Реферат: Остроградский

Жизнь М. В. Остроградского.

Математическая жизнь в академии наук в середине десятых годов почти замерла и

возродилась в конце двадцатых с приходом в Академию Остроградского и

Буняковского, особенно первого из них.

Михаил Васильевич Остроградский родился 26 сентября 1801г. на Украине, в

деревне Пашенной Кобелякского уезда Полтавской губернии в семье помещика. В

1816 г. он поступил в Харьковский университет. Остроградский успешно сдал

кандидатские экзамены, и перед ним, казалось, открывалась прямая дорога к

университетской профессуре. Однако острая идейная борьба, которая в те годы

велась в Харьковском университете, помешала спокойному течению научной

карьеры Остроградского.

Осиповский подверг критике идеалистическую немецкую философию, сторонники

которой имелись и среди работавших в Харьковском университете иностранцев. В

устных выступлениях Осиповский разоблачал и высмеивал мистиков, стоявших во

главе министерства просвещения и учебных округов. Свое враждебное отношение к

Осиповскому реакционная часть харьковской профессуры перенесла и на его

лучшего ученика, также не любившего ни метафизики, ни мистики и бывшего, надо

полагать, уже тогда “полным материалистом и атеистом”.

Когда ректор университета Осиповский предложил присвоить Остроградскому

заслуженную им степень кандидата, в Совете университета произошли резкие

столкновения. Один из реакционных профессоров, А. И. Дудрович, письменно

донес попечителю округа З. Я. Корнееву, что по вине Осиповского студенты-

математики не занимаются богословием, а Остроградского обвинил в том, что он,

несмотря на предписание начальства, не слушал богопознания и христианского

учения. Дело дошло до министра “духовных дел и народного просвещения” А. Н.

Голицына, по указанию которого Осиповский был уволен из университета,

Остроградскаму отказали в присуждении степени кандидата, издевательски

предложив заново сдать экзамены, якобы сданные им раньше в неправильном

порядке.

Остроградский мужественно перенес эти испытания и решил, несмотря ни на что,

посвятить свою жизнь науке. Еще в Харьковском университете его особенно

увлекали вопросы прикладной математики и в 1922 г. он отправился в Париж, где

работали Лаплас и Фурье, Лежандр и Пуассон, Бине и Коши и другие

первоклассные ученые, пролагавшие новые пути в математике, математической

физике и механике. Курсы, читавшиеся в Политехнической школе, Сорбонне,

Коллеж де Франс были образцовыми и привлекали молодежь из многих стран.

Быстрые успехи Остроградского завоевали ему дружбу и уважение многих французских

математиков, как старших поколений, так и сверстников. Время парижской жизни

явилось для Остроградского не только “годами странствий и учения”, но и

интенсивного творчества. В 1824-1827 гг. он представил Академии наук в Париже

несколько замечательных мемуаров на французском языке. В “Замечаниях об

определенных интегралах” (1824) он дал вывод незадолго перед тем опубликованной

Коши формулы для вычета функции относительно полюса п-го порядка,

вывод, по сути дела совпадающий с принятым ныне. В “Доказательстве одной

теоремы интегрального исчисления” (1826) он разработал весьма важную составную

часть общего метода разделения переменных для интегрирования уравнений

математической физики. В том же году Остроградский подготовил “Мемуар о

распространении волн в цилиндрическом бассейне”, где развил исследования Коши и

Пуассона, изучивших движение малых волн в бассейне бесконечной глубины и не

ограниченном стенками, а год спустя “Мемуар о распространении тепла внутри

твердых тел”, содержавший новое сжатое изложение метода разделения и решения

новой задачи о распространении тепла в некоторой треугольной призме. Из них

только работа по гидродинамике увидела свет в издании Парижской Академии,

другие же остались в ее архиве. Но и не опубликованные тогда его открытия по

математической физике оказали существенное влияние на развитие математики.

