ai и Bj, их совокупность – это

решение игры, которое обладает следующим свойством: если один из игроков

придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого отклонение от его

оптимальной стратегии невыгодно. В этом случае говорят, что игра имеет решение

в чистых стратегиях.

11. принципы составления платежной матрицы. Примеры.

Пример 1.

Командир В охраняет город 5-ю ротами. К городу ведут 2 дороги, по которым

может подойти противник, имеющий 4 роты под командованием А. В может

приказать любой из 5 рот оборонять любую дорогу. А выигрывает, если на какой-

нибудь дороге у него будет больше рот, чем у В. Как должен распорядиться

ротами А, чтобы обеспечить себе максимальный шанс прорваться в город?

Решение:

Выигрыш игрока А обозначим через +1, проигрыш через -1. Из условия задачи

получим таблицу, в которой в символе 0-4 первая цифра показывает число рот на

1 дороге, а 2-ая - на 2 дороге. То же для командира В.

	0-5	1-4	2-3	3-2	4-1	5-0
0-4	-1	-1	-1	-1	1	1
1-3	1	-1	-1	-1	1	1
2-2	1	1	-1	-1	1	1
3-1	1	1	1	-1	-1	1
4-0	1	1	1	1	-1	-1

Пример 2.

Игрок А выбирает число из множества 1,2,3, а игрок В из 1,2,3,4. Если при

этом получается четное число, то эту сумму выигрывает А. Если же получится

нечетное число, то В.

Какое число должен выбрать игрок А, чтобы обеспечить себе макс. выигрыш. Или,

если это невозможно, то это мин. выигрыш.

Составим матрицу.

	1	2	3	3	αi
1	+2	-3	+4	-5	-5
2	-3	+4	-5	+6	-5
3	4	-5	+6	-7	-7
βi	4	4	6	6

Β=4

-5<= v <=4

13. Игрой называется математическая модель конфликтной ситуации. Стороны,

участвующие в конфликте, называют участниками игры или игроками, а исход

конфликта- выигрышем. Игра ведется по определенным правилам, которые

представляют собой систему условий, регламентирующих возможные действия

игроков.

Ходом называется выбор одного из предложенных правилами игры действий и его

осуществление. Стратегией наз-ся совокупность правил, определяющих выбор его

действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Для того чтобы найти решение игры следует для каждого игрока выбрать

стратегию которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков

должен получить максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей

стратеги. Такие стратегии наз-ся оптимальными, любому игроку невыгодно

отказаться от своей стратегии в игре.

Если игра не имеет Седловой точки, то применении чистых стратегий не дает

оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение,

случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешенной стратегией SA игрока А наз-ся применение чистых стратегий

А1,А2,..Аi,.Am с вероятностями р1,р2,..рi

.pm, причем Sрi=1. Смешенные стратегии игрока А

записываются в виде матрицы:

SA=[A1 A2 ...Ai.Am]

p1 p2..pi.pm

или в виде строки SA=(p1,p2,,,,,pi.pm).

Аналогично смешенные стратегии игрока В обозначаются

SB= [B1 B2 ..Bj,,,,,,,Bn]

Q1 q2,,,,,qj ..qn

Или SB =(q1 q2 ..qj..qn) где Sqj=1

Чистая стратегия, которая входит в оптимальную смешенную стратегию с отличной

от нуля вероятностью, называется активной.

Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешенной стратегии, то

выигрыш остается неизменным и равным цене игры v , если игры удовлетворяют

неравенстве alfa £v£betta.

Рассмотрим игру, заданную платежной матрицей:

Р= а11 а12.а1n

а21 а22.а2n

.......

аm1 am2..amn

Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение игры- это пара

чистых стратегий, соответствующей это точке.

