Реферат: Векторы. Действия над векторами

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Понятие вектора.

Глава 2. Простейшие операции над векторами.

Глава 3. Линейная зависимость векторов.

Глава 4. Понятие базиса. Координаты вектора в данном базисе.

Глава 5. Проекция вектора.

Глава 6. Скалярное произведение.

Глава 7. Векторное произведение.

Глава 8. Смешанное произведение.

Глава 9. Двойное векторное произведение.

Литература

Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами.

Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов

которого известно какой из них первый (начало), а какой – второй (конец).

Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек)

называется вектором.

Вектор обычно обозначается символом

, где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой

(в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка

опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало

вектора называют точкой его приложения.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения

длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так

и обозначают длины

соответствующих векторов.

Вектор единичной длины называют ортом.

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у

которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет

определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать

нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых

называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным

любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные

(сонаправленные) и противоположно направленные векторы.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной

плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

Определение: Два вектора называются равными, если они: 1)

коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.

Следствие: Для любого вектора

и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что

.

Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения.

Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и

связанных векторов, встречающихся в других науках).

Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:

1. (рефлексивность).

2. Из того, что , следует (симметричность).

3. Из того, что и , следует (транзитивность).

Глава 2. Операции над векторами

Определение: Суммой

двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора

, а конец – в конце вектора ,

при условии, что вектор

приложен к концу вектора .

В соответствии с определением слагаемые

и и их сумма

образуют треугольник (рис.2). Поэтому данное правило сложения двух векторов

называют «правилом треугольника».

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. (коммутативность);

2. , (ассоциативность);

3. для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

4. для каждого вектора

существует противоположный ему вектор

такой, что (для получения

достаточно поменять местами начало и конец вектора

).

Вектор противоположный вектору обозначают .

Определение: Разностью

векторов и

называется сумма вектора и

вектора противоположного вектору

, т.е.

.

Разность получается из вектора

сдвигом его начала в конец вектора

, при условии, что векторы и

имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что

для любого вектора .

Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое

«правилом параллелограмма»: векторы

и прикладываются к общему

началу О, и на них строится параллелограмм (рис. 4). Суммой

будет вектор , расположенный на

диагонали параллелограмма. Разностью

здесь будет вектор ,

расположенный на второй диагонали.

Векторная

алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно

называют скалярными величинами или скалярами.

Определение: Произведением

λ (скаляр) называется вектор

, такой, что 1) ; 2) вектор

коллинеарен вектору ; 3)

векторы и

имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ <

0).

Замечание: В случае, когда λ = 0 или

произведение является нулевым

вектором.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативное свойство сомножителей);

Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну

и ту же длину . Кроме того,

они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с

направлением , если λ и

μ одного знака, и противоположно направлению

, если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю,

то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.

2. (свойства дистрибутивности).

Построим треугольник OAB где

и . Построим далее треугольник

SPQ, где и

. Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и

пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то

эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне

OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что

и одинаково направлены, если

λ > 0. Отсюда следует, что

. Но и

, а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.

Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности

коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда

векторы и

направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е.

. Но и следовательно, в этом

случае векторы и

равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора

, если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если

отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для

определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы

равна разности длин, точнее .

Но . Следовательно, и в этом

случае длина вектора равна

длине вектора . Очевидно, что

оба эти вектора направлены так же, как

. Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе

части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю

вектор или оба скаляра

одновременно.

Теорема: Если вектор

коллинеарен ненулевому вектору

, то существует вещественное число λ такое, что

= λ.

Глава 3. Линейная зависимость векторов

Любое множество, элементами которого являются векторы, называется

системой векторов. Выражение вида

, где λ i – вещественное число, называется

линейной комбинацией векторов системы

. Числа λ i называются коэффициентами

линейной комбинации. Различают два типа линейных комбинаций: тривиальные

, когда и нетривиальные

.

Если , то говорят, что вектор

представлен (разложен) в виде линейной комбинации векторов системы

. Разумеется, нулевой вектор может быть представлен в виде тривиальной линейной

комбинации любой системы векторов. Тривиальная линейная комбинация любой

системы векторов равна нулю.

Определение: Система векторов

называется линейно зависимой, если хотя бы одна нетривиальная

линейная комбинация векторов системы обращается в нуль, т.е. имеет место

равенство , при

.

Система векторов не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой.

Определение: Система векторов

называется линейно независимой, если равенство нулю линейной

комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из

того, что следует

.

Теорема: Если хотя бы один из векторов системы является нулевым, то эта

система является линейно зависимой.

Действительно, из векторов системы

можно составить линейную комбинацию

, которая не является тривиальной.

Теорема: Если часть системы векторов линейно зависима то и вся система

векторов линейно зависима.

Действительно, если система векторов

линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация

. Для любой системы векторов

линейная комбинация также

является нетривиальной.

Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух

векторов является их коллинеарность.