Основные результаты вошли в последующие печатные труды самого Остроградского;

кроме того, в рукописи или в устном изложении самого Остроградского с ними

ознакомились тогда же или вскоре Коши, Пуассон и другие.

Перечисленные работы показывают, что Остроградский в первые же годы

парижской жизни не только полностью овладел новейшим аппаратом анализа и

механики, но существенно развил его и мастерски применил к решению как весьма

общих актуальных проблем, так и частных трудных задач. Коши с высокой

похвалой отзывался о работах своего молодого ученика и сотрудника. Например,

в основоположном мемуаре по теории интегралов в комплексной области 1825 г.,

Коши, рассказывая о своих предыдущих результатах писал:”Наконец, один молодой

русский, одаренный большой проницательностью и весьма искусный в анализе

бесконечно малых, г. Остроградский, также прибегнув к употреблению этих

интегралов и их преобразованию в обыкновенные, дал новое доказательство

формул, мною выше упомянутых, и обобщил другие формулы, которые я представил

в 19-й тетради “Журнала Политехнической школы”. Г. Остроградский любезно

сообщил нам главные результаты своей работы”. Столь же уважительны отзывы

Коши об Остроградском в статьях по теории вычетов. Много позднее, в работе, в

которой установлен ряд общих свойств интегралов линейных уравнений с частными

производными, Коши вспоминал о парижских открытиях Остроградского:”Я хотел бы

иметь возможность сравнить полученные мною здесь результаты с результатами,

полученными г. Остроградским в мемуаре, в котором он установил несколько

общих предложений относительно интегрирования линейных уравнений в частных

производных. Но я только смутно помню этот мемуар и, так как не знаю, был ли

он где-либо опубликован, я лишен возможности произвести это сравнение”.

Весной 1828 г. Остроградский приехал в Петербург и здесь на протяжении

нескольких месяцев представил Академии наук три работы. Первая содержала

оригинальный, основанный на новой концепции интеграла (Коши), вывод уравнения

Пуассона, которому удовлетворяет объемный потенциал поля тяготения в точке,

лежащей внутри притягиваемой массы или на ее границе. Следующая посвящена

вопросу о перестановке порядка интегрирования в двойном интеграле в случае

бесконечного разрыва подынтегральной функции и примыкает к аналогичным

исследованиям Коши. Третьей был уже упомянутый мемуар “Доказательство одной

теоремы интегрального исчисления”, который автор вскоре взял обратно для

переработки и затем опубликовал для переработки и затем опубликовал под

названием “Заметки по теории теплоты”. Коллинс представил о трудах

Остроградского блестящий отзыв и 29 декабря 1828 г. молодой ученый был избран

адъюнктом по прикладной математике. Два года спустя он был выбран

экстраординарным академиком и в 1831 г. – ординарным.

Деятельность Остроградского в Академии была весьма разносторонней. Он сделал

более 85 научных сообщений, частью неопубликованных; читал публичные лекции;

писал подробные отзывы на поступавшие в Академию работы, участвовал в

комиссиях по введению григорианского календаря и десятичных мер (что было

сделано лишь после великой Октябрьской социалистической революции), по

водоснабжению Петербурга и т. д., занимался по поручению правительства

изысканиями по внешней баллистике, и т. д. Вместе с тем Остроградский много

времени уделял преподаванию. С 1828 г. он начал читать лекции в Морском

корпусе (впоследствии Морской академии), где преемниками его последовательно

были В.Я. Буняковский, А.Н. Коркин, А.Н. Крылов. С годами педагогическая

деятельность Остроградского становилась все более интенсивной. Он вел занятия

по математике и механике в Институте инженеров путей сообщения, Главном

инженерном и Главном артиллерийском училищах, Главном педагогическом

институте. С 1847 г. и до своей смерти он работал на посту главного

наблюдателя по преподаванию математических наук во всех военных заведениях

страны. Ему принадлежат несколько руководств по элементарной и высшей

математике.

