Реферат: Поверхности 2-го порядка

Министерство высшего образования Российской Федерации

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕФЕРАТ

На тему:

“ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА”

Факультет: ФТиКМ

Студент: Коцурба А.В.

Преподаватель: Лебедева Г.А.

Иркутск

1999

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной

системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

1. Эллипсоид.

Эллипсоидом

определяется уравнением:

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного

эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких

плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое

число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

(2)

Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.

1) Если >

c (c>0), то

и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости

z=h с данным эллипсоидом не существует.

2) Если , то

и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c)

(плоскости

касаются эллипсоида).

3) Если , то уравнения (2) можно представить в виде

откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с

полуосями и

. При уменьшении

значения и

увеличиваются и достигают своих наибольших значений при

, т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается

самый большой эллипс с полуосями

и .

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями,

параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как

замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются

полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.

2. Однополосный гиперболоид.

Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением

(3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными

плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

и

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными

координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется

уравнениями

или (4)

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с

полуосями и

,

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного

гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с

полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании

величины a* и b* возрастают бесконечно.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный

гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере

удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

3. Двуполостный гиперболоид.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением

(5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его

сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно

уравнения

и

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными

координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется

уравнениями

или (6)

из которых следует, что при

>c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями

и . При

увеличении

величины a* и b* тоже увеличиваются.

При уравнениям

(6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости

касаются данной поверхности).

При уравнения (6)

определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным

гиперболоидом не существует.

Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

4. Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением

(7)

где p>0 и q>0.

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz.

Получаем соответственно уравнения

и

из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные

относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными

координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется

уравнениями

или (8)

из которых следует, что при

плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями

и . При увеличении h

величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку

(плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8)

определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным

гиперболоидом нет.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический

параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.

Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е.

эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную

вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).

5. Гиперболический параболоид.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат, определяется уравнением

(9)

где p>0, q>0.

Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение

(10)

из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх,

симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях

поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же

направленные вверх параболы.

рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).

Получаем уравнение

из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но

теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в

начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными

плоскости Oyz (x=h), получим уравнения

из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола,

направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями

(10).

Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy .

получим уравнения

или

из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие

плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 –

гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

и

точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

6. Конус второго порядка.

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением

(11)

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности

плоскостью Oxy (y=0) получаем линию

распадающуюся на две пересекающиеся прямые

и

Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две

пересекающиеся прямые

и

Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy.

Получим

или

из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с

полуосями .

При увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.

При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку

(0;0;0).

Cписок использованной лит-ры:

1.Шипачёв В.С.:”Высшая мат-ка”

Если сдал РЕФЕРАТ, то отправь свои данные в коллекцию!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!