Предположим что игра не имеет Седловой точки. Найдем ее решение в смешенных

стратегиях SA= (p1,p2.,pi.pm) и SB

=(q1,q2,.qj.qn)

Применение игроком А оптимальной стратегии SA должно обеспечивать ему

при любых действиях игрока В выигрыш не менее цены игры v. Поэтому выполняются

след. соотношения:

Spiaij³v,i=1,2..n причем Spi=1

Аналогично для игрока В оптимальная стратегия SB должна обеспечить

при любых стратегиях игрока А проигрыш, не превышающий величину v

,т.е.справедливо соотношение:

Sqjaij£v, i=1,2,.m,где Sqj=1

j

Для решения этих задач используют методы линейного программирования.

14. В некоторых случаях успех экономической деятельности зависит не от

сознательно противодействующего конкурента, а от объективной

действительности, которую принято называть «природой».

Пусть игрок А располагает m стратегиями, которые обозначим А1,А2,.,Аm, а

относительно «природы» известно, что она может принимать n различных

состояний, обозначим их Р1,Р2,.,Рn.

Известен также выигрыш аij игрока А при каждой паре стратегий игрока

и «природы», т.е. известна платежная матрица:

Р= а11 а12..а1n

а21а22...а2n

......

аm1 аm2..аmn

Игрок А в играх с №природой» старается действовать осмотрительно, используя

стратегию, позволяющую получить наибольший выигрыш (наименьший проигрыш).

«Природа» (игрок Р) действует случайно, возможные стратегии определяются как

ее состояние (погода, спрос на определенную продукцию, сочетание

производственных факторов).

Различают игры с «природой» в условиях определенности и игры с «природой» в

условиях неопределенности. В первом случае задано распределение вероятностей

состояний природы, во втором- оно неизвестно. В этом случае приходится

принимать решение в условиях риска.

Риском игрока А при использовании стратегии Аi при состоянии

«природы» Рj называется разность между выигрышем , который он

получил бы, если бы знал Рj и выигрышем, который он получит в

обычных условиях, применяя стратегию Аi:

rij= Bettaj- alfaij,где Bettaj= max{alfai}

i

Рассмотрим критерии, используемые при решении игр с природой.

Критерий Бейеса- Лапласа.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы Р=

(р1,р2,.рn) где р1+р2+.рn=1, критерием принятия решений яв-ся

максимум математического ожидания выигрыша, т.е.

VB-L= max Saijpj где i=1,2,.m

i j

Критерий Лапласа.

Если ни одно из состояний «природы» нельзя предпочесть другим, выдвигают

гипотезу о том, что все они равновероятны: р1=р2=рn=1/n

Тогда VL=maxSaij1/n

i j

максиминный критерий Вальда.

Он основан на выборе стратегии игрока А, позволяющей гарантировать ему

получение нижней цены игры:

Vw=max min aij

i j

Критерий минимального риска Сэвиджа.

Рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает

наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации, т.н.

Vs=min max ril

i j

Критерий Вальда и Сэвиджа основаны на пессимистической оценке обстановки. В

отличии от них следующий критерий использует как пессимистический, так и

оптимистический подход к ситуации.

Критерий Гурвитца.

По этому критерию выбирается максимум линейной комбинации максимальных или

минимальных выигрышей.

VH= max {lmin aij+ (1-l)max aij}

i j j

Если l=1, критерий Гурвитца превращается в пессимистический критерий Вальда.

При l=0 в критерии крайнего оптимизма, рассчитанный на наилучшее стечение

обстоятельств. Обычноl принимают в пределах от 0,5 до 0,7

15. Основные понятия теории СМО.

При исслед-ии операций часто приходится сталкиваться с системами

предназначеннемыми для многоразового использования при решении однотипных

задач, возникающих при этом процессы получили название процессов обслуживание,

а системы – системы массового обслуживания. Примерами таких систем являются:

