Реферат: Пьер де Ферма

Министерство Образования Российской Федерации

2002 г.

Содержание

1. Вступление -3

2. Основная часть

2.1. Биография -3

2.2. Математики против Ферма -4

2.3. «Теория чисел» -9

2.4. Принцип Ферма -13

2.5. Малая теорема -13

2.6. Великая теорема -14

2.7. «Верна или не верна?» -16

3. Заключение -19

4. Список литературы -21

Быть может, потомство будет признательно мне

Пьер Ферма

1.Вступление

В своей работе я хочу рассказать о Пьере де Ферма. Я обратила внимание на

личность именно этого математика, потому что вокруг его деятельности ходило

колоссальное число загадок и легенд.

2.Основная часть

2.1. БИОГРАФИЯ

“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона, крещен

20 августа 1601 г. Крестный отец – Пьер Ферма, купец и брат названного

Доминика, крестная мать – Жанна Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но

предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документ искали полтора

века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого

считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!) года исправно служил

чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон

на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне (во Франции более 30

Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать

значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний

математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший

судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками,

осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник,

гениальный компилятор, один из четырех титанов математики нового времени.

Ферма почти не выезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей

матери Луизе де Лон, дочери советника того-самого парламента. Благодаря тестю

он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын

третьего сословия, практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный

латынью и францисканским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных

задач в реальной жизни. Он имел пятерых чад, в последствии ставших судейскими

чиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество.

В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философских

трактатов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, не

воевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не

имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникам провинциальных судов

предписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявлений публичности.

Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своей страсти к

формальным досужим играм. На склоне лет наш герой пишет: “Так как, говоря

откровенно, я считаю геометрию самым высоким упражнением для ума, но

одновременно столь бесполезным, что я делаю мало различия между человеком,

который занимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называю

геометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же только профессией, и

я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы

вкладывать в нее все силы...”. Он изменил себе лишь перед смертью,

опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом

трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Не обнаружив никаких

сознательных претензий на место в истории, Ферма умирает в Кастре близ Тулузы

12 января 1665.

2.2.МАТЕМАТИКИ ПРОТИВ ФЕРМА

Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно

зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы

Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических

сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античной филологии, вдруг задается

целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого. С таким же

успехом современный адвокат может попытаться самостоятельно воспроизвести все

доказательства в монографии по алгебраической топологии. Однако, немыслимое

предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая в геометрические

построения древних, он совершает удивительное открытие: для нахождения

максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи.

Первый систематический прием для отыскания экстремумов (от лат. extremum

«крайнее») Ферма изложил в своей работе «Метод исследования максимумов и

минимумов». Эта работа была частично опубликована в 1642-1644 гг., а

полностью - в 1779г., после смерти ее автора. Из писем Ферма стало, однако,

известно, что своим методом он владел уже в 1629г.

Этот метод, имеющий инфинитезимальный характер (т.е. основанный на

рассмотрении бесконечно малых), Ферма впервые применил к функции

(1)

a) Пусть

есть бесконечно малое приращение независимой переменной

; тогда новое значение функции (1) будет

. (2)

Для выражения «принципа остановки», т.е. того факта, когда функция, достигая

максимума или минимума, как бы останавливается в своем изменении (на

современном языке - скорость изменения, т.е. производная, равна 0), Ферма

приравнивает (1) и (2):

. (3)

Раскрывая скобки и сокращая на h:

. Ввиду того что бесконечно малое h исчезает перед конечным (по существу это

молчаливый предельный переход при

), то

.

Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования

максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем

известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит

новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол

произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp =

Cxq и ypxq = С), вычисляет

площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв.

Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того

времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну: ”Святой

отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав

надежду на то, что мы сможем беседовать письменно;...Я буду очень рад узнать

от Вас о всех новых трактатах и книгах по Математике, которые появилась за

последние пять-шесть лет....Я нашел также много аналитических методов для

различных проблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых

анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и

притом без всякого высокомерия, от которого я более свободен и более далек,

чем любой другой человек на свете”.

