Шпора: Исследования

Исследовать на наибольшее и наименьшее значение по заданному отрезку.

Решение:

Рассмотрим фун-ю у=.. и исследуем ее на промеж при хэ[..;..] на наиб,

наимень значения.

1)Д(у)=.

2)Найдем производ фун-и у’=.

3)Д(у’)=..

4)Найдем критич точки у’=0, ..=0

х1=.;х2=.-критич точки т.к. эти точки яв-ся

внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю. Эти точки

принадлежат (или нет) нашему промеж [.;.].

х1э[.;.]; x2э[.;.].

Найдем значения в кртич точках и на концах отрезка: f(.)=.;f(x1

)=.;f(x2)=.;f(.)=.

Наиболь знач фун-я принимает при х=.,а наимень при х=.

Max[.;.] f(x)=..;min[...;.] f(x)=..

Ответ: наиб знач фун-я принимает при х=..,а наимень при х=.

Найти область определения фун-и.

Решение:

Рассмотрим фун-ю

f(x)=.

1)Д (f) (т.к. многочлен)

2)Найдем нули функции: f(x)=0, ...=0

х1=.;х2=.-эти точки разбив числовую прямую на промеж в

каждом из которых фун-я сохран свой знак в силу непрерывности.

+ х1 - х2 +

На промеж (-беск;х1):f(x)=.>0 и т.д.

Т.к. функция приним все знач больше или равно нулю,то Д(f

)=(-беск;х1)$(x2;+беск).

Ответ: Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).

Исследовать на монотонность.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=.

1)Д (f)=...

2)Находим производ f’(x)=..

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ..=0

х1=.;х2=.-критич точки т.к. эти точки яв-ся

внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых

производная сохр свой знак в силу непрерывности.

+ x1 - x2 +

На промеж (-беск;х1):f(x)=.>0 и т.д.

4)Т.к. в точках x1=.., x2=..фун-я определена,

то она возростает на промежетке (-беск; x1]$ [x2;+беск)и

убывает на промеж [x1 ;х2].

Ответ: возростает на промежетке (-беск; x1]$ [x2

;+беск) и убывает на промеж [x1 ;х2].

Исследовать на экстремум.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=.

1)Д (f)=...

2)Находим производ f’(x)=..

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ..=0

х1=.;х2=.-критич точки т.к. эти

точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых

производная сохр свой знак в силу непрерывности.

- x1 + x2 -

На промеж (-беск;х1):f(x)=.>0 и т.д.

4)В точке х1=.производ сменила знак с минуса на

плюс,значит эта точка минимума. В точке х2=.производная

сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

Хmin=х1,Уmin(х1)=.; Хmax=х2,Уmax(х2)=.

Ответ: Хmin=х1,Уmin(х1)=.-минимум фун-и; Хmax=х2,Уmax(х2)=.-максимум фун-и.

Исследовать фун-ю и построить график.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=.

1)Д (f)=...

2) f(x)-нечетная (четная, ни нечетная), так как

f(-x)=.=-f(x)

3)Точки пересечения с осями.ОУ:х=0,у=.(х;у)

ОХ: у=0,х=.(х;у)

4)Находим производ f’(x)=..

5)Приравниваем производ к нулю и

находим критич точки: f’(x)=0, ..=0

х1=.;х2=.-критич точки т.к. эти

точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых

производная сохр свой знак в силу непрерывности.

Х (-беск;x1) x1 (х1;х2) x2 (x2;+беск)

f”(x) - 0 + 0 -

f(x) . .

min max

f(x1)=.; f(x2)=..

На промеж (-беск;х1):f(x)=.<0 и т.д.

6) В точке х1=.производ сменила знак с минуса на плюс,

значит эта точка минимума. В точке х2=.производная сменила

знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

7) Т.к. в точках x1=.., x2=..фун-я определена,

то она возростает на промежетке (x1;x2) и убывает на

промеж (-беск;х1)$(x2;+беск).

СТРОИШЬ ГРАФИК

Ответ: все полученные значения.

Решить методом интервалов.

Решите нер-во: .><0

Решение:

1)Рассмотрим функцию и решим ее методом интервалов ...><0.

2)Д(у)=.и ОДЗ

3)Находим нули фун-и f(x)=0, ...=0

x1=.,x2=.-эти точки разбивают числовую прямую на

промежутки в каждом из которых фун-я сохраняет свой знак в силу непрерывности.

+ x1 - x2 +

4)f(..)=...>0;

f(..)=.<0; f(..)=.>0;

Т.к. фун-я принимает неотриц-е (неполож.) значения на промеж. (-

бескон;.),(.,+бескон), то решением нерав-ва будет их объед-е.

Ответ:(-..;.)$(.;+.).

Составить ур-е касат-й в точке х0=..Найдите коор-ты всех точек

граф. этой фун-и параль-но найденной касатель.

Решение:

у=f”(x0)(x-x0)+f(x0)-общий вид ур-я касатель.

Рассмотрим фун-ю f(х)=.

1)Д(f)=...

2)Найдем произв. фун-ии f(х)=.

f’(х)=..

3)Д(f’)=..

4)f’(x0)=.;f(x0)=.След-но ур-е касатель имеет вид: y=f”(x0)(x-x0)+f(x0)

Производная фун-и в точке х0=.., есть угловой коэф-т касатель провед

к граф фун-и в точке (х0;f(x0)) т.к. надо найти

парал-е касатель, значит угловые коэф-ты долны быть одинаковыми(т.е. равны).

Дополнительно: у=f’(x0)(x-x0)+f(x0) и у=кх+в

Ответ:у=ур-е касатель (х0;f(x0))