телефонные системы, ремонтные мастерские,вычислительные

комплексы,билетные,кассы ,магазины, парикмахерские и т.п. каждое СМО состоит из

определенного числа обслуживающих единиц: приборы,устройства,пункты,станции,

к-ые будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть линии

связи,рабочие точки,вычислительные миашины,продавцы и т.д. по числу каналов СМО

подразделяют на одноканальные и многоканальные. Заявки поступают в СМО обычно

не регулярно, образуя так называемый случайный поток требований. Обслуживание

заявки также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер истока

заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной

неравномерно; какие-то периоды времени скапливается очень большое количество

заявок(они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными). Другие

же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает. Предметом теории

массового обслуживание является построение математических моделей, связывающих

заданные условия работы СМО(число каналов их производителей потоков заявок и

т.п.), показатели эффективности СМО, описывающие ее способность справляться с

потоком заявок. В качестве показателей эффективности СМО исп-ся: среднее число

заявок, обслуживаемых единиц времени, среднее число заявок в очереди, среднее

время ожидания обслуживания, вероятность отказа обслуживания без ожидания

вероятности того, что число заявок в очереди превысит опред. значение и т.п.

СМО делят на 2 осн типа: 1) СМО с отказами; 2) СМО с ожиданием(очереди).

СМО с отказами – заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты,

получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем в процессе обслуживания не

участвует(напр. Заявка на телеф разговор в момент, когда все каналы заняты,

получает отказ и покидает СМО необслуженным). СМО с ожиданием – заявка,

пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходят, а становится в очередь

на обслуживание. СМО с ожиданием подразделяется на разные виды, в зависимости

от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длинной

очередью и с ограниченным временем ожидания и т.п. для классификации СМО

важное значение имеет дисциплина обслуживания, определяющая порядок выбора

заявки из числа поступивших и порядок распределения их между свободными

каналами. По этому признаку обслуживания заявки может быть организовано по

принципу: «первая пришла - первая обслужена, последняя пришла – первая

обслужена». Такой порядок может применятся, напр., при извлечении для

обслуживания изделий со склада (ибо последнее из них оказывается часто более

доступным) или обслуживание с приоритетом (когда в первую очередь обслуживаются

наиболее важные заявки). Приоритет может быть как абсолютным, когда более

важная заявка «вытесняет» из-под обслуживания обычную заявку (напр., в случае

аварийной ситуации плановой работы ремонтных бригад прерывается до ликвидации

аварии), так и относительным, когда более важная заявка получает лишь лучшее

место в очереди.

16 Марковские процессы с дискретным состоянием в дискретном времени.

Вероятности состояний Pk(t) Марковского случайного процесса –

вероятности того,что случайный процесс в в момент времени t нач-ся в сост-ии

Sк: P(k)*P{x(t)=Sk}

Переходные вероятности марковского процесса – это вероятности перехода

процесса (системы) из одного состояния в любое другое:

Pij(∆t)=P{x(x+∆t)=SjIx(t)Si}

Марковский процесс однородный, если вер-ти перехода за 1 времени не зависят

от того, где на осн времени происходит переход. Наиболее простым процессом

яв-ся цепь Маркова – Марковский случайный процесс с дискретным временем и

дискретном конечном состоянии.

При анализе цепи Маркова сост-т граф сост-ий, на к-ом отмечают все состояния

цепи и не нулевые вероятноси перехода за 1 шаг. Марковскую цепь можно

представить себе так, как будто точка, изображающая систему, случайным образом

перемещается по графу сост-ий, поскакивая за 1 шаг из состояние в состояние или

задерживаясь на них шагов в одгом и том же состоянии. Переходные вероятности

цепи Маркова за 1 шаг Pij записывают в виде матрицы: P= II Pij II –

матрица вероятности перехода.

Рпименение m→∞ в системе уст-ся некоторый предв-ый стационарный

режим, к-ый сост-т в том, что система слчайным образом меняет свои состояния,

но вероятность каждого из них уже не зависит от времени, каждое из состояний

осущ-ся с некот-ой вероятностью среди временного пребывания в сост-ие Si за

время T=PiT, где Pi – пред-ая вероятность состояния Si, Переходные матрицы

обладают свойством: все элементы их неотрицательны, их сумм по строкам равны

1. Матрицы с таким свойством называют стохастическими. Матричный переход

позволяет вычислить вероятность любой траектории цепи Маркова с помощью

теории умножения вероятностей.

