Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Математическое ожидание и его свойства. Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана — одно из возможных значений системы Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , то событию Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , определенная при любых возможных значениях Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана случайных величин Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . В частности, совместный закон распределения случайных величин Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана и Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , которые принимают значения из множества Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана и Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , задается вероятностями Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Доказательство. Постоянную Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана с вероятностью 1. Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Доказательство. Пусть случайная величина Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана задана законом распределения вероятностей:

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .
Очевидно, что случайная величина Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана также является дискретной и принимает значения Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , ... , Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , ... с прежними вероятностями Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , ... , Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , ... т.е. закон распределения Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана имеет вид

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .
Тогда по определению математического ожидания Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . 3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Доказательство. Рассмотрим случайную величину Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана и докажем, что Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана Действительно, если Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана и Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана заданы рядами распределения

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. .
то, как было указано выше, случайная величина Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана имеет следующий закон распределения:

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

. . .
Тогда Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Методом математической индукции можно доказать, что если это свойство выполняется для Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана случайных величин, то оно выполняется и для Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана случайных величин. 4) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Доказательство. Пусть заданы две случайные величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана и Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана рядами распределения (см. предыдущее свойство). В силу вышесказанного возможные значения случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана будут Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , ... Их вероятности Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , ... , т.к. они определяются по теореме умножения вероятностей. Т.к. вероятность Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана обозначает вероятность того, что события Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана и Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана наступают совместно, т.е. Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Переходя к математическом ожиданию рассматриваемой суммы, имеем Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана Предположим, что свойство 4) справедливо для Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана случайной величины применяя в очередной раз метод математической индукции докажем, что это свойство справедливо и для Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана случайных величин. Дисперсия случайной величины На практике часто требуется оценить рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Отклонением случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана является разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием и обозначается Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Хотя отклонение является величиной случайной, но использовать его для оценки разброса не удобно, т.к. его математическое ожидание всегда равно 0. Поэтому для характеристики рассеивания вводят другие характеристики. Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Из этого определения следует, что дисперсия случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана вычисляется по формуле

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

для дискретной случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

для непрерывной случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана .

(1)
Справедлива следующая теорема. Теорема. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания: Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Доказательство. Из определения дисперсии и учитывая, что математическое ожидание — постоянная величина, получим Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Тогда формула (1) примет вид

Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

для дискретной случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана

для непрерывной случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана .

(2)
Свойства дисперсии
  1. Дисперсия постоянной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана равна нулю: Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана .
Действительно, Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана .
  1. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана .
Доказательство. По определению дисперсии и в силу свойств математического ожидания получаем: Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана .
  1. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Доказательство. Вначале докажем свойство для двух величин Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана и Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . По теореме Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана И далее методом математической индукции... Следствие 1. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана равна дисперсии случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана : Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Действительно, Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Следствие 2. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Доказательство. Используя свойства 2) и 3), получаем Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Дисперсия случайной величины как характеристика разброса имеет одну неудобную особенность: ее размерность (из определения) равна квадрату размерности случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана называется арифметический корень из дисперсии, т.е. Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана . Зная введенные две числовые характеристики — математическое ожидание Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана и среднее квадратическое отклонение Реферат: Матожидание, дисперсия, мода и медиана , — получаем ориентировочное представление о пределах возможных значений случайной величины. Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах Средние величины являются своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности вариантов. Например, среднее число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты. Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана. Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо. Мода как величина в дискритном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей. Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви

Размер обуви

Число мужчин старше 16 лет % к итогу

Накопление частности

До 3711
3856
391218
402341
412869
422190
43898
442100
и более-

Всего

100
В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41, т.е. модой является 41-й размер обуви. Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным вариантом будет находиться в центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100 : 2 = 50. Затем по накопленным частотам определяем величину 50-го члена ряда. В нашем примере он будет находиться между 41 и 69 накопленной частности (см. 3-ий столбец таблицы), 50-ый член ряда имеет величину 41, т.е. Ме = 41-му размеру обуви. В практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, о которых было сказано раньше, главное из которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач.
рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011