Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Реферат: Теорема Штольца

Содержание работы:

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

2. Применение теоремы Штольца:

a) Реферат: Теорема Штольца ;

b) нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты Реферат: Теорема Штольца

;

c) Реферат: Теорема Штольца ;

d) Реферат: Теорема Штольца .

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения

последовательностей.

4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы

Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений Реферат: Теорема Штольца

типа Реферат: Теорема Штольца часто бывает

полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта Реферат: Теорема Штольца ,

причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и Реферат: Теорема Штольца

возрастает: Реферат: Теорема Штольца .

Тогда Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца

,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу Реферат: Теорема Штольца :

Реферат: Теорема Штольца .

Тогда по любому заданному Реферат: Теорема Штольца найдется такой номер N, что для n>N будет

Реферат: Теорема Штольца

или

Реферат: Теорема Штольца .

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби Реферат: Теорема Штольца

, Реферат: Теорема Штольца , ., Реферат: Теорема Штольца

, Реферат: Теорема Штольца лежат между этими

границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с

номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь Реферат: Теорема Штольца

, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а

знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

Реферат: Теорема Штольца .

Напишем теперь тождество:

Реферат: Теорема Штольца ,

откуда

Реферат: Теорема Штольца .

Второе слагаемое справа при n>N становится <Реферат: Теорема Штольца

; первое же слагаемое, ввиду того, что Реферат: Теорема Штольца

, также будет <Реферат: Теорема Штольца ,

скажем, для n>N’. Если при этом взять N’>N, то для

n>N’, очевидно, Реферат: Теорема Штольца

, что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

1. Пусть, например, Реферат: Теорема Штольца

. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) Реферат: Теорема Штольца

, следовательно, вместе с yn и xnРеферат: Теорема Штольца

, причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком

случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению Реферат: Теорема Штольца

Реферат: Теорема Штольца

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что Реферат: Теорема Штольца

, что и требовалось доказать.

2. При а>1

Реферат: Теорема Штольца

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:Реферат: Теорема Штольца

Реферат: Теорема Штольца

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного

предложения:

Если варианта anРеферат: Теорема Штольца

имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

Реферат: Теорема Штольца

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).

Действительно, полагая в теореме Штольца

Xn=a1+a2+.+an, yn=n,

Имеем:

Реферат: Теорема Штольца

Например, если мы знаем, что Реферат: Теорема Штольца ,

то и Реферат: Теорема Штольца

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

Реферат: Теорема Штольца ,

которая представляет неопределённость вида Реферат: Теорема Штольца .

Полагая в теореме Штольца

xn=1k+2k+.+nk, yn=nk+1,

будем иметь

Реферат: Теорема Штольца .

Но

(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+. ,

так что

nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+.

и

Реферат: Теорема Штольца .

5. Определим предел варианты

Реферат: Теорема Штольца ,

представляющей в первой форме неопределенность вида Реферат: Теорема Штольца

, а во второй – вида Реферат: Теорема Штольца

. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида Реферат: Теорема Штольца

:

Реферат: Теорема Штольца .

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn –

знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

Реферат: Теорема Штольца .

Но Реферат: Теорема Штольца ,

а Реферат: Теорема Штольца ,

так что, окончательно,

Реферат: Теорема Штольца .

Пример 1.

Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца = Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца .

Пример 2.

Реферат: Теорема Штольца

=

=Реферат: Теорема Штольца =

=Реферат: Теорема Штольца =

=Реферат: Теорема Штольца =

=Реферат: Теорема Штольца =

=Реферат: Теорема Штольца =

=Реферат: Теорема Штольца .

Пример 3.

Реферат: Теорема Штольца

=Реферат: Теорема Штольца

=Реферат: Теорема Штольца .

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к.

последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить

для функций.

Теорема.

Пусть функция Реферат: Теорема Штольца ,

причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk

), т.е. функция возрастающая.

Тогда Реферат: Теорема Штольца ,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

Реферат: Теорема Штольца .

Тогда, по определению предела Реферат: Теорема Штольца

Реферат: Теорема Штольца

или

Реферат: Теорема Штольца .

Значит, какой бы Реферат: Теорема Штольца ни взять, все дроби

Реферат: Теорема Штольца , Реферат: Теорема Штольца , ., Реферат: Теорема Штольца

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn

) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь Реферат: Теорема Штольца

, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а

знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при Реферат: Теорема Штольца

Реферат: Теорема Штольца .

Напишем тождество(которое легко проверить):

Реферат: Теорема Штольца

,

Откуда

Реферат: Теорема Штольца .

Второе слагаемое справа при Реферат: Теорема Штольца

становится Реферат: Теорема Штольца ; первое

же слагаемое, ввиду того, что Реферат: Теорема Штольца

, так же будет Реферат: Теорема Штольца ,

скажем, для Реферат: Теорема Штольца . Если

при этом взять Реферат: Теорема Штольца , то

для Реферат: Теорема Штольца , очевидно Реферат: Теорема Штольца

, что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

1. Реферат: Теорема Штольца очевидна неопределенность Реферат: Теорема Штольца

Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =2

2. Реферат: Теорема Штольца неопределенность Реферат: Теорема Штольца

Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =0

3. Реферат: Теорема Штольца неопределенность Реферат: Теорема Штольца

Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца =Реферат: Теорема Штольца

Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией

Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз

1962г. Москва.

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011