: Сфера
Сфера и шар
Работа ученика 11 класса
средней школы №1906
юго-западного округа
г.Москвы
Кашина Виталия.
Сфера и шар.
Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от
данной точки на данном расстоянии.
 
Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется
радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её
центр, называется диаметром сферы.
Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на
расстоянии не большем данного от данной точки
(или фигура, ограниченная сферой).
Уравнение сферы.
M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.
след. MC= т.к. MC=R, то 
если т.М не лежит на сфере, то MC R, т.е. координаты точки М
не удовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координат
уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид :
Взаимное расположение сферы и плоскости.
 
d - расстояние от центра сферы до плоскости.
след. C(0;0;d), поэтому сфера имеет уравнение 
плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0
Если т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и
на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.
след. возможны 3 решения системы :
1) d<R , d^2<R^2 , x^2 + y^2 = R^2 - d^2 > 0
уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окружность
C(0;0;0) и r^2=R^2 - d^2
2) d=R , x^2 + y^2 =0 , x=y=0 след. сфера пересекается плоскостью в
точке О(0;0;0)
3) d>R , d^2>R^2 R^2 - d^2 < 0
x^2 + y^2 >=0 , x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений
Касательная плоскость к сфере.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной
плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и
сферы.
Теорема:
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен
к касательной плоскости.
Доказательство:
Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к
плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем
противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.
ч.т.д.
Теорема:
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец,
лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Доказательство:
Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром,
проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра
сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость
имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является
касательной к сфере.
ч.т.д.
Площадь сферы:
Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного
многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если
сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в
многогранник.
Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно
увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер кождой грани стремился
к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей
поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю
наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и
получить формулу для вычесления площади сферы радиуса R :
S=4ПR^2 |