Педагогические взгляды Остроградского были весьма прогрессивными. Он считал,

что в гимназиях и кадетских корпусах нужны лаборатории и мастерские, где

учащиеся приобретали бы трудовые навыки, производили опыты и наблюдения. Он

выступал за наглядность обучения математике, особенно в раннем возрасте, и

критиковал сухое и формальное изложение этого предмета в современной ему

школе. Он был сторонником введения в специальных старших классах средних

военных учебных заведений идеи функции и начал анализа; курс математики, с

его точки зрения, должен быть связан с другими предметами, как физика, в

которых применяются математические методы. Как видно, в ряде пунктов

Остроградский предвосхитил идеи так называемого движения за реформу

преподавания, возникшего в начале XX века. Кое-чего Остроградский достиг в

этом направлении в кадетских корпусах. Однако более широкая реализация

педагогических установок Остроградского стала возможной лишь много позднее.

Свое общее педагогическое credo Остроградский изложил в написанной совместно

с парижским математиком и инженером И.-О. Блюмом (1812-1877) брошюре

“Размышления о преподавании”, вышедшей на французском языке. Чтение этого

блестящего по изложению и глубокого по содержанию сочинения интересно и в

наши дни. Школьное преподавание арифметики, алгебры и геометрии, - писали

авторы, - ничем “не напоминает о насущной необходимости изучения этих

предметов для насущной жизни” и на деле дает “только тот результат, что их

усваивает очень небольшое число учеников”. Этому в брошюре ярко

противопоставлены принципы обучения, воспитывающего наблюдательность и

любознательность, техническую сноровку и научное мышление. Для повышения

интереса и привлечения внимания учеников Блюм и Остроградский рекомендовали

использовать историю наук и биографии выдающихся людей, “принесших пользу

наукам и искусству”:”Это в одно и то же время отличная разрядка и средство с

помощью живого рассказа запечатлеть то или иное основное положение, либо

удачное приложение теоретических принципов”.

Школьная математика должна учитывать особенности детского восприятия, но

следует избегать общепринятой недооценки возможностей детей уже с семилетнего

возраста. В брошюре разобран вопрос об обучении ребят до 12 лет, причем

только в гимназиях или специальных учебных заведениях; более массовые школы,

где учат началам чтения, письма и счета оставлены были в стороне.

Остроградский оказал значительное влияние на развитие математики и механики.

Он, в частности, подготовлял условия для создания математической школы,

организованной Чебышевым, и сам основал русскую школу механики. К его

исследованиям примыкают многие последующие работы по математической физике,

по теории интегрирования иррациональных функций, по теории кратных интегралов

и даже по теории вероятностей, которыми он сам занимался немного. Прямыми

учениками Остроградского были создатель теории автоматического регулирования

И. А. Вышнеградский (1831-1895), автор классических исследований по теории

трения и влияния на него смазки и по теории механизмов Н. П. Петров (1822-

1889) и другие. Все перечисленные математики вышли из Главного

педагогического института, где Остроградский преподавал с 1832 по 1859 г..

Научные заслуги Остроградского были высоко оценены и за рубежом. Он был

избран членом-корреспондентом французской Академии наук в 1856 г., а еще

ранее членом Американской академии наук и академий в Турине и в Риме.

Скончался он 1 января 1862 г.

Кратные интегралы.

Остановимся несколько подробнее на работах Остроградского по кратным интегралам.

Формула Остроградского для преобразования тройного интеграла в двойной,

которую мы пишем обычно в виде

(1)

или

,

где div A – дивергенция поля вектора А, Аn – скалярное

произведение вектора А на единичный вектор внешней нормали n граничной

поверхности, в математической литературе нередко связывалась ранее с именами

Гаусса и Грина. На самом деле в работе Гаусса о притяжении сфероидов можно

усмотреть только весьма частные случаи формулы (1), например при P=x, Q=R=0 и

т. п. Что касается Дж. Грина, то в его труде по теории электричества и

магнетизма формулы (1) вовсе нет; в нем выведено другое соотношение между

тройным и двойным интегралами, именно, формула Грина для оператора Лапласа,

которую можно записать в виде

(2)

Конечно, можно вывести формулу (1) и из (2), полагая

и точно так же можно получить формулу (2) из формулы (1), но Грин этого и не

думал делать.

