Шпора: Пределы

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого

числа Е>0, сколь угодно малого, $ N0, такое что при всех n>N

0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A|<E. limn®

¥Xn=A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А

сущ-ет конкретное число N0, для кот. любые точки >N0

попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда

|a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N1 "n>N

1 |a-Xn|<E/2 Из lim Xn=b (n®¥) => " E/2 $ N2 "n>N

2 |Xn-и|<E/2 N0=max(N1;N2), n>N

0. |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 =>

a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N1

Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во: 1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2

|Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2. Из $ lim Yn=a (n®¥) => n>N

3, a-E<Yn<a+E. 3. N0=max(N1,N2

,N3). При всех n>N0 Xn³Zn³Yn.

a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения

аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х,

принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M.

Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в

данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0

(n®¥). "E>0, N0, n>N0, |Xn|<E.

Свойства б.м. величин:

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во: из Xn – б.м. => " E/2 $N1, n>N1 |Xn|<E/2

из Yn–б.м.=>" E/2 $N2, n>N2 |Yn|<E/2, N0

=max(N1,N2), N>N0,

|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E => lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема

справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N0 n>N0 |Yn|<E/K.

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E

3.Достаточный признак существования предела переменной величины:

если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину

можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a

(n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во: Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N0 n>N0 |Xn-a|<E

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину

можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N0, n>N0, |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn=¥ (n®¥).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>"M $N1, n>N1 |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $ N2, n>N2 |Yn|>M

N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥

(n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N0,

n>N0 |Xn|>M =>n>N0.

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn;

Xn ± Yn = (a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+an

b–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+b

n)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b =

(lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x0, если для любого Е>0

сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x

0|<d, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или "x

выпол x0-d<x<x+d=> A-E<f(x)<A+E.

Lim x®x0 f(x)=A

Ф-ия y=f(x) наз-ся

бесконечно большой при x®x0 если для "М>0 сколь угодно

большого $ d>0, что "x |x-x0|<d будет выполняться нер-во

|f(x)|>M, "x x0-d<x<x0+d, -M>f(x)>M.

Lim f(x)=¥ (x®x0).

Число А наз-ся пределом

y=f(x) x®¥, если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K

|f(x)-A|<E.

I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

Sтреуг МОА< Sсект МОА<Sтреуг СОА.

SтреугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

SсектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

SтреугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}

1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. limx®0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;

2.limx®0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=

=limt®0t/sint=1;

3. limx®0 (sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=

=a/b limax®0(sin ax)/ax=a/b.

II замечательный предел.

limn®¥(1+1/n)n=?

Бином Ньютона: (a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)a

n-2b2)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4b4

)/4!+...+bn.

(1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3

+...+1/nn=

=2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn

={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/2

3(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22+1/2

3+...+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n

=3-1/2n <3.

2£(1+1/n)n<3 => $ limn®¥(1+1/n)n=e.

Следствия:

1.limx®+¥(1+1/x)x=e.

Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³

(1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x³(1/x+1)x

³(1+1/(n+1))x

(1/n+1)n+1³(1+1/x)x³(1+1/(n+1))n lim

n®¥(1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e,· limn

®¥(1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e =>

$limx®+¥(1+1/x)x=e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел

фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0).

limf(x)=f(x0)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $lim

x®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx

®x0-f(x)=limx®x0+f(x);

4. limx®x0±f(x)=f(x0).

Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род

Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0,

то сумма (разность) y(х)=f1(x)±f2(x), произведение

у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1

(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.

Док-во (суммы): По определению получ limх®х0f

1(x)=f1(x0) и limх®х0

f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем

написать: limх®х0у(х)=limх®

х0[f1(x)+f2(x) ]=

=limх®х0f1(x)+limх®

х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0

)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.·

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в

соот-й точке z0=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в

точке х0.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то

говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на

концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале

или отрезке (а,в).

Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в

кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства(small):

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она

достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы

одна т-ка в кот ф-ия отрицат, то $ x0 на [a;b], f(x0)=0.

Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на

отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что

значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1)³f(x), то

значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по

крайней мере такая точка х2, что значения фун в этой точке будут

удовл соот-ю

f(x2)£ f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает

значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна

точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах

этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было

число m, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в,

что f(с)=m.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xÎX, x0; x0+Dx ÎX =>

Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0), Dy/Dx=(f(x0

+Dx)-f(x0))/Dx.

Если $ limDx®0Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии

в т-ке Х­0. · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы

можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. LimDх®0

(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx= =f/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y

|(x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту

касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0;f(x0)).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при Dх®0), то секущая

приближ-ся к касат.

y|(x0)=limDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/ /Dx=limDх®0Dy/Dx=limDх®0tga==lima®a0tga=tga0.

L: y-f(x0)=f\(x0)(x-x0)

Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f\(x0).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x).

Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv,

Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y|=limDx®0

Dy/Dx = limDx®0Du/Dx+ limD

x®0Dv/Dx=U|(x)+V/(x).

2. y=uv, y|=u|v+uv|. Док-во:

y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv,

Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,

y|= limDx®0Dy/Dx= lim

Dx®0Duv/Dx + limDx

®0Dvu/Dx + limDx®0

DuDv/Dx={ limDx®0Du=0, т.к ф-ия

дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|.

3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2. Док-во:

y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)

Dy/Dx...

4. y=ax, y|=axln a. Док-во: ln y=x ln a, y|/y=ln a, y|=yln a y|=axln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит

отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в

тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x))

º0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет

тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать.

{[F(x;y)]/=0/}

Формула Лейбница.

Дифференцирование ф-ии в точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если

Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка

малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. limDx®0

O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.

Теорема: y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в

этой т-ке имеет конечную производную A=f\(x0).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон

производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)

f\(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDx

®0[(ADx+O(Dx))/Dx] = limDx®0(A+O(Dx)/Dx)=A =>

Dy=f\(x0)Dx+O(Dx) => limDx®0Dy=0

=> f(x) – непрерывна.

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон

производ, то она дифф-ма. Дано: $f\(x0) – число, f\

(x0)=limDx®0Dy/Dx => Dy/Dx=f\(x

0)+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f\(x0)Dx+a(Dx)Dx =>

Dy=f\(x0)Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => limDx

®0O(Dx)/Dx=limDx®0a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это

главная часть приращения, линейная относит DХ.

Приближ знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x0+Dx)-f(x0

) =>f(x0+Dx)=f(x0)+Dy»f(x0)+df(x0

)=f(x0)+f\(x0)dx, dx=Dx.