Кто такой отец Мерсенн? Это францисканский монах, ученый скромных дарований и

замечательный организатор, в течении 30 лет возглавлявший парижский

математический кружок, который стал подлинным центром французской науки. В

последствии кружок Мерсенна указом Людовика XIV будет преобразован в

Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно вел огромную переписку, и его

келья в монастыре ордена минимов на Королевской площади была своего рода

“почтамтом для всех ученых Европы, начиная от Галилея и кончая Гоббсом”.

Переписка заменяла тогда научные журналы, которые появились значительно

позже. Сборища у Мерсенна происходили еженедельно. Ядро кружка составляли

самые блестящие естествоиспытатели того времен: Робервиль, Паскаль-отец,

Дезарг, Мидорж, Арди и, конечно же, знаменитый и повсеместно признанный

Декарт. Рене дю Перрон Декарт (Картезий), дворянская мантия, два родовых

поместья, основоположник картезианства, “отец” аналитической геометрии, один

из основателей новой математики, а так же друг и товарищ Мерсенна по

иезуитскому колледжу. Этот замечательный человек станет кошмаром для Ферма.

Мерсенн счел результаты Ферма достаточно интересными, чтобы ввести

провинциала в свой элитный клуб. Ферма тут же завязывает переписку со многими

членами кружка и буквально засыпает письмами самого Мерсенна. Кроме того, он

отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи: “Введение к плоским и

телесным местам”, а год спустя - “Способ отыскания максимумов и минимумов” и

“Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, что излагал Ферма была абсолютная новь,

однако сенсация не состоялась. Современники не содрогнулись. Они мало, что

поняли, но зато нашли однозначные указание на то, что идея алгоритма

максимизации Ферма заимствовал из трактата Иоханнеса Кеплера с забавным

названием “Новая стереометрия винных бочек”. Действительно, в рассуждения

Кеплера встречаются фразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны

от места наибольшего значения убывание сначала нечувствительно”. Но идея

малости приращения функции вблизи экстремума вовсе не носилась в воздухе.

Лучшие аналитические умы того времени были не готовы к манипуляциям с малыми

величинами. Дело в том, что в то время алгебра считалась разновидностью

арифметики, то есть математикой второго сорта, примитивным подручным

средством, разработанным для нужд низменной практики (“хорошо считают только

торговцы”). Традиция предписывала придерживаться сугубо геометрических

методов доказательств, восходящих к античной математике. Ферма первый понял,

что бесконечно малые величины можно складывать и сокращать, но довольно

затруднительно изображать в виде отрезков.

Понадобилось почти столетие, чтобы Жан д’Аламбер в знаменитой “Энциклопедии”

признал: “Ферма был изобретателем новых исчислений. Именно у него мы

встречаем первое приложение дифференциалов для нахождения касательных”. В

конце XVIII века еще более определенно выскажется Жозеф Луи граф де Лагранж:

“Но геометры - современники Ферма - не поняли этого нового рода исчисления.

Они усмотрели лишь частные случаи. И это изобретение, которое появилось

незадолго перед “Геометрией” Декарта, оставалось бесплодным в течение сорока

лет”. Лагранж имеет в виду 1674 г., когда вышли в свет “Лекции” Исаака

Барроу, подробно освещавшие метод Ферма.

Кроме всего прочего быстро обнаружилось, что Ферма более склонен

формулировать новые проблемы, нежели, чем смиренно решать задачи,

предложенные метрами. В эпоху дуэлей обмен задачами между учеными мужами был

общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией. Однако

Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо - это вызов, содержащий десятки

сложных нерешенных задач, причем на самые неожиданные темы. Вот образчик его

стиля (адресовано Френиклю де Бесси): “Item, каков наименьший квадрат,

который при уменьшении на 109 и прибавлении единицы даст квадрат? Если Вы не

пришлете мне общего решения, то пришлите частное для этих двух чисел, которые

я выбрал небольшими, чтобы Вас не очень затруднить. После того как Я получу

от Вас ответ, я предложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок,

что в моем предложении требуется найти целые числа, поскольку в случае

дробных чисел самый незначительный арифметик смог бы прийти к цели”. Ферма

часто повторялся, формулируя одни и те же вопросы по несколько раз, и

откровенно блефовал, утверждая, что располагает необыкновенно изящным

решением предложенной задачи. Не обходилось и без прямых ошибок. Некоторые из

них были замечены современниками, а кое какие коварные утверждения вводили в

заблуждение читателей в течение столетий.

Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лишь Робервиль, единственный член

кружка, имевший проблемы с происхождением, сохраняет дружеский тон писем.

Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить “тулузского нахала”. Но Ферма

не намерен оправдываться: “Преподобный отец! Вы мне пишете, что постановка

моих невозможных проблем рассердила, и охладила господ Сен-Мартена и Френикля

и что это послужило причиной прекращения их писем. Однако я хочу возразить

им, что- то, что кажется сначала невозможным, на самом деле не является

таковым и что есть много проблем, о которых, как сказал Архимед... ” и т.д.

Однако Ферма лукавит. Именно Френиклю он послал задачу о нахождении

прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, площадь которого

равна квадрату целого числа. Послал, хотя знал, что задача заведомо не имеет

решения.

Самую враждебную позицию по отношению к Ферма занял Декарт. В его письме

Мерсенну от 1938 г. читаем: “так как я узнал, что это тот самый человек

который перед тем пытался опровергнуть мою “Диоптрику”, и так как Вы сообщили

мне, что он послал это после того, как прочел мою “Геометрию” и в удивлении,

что я не нашел ту же вещь, т. е. (как имею основание его истолковать) послал

это с целью вступить в соперничество и показать, что в этом он знает больше,

чем я, и так как еще из ваших писем я узнал, что за ним числится репутация

весьма сведущего геометра, то я считаю себя обязанным ему ответить” Свой

ответ Декарт в последствии торжественно обозначит как “малый процесс

Математики против г. Ферма”.

Легко понять, что привело в ярость именитого ученого. Во-первых, в

рассуждениях Ферма постоянно фигурируют координатные оси и представление

чисел отрезками - прием, который Декарт всесторонне развивает в своей только

что изданной “Геометрии”. Ферма приходит к идее замены чертежа вычислениями

совершенно самостоятельно, в чем-то он даже более последователен, чем Декарт.

Во-вторых, Ферма блестяще демонстрирует эффективность своего метода

нахождения минимумов на примере задачи о кратчайшем пути светового луча,

уточняя и дополняя Декарта с его “Диоптрикой”.

Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны, но откроем современную

“Математическую энциклопедию” и просмотрим список терминов связанных с его

именем: “Декартовы координаты” (Лейбниц, 1692), “Декартов лист”, “Декарта

овалы ”. Ни одно из его рассуждений не вошло в историю как “Теорема Декарта”.

Декарт в первую очередь идеолог: он основатель философской школы, он

формирует понятия, совершенствует систему буквенных обозначений, но в его

творческом наследии мало новых конкретных приемов. В противоположность ему

Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может придумать массу остроумных

математических трюков (см. там же “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод

бесконечного спуска Ферма”). Вероятно, они вполне справедливо завидовали друг

другу. Столкновение было неизбежно. При иезуитском посредничестве Мерсенна

разгорается война, длившаяся два года. Впрочем, Мерсенн и здесь оказался прав

перед историей: яростная схватка двух титанов, их напряженная, мягко говоря,

полемика способствовала осмыслению ключевых понятий математического анализа.

Первым теряет интерес к дискуссии Ферма. По-видимому, он напрямую объяснился

с Декартом и больше никогда не задевал соперника. В одной из своих последних

работ “Синтез для рефракции”, рукопись которой он послал де ла Шамбру, Ферма

через слово поминает “ученейшего Декарта” и всячески подчеркивает его

приоритет в вопросах оптики. Между тем именно эта рукопись содержала описание

знаменитого “принципа Ферма”, который обеспечивает исчерпывающее объяснение

законов отражения и преломления света. Реверансы в сторону Декарта в работе

такого уровня были совершенно излишни.

Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторону самолюбие, пошел на

примирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 – 1640 гг.), можно предположить

самое простое: в этот период его научные интересы резко изменились. Он

забрасывает модную циклоиду, перестает интересоваться касательными и

площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методе нахождения максимума.

2.3. «ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ»

Имея огромные заслуги в математике непрерывного, Ферма целиком погружается в

математику дискретного, оставив опостылевшие геометрические чертежи своим

оппонентам. Его новой страстью становятся числа. Собственно говоря, вся

“Теория чисел”, как самостоятельная математическая дисциплина, своим

появлением на свет целиком обязана жизни и творчеству Ферма.

