Реферат: Теория вероятности

Математический аппарат современной экономики часто используется на основе

традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на

системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация

вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного

эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех

возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных

начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные

величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты

существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при

планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует

теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных

по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в своем эссе я

рассмотрю случайные величины и функции распределения.

Случайные величины

Определение. Пусть — произвольное вероятностное пространство.

Случайной величиной

называется измеримая функция ,

отображающая в множество

действительных чисел , т.е.

функция, для которой прообраз

любого борелевского множества

есть множество из -алгебры

.

Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.

2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно

брошенной в квадрат точки .

Множество значений случайной величины

будем обозначать , а образ

элементарного события —

. Множество значений может быть

конечным, счетным или несчетным.

Определим -алгебру на множестве

. В общем случае -алгебра

числового множества может быть

образована применением конечного числа операций объединения и пересечения

интервалов или полуинтервалов

вида (

), в которых одно из чисел или

может быть равно или

.

В частном случае, когда —

дискретное (не более чем счетное) множество,

-алгебру образуют любые подмножества множества

, в том числе и одноточечные.

Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств или , или .

Будем называть событием любое

подмножество значений

случайной величины :

. Прообраз этого события обозначим

. Ясно, что ;

; . Все множества

, которые могут быть получены как подмножества

из множества ,

, применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют

систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины

— и выделив систему событий

, построим измеримое пространство

. Определим вероятность на подмножествах (событиях)

из таким образом, чтобы она

была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом:

.

Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной величины , где

— множество значений случайной величины

; —

-алгебра числового множества ;

— функция вероятности случайной величины

.

Если каждому событию поставлено

в соответствие , то говорят,

что задано распределение случайной величины

. Функция задается на таких

событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность

произвольного события . Тогда

событиями могут быть события .

Функция распределения и ее свойства

Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной величиной .

Определение. Функцией распределения случайной величины

фиксированного числа :

(1)

Там где понятно, о какой случайной величине

, или

идет речь, вместо будем

писать . Если рассматривать

случайную величину как

случайную точку на оси , то

функция распределения с

геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка

в результате реализации эксперимента попадет левее точки

.

Очевидно что функция при любом

удовлетворяет неравенству .

Функция распределения случайной величины

имеет следующие свойства:

2) Функция распределения — неубывающая функция

, т.е. для любых и

, таких что , имеет место

неравенство .

Доказательство. Пусть и

и . Событие, состоящее в том,

что примет значение, меньшее,

чем ,

представим в виде объединения двух несовместных событий

и :

.

Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, или по формуле (1)

, (2)

откуда , так как . Свойство доказано.

Теорема. Для любых и вероятность неравенства вычисляется по формуле

(3)

Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2).

Таким образом, вероятность попадания случайной величины

в полуинтервал равна разности

значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала

и .

2) ; .

Доказательство. Пусть и

— две монотонные числовые последовательности, причем

, при

. Событие состоит в том, что

. Достоверное событие

эквивалентно объединению событий

:

; .

Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .

Принимая во внимание определение предела, получаем ;

3) Функция непрерывна слева в любой точке ,

Доказательство. Пусть —

любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к

. Тогда можно записать:

На основании аксиомы 3

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к

, то остаток ряда, начиная с некоторого номера

, будет меньше ,

(теорема об остатке ряда)

.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию

распределения. Получим

,

откуда или , а это означает, что .

Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения

является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию

и . И, обратно, каждая функция,

обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция

распределения некоторой случайной величины.

Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше

вычисляется по формуле .

Доказательство. Достоверное событие

представим в виде объединения двух несовместных событий

и . Тогда по 3-1 аксиоме

Колмогорова или

, откуда следует искомая формула.

Определение. Будем говорить, что функция распределения

имеет при скачок

, если , где

и пределы слева и справа

функции распределения в точке

.

Теорема. Для каждого из пространства случайной величины имеет место формула

Доказательство. Приняв в формуле (3)

, и перейдя к пределу при

, , согласно свойству 3),

получим искомый результат.

Можно показать, что функция

может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция

распределения может иметь не более одного скачка

, скачков — не более 3-х,

скачков не более чем

.

Иногда поведение случайной величины

характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим

законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона

распределения функцию распределения

.