Реферат: Площадь поверхности тел вращения
МПС РФ
Омский Государственный Университет Путей Сообщения
Р Е Ф Е Р А Т
«Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.»
выполнила:
студентка группы 29 Г
Митрохина Анна
Проверил :
Гателюк О.В.
Омск
2000г.
ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших
понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны
отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую
путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой -
измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток
времени и т. п.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
Символ  введен
Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой
буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли
(1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится
как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция
интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена
подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово
integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.
Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики -
интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Самое важное из истории интегрального исчисления!
Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и
объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная
математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно
большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при
решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом
Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом
(ок. 287 - 212 до н. э.).
Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и
понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления.
Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды
Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых
результатов в интегральном исчислении они не получили.
Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI
и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд
новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур
(задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на
вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .
Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и
греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось
одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления.
Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но
потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое
выражение и были доведены до уровня исчисления.
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах
Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых,
который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они
представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) ,
которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине
f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась
равной сумме
S = 
бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось,
что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые
сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер
(1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609
г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно
вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и
объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).
Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери
(1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).
В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному
исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году
решил задачу квадратуры любой кривой y =
, где N - целое (т. е. вывел формулу  
), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести.
И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически
опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677
года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи
интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по
представлению функции в виде степенных рядов.
Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII
столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие
идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь
операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный
алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от
друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем
самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить
первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления
и т. п. Но главное уже было сделано:
дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии
(в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое
исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В
развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики
М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889
гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в
частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не
выразимые через элементарные функции.
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке,
Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших
математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского
математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур,
были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были
предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А.
Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959
гг.)
ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.
Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.
Определим площадь этой поверхности на участке а ≤ х ≤ b. Функцию
f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех
точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2
,..Мn-1B длины которых обозначим через ΔS1, ΔS
2. ΔSn (рис. 1). Каждая хорда длины ΔSi
(i=1,2,..n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ΔP
i равна:
Применяя теорему Лагранжа получим:
  ,где
Следовательно
 
Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме
, или сумме
, (1)
распространенной на все звенья ломаной.
Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ΔSi стремится
к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не
является интегральной суммой для функции
 (2)
, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi
], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi
,ξi.. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется
пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.
или
(3)
Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения
возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной
на отрезке а ≤ x ≤ b неотрицательной,
непрерывно дифференцируемой функцией f(x).
Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=φ(t), y=ψ(t)
(t0 ≤ t ≤ t1) то формула (3) имеет
вид,
 (3/)
|
