Шпора: Геометрия

БИЛЕТ 6Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями a и b. Докажем, АВ=СD. Плоскость j, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями a и b по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

Sп.п.=2pR(H+R)

БИЛЕТ 5Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости a и b пересекаются с плоскостью j. Докажем, что а| | b.

Эти прямые лежат в одной плоскости (j) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. a и b имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. a| | b. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а| | b.

2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H

БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости a и b. В

плоскости a лежат

пересекающиеся в т.М

прямые a и b, а в b -

- прямые а1 и b1,

причем а| | а1 и b| | b1.

Докажем, что плоскос.

-ти a и b не параллель

ны. Тогда они перес.

по прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости b, и пересекает плоскость b по прямой с. Отсюда следует, что

а| | с.

Но плоскость a проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости b. Поэтому b | | с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, | | с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая | | с.

Значит, наше допущение неверно и a| | b. Ч.Т.Д.

- - - - - - - -

БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость

называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть a-плоскость,

а - не лежащая в ней прямая

и а1 - прямая в плоскости a,

параллельная прямой а.

Проведем плоскость a1 ч/з

прямые а и а1.

Она отлична от a,

т.к. прямая а не ле-

жит в плоскости a. Плоскости a и a1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллель-

ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. Ч.Т.Д.

2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H

БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость a, а ч/з М в

в плоскости a прямую

b| | a. Докажем, что b| | a

единственна.

Допустим, что существует другая прямая b2| | a, и

проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести

плоскость a2, которая проходит ч/з М и а, след-но,

по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА

ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она

совпадает с a. По аксиоме о параллельных

прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.

2. Vус.кон.=1/3*pH(R12+R1R2+R22)

БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.

А2 Если две различные плоскости имеют общую

точку, то они пересекаются по прямой.

А3 Если две различные прямые имеют общую

точку, то ч/з них можно провести плоскость, и

притом только одну.

2. Sп.п.=Sбок.+Sосн.; Sбок.=Pосн.*A

БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.

ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.

плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Док-во: Рассмотрим плоскости a и b такие, что плоскость a проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости b и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что a^b. Плоскости a и b пересекаются по прямой АС, причем АВ^АС, Т.к. по усл. АВ^b, и, значит, прямая АВ^ к любой прямой, лежащей в плоскости b.

Проведем в плоскости b прямую АD,^АС. Тогда ÐBAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей a и b. Но ÐBAD=900 (т.к. AB^b). След-но, угол м/у плоскостями a и b равен 900, т.е. a^b. Ч.Т.Д.

Sбок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)

БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости a. Докажем, что а½½b.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a½½ b. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости b, содержащей прямые b и b1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости a и b. Но это невозможно, след-но, a½½ b. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.

Sполн=Sбок+2Sосн ; Sбок=P*H(ребро)

БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, Sбок=P*h. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположен-

ных в плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1, и

DD1 параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA1..D1.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1..D1. Т.к. A1D1½½ BC и

A1D1=BC, то A1D1CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A1A2..An

и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-

ников: PA1A2,PA2A3,...,PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2..An и n треугольников, называется пирамидой

Многоугольник A1A2..An называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2, ..., Pan - ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид

A - верш.основания и A1 -

точка пересечения секущей

плоскости с боковым ребр.

SA. Подвергнем пирамиду

преобразованию гомотетии

относительно вершины S с

коэф. гомотет. k=SA1/SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1, т.е. в секущую

плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл

пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем,

что

AC12=AB2+AD2+AA12

Так как ребро CC1

перпендикулярно

к основанию ABCD,

то ÐACC1-прямой.

Из прямоугольного

треугольника ACC1

по теореме Пифагора получаем AC12=AC2+CC12.

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того, CC1=AA1.

След-но AC12=AB2+AD2+AA12 Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1. Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то AB½½DC и AA1½½DD1. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.

следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и Ð м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв.

равны двум смежным сторонам у Ð м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны