Реферат: Уравнения с параметрами
Министерство общего и профессионального образования
Свердловской области
Управление образования Администрации города Нижний Тагил
Образовательное учреждение: МОУ СОШ № 55 Образовательная область: математика
Предмет: алгебра
РЕФЕРАТ
на тему:
Решение задач с параметрами Исполнитель: Научный руководитель:
Рецензент областного тура:
Нижний Тагил
2004
Оглавление
Введение 3
1. Основные определения 4
2. Аналитический способ решения задач 5
2. 1. Линейные уравнения 5
2. 2. Квадратные уравнения 8
2. 3. Системы уравнений 13
3. Графический метод решения задач 16
4. Заключение 18
Список литературы 19
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто
приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто
бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе
же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики
рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.
В первой части моего реферата я ввожу некоторые обозначения, используемые
впоследствии для более краткой записи решений; во второй части я рассматриваю
наиболее стандартный аналитический способ решения задач, а в третьей –
графический метод.
Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при
сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.
1. Основные определения
Задачи с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения
математики, когда начинают оперировать с буквами, как с числами. Они связаны
с решением уравнений и неравенств или исследованием функций, в запись которых
наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами.
Введём следующие обозначения и термины:
N={1, 2, .} – множество всех натуральных чисел;
w={0, 1, 2, .} – множество всех натуральных чисел с нулём;
Z={-N, 0, N} – множество всех целых чисел;
Q={Z,  , где pÎZ, qÎN} – множество всех рациональных чисел;
R={Q, иррациональные числа} – множество всех действительных чисел;
Æ – пустое множество – множество, не имеющие ни одного элемента;
Î – знак принадлежности;
Þ – знак следствия;
Û – знак равносилия;
ОДЗ – область допустимых значений;
D – дискриминант.
2. Аналитический способ решения задач 2. 1. Линейные уравнения
Пример 1. Решить относительно х:
 .
| (1) |
По смыслу задачи (m-1)(x+3) ¹ 0, то есть m ¹ 1, x ¹ –3.
Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение
 , получаем
 .
Отсюда при m ¹ 2,25  .
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых
найденное значение x равно –3.
 ,
решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при т = –0,4.
Ответ: при т ¹ 1, т ¹ 2,25,
т ¹ –0,4 уравнение (1) имеет единственное решение 
; при т = 2,25 и при т = –0,4 решений нет, при т
= 1 уравнение (1) не имеет смысла.
Пример 2. Решить относительно х:
| (1) |
ОДЗ: х ³ –а, х ³ 0;
Поскольку уравнение (1)Û Û | (2) |
и левая часть уравнения (2) неотрицательна, дополнительно к условиям
ОДЗ налагаем условие а ³ 0;
 Þ
 ;
| (3) |
при этих условиях
 ;
теперь к условиям (3) добавляем ещё условие
 ;
в условиях (3), (4) имеем 
| (4) |
при а = 0 х = 0 в силу условий (3), (4); при
а > 0 х
; отсюда, добиваясь выполнения условия (4), получаем
Ответ: при а = 0 х = 0; при а ³
1 уравнение (1) имеет единственное решение х
; при а < 0, 0 < а < 1
уравнение (1) не имеет решений.
Пример 3. Решить относительно х:
| (1) |
а). Х ³ 0,
 ;
по условию х ³ 0, то есть параметр должен удовлетворять условию
б). Х < 0,
по условию х < 0, то есть
 < 0 < 1;
 .
Ответ: при 
уравнение (1) имеет два решения  
при  > 1
уравнение (1) не имеет решений.
2. 2. Квадратные уравнения
Пример 1. Решить относительно х:
| (1) |
а). Пусть а = 0, тогда –2х+4 = 0 Û х = 2;
б). Пусть а ¹ 0, тогда D = 1– 4а; при 1– 4а < 0 Þ а >  х Î Æ;
при 1– 4а ³ 0 Þ а £   .
Ответ: при а = 0 х = 2; при а ¹
0 и а £ 
уравнение (1) имеет два решения 
; при а ¹ 0 и а > 
уравнение (1) не имеет решений.
При исследование квадратичной функции мы используем теоремы, которые также
помогают при решение задач с параметрами.
Т1. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b > 0,
c > 0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b
< 0, c > 0, то оба корня этого уравнения
неотрицательны.
Т2. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного
уравнения были больше заданного числа d:
Пример 2. При каких значениях параметра а, корни уравнения неотрицательны:
| (1) |
Разделим уравнение (1) на а, но поставим условие а ¹ 0, тогда получим
 
| (2) |
По Т1:  ;
1). D =  ; приводим к общему знаменателю а2, получаем
 ;  .
2).  > 0;
корень уравнения  :
а = –2 и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на
координатную прямую (Рис. 1).
Получаем а < –2, а > 0
3).  ; корень уравнения  : а = –3
и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 2).
Получаем –3 < а < 0.
4). Объединим полученные результаты:
| (Рис. 3) |
Получаем 
Ответ: при  уравнение (1) имеет неотрицательные корни.
Пример 3. При каких значениях параметра а, корни уравнения больше 1:
| (1) |
По Т2:  .
1). 
 > 0, разделим получившееся неравенство на –8, получаем
 корни данного
уравнения:  .
Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 4).
Получаем  < а < 
2).  , помножим обе части данного неравенства на 2а, при этом а ¹ 0;
2а + 1 > 2а Þ 2а – 2а > –1 Þ 0 > –1 Þ а Î R.
3). Y(1) = 2а –2;
 корни уравнения 2а(а-1) > 0: а1 = 0; а2 = 1.
Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 5).
Получаем а < 0, а > 1
4). Объединим полученные результаты:
| (Рис.6) |
Получаем 
Ответ: при  корни уравнения (1) больше 1.
Пример 4. При каком наибольшем целом а оба корня уравнения заключены
строго между –2 и 4:
Способ 1: | (1) |
 ; тогда корни уравнения (1):  . Они должны быть заключены строго между –2 и 4:
 
Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 7).
Получаем 
Способ 2:
По Т2:
1). D = 1> 0;
2).  ;
3). Y(–2) = а2+4а+3
а2+4а+3 > 0; корни уравнения а2+4а+3 =
0: а1 = –3, а2 = –1; нанесем
полученные точки на координатную прямую (Рис. 8).
Получаем а < –3, а > –1.
Y(4) = а2–8а+15
а2–8а+15 > 0; корни уравнения а2–8а+15 =
0: а1 = 3, а2 = 5; нанесем полученные
точки на координатную прямую (Рис. 9).
Получаем а < 3, а > 5.
4). Объединим полученные результаты:
| (Рис.10) |
Получаем –1 < а < 3.
Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4.
Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотношением
2х1+х2 = 3:
по теореме Виета:  ;
составим и решим систему: 
получаем х1 = 1, х2 = 1, тогда
а = 1.
Ответ: а = 1.
2. 3. Системы уравнений
Системы линейных уравнений типа: 
1) имеют единственное решение, если 
2) не имеют решений, если 
3) имеют бесконечное множество решений, если 
Пример 1. Найти все значения а, при которых система имеет бесчисленное
множество решений:
Система (1) имеет бесчисленное множество решений, когда | (1) |
1)  , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ –3;
2)  , ОДЗ: а ¹ –3, а ¹  ;
 , разделим обе части уравнения на 4:
3)  , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹  ;
Ответ: при а = 1 система (1) имеет бесчисленное множество решений.
Пример 2. При каких m и n система а) имеет единственное решение;
б) не имеет решений:
| (1) |
а). Система (1) имеет единственное решение, когда
так как 5 ¹ 0 и 3 ¹ 0, то 5m ¹ 30, отсюда m ¹ 6.
б). Система (1) не имеет решений, когда
1)  отсюда m = 6.
2)  отсюда n ≠ 8.
3)  отсюда n ≠  при m = 6 n ≠ 8, при n ≠ 8 m = 6.
Ответ: а) при m ¹ 6 система (1) имеет
единственное решение; б) при n ≠ 8 и m = 6
система (1) не имеет решений.
Пример 3. Решить относительно х:
| (1) |
1) а < 0, тогда получаем систему
если  то система (2) несовместима, а если  , то – а < х <  2) а = 0, тогда получаем систему 
3) а  0, тогда получаем систему 
если  , то х > – а, а если – а < – 1 а > 1, то х >  | (2) |
Ответ: в системе (1) при а ≤ – 1 х 
Æ; при 
– а < х < 
при а = 0 
; при  х >
– а; при а > 1 х > 
3. Графический метод решения задач
Рассмотренный мною стандартный способ решения задач с параметрами в отдельных
случаях приводят к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс решения
может быть иногда упрощен, если применять графический метод.
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение:
| (1) |
Пусть  Тогда,
возведя обе части этого уравнения квадрат, получаем х = t2
– а, тогда уравнение (1) эквивалентно системе
 .
График функции  при
условии  пересекает
семейство прямых y = a в одной точке при 
и при а > 1 (Рис. 11).
Ответ: при  ; а > 1 уравнение (1) имеет
единственное решение.
Пример 2. Найти все значения параметра а, при котором уравнение имеет
ровно три различных корня:
| (1) |
Построим график функции 
для  и отразим его
зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс
y = a, пересекает график ровно в трех точках при а = 5
(Рис. 12).
Ответ: уравнение (1) имеет ровно три различных
корня при а = 5.
4. Заключение
Итак, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и способы их решений и
сделала вывод, что наиболее эффективным является графический метод решения
задач с параметрами.
Работа над данным рефератом помогла мне в учебе не только в школе, но и в
Городском Компьютерном Центре при УГТУ УПИ.
Да, я могу сказать, что я научилась решать уравнения с параметрами, но я не
хочу останавливаться на достигнутом и поэтому в следующем году я собираюсь
работать над рефератом на тему: «Решение неравенств с параметрами». Также в
данной работе я не рассмотрела примеры тригонометрических, логарифмических,
показательных уравнений, поэтому в моём реферате нельзя ставить точку.
Список литературы
1. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. – М.: Асар, 1996.
2. Важенин Ю. М. Самоучитель решения задач с параметрами. – Екатеринбург:
УрГУ, 1996.
3. Окунев А. А. Графическое решение уравнений с параметрами. – М.: Школа
– Пресс, 1986.
4. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа-
Пресс, 1997.
5. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.
|