Все же вопрос об авторе интегральной формулы (1) оставался не вполне ясным.

Дело в том, что, как было недавно замечено, в мемуаре Пуассона по теории

упругости, выводится формула

где слева стоит интеграл по объему, а справа интеграл по граничной поверхности,

причем суть

направляющие косинусы внешней нормали.

Парижские рукописи Остроградского свидетельствуют, с полной несомненностью,

что ему принадлежит и открытие, и первое сообщение интегральной теоремы (1).

Впервые она была высказана и доказана, точно так, как это делают теперь в

“Доказательстве одной теоремы интегрального исчисления”, представленном

Парижской Академии наук 13 февраля 1826 г., после чего еще раз была

сформулирована в той части “Мемуара о распространении тепла внутри твердых

тел ”, которую Остроградский представил 6 августа 1827 г. “Мемуар” был дан на

отзыв Фурье и Пуассону, причем последний его, безусловно читал, как

свидетельствует запись на первых страницах обеих частей рукописи.

Разумеется, Пуассону и не приходила мысль приписывать себе теорему, с которой

он познакомился в сочинении Остроградского за два года до представления своей

работы на теории упругости.

Что касается взаимоотношения работ по кратным интегралам Остроградского и

Грина, напомним, что в “Заметке по теории теплоты” выведена формула,

обнимающая собственную формулу Грина, как весьма частный случай. Непривычная

теперь символика Коши, употребленная Остроградским в “Заметке”, до недавнего

времени скрывала от исследователей это важное открытие. Разумеется, за

Грином остается честь открытия и первой публикации в 1828 г. носящей его имя

формулы для операторов Лапласа.

Открытие формулы преобразования тройного интеграла в двойной помогло

Остроградскому решить проблему варьирования п-кратного интеграла,

именно, вывести понадобившуюся там общую формулу преобразования интеграла от

выражения типа дивергенции по п- мерной области и интеграл по

ограничивающей ее сверхповерхности S с уравнением L(x,y,z,.)=0. Если

придерживаться прежних обозначений, то формула имеет вид

(3)

Впрочем, Остроградский не применял геометрических образов и терминов,

которыми пользуемся мы: геометрия многомерных пространств в то время еще не

существовала.

В “Мемуаре об исчислении вариаций кратных интегралов” рассмотрены еще два

важных вопроса теории таких интегралов. Во-первых, Остроградский выводит

формулу замены переменных в многомерном интеграле; во-вторых, впервые дает

полное и точное описание приема вычисления п- кратного интеграла с

помощью п последовательных интеграций по каждой из переменных в

соответствующих пределах. Наконец, из формул, содержащихся в этом мемуаре,

легко выводится общее правило дифференцирования по параметру многомерного

интеграла, когда от этого параметра зависит не только подынтегральная функция,

но и граница области интегрирования. Названное правило вытекает из наличных в

мемуаре формул настолько естественным образом, что позднейшие математики даже

отождествляли его с одною из формул этого мемуара.