Для однородных цепей Маркова матричный переход не зависит от времени. При

изучении цепей Маркова наибольший интерес представляет: вероятности перехода

за m шагов, распределение по составу m→бесконечности, средне время

пребывания в определенном состоянии. Рассмотрим однородную цепь Маркова с n

состоянием. Для получения вероятности перехода из состояния Si в Sj за m

шагов в соответствии с формулой полной вероятности следует просуммировать

произведение вероятностей перехода из состояния Si в промежуточное состояние Sk

за l шагов на вероятность перехода из Sk в Sj за оставшиеся m-l шагов.

Возникает вопрос: что будет происходить с системой при m→беск. Будут ли

p1(m).pn(m) стремится к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют

называются предельными вероятностями состояний. Вектор р , состоящий из

предельных вероятностей должен удовлетворять соотношению:

среднее время возвращения в сост-ие Si=1/Pi.

17 Раннее была рассмотрена Марковская цепь, т.е случайн. процесс,

протекающий в системе, ктр. случ. образом может переходить из сост-я в сост-е

только в некоторые заранее опред-ые моменты времени. На практике значит-о чаще

встреч. ситуации, когда переходы системы из сост-я в сост-е происходят не

фиксированные, а в произвол. моменты времени.

Например: выход из строя любого элемента аппаратуры, окончание ремонта этого

элемента и т.д. Для описания таких процессов м.б. применена схема марковск.

случ. процесса с дискретн. Состояниями и непрерывн. временем. Для вер-ти

сост-ий Pi(t) такого процесса выполнены. Сумма Рi(t)=1

В случае процесса с непрерывн. временем, вер-ть перехода системы из сост-я в

сост-е в точный момент времени t=0, также как вер-ть любого отдельн. знач-я

непрерывн. случ. величины. Поэтому вместо переходных вер-ей Pij рассм-ют

плотности вер-ей перехода(ПВП). ПВП Лi- это предел отнош-я вер-ей перехода

системы за время дельта t из сост-я Si в Sj к длине промежутка дельта t,

когда дельта t стрем-ся к 0.

Лij=lim Pij(дельта t)/дельта t. Плотность вер-ти перехода опред-ся для i не

равное j.

Для однородн. Марковского процесса Лij не зависит от t; при построении графов

сост-ий Марк. процесса, над стрелками м/у сост-ми указывают плотность вер-ей

перехода. Этот граф назыв. размеченным графом сост-ий. Зная его, можно опред-

ть вероятностные сост-я p1(t), p2(t)...pn(t)/ Они составят цифровые ур-я,

позвол-ие опред-ть p1(t), p2(t)...pn(t). Выведем эти ур-я, исходя из

конкретн. примера. Пусть система имеет 3 возм. сост-я S1, S2, S3. Причем

возможны переходы из S1 в S2, из S2 в S3, из S3 в S1 или S2.

dp1/dt=-Л12p1+Л31p3

dp2/dt=-Л23p2+Л12p1+Л32p3

dp3/dt=-Л32p3-Л31p3+Л23p2

Интегриров-е этой системы дает искомую вер-ть сост-ий как функцию времени.

Нужны начальные усл-я. Например, если при t=0 система находится в сост-ии S1

то p1(0)=1, p2(0)=0, p3(0)=0. В левой части каждого ур-я стоит производная

вер-ти сост-я, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связ-о

с данным сост-ем. Если стрелка напр-на из сост-я, соотв-ий член имеет знак -.

Если в состояние- знак +. Каждый член равен произвед-ю плотности вер-ти

перехода, соотв. данной стрелке, умнож-ой на вер-ть того сост-я, из ктр.

исходит стрелка.

18 Происхождение термина «процесс гибели и размножения» идет в начало

биол. задач, где подобной схемой описыв-ся процесс изм-я числ-ти популяции.

Пример графа сост-ий имеет вид:

Пример: Технич. устройство сост. Из 3-х одинак. узлов. Каждый из них может

выходить из строя(отказывать). Отказавший узел немдл-о начинает восстан-ся.

