Реферат: Методы решения уравнений в странах древнего мира
Методы решения уравнений в странах древнего мира.
История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с
уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений
интересовала и интересует математиков всех времён и народов.
В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения («фальфивое
правило»)
Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду
ах + Ь == с, в котором а, Ь, с — целые числа. По
правилам арифметических действий ах = с — b,
Если Ь > с, то с — b число отрицательное.
Отрицательные числа были египтянам и многим другим более поздним народам
неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в
математике только в семнадцатом веке).
Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был
изобретен метод ложного положения.
В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них
позволяет понять, как рассуждал автор.
Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до
недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или
«неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее неточно:
«ага».
bqt задача № 24 сборника Ахмеса:
«Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти кучу».
Запись задачи нашими знаками:
Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех
столбцах:
Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай как
делается», другими словами: «Делай, как люди делают».
Смысл решения Ахмеса легко понять.
Делается предположение, что. куча есть 7; тогда 
ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.
Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее 
часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме
очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как
тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для
обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком (у нас —
звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение
надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точного
результата, 19, не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит 
от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на 
предположение умножить нельзя. Но 
от 8 есть 2,  от
восьми 1. Ахмес видит, что 
и  первоначального
результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив 
и  значками, Ахмес
убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на 
Умножение числа 7 на смешанное число 
Ахмес заменяет умножением смешанного числа 
на 7. В третьем столбце выписаны: 
часть искомой кучи есть 
, удвоенное это число: 
и учетверенное:  .
Сумма этих трех чисел, равная числу 
, есть произведение первоначального предположения 7 на 
.
Итак, куча равна  .
В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение для
кучи  и его 
части  . В сумме
получается 19, и решение заканчивается обычным для автора заключением: «Будет
хорошо».
Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного
положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах == b.
Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.
У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод
был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники
европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий
называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о части своей книги,
излагающей этот метод:
Зело бо хитра есть сия часть,
Яко можеши ею все класть (вычислить. — И. Д.)
Не токмо что есть во гражданстве,
Но и высших наук в пространстве,
Яже числятся в сфере неба,
Якоже мудрым есть потреба.
Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть
арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что
понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые
встают перед «мудрыми».
Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы,
называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в
древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением
площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а
также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели
решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную
алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах
встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает
по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне
до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят
только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний
относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных
текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения
квадратных уравнений.
. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней
содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и
решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает
неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые
числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы
не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е.
10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между
ними 2х. Отсюда уравнение
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х
= —2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только
положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых
чисел, то мы придем к решению уравнения
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел,
Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного
квадратного уравнения (1).
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате
«Ариабхаттаим», составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом
Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.
В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и
квадратных уравнений.
Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том
числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).
Формула решений квадратного уравнения.
Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел формулу для
решения квадратного равнения ax2 + bx = c умножением всех
членов на а и
прибавлением к обеим половинам уравнения  :
В индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в школьных
учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это даёт:
Индийские математики часто давали задачи в стихах.
Задача о лотосе.
Над озером тихим, с полмеры над водой,
Был виден лотоса цвет.
Он рос одиноко, и ветер волной
Нагнул его в сторону – и уж нет
Цветка над водой.
Нашёл его глаз рыбака
В двух мерах от места, где рос.
Сколько озера здесь вода глубока?
Тебе предложу я вопрос.
Ответ:
Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй
степени и одно линейное
В древневавилонских текстах, написанных в III—II тысячелетиях до н. э.,
содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в
которые входят и уравнения второй степени. Вот одна из них.
. «Площади двух своих квадратов я сложил: 
.Сторона второго квадрата равна 
стороны первого и еще 5».
Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:
Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у
в квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, видимо, была
известна, получает:
Подставляя это значение у в первое из системы уравнений (1), автор
приходит к квадратному уравнению:
Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоящее время, автор
находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не
имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.
Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало
усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к
решению одного уравнения. Вот один пример из его «Арифметики».
Задача 21. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их
квадратов — 208».
Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:
Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел,
получает (в современных обозначениях):
Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант
производит устно), получаем
x = 2 + 10; у = 10 —2.
Далее,
х2 + у2 = (г + lO)2 + (10 — г)2 == 2z2 + 200.