В трудах древних, с их культом чертежа, мы находим удивительно мало

исследований по теории чисел. Евклид отмечает кое-какие правила делимости и

доказывает бесконечность множества простых чисел. Можно также припомнить

cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) – метод выделения простых чисел из

натурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особняком стоят сочинения Диофанта

(III век до н. э.), который рассматривал задачи о представлении чисел и решал

неопределенные уравнения в целых числах. Из тринадцати книг его “Арифметики”

до наших дней дошло лишь шесть. В Европе переводы сочинений Диофанта на

латинский и французский языки появились лишь в начале XVII в. Баше де

Мезириак в 1621 г. издал перевод “Арифметики” с собственными подробными

комментариями и дополнениями. Именно это издание, попавшись в руки Ферма,

сыграет выдающуюся роль в истории математики.

Ферма внимательнейшим образом штудирует “Арифметику” и помещает на полях

книги 46 замечаний к тексту. Кроме этих пометок, положения из теории чисел (в

основном без доказательств) рассеяны в письмах Ферма. Этого вполне хватило

для возникновения нового направления в математике. После смерти Ферма его сын

Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцу экземпляр “Арифметики” под

названием “Шесть книг арифметики александрийца Диофанта с комментариями Л. Г.

Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузского сенатора”. В книгу были включены

также некоторые письма Декарта и полный текст сочинения Жака де Бильи “Новое

открытие в искусстве анализа”, написанное на основе писем Ферма. Издание

имело невероятный успех. Перед изумленными специалистами открылся невиданный

яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичность теоретико-

числовых результатов Ферма породили массу подражаний. В то время мало кто

понимал, как вычисляется площадь параболы, но каждый школяр мог осознать

формулировку Великой теоремы Ферма. Началась настоящая охота за неизвестными

и утерянными письмами ученого. До конца XVII в. было издано и переиздано

каждое найденное его слово. Но бурная история развития идей Ферма только

начиналась.

В последствии Ферма объяснит свое увлечение числами в письме английским

математикам Дигби и Броункеру. Это письмо имеет специальный подзаголовок:

“Второй вызов Ферма математикам”. Ферма пишет: “Едва ли кто-нибудь может

предложить или даже понять чисто арифметические задачи. Ибо разве Арифметика

не толковалась скорее геометрически, чем арифметически. Это подтверждает

большинство трудов древних и новых авторов; подтверждают это и труды самого

Диофанта. Он несколько более других отдалился от геометрии, когда начал

излагать Аналитику в рациональных числах; однако и эта часть не совсем лишена

геометрии, что вполне доказали книги Виета “Зететика”, где метод Диофанта

переносится на непрерывные величины, а значит, и на геометрию.... Лишь я,

словно идущий впереди факелоносец, предлагаю вам для доказательства или

построения следующую теорему или задачу. Если вы ее решите, то поймете, что

задачи такого рода ни тонкостью, ни трудностью, ни способом доказательства не

уступают знаменитейшим проблемам геометрии”.

Что же искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясь числами? Рискнем

предположить, что более всего Ферма интересовали способы построения простых

чисел. Он мечтал найти явную формулу, которая позволяет быстро вычислять

сколь угодно большие простые числа. На полях “Арифметики” он высказал

предположение, что таким “генератором” простых чисел будет формула

, n = 0,1,2,...

Действительно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 получаем простые числа 3, 5, 17,

257, 65537. Ферма полагал, что при всех прочих n числа F(n) -

простые, и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этот

результат.

Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733 г. опроверг утверждение Ферма.

Это произошло с подачи Христиана Гольдбаха, который в 1729 г. писал

находившемуся в Петербурге Эйлеру: “Известно ли тебе замечание Ферма о том, что

все числа вида

именно 3, 5, 17 и т.д. простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого

доказать и, насколько я знаю, после него никто не доказал”. Эйлер пару лет

подумал и показал, что уже при n = 5 число F(5) делится на 641:

.

Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160 делителей.

Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6, 7, 8, 9,

10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных в настоящий

момент составных чисел Ферма F(452) состоит из 10135 цифр и

делится на 27×2455+1 (показано с помощью ЭВМ). Справедливости

ради следует подчеркнуть, что Ферма, считая числа F(n) простыми,

никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другой

стороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько

не знали во времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.

Итак, Ферма ошибался. Его формула производила в основном составные, а не простые

числа. Однако, идея “генерирования” простых чисел была воспринята с

энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный Эйлер предложил многочлен

x2-x+41, который при всех целых x от 0 до 40 дает

только простые числа. Эйлер не поленился проделать эти вычисления, хотя

прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не может при всех

натуральных значениях аргумента принимать только простые значения. Сегодня,

несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов, мы по-прежнему не

умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаем массу нюансов об

их распределении. Один из самых ярких результатов этой области принадлежит

академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850): число простых чисел не

превосходящих n приблизительно равно

при n ® ¥.

Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если бы позволил хоть одной своей

теореме бесславно кануть в лету. “Проклятые числа как оборотни” вылезали в

самых далеких от теории чисел исследованиях. В 1796 г. 19-летний студент

Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвел сенсацию, доказав

теорему: правильный многоугольник может быть построен с помощью циркуля и

линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно 2ap1

p2...pb, где все простые числа pi являются

числами Ферма, т. е. имеют вид

. То была месть Ферма спесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела черту под

многовековыми спорами относительно возможности построения правильных

многоугольников и сэкономила массу времени любителям математики. Из этой

теоремы следует, что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- и

другие многоугольники и нельзя построить, например, правильные 7-, 11-, 13-

угольники. Для неверующих Гаусс не поленился построить правильный 17-угольник.

Занимаясь тайнами простых чисел, Ферма сформулировал много положений о

представимости чисел квадратичными формами. Например, он обнаружил следующие

удивительно простые и глубокие закономерности:

1. Формой x2+y2 представимы все простые

числа, которые лежат в прогрессии 4n+1, причем каждое из них представимо

этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4n

+3 не представимо суммою двух квадратов.

2. Формой x2+2y2 представимы все простые

числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число

из прогрессий 8n+5 и 8n+7 не представимо в виде x2

+2y2.

3. Формой x2-2y2 представимы все простые

числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+7. Ни одно простое число

из прогрессий 8n+5 и 8n+3 не представимо в виде x2

-2y2.

4. Формами x2+3y2 и x2+

xy+y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессии

3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 не представимо

указанными формами.

Ферма оставил крайне мало пояснений, дающих возможность установить, как ему

удалось получить эти в высшей степени общие результаты. Лишь перед смертью в

письме к де Каркави Ферма частично обосновал положение (1) с помощью своего

метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалеть современников Ферма, которые

регулярно получали вариации на тему утверждений (1) - (4) в качестве задач.

Первые полные доказательства этих утверждений удалось получить лишь Эйлеру.

Попутно он сформулировал очень важную теорему о делимости - так называемой

квадратичный закон взаимности, доказательство которого дал Гаусс. Через

увлечение квадратичными формами прошли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше

век - Вейль, Артин и многие другие блестящие математики. Как всегда идеи

Ферма оказались чрезвычайно плодотворны в смысле построения далеко идущих

обобщений и формирования новых понятий. Добрая половина терминов современной

абстрактной алгебры возникла из попыток доказать утверждения Ферма.

2.4. ПРИНЦИП ФЕРМА

В 1650 году Ферма установил, что в основу геометрической оптики может быть

положен принцип наименьшего времени, или наикратчайшего оптического пути.

Согласно этому принципу свет распространяется между двумя точками по такому

пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

II. Возможные "траектории" светового луча

Возможны разные пути a, b, c... между заданными точками

1 и 2. Однако принцип Ферма утверждает, что свет пойдет по тому пути,

оптическая длина которого минимальна.

Принцип Ферма при отражении от зеркала

Принцип Ферма можно получить как следствие волновой теории света при условии,

что через каждую точку рассматриваемой области проходит только один луч. Когда

это условие не выполняется (например, при отражении света от зеркала через

каждую точку проходят два луча), принцип Ферма можно сформулировать как

требование, чтобы для реального луча оптическая длина имела стационарное

значение, т.е. чтобы малое изменение траектории луча (например, точки падения на

зеркало) не приводило в первом порядке к изменению оптической длины.

Из принципа Ферма вытекают законы прямолинейного распространения, отражения и

преломления света.

2.5. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название “Малая теорема

Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого

простого p и любого a³1, которое не делится на p,

разность ap -1-1 делится на p. Например,

пусть a=5, p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2×2, 53-1

-1=3×8, 57-1-1=7×2232, 511-1-1=11×8878.

Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для

него замечанием: “... я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть

слишком длинным”.

Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с

1736 г., публикует сразу три различных доказательства, которые показывают, что

Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали

элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять, насколько

лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей

жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его “Малой теоремы”: пусть

j(m) - число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно

простых с m. Тогда для любого m и любого a³1,

взаимно простого с m, разность aj(m)

-1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в качестве

четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”.

2.6. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитой теоремы в истории

математики. Эта теорема получила известность как “Великая теорема Ферма” (она

же “Большая”, она же “Последняя”). На современном это языке звучит так:

не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место

равенство

, при n>2.

Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было. Он вообще не знал знака

равенства, а использовал латинское eq. Приводим утверждение Ферма в

оригинальном виде:

"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos,

et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem

nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi.

Hanc marginis exiguitas non caperet."

“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и вообще

невозможно разделить”. И не поставив точку, Ферма приписал: “я открыл

поистине удивительное доказательство этого предложения. Но оно не умещается на

узких полях”.

Этой фразой Ферма прокомментировал задачу из Диофанта: “Заданный квадрат

разложить на два квадрата”. Данное замечание является вторым по счету из

сделанных им на полях “Арифметики”.

Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными) вида

интересовали древних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили)

тройки целых чисел, образующие стороны прямоугольного треугольника. Это

означает, что при n =1, 2 уравнение в рамке имеет бесчисленное

множество решений. Догадка Ферма заключалась в том, что при всех прочих n

таких троек не существует.

Вряд ли Ферма был первым, кто пришел к подобному выводу. Например, около тысячи

лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди (что означает Хамид из

Ленинабада) утверждал, что уравнение x3+y3

=z3 не имеет решений в целых числах. Сегодня ясно, что Хамид

не имел никаких шансов доказать это утверждение.

В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую теорему” при

n=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное теоретико-числовое

доказательство Ферма, дошедшее до наших дней.

Общий случай:

«Уравнение

x4 + y4 = z2

не имеет решений в целых отличных от нуля числах».

Доказательство: Предположим, что существует решение уравнения

(2) в целых отличных от нуля числах. Ясно, что, не теряя общности, мы можем

считать, что оно состоит из попарно взаимно простых положительных чисел (если

(x; y; z) является решением уравнения (2), то, сразу же видно, что

(lx; ly; lz) также является его решением). Так как в любом множестве

натуральных чисел существует наименьшее из них, то среди всех таких решений

найдётся решение (x; y; z) с наименьшим z. Рассмотрим именно

это решение:

Так же, как и при доказательстве леммы 2 немедленно доказывается, что

одно из чисел x и y должно быть чётным. Предположим, что чётно

число x. Это предположение также общности не ограничивает.

Так как числа x2, y2 и z

положительны и взаимно просты, а число x2 чётно, то, согласно

лемме 2, существуют такие взаимно простые числа m и n < m

разной чётности, что x2 = 2mn; y2 = m2 – n

2; z2 = m2 + n2. Если m = 2k

и n = 2f +1, то y = 4(k2 – f2 – f – 1) + 3

, что невозможно, ибо, как выше было уже отмечено, любой квадрат должен иметь

вид 4k + 1, или 4k. Следовательно, m – нечётно, а n

– чётно.

Пусть n = 2q. Тогда x2 = 4mq и потому mq = (x/2)

2. Поскольку НОД(m; q) = 1, а x чётно, то, исходя из леммы

1, m = z12; q = t2, где

z1 и t – некоторые целые взаимно простые положительные

числа. В частности, уравнение y2 = m2 – n2

то же самое, что и y2 = (z12)2 –

(2t2)2, т. е. (2t2)2 + y

2 = (z12)2.

Так как НОД(t; z1) = 1, то к этому неравенству снова

применима лемма 2. Следовательно, существуют такие положительные

взаимно простые числа a и b < a различной чётности, что

2t2 = 2ab, т. е. t2 = ab; y2 =

a2 – b2; z12 = a2

+ b2. Так как НОД(a; b) = 1, из равенства t2

= ab по лемме 1 вытекает, что существу целые числа x1

и y1, для которых a = x12;

b = y12. Поэтому z12 = a

2 + b2 то же, что и x14 + y1

4 = z12. Это означает, что числа x1

, y1, z1 составляют примитивное решение

уравнения (2), состоящее из положительных чисел. Поэтому в силу выбора

решения (x; y; z), должно иметь место неравенство z1

³ z, а потому и неравенство z12 ³ z,

т. е., учитывая, что z = m2 + n2, m ³ m

2 + n2, чего быть не может, т. к. m, n > 0.