Состояние системы пронумеруем по числу неисправных узлов. S0-все узлы исправны,

S1-один узел отказал, 2 исправны, S2- два узла отказали, 1 работает, S3- все 3

узла отказали. Граф сост-ий имеет вид:

По графу сост-ий запишем дифференц. ур-е Колмогорова: (система):

dp1/dt=-Л12p1+Л21p2

dp1/dt=-(Л23+Л21)+Л12p1+Л32p3

dpn-1/dt=-(Лn-1,n-2+Лn-1,n)pn-1+Лn-2,n-1 pn-2+Лn,n-1 pn

dp1/dt=-Лn,n-1 pn+Лn-1,n pn-1

В общем виде решить такую систему сложно, но можно найти предельн. вер-ти

сост-ий. Для этого надо положить все левые части в производные(равные 0).

Система дифферен. ур-ий превратится в СЛАУ. Совместно с усл-ем сумма pi=1.

Эти ур-я дают возм-ть вычичлить p1, p2...pn Эти ур-я выглядят так: (система):

Л12p1=Л21p2

Л23p2=Л32p3

...........

Лn-1 pn-1=Лn,n-1 pn

P1+p2+...pn=1

Решая ее, найдем:

p2=Л12/Л21 p1

p3=Л23/Л32 p2=Л23*Л12/Л32*Л21 p1

p1=Л12/Л21 p1+Л23*Л12/Л32*Л21 p1+...+Лn-1,n Лn-2,n-1...Л12/Лn,n-1 Лn-1,n-2..

p1=1

Очевидно, что из последн. ур-я мы можем найти p1, а затем p2, p3...

p1=1/1+ Л12/Л21+ Л23*Л12/Л32*Л21+...+ Лn-1, Лn-2,n-1...Л12/Лn,n-1 Лn-1,n-2.. Л21

Прибор состоит из 3 узлов, поток отказов простейший, средн. Время безотказной

работы каждого узла =средн. tб. Отказавший узел сразу начинает

ремонтироваться. Средн. время ремонта(восстан-е узла) =средн. tр Законы

распред-я этого времени показательны(поток восстан-я простейший). Найти

средн. производит-ть приборов, если при 3-х работающих узлах она 100%, при 2-

х-50%, а при 1-ом и менее прибор вообще не работает.

Решение: состояние системы нумеруют по числу неисправных узлов; S0-все 3 узла

исправны, S1-один узел отказал и восстан-ся, 2 неисправны; S2-2 узла

восстан-ся, 1 исправен; S3-все 3 узла восстан-ся.

По стрелкам вправо систему переводят отказы. Если система находится в

состоянии S0, то работают 3 узла, каждый из них подвергается потоку отказов с

интенс-ю 1/tб(среднее). Значит поток отказов, действующий на всю систему в 3

раза интенсивнее. Л01=3/tб(среднее) Если система наход-ся в сост. S1, то раб-

ют 2 узла. Общий поток отказов имеет интенсив-ть 2/tб(среднее);

Л23=1/tб(средн.) По стрелкам влево систему переводят ремонты(восстан-е).

Средн. время восстан-я узла =tр(средн). Значит интенс-ть потока восстан-ий,

действ-го на восстан-ый узел =М=1/tр(средн), на 2 узла =2/tр(средн.), на 3

узла =3/tр(средн). Эти значения Л10, Л21, Л32 и проставл-ы стрелок, ведущих

влево в графе сост-ий системы. Решение системы:

p0=1/1+3(tр/tб)+3(tр/tб)^2+(tр/tб)^3

p1=3(tр/tб)p0

p2=3(tр/tб)^2p0

p3=(tр/tб)^3po

Зададим конкретн. знач-ми tб=10 часов, tр=5 часов, откуда p0=8/27, p1=12/27,

p2=6/27, p3=1/27. Средняя производ-ть прибора в восстан. режиме:

100%p0+50%p1=(8/27+1/2*12/27)*100%=51,9% номинала.

Вопрос 19. Модель В. Леонтьева. межотраслевого баланса.