Таким образом,
2z2 + 200 = 208,
откуда
z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.
Диофантовы уравнения.
Задача Диофанта №80 (Из II книги его «Арифметики»)
Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым
числом дала полный квадрат,
Решение Диофанта
Пусть первое число (I) будет s. Чтобы квадрат его •при прибавлении второго
числа дал квадрат, второе число должно быть 2s + 1, так как в таком случае
выполняется требование задачи: квадрат первого числа. сложенный со вторым,
дает
s2 + 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1)2.
Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат, то есть
число (2s + I)2 + s, равное
4s2 + 5s + 1 == t2
Положим, что t = 2s — 2; тогда t2 = 4s2 — 8s + 4. Это
выражение должно равняться 4s2 + 5s + 1. Итак, должно быть:
4s2 — 8s + 4 == 4s2 + 5s + l откуда s=
Значит, задаче удовлетворяют числа:
 .
Проверка;
Почему Диофант делает предположение, что t==2s—2, он не объясняет. Во всех
своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189) он делает то или
другое предположение, не давая никакого обоснования.
Вообще содержание 6 книг таково:
В «Арифметике» 189 задач, каждая снабжена одним или несколькими решениями.
Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные значения входящих в
нее величин и даются решения.
Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие, которые
решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными, эквивалентных
квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант выдвигает условие, чтобы
дискриминант был полным квадратом. Так, задача 30— найти таких два числа,
чтобы их разность и произведение были заданными числами,— приводится к
системе
х — у = а, х = b.
Диофант выдвигает «условие формирования»: требуется, чтобы учетверенное
произведение чисел, сложенное с квадратом разности их, было квадратом, т. е.
4b + а2 = с2.
В книге II решаются задачи, связанные с неопределенными уравнениями и
системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не выше
второй.
Диофант применяет различные приемы. Пусть необходимо решить неопределенное
уравнение второй степени с двумя неизвестными f2 (х, у) ==0.
Если у него есть рациональное решение (x0, y0),
то Диофант вводит подстановку
x = x0 + t,
y = y0 + kt,
в которой k рационально. После этого основное уравнение преобразуется в
квадратное относительно t, у которого свободный член f2 (
x0, у0) = 0. Из уравнения получается t1 ==
0 (это значение Диофант отбрасывает), t2 — рациональное число.
Тогда подстановка дает рациональные х и у.
В случае, когда задача приводилась к уравнению у2 = ax
2 + bx + с, очевидно рациональное решение x0
= О,y0=±C. Подстановка Диофанта выглядит так:
x = t,
y = kt ± c
Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда они
приводили к уравнению у2 == = a2x2
+ bx + с. Он делал подстановку
x= t,
y = at + k,
после чего х и у выражались рационально через параметр k:
Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том,; что если
неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то таких
решений будет бесчисленное множество, причем значения х и у
могут быть представлены в виде рациональных функций некоторого параметра»
В книге II есть задачи, решаемые с помощью «двойного неравенства», т. е. системы
ах + b = и2,
сх + d == v2.
Диофант рассматривает случай а = с, но впоследствии пишет, что метод
можно применить и при а : с = т2, Когда а ==
с, Диофант почленным вычитанием одного равенства из другого получает и
2 —и2 = b — d. Затем разность b — d
раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и + v
= I, и — v = п, после чего находит
и = (I + п)/2, v = (I - n)/2, х - (l2 + п2}/4a - {b + d)/2a.
Если задача сводится к системе из двух или трех уравнений второй степени, то
Диофант находит такие рациональные выражения неизвестных через одно
неизвестное и параметры, при которых все уравнения, кроме одного, обращаются
в тождества. Из оставшегося уравнения он выражает основное неизвестное через
параметры, а затем находит и другие неизвестные.
Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным задачам
книги III, связанным с системами трех, четырех и большего числа уравнений
степени не выше второй. Он, кроме того, до формального решения задач проводит
исследования и находит условия, которым должны удовлетворять параметры, чтобы
решения существовали.
В книге IV встречаются определенные и неопределенные уравнения третьей и более
высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что, вообще
говоря, неизвестные невозможно выразить как рациональные функции одного
параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные точки
кубической кривой fз (х, у) == 0, то можно найти и другие точки.
Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы»
Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые из них решаются с помощью
уравнений третьей и четвертой степеней от трех и более неизвестных. Есть и
такие, в которых требуется разложить данное целое число на сумму двух, трех
или четырех квадратов, причем эти квадраты должны удовлетворить определенным
неравенствам.,
При решении задач Диофант дважды рассматривает уравнение Пелля ax2 + 1 = у2.
Задачи книги VI касаются прямоугольных треугольников с рациональными сторонами.
К условию х2 + у2 == z2 в них
добавляются еще условия относительно площадей, периметров, сторон
треугольников.
В книге VI доказывается, что если уравнение ax2 + b
== у2 имеет хотя бы одно рациональное решение, то их будет
бесчисленное множество. Для решения задач книги VI Диофант применяет все
употребляемые им способы.
Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта
описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки, представляющей надгробную
надпись на его могиле
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:
 откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.
Неопределённое уравнение x2 + y2 = z2
Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы, целые решения
которого поэтому называют «пифагоровыми тройками», они нашли бесконечно
много таких троек, имеющих вид:
Кубические уравнения
Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим уравнениям,
относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочинении «О шаре и цилиндре»
(книга II, предложение 4) свел задачу о рассечении шара плоскостью на два
сегмента, объемы которых имели бы заданное отношение т : п (т > п),
к нахождению высоты х большего сегмента из пропорции
 (1)
где а — радиус шара.
Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х
и а—х так, чтобы
(а — х) : с = S : х2, (2)
где с и S — заданные отрезок и площадь.
Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима (имеются в
виду только положительные действительные решения), Архимед приступает к ее
исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S. Он говорит, что
изложит полное решение задачи «в конце», однако соответствующее место не
сохранилось. Жившие на столетие позже Архимеда греческие геометры Диокл и
Дионисодор уже не знали его. Они предложили собственные, гораздо более
сложные решения, но никто из них не сумел провести анализ общего случая.
Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место.
Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:
Параболы
 (3)
и гиперболы
 (4)
(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2).
Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к
кубическому уравнению
x2(a-x) = Sc (5)
которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что
уравнение (5) может иметь положительные корни, если
Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2 (а — х).
Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вернемся к
этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древних. Скажем
только, что Архимед полностью исследовал условия существования положительных
вещественных корней уравнения (5), а именно:
1) если Sc < 43/27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;
2) если Sc = 4aз/27, то имеется один корень (как сказали бы мы,— двукратный);
3) если Sc > 4aз/27, то корня нет.
Здесь 4а3/27 есть максимум х2 (а — х), достигаемый
при х = 2а/3. В конце письма, предпосланного книге «О коноидах и
сфероидах» (греки называли сфероидами эллипсоиды вращения, прямоугольными
коноидами — параболоиды вращения, а тупоугольными коноидами — полости
двуполостных гиперболоидов вращения), Архимед пишет, что с помощью доказанных
в книге теорем можно решить ряд задач, как, например: от данного сфероида или
коноида отсечь сегмент плоскостью, проведенной параллельно заданной, так,
чтобы отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару.
Перечисленные задачи, так же как и задачи о делении шара, сводятся к кубическим
уравнениям, причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид
x2(a + x)=Sc
Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал и решил это
уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравнения вида х3
+ ax + b = 0 при различных значениях a и b и дал метод их решения. Однако
исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей, с
которой, в ее общем виде никто, кроме Архимеда, не мог справиться. Решение
отдельных задач, эквивалентных кубическим уравнениям, греческие математики
получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений. Этот
метод впоследствии восприняли математики стран ислама, которые сделали попытку
провести полный анализ всех уравнений третьей степени.
Но еще до этого, и притом греческими математиками, был сделан новый
решительный шаг в развитии алгебры: геометрическая оболочка была сброшена, и
началось построение буквенной алгебры на основе арифметики. Это произошло в
первые века нашей эры.
Литература:
1. «История математики в древности» Э. Кольман.
2. «Решение уравнений в целых числах» Гельфонд.
3. «В мире уравнений» В.А.Никифоровский.
4. «История математики в школе» Г.И.Глейзер.
5. «Рассказы о старой и новой алгебре» И.Депман.
6. «Пифагор: рассказы о математике» Чистаков.
7. «Краткий очерк истории математики» Стройк Д.Я.
8. «Очерки по истории математики» Болгарский Б.В.
9. «История математики» (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.
10. «Энциклопедический словарь юного математика» под редакцией Гнеденко.
|