Таким образом, предположение о существовании у записанного выше уравнения

(2) целочисленных решений приводит к противоречию. Следовательно, это

уравнение не имеет решений в целых отличных от нуля числах.

2.7. «ВЕРНА ИЛИ НЕ ВЕРНА?»

На протяжении 20 лет Ферма упорно старается привлечь внимание математиков к

“Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случай n

=3 он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659 г.)

пишет, что доказал теорему для n=3 методом спуска. Между тем “Великую

теорему” для общего случая n>2 Ферма сформулировал только один раз в

упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни в

одном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), в

отношении которых уверенно говорит, что располагает доказательством. Даже в

письме к де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основные

достижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может означать

только одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине удивительном

доказательстве”, которые так и не смог устранить.

Разумеется, это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в. началась

невиданная по своей напряженности гонка за доказательством “Великой теоремы

Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла тысячи поклонников

математики на бесплодные поиски доказательства или опровержения теоремы. Более

ста лет никому из ученых не удавалось продвинуться вперед даже при рассмотрении

частных случаев конкретных значений показателя n.

Первый серьезный результат был получен, конечно же, Эйлером (1768). Он показал,

что случай n=4 уникален. Это единственный частный вариант “Великой

теоремы”, когда доказательство имеет вполне элементарный характер. Уже при

n=3 возникают значительные осложнения. Настолько существенные, что

появляется повод в очередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер доказал

теорему для случая n=3, рассматривая комплексные числа вида

, где а, b - целые числа. В XVII в. подобная ересь не могла придти в голову даже

Ферма.

Строго говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он необоснованно

перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида

. В частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые

множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились

принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля.

Реализацию этой программы начал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно

строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n=3.

Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в атмосфере

острого соперничества два француза: Лежен-Дирихле и Лежандр (1825). Оба

доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма была доказана для

следующего простого показателя n=7. Это удалось благодаря титаническим

усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для всех простых

показателей n>3. Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил в

рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе был

вынужден признать свое поражение.

Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математик Куммер

упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он пришел к понятию

“идеальных чисел”, для которых разложение на простые множители единственно.

Обобщение этого понятия привело к созданию головокружительных абстрактных

конструкций, которые сегодня изучаются в специальном разделе алгебре под

названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятивший теореме несколько десятков лет,

к концу жизни умел доказывать “Великую теорему Ферма” для всех простых

показателей n <100. В 1857 г. ему была вручена премия Французской

академии наук в размере 3 тыс. франков. Работы Куммера окончательно похоронили

надежды на возможность доказательства теоремы Ферма элементарными средствами.

Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в

общем виде.

После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не происходило

вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера, получил в явном

виде некие условия, позволяющие проверять истинность теоремы для любого

простого показателя. С этого момента доказательство теоремы для конкретного

n свелось к чисто вычислительным проблемам, с которыми легко справляются

современные ЭВМ. В результате к концу семидесятых годов нашего столетия

“Великая теорема Ферма” была доказана для всех

n <100000. Это очень большое число, но это еще не все n, а

значит “Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.

Ведущие математики всех времен и народов неоднократно объясняли, что

элементарное доказательство теоремы Ферма, во-первых, не существует, а во-

вторых, не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего лишь закроет

проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что при попытках ее

доказательства были выкованы мощные средства, приведшие к созданию новых

обширных разделов математики.

Движение “ферматистов” приняло невероятный размах, после того, как в 1908 г.

немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто

докажет теорему Ферма. Право присуждения премии предоставлялось Гетингенской

академии Германии. Немедленно тысячи людей стали бомбардировать научные

общества и редакции журналов рукописями, якобы содержащими доказательство

“Великой теоремы”. Только в Геттингенское математическое общество за первые

три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи

“доказательств”. Педантичные немцы даже заготовили бланки: “Ваше

доказательство содержит ошибку на стр. ____, которая заключатся в том, что

____________”.

После первой мировой войны во время инфляции премия Вольфскеля обесценилась,

но поток “ферматистских доказательств” не прекратился.