Замене переменных в кратных интегралах Остроградский посвятил специальную

работу. Для двойного интеграла соответствующее правило вывел с помощью

формальных преобразований Эйлер, для тройного – Лагранж. Однако, хотя

результат Лагранжа верен, рассуждения его были не точными: он как бы исходил из

того, что элементы объемов в старых и новых переменных – координатах – между

собою равны. Аналогичную ошибку допустил вначале в только что упомянутом выводе

правила замены переменных Остроградский. В статье “О преобразовании переменных

в кратных интегралах” Остроградский раскрыл ошибку Лагранжа, а также впервые

изложил тот наглядный геометрический метод преобразования переменных в двойном

интеграле, который, в несколько более строгом оформлении, излагается и в наших

руководствах. Именно, при замене переменных в интеграле

по формулам ,

, область интегрирования разбивается координатными линиями двух систем

u=const, v=const на бесконечно малые криволинейные четырехугольники. Тогда

интеграл можно получить, складывая сначала те его элементы, которые отвечают

бесконечно узкой криволинейной полосе, а затем, продолжая суммировать элементы

полосами, пока они все не будут исчерпаны. Несложный подсчет дает для площади,

которая с точностью до малых высшего порядка может рассматриваться как

параллелограмм, выражение

, где , выбирается

так, чтобы площадь была положительной. В итоге получается известная формула

.

Так дифференциальное выражение

, которое Эйлер формально подставлял вместо dydx, а следуя рассуждениям

Лагранжа для трехмерного случая, нужно было бы считать равным dydx,

приобрело у Остроградского простой и ясный геометрический смысл.

Дифференциальные уравнения.

входящих в него периодических функций, Остроградский кратко пояснил на примере:

, ,

который записал в несколько иной форме:

,

совпадающей с данным уравнением при

. Решение с точностью до величин первого порядка относительно

, найденное обычным способом, содержит вековой член:

;

решение по способу Остроградского от него свободно:

, .

Найденное приближение Остроградский сопоставил с точным решением уравнения в

эллиптических функциях Якоби. Остроградский ограничился получением первого

приближения; в конце статьи он высказал намерение приложить этот метод к

движению планет вокруг Солнца. Намерение это, видимо, не осуществилось, но

как раз в работах по определению орбит небесных тел идея Остроградского

получила дальнейшее развитие. Одним из первых таких трудов явилось

исследование по теории возмущений шведского ученого А. Линдстедта,

работавшего в 1879 – 1886 гг. в Дерптском университете. За этим последовали

глубокие исследования А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова и, уже в советский период,

Н. М. Крылова, который применил к нему и другим, более общим классам линейных

неоднородных уравнений второго порядка, содержащих малый параметр, несколько

модифицированный им метод Ляпунова. В настоящее время метод малого параметра

широко применяется к исследованию нелинейных задач механики, физики и

техники.

Небольшая “Заметка о линейных дифференциальных уравнениях” Остроградского

(1839) содержит классическую теорему, которая излагается теперь в любом курсе

дифференциальных уравнений. Дано уравнение

.

и п его решений

, которые предполагаются линейно независимыми. Согласно теореме Остроградского

определитель

выражается через коэффициент при (п-1)-й производной:

,

где а – постоянная. Мы называем определитель

по имени впервые рассмотревшего его (в другой связи и более общей форме)

польского математика Г. Вронского (1812). Та же теорема была одновременно

получена из несколько иных соображений Ж. Лиувиллем (1838).

Некоторые работы Остроградского были связаны с конкретными задачами

современной ему военной техники. Так, например, в 1839-1842 гг. он по

поручению артиллерийского ведомства занимался изучением стрельбы

эксцентрическими сферическими снарядами, у которых центр фигуры отличен от

центра инерции. Этому вопросу Остроградский посвятил три небольшие статьи, из

которых одна содержала таблицы интегралов, нужных для решения задачи о

движении снаряда в воздухе при квадратичном законе сопротивления. К работам

по баллистике в свою очередь примыкали исследования Остроградского по

приближенным вычислениям, в том числе и упоминавшаяся работа 1839 г.,

содержащая вывод остаточного члена формулы суммирования Эйлера-Маклорена.

План:

1. Жизненный путь М. В. Остроградского.

2. Кратные интегралы.

3. Дифференциальные уравнения.

4. Заключение.

МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

Реферат

на тему:

М. В. Остроградский

Выполнила

студентка

Семерикова Юлия

МОГИЛЕВ

2002.