Реферат: Теорема Штольца

Содержание работы:

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

2. Применение теоремы Штольца:

a) ;

b) нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты

;

c) ;

d) .

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения

последовательностей.

4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы

Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений

типа часто бывает

полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта ,

причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и

возрастает: .

Тогда =

,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

.

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или

.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби

, , .,

, лежат между этими

границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с

номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь

, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а

знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

.

Напишем теперь тождество:

,

откуда

.

Второе слагаемое справа при n>N становится <

; первое же слагаемое, ввиду того, что

, также будет <,

скажем, для n>N’. Если при этом взять N’>N, то для

n>N’, очевидно,

, что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

1. Пусть, например,

. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n)

, следовательно, вместе с yn и xn

, причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком

случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что

, что и требовалось доказать.

2. При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного

предложения:

Если варианта an

имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).

Действительно, полагая в теореме Штольца

Xn=a1+a2+.+an, yn=n,

Имеем:

Например, если мы знаем, что ,

то и

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

,

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

xn=1k+2k+.+nk, yn=nk+1,

будем иметь

.

Но

(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+. ,

так что

nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+.

и

.

5. Определим предел варианты

,

представляющей в первой форме неопределенность вида

, а во второй – вида

. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида

:

.

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn –

знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

.

Но ,

а ,

так что, окончательно,

.

Пример 1.

====== ===.

Пример 2.

=

==

==

==

==

==

=.

Пример 3.

=

=.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к.

последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить

для функций.

Теорема.

Пусть функция ,

причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk

), т.е. функция возрастающая.

Тогда ,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

.

Тогда, по определению предела

или

.

Значит, какой бы ни взять, все дроби

, , .,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn

) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь

, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а

знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

.

Напишем тождество(которое легко проверить):

,

Откуда

.

Второе слагаемое справа при

становится ; первое

же слагаемое, ввиду того, что

, так же будет ,

скажем, для . Если

при этом взять , то

для , очевидно

, что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

1. очевидна неопределенность

===2

2. неопределенность

====0

3. неопределенность

===

Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией

Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз

1962г. Москва.