Финал этой истории банален. 27 июня 1997 года Эндрю Вайлс получил в

Геттингене премию Вольскена. Он англичанин, но последние годы живет и

работает в Принстонском университете США. Родился он в 1953 году в Кембридже,

здесь же учился и был научным сотрудником. О существовании теоремы Ферма он

узнал в десятилетнем возрасте и поклялся себе, что ее докажет. Многие годы он

занимался этой проблемой, тщательно скрывал свою тайну, не желая прослыть

чудаком.

Профессор долгое время готовился к своей работе и 7 лет, начиная с 35-летнего

возраста, работал непосредственно над решением, уже зная стратегию

доказательства. В 1994 году он обнародовал свое решение, занявшее свыше 200

страниц.

Математики были потрясены, газеты всего мира оповестили об эпохальном

событии. Однако... вскоре коллеги Вайлса нашли ошибку в его рассуждениях,

причем ошибку фундаментальную. Ему не оставалось ничего другого, как забрать

свои выкладки и снова углубиться в расчеты. Он потратил на новый вариант

доказательства еще год лихорадочной работы, торопясь, как бы его не обогнали

конкуренты. Затем снова представил свою работу на суд общественности. На сей

раз, оказалось, что ошибки в его рассуждениях нет.

За два года, которые были предусмотрены Вольскеном на тщательную проверку

доказательства, ошибки так и не обнаружили. Премию вручили. Доказательство было

опубликовано в журнале "Annals of Mathematics" стр. 443 - 551 под

названием "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem".

Доказательство основано на применении теории модулярных эллиптических кривых.

Этот метод получил свое начало еще в Диофантовой "Арифметике".

Взаимосвязь между теоремой Ферма и эллиптическими кривыми начинается в 1955

году, когда японский математик Ютака Танияма (1927 - 1958)

сформулировал следующую гипотезу:

Любая эллиптическая кривая, определенная над полем рациональных чисел,

является модулярной.

На рубеже шестидесятых и семидесятых годов французский математик Ив Эллегарш

сопоставил с уравнением Ферма an + bn = cn

эллиптическую кривую:

y2 = x(x-an)(x-cn). (1)

В 1985 году немецкий математик Герхард Фрей предположил (а Кеннет

Рибет доказал), что эллиптическая кривая, соответствующая контр примеру к

теореме Ферма, не может быть модулярной (в противоречие с гипотезой Таниямы). И

именно Эндрю Вайлс на конференции в Кембридже анонсировал доказательство

гипотезы Танияма для широкого класса эллиптических кривых (для так называемых

полу стабильных кривых, к которым относятся все кривые вида (1)). Таким образом

Вайлс доказал теорему Ферма.

Сам Эндрю Вайлс говорит, что теорема была его путеводной звездой, которая

теперь погасла. Так ли это? Математики считают, что для доказательства

теоремы Вайлс построил как бы мост между двумя областями математики. И

найденный прием будет еще неоднократно использован другими учеными. Кроме

того, Вайлс объединил в своем доказательстве многие теории его

предшественников, продвинув, таким образом, вперед всю математическую науку.

Теперь Великая теорема Ферма представляет собой всего лишь частный случай

нового раздела математики.

3.Заключение

Его прижизненная известность основана на обильной переписке, в которой он

донимал друзей и недругов необычными задачами. Его посмертная слава

разрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики” Диофанта. Обычно

человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобы разобраться с наследием

очередного неуемного гения. Даже такой загадочный “избранник богов” как

Эварист Галуа опередил свое время максимум на 60 лет. На окончательное

осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыре века.

5. Литература

1. П. Ферма. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М., “Наука”,

1992.

2. М.М. Постников. Теорема Ферма. М., “Наука”, 1978.

3. В.А. Никифоровский, Л.С. Фрейман. Рождение новой математики. М., “Наука”,

1976.

4. Р. Тиле. Леонард Эйлер. Киев, “Вища школа”, 1983.

5. В.Ф. Асмус. Декарт. М., Госполитиздат, 1956.

6. И.Г. Башмакова, Е.И. Славутин. История диофантова анализа от Диофанта до

Ферма. М., “Наука”, 1984.

7. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Fermat.html