Реферат: Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.
(алгебра и начала анализа)
Исполнитель: Зырянов Р.Б.
Руководитель: Попова Н.Б.
Екатеринбург 1998
Оглавление
I. Введение
II. Уравнения с параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
III. Неравенства с параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
IV. Список литературы.
V. Приложения.
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто
приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто
бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе
же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики
рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой
взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений
и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и
их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут
мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, ., k, x)=j(a, b, c, ., k, x), (1)
где a, b, c, ., k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, ., k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные
значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, ., k,
x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех
допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е.
аÎА, bÎB, ., xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, ., K
выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, ., k и
подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е.
уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, ., k, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением,
содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, ., k,
l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях
параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными,
если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
§2. Алгоритм решения.
1.Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от х.
3. В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех
значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком
функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то
определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=
¦(х) относительно х.
4. Записываем ответ.
§3. Примеры
I. Решить уравнение
 (1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение
относительно а :
 или 
График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного
уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой
у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой
точки найдем при решении уравнения 
относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение  .
Если а Î  ,
то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих
точек можно найти из уравнений 
и  , получаем
  и  .
Если а Î  ,
то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
Ответ:
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то  ;
Если а Î  , то   ,  ;
Если а Î  , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет три различных корня.
Решение.
Переписав уравнение в виде 
и рассмотрев пару функций 
, можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут
соответствовать тем положениям графика функции 
, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции 
.
В системе координат хОу построим график функции 
). Для этого можно представить её в виде 
и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции 
– это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный 
, и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три
указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая
касается графика функции 
. Поэтому находим производную
Ответ:  .
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим 
при  Следовательно,
это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы 
“скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на
множители
Множеством точек плоскости 
, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые
 и 
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол”
имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В
соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой  ), то
рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы”
совпадает с точкой А, то 
.
Случай касания “полупараболы” с прямой 
определим из условия существования единственного решения системы
В этом случае уравнение
имеет один корень, откуда находим :
Следовательно, исходная система не имеет решений при 
, а при  или 
имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а Î (-¥;-3] È( ;+¥).
IV. Решить уравнение
Решение.
Использовав равенство  , заданное уравнение перепишем в виде
Это уравнение равносильно системе
Уравнение  перепишем в виде
 . (*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения.
Построим графики функций 
и  Из графика
следует, что при 
графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.
Если  , то при 
графики функций совпадают и, следовательно, все значения 
являются решениями уравнения (*).
При  графики
пересекаются в одной точке, абсцисса которой 
. Таким образом, при 
уравнение (*) имеет единственное решение - 
.
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*)
будут удовлетворять условиям
Пусть  , тогда  . Система примет вид
Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что 
, можно заключить, что при 
исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда  . Система неравенств примет вид
Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но 
, поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение 
.
Ответ:
если аÎ (-¥;3), то решений нет;
если а=3, то хÎ [3;5);
если aÎ (3;7), то  ;
если aÎ [7;+¥), то решений нет.
V. Решить уравнение
 , где а - параметр. (5)
Решение.
1. При любом а : 
2. Если  , то  ;
если  , то  .
3. Строим график функции 
, выделяем ту его часть , которая соответствует 
. Затем отметим ту часть графика функции 
, которая соответствует 
.
4. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет
решение и при каких – не имеет решения.
Ответ:
если  , то  
если  , то  ;
если  , то решений нет;
если  , то  ,  .
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров 
и  , при которых
системы
 (1)
и
 (2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом того, что 
имеет смысл только при 
, получаем после преобразований систему
 (3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
 (4)
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе
уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1)
и радиусом 
Поскольку  , а 
, то  , и,
следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При 
окружность касается прямой 
и система (4) имеет пять решений.
Таким образом, если 
, то система (4) имеет четыре решения, если 
, то таких решений будет больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4)
имеет четыре решения в случае, когда 
, и больше четырех решений, если 
.
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы
задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором
квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство
прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или
четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная
уравнением  , иметь
общие точки с гиперболой 
при  (прямая 
всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции 
).
Для решения этого рассмотрим уравнение
 ,
которое удобнее переписать в виде
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего
уравнения:
· если  , т.е. если  , то система (3) имеет два решения;
· если  , то система (3) имеет три решения;
· если  , то система (3) имеет четыре решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это
имеет место, когда 
.
Ответ: 
II. Неравенства с параметрами.
§1. Основные определения
Неравенство
¦(a, b, c, ., k, x)>j(a, b, c, ., k, x), (1)
где a, b, c, ., k – параметры, а x – действительная переменная величина,
называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c
0, ., k = k0, при некоторой функции
¦(a, b, c, ., k, x) и
j(a, b, c, ., k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых
значений параметров.
 называется допустимым значением х, если
¦(a, b, c, ., k, x) и
j(a, b, c, ., k, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений
параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения
неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1),
если неравенство
¦(a, b, c, ., k, x0)>j(a, b, c, ., k, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением
этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров
существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, ., k, x)>j(a, b, c, ., k, x) и (1)
z(a, b, c, ., k, x)>y(a, b, c, ., k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и
том же множестве систем допустимых значений параметров.
§2. Алгоритм решения.
1. Находим область определения данного неравенства.
2. Сводим неравенство к уравнению.
3. Выражаем а как функцию от х.
4. В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех
значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем влияние параметра на результат.
· найдём абсциссы точек пересечения графиков.
· зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
7. Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с
использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с
использованием стандартной системы координат хОy.
§3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если  , то решения исходного неравенства заполняют отрезок  .
Ответ:  ,  .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
 (*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на
четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с
центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение
заштрихован
ной области с окружностью, где  , а значения  и  находятся из системы
а значения  и  находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
Ответ: 
III. Решить неравенство  на  в зависимости от значений параметра а.
Решение.
1.Находим область допустимых значений – 
2.Построим график функции в системе координат хОу.
· при  неравенство решений не имеет.
· при  для  решение х удовлетворяет соотношению  , где 
Ответ: Решения неравенства существуют при 
 , где  , причем при  решения  ; при  решения  .
IV. Решить неравенство
Решение.
1.Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
 
2.Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего
перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
т. к.  то
Разделим обе части равенства на 
при  . Но 
является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при 
.
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять
областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем
точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
| № | точка | неравенство:  | вывод | 1 | 
| 
| - | 2 | 
| 
| + | 3 | 
| 
| - | 4 | 
| 
| + | 5 | 
| 
| - | 6 | 
| 
| + | 7 | 
| 
| - | 8 | 
| 
| + | 9 | 
| 
| - |
5. Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.
Ответ.
при  
при  
при  
при  решений нет
при  
Литература
1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа -
Пресс”. Москва 1996 г.
2. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных
экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
3. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”.
Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
4. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство
“Айрис”. Москва 1996 г.
5. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”.
Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
6. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука”
физико–математическая литература. Москва 1977 г.
7. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство
“Асар”. Минск 1996 г. |