Действительно, либо оба коллинеарных вектора равны нулю, и тогда равна нулю

любая их линейная комбинация (в том числе и нетривиальная), либо один из них не

нуль, и тогда, в силу теоремы из второго раздела, другой отличается от него на

числовой множитель. Запишем это:

. Но эта же запись означает, что

, и мы имеем нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю.

Наоборот, допустим, что два неколлинеарных вектора

и линейно зависимы. Тогда

существуют коэффициенты λ и μ такие, что

, причем, например, λ ≠ 0. Это означает, что

, и векторы коллинеарны, вопреки нашему предположению.

Следствие: Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор

лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами

и , может быть представлен в

виде линейной комбинации этих векторов (т.е. найдутся такие вещественные числа

λ и μ, что ). Такое

представление единственно.

Заметим, прежде всего, что оба вектора

и отличны от нуля, так как если

бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор

коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из

второго раздела.

В общем случае перенесем все три вектора в одну точку О (рис. 6). Через

конец C вектора

проведем прямые CР и CQ, параллельные векторам

и . Тогда

, причем векторы и

коллинеарны соответственно и

. В силу теоремы из второго раздела существуют и определены однозначно такие

числа λ и μ, что ,

. Таким образом, , что и

требовалось.

Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация

, равная , причем, например

λ ≠ σ. Тогда ,

так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку C

параллельно вектору . Из

последнего равенства вытекает, что σ = λ, в противоречие с нашим

предположением.

Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех

векторов является их компланарность.

В самом деле, пусть векторы ,

, линейно зависимы, тогда один

из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например

. Приложим векторы ,

, к одной и той же точке О

(рис. 7), так что ,

, .

Предположим сначала, что векторы

, не коллинеарны; тогда несущие

их прямые определяют некоторую плоскость. В этой плоскости лежат и векторы

и , а значит, и весь

параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ

. Значит все три вектора ,

, компланарны.

Если векторы и

коллинеарны, то коллинеарны как векторы

, , так и их сумма

- три вектора ,

, оказываются даже

коллинеарными.

Если же векторы ,

, компланарны, то либо один из

них, например , лежит в одной

плоскости с двумя другими неколлинеарными векторами (следовательно

; или ), либо все три вектора

коллинеарны (следовательно ).

Тем самым следствие полностью доказано.

Следствие: Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор

может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов

, и

(т.е. найдутся такие числа λ, μ, ν, что

). Такое представление единственно.

Никакие два из векторов ,

и не коллинеарны, иначе все три

были бы компланарны. Поэтому, если

компланарен с какими-нибудь двумя из данных векторов, то наше утверждение

вытекает из предыдущего следствия.

В общем случае перенесем все векторы в одну точку О (рис. 8) и проведем

через конец D вектора

прямую, параллельную вектору .

Она пересечет плоскость ОЕ1Е2 в точке Р.

Очевидно, что . Согласно

теореме из второго раздела и предыдущему следствию существуют такие числа

λ, μ и ν, что и

. Таким образом, .

Единственность коэффициентов линейной комбинации доказывается так же, как и

предыдущем следствии.

Следствие: Любые четыре вектора линейно зависимы

Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе

Определение: Базисом в пространстве называется любая

упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная

пара неколлинеарных векторов.

Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому вектору

упорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виде

линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке

чисел при помощи базиса

мы сопоставим вектор , если

составим линейную комбинацию

.

Числа – называются

компонентами (или координатами) вектора

в данном базисе (записывается

).

Теорема: При сложении двух векторов их координаты складываются. При

умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Действительно, если и , то

.

Определение и свойства координат вектора на плоскости аналогичны. Вы легко

можете сформулировать их самостоятельно.

Глава 5. Проекция вектора

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными

данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то

углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π.

Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между

векторами прямой то векторы называются ортогональными.

Определение: Ортогональной проекцией

вектора на

направление вектора

называется скалярная величина

, φ – угол между векторами (рис.9).

Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA0.

Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол

φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция

равна нулю.

При ортогональной проекции угол между отрезками OA0 и AA

0 прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.

Проекции векторов обладают следующими свойствами:

1. (проекция суммы равна сумме проекций);

2. (проекция

произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если его

векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве

часто используют обозначения .

Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть

соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления

координатных векторов.

Пример: Пусть вектор

единичной длины образует с

вектором ортонормированного

базиса на плоскости угол

φ, тогда

.

Пример: Пусть вектор

единичной длины образует с

векторами ,

и ортонормированного базиса в

пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.11), тогда

. Причем . Величины cosα,

cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора

Глава 6. Скалярное произведение

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число,

равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из

векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов

и обозначается через

[или ; или

]. Если φ - угол между векторами

и , то

.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (коммутативность).

2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда

сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.

4. .

5. .

6. .

Теорема: В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:

; ; .

Действительно, пусть , причем

каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Из теоремы

второго раздела следует, что ,

где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или

противоположно направлены векторы

, и . Но,

, где φ - угол между векторами

, и . Итак,

. Аналогично вычисляются и остальные компоненты.

Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:

1. ; 2. ; 3. .

Пусть в некотором базисе заданы

векторы и

тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:

Величины называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно .

Теорема: В ортонормированном базисе

;

;

;

.

Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая

расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости

получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это

самостоятельно.

Глава 7. Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется

правоориентированной (правой), если после приложения к

общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора

ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная

тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (

левой).

Определение: Векторным произведением вектора

на вектор называется вектор

, удовлетворяющий условиям:

1. где φ – угол между векторами и ;

2. вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ;

3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов

является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется

площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Пусть, а

ортогонален к . Тогда

получается из вектора поворотом

вокруг вектора на

по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора

).

Пример: Если дан вектор

, то каждый вектор можно представить в виде суммы

, где – ортогонален

, а – коллинеарен

. Легко видеть, что .

Действительно, можно заметить, что

. Вектор компланарен векторам

и , а потому

и коллинеарны. Легко видеть

(рис. 12), что они одинаково направлены.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. (антикоммутативность);

Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не

зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор

коллинеарен вектору . Однако,

переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы

было выполнено условие 3) определения. Действительно, если

, ,

- правая тройка, то ,

, - левая, а

, ,

- снова правая тройка.

2. ;

Если φ - угол между векторами

и , то

. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой,

перпендикулярной и

. При λ > 0 и вектор и

вектор направлены так же, как .

Если λ < 0, то кратчайший поворот от

к производится навстречу

кратчайшему повороту от к

. Поэтому и

противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и

векторы и

. Таким образом, при λ ≠ 0 векторы

и направлены всегда одинаково,

и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.

3. ;

Если , то доказываемое

очевидно. Если , то разложим

и в суммы

и , где

и ортогональны

, а и

коллинеарны . Поскольку

, и вектор ортогонален

, а коллинеарен

, нам достаточно доказать равенство

и (в силу свойства 2) даже равенство

, где . Длина вектора

равна 1. Выше, в примере, мы видели, что в этом случае умножение на

сводится к повороту (ортогонального к

) первого сомножителя на угол 90°. Но при повороте параллелограмм, построенный

на и

, поворачивается целиком вместе с диагональю. Тем самым равенство доказано.

4. .

Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда

или

Теорема: В ортонормированном базисе

или

{если базис левый, то перед одной из частей каждого равенства следует

поставить знак минус}.

Справедливость теоремы следует из предыдущих формул при учете примеров в

начале раздела. Чтобы избежать постоянных замечаний об ориентации базиса, мы

будем считать, что базис выбирается всегда правый.

Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:

1. Нахождения вектора перпендикулярного плоскости, в которой расположены

два заданных вектора.

2.

Вычисление площади S параллелограмма, построенного на векторах

и , как на сторонах. В

ортонормированном базисе

.

В планиметрии векторное произведение не определено. Но ничто не мешает

считать, что изучаемая плоскость помещена в пространство и третий базисный

вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное

произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь

параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой

.

Глава 8. Смешанное произведение

Определение: число называется смешанным произведением векторов , и .

Смешанное произведение векторов , и обозначается или .

Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему

параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс

если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая.

Действительно, , где φ -

угол между векторами и

, а θ - угол между векторами

и . Объем параллелепипеда,

построенного на векторах ,

и , равен (рис. 13)

произведению площади основания

на высоту . Таким образом,

первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком

cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда

направлен в ту же сторону от плоскости векторов

и , что и вектор

, т. е. когда тройка ,

, правая. Аналогично

доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно.

Пример: Если -

ортонормированный базис, то

или , смотря по тому, правый

это базис или левый.

Теорема: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов

является равенство нулю их смешанного произведения.

Равенство возможно в следующих случаях:

a.хотя бы один вектор нулевой; тогда все три вектоpaкомпланарны;

b.sinφ = 0 тогда и коллинеарны, и следовательно , и компланарны;

c.cosθ = 0 тогда вектор ортогонален , т. е. компланарен и .

Обратное утверждение доказывается аналогично.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. .

Пусть в некотором базисе векторы , , , тогда

или

В частности, в ортонормированном базисе

{если базис левый, то перед одной из частей равенства следует поставить знак

минус}.

Следствие: Условие

является необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов,

заданных своими координатами в некотором базисе

Глава 9. Двойное векторное произведение

Определение: Вектор называется двойным векторным произведением векторов , и .

Теорема: Для любых векторов , и справедлива формула

.

Литература

• Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М, Наука, 1968,

  912 с.

• Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М, Высшая

  школа, 1967, 655 с.

• Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии

  и линейной алгебры. М, Наука, 1971, 328 с.

Действительно, этим числом является или

, или в зависимости от того,

направлены ли векторы и

одинаково или противоположно. Если

, то λ = 0. Единственность множителя λ очевидна: при умножении на

разные числа мы получим различные векторы.