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и

связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен

быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все

потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с

одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как

потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого

баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в

1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Рассмотрим n отраслей, каждая из которых производит один агрегированный

продукт. Объемы валовой продукции отраслей обозначим x1,x2,...,xn. Вся

продукция xi i-ой отрасли (i = 1,2,...,n) делится на промежуточную zi и

конечную yi. Промежуточная продукция расходуется в процессе производства, а

конечная поступает в сферу конечного потребления.

Обозначим xij – объем продукции i-ой отрасли, используемой за отчетный период

в процессе производства в j-ой отрасли.

Система балансовых уравнений имеет вид:

x1=z1+y1=x12+x13+...x1n+y1

x2=z2+y2=x21+x22+...x2n+y2 (1)

................................................

xn = zn+yn=xn1+xn2+...xnn+yn

Обозначим отношение xij/xj = aij. Параметры aij называются коэффициентами

прямых затрат. Они показывают, какое количество продукции i – ой отрасли

необходимо истратить на текущее производственное потребление в j-ой отрасли

при выпуске ею единицы продукции.

Введем обозначения:

x1 y1 a11 a12 ... a1n

x = x2 ; y = y2 ; A = a21 a22 ... a2n

... ... .........................

xn yn an1 an2 ... ann

Систему балансовых уравнений (1) можно преобразовать и записать в матричной

форме в виде:

X = AX + Y (2) или

X = (E-A)¯¹Y (3)

Здесь E – единичная матрица. Матрица C = (E-A)¯¹ называется матрицей

коэффициентов полных затрат.

Баланс продукции на основе коэффициентов прямых затрат дает возможность

определить объемы валовой продукции, которые бы обеспечили получение конечной

продукции отраслей в заданных объемах.

Вопрос 20. Применение функций в экономике.

Функции находят широкое применение в экономической тео­рии и практике. Спектр

исполь­зуемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до

функций, получае­мых по определенному алгоритму с помощью так называемых

рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные

периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно -

рациональные, степенные (квадратная, куби­ческая и т.д.), показательные

(экспоненциальные), логарифмиче­ские и другие функции. Периодичность,

колеблемость ряда эко­номических процессов позволяет также использовать

тригоно­метрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функ­ции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) - в широком смысле зависимость

полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня

(интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата про­изводственной

деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость

объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость

издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса,

потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных

факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обуслов­ливаются действием

различных факторов, для их исследований широко используются функции

нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные

функции, позволяю­щие представить зависимую переменную в виде произведения

факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы

одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить

влияние различных факторных перемен­ных на зависимую переменную, и в

частности, аддитивные функ­ции, представляющие одну и ту же зависимую

переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факто­ров,

так и при одновременном их воздействии.

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать

эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора

изучается с помощью функции одной переменной. Приведем примеры:

1. Исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода

y = b1(x-a1) (x> a1) y = b2(x-a2) (x> a2) y = b3x(x-a3) (x> a3)

x-c1 x-c2 x-c3

(функции Л.Торнквиста), мы можем установить уровни доходов a1 –

3 – предметы роскоши при которых начинается приобретение тех или иных

товаров и уровни (точки) насыщения b1, b2 для

групп товаров первой и второй необходимости (рис. 5.22).

2. Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и пред­ложения, можно

установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования

цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (рис. 5.23).

3. Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль

которых полезность двух благ х и у одна и та же), напри­мер, задаваемые в виде

ху = U, и линию бюджетного ограничения рxx + рyу = при

ценах благ рx и рy и доходе потребителя I, мы можем

уста­новить оптимальные количества благ х0 и у0, имеющих

максимальную полезность U0 (рис. 5.24).

4. Рассматривая функции издержек (полных затрат) с(q) и дохода фирмы r(q), мы

можем ус­тановить зависимость прибыли п(q) = с(q) - r(q) от объема

производства q (рис. 5.25) и вы­явить уровни объема производства, при которых

производство продук­ции убыточно (0<q<q2) и приносит прибыль

(q2<q<q4), дает мак­симальный убыток {q=q1

) и максимальную прибыль (q=q3) и найти размеры этих убытков или

прибыли.

Очевидно, что перечень подобных примеров применения функций в экономической

тео­рии и практике можно было бы продолжить.