Шпора: Математические примеры
Ôèðñîâ Äìèòðèé 441
¹368Â
Îòîáðàçèòü âåðõíþþ ïîëîâèíó ïëîñêîñòî ñðàçðåçàìè ïî îòðåçêàì  íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü.
Ðåøåíèå:
Îòîáðàæåíèå
îòîáðàæàåò âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ ðàçðåçàìè íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç ðàçðåçîâ (ïîä îïåðàöèåé âçÿòèÿ â êâàäðàòíûå ñêîáêè íàäî ïîíîìàòü âçÿòèå öåëîé ÷àñòè îò ÷èñëà). Äîêàæåì ýòî:
Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå  èç ïîëîñû  ïîëóïëîñêîñòè ñðàçðåçàìè â ïîëóïëîñêîñòü áåç ðàçðåçîâ.  (*) ñîâåðøåííî î÷åâèäíî ,÷òî â íàøåì ñëó÷àå  . Òî åñòü, ìû ïîëó÷àåì âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç äåéñòâèòåëüíîé îñè. Ðàññìîòðèì îáðàç ëó÷à  . Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (*) çíà÷åíèÿ z íà ëó÷å ìû ïîëó÷èì â îáðàçå ëó÷, ëåæàùèé íà äåéñòâèòåëüíîé îñè  .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èëè, ÷òî îáðàçîì ïîëîñû  (1) ÿâëÿåòñÿ
. Åñëè íà ïîëîñó  ïëîñêîñòè áåç ðàçðåçà ïîäåéñòâîâàòü îòîáðàæåíèåì sin(Z) òî â îáðàçå ïîëó÷èì òàêîå ìíîæåñòâî
(2). Ïðèìåíèâ
îòîáðàæåíèå 
ê ïîëîñå(1) ñ
ðàçðåçîì â
îáðàçå
ïîëó÷èì
ìíîæåñòâî (2).
Ïîýòîìó
ôóíêöèÿ 
îòîáðàæàåò
ïîëîñó 
ñ ðàçðåçîì â
ïîëîñó 
áåç ðàçðåçà.
Ïðîäîëæèì
ýòó ôóíêöèþ
íà âñþ
ïîëóïëîñêîñòü
ñ ðàçðåçàìè.
Ðàññìîòðèì
ôóíêöèþ 
çàäàííóþ â
ïîëîñå 
ñ ðàçðåçîì.
Ôóíêöèÿ 
îòîáðàæàåò
ýòó ïîëîñó
íà ïîëîñó 
áåç ðàçðåçà.
È òîãäà
îòîáðàæåíèå 
îòîáðàæàåò
ïîëîñó 
áåç ðàçðåçà.
Ïðîâåðèì
ÿâëÿåòñÿ ëè
ôóíêöèÿ 
àíàëèòè÷åñêèì
ïðîäîëæåíèåì
ôóíêöèè 
. Äëÿ ýòîãî
ïðèìåíèì
òåîðåìó:
Òåîðåìà.
Ïóñòü ôóíêöèÿ  àíàëèòè÷íà â îáëàñòè  è ôóíêöèÿ  àíàëèòè÷íà â îáëàñòè  . È îáëàñòè  è  èìåþò îáùèé ôðàãìåíò ãðàíèöè  . Åñëè ôóíêöèè íà  ñîâïàäàþò òî ôóíêöèÿ  ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè  â îáëàñòü  .
Åñòåñòâåííî ôóíêöèè  è  ñîâïàäàþò íà ëó÷å  . Ïîýòîìó ôóíêöèÿ  ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè  íà ïîëîñó  . Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìû ìîæåì ïðîäîëæìòü ôóíêöèþ íà âñþ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ âûðåçàìè. È â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôóíêöèþ:
îòîáðàæàþùóþ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ âûðåçàìè íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç âûðåçîâ. |
