Реферат: Иррациональные уравнения и неравенства

МОУ СОШ «УК №20»

Иррациональные

уравнения и неравенства

реферат по алгебре

ученика 11 «В» класса

Торосяна Левона

Руководитель:

Олейникова Р. М.

Сочи 2002г.

Содержание.

I. Введение

II. Основные правила

III. Иррациональные уравнения:

· Решение иррациональных уравнений стандартного вида.

· Решение иррациональных уравнений смешанного вида.

· Решение сложных иррациональных уравнений.

IV. Иррациональные неравенства:

· Решение иррациональных неравенств стандартного вида.

· Решение нестандартных иррациональных неравенств.

· Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

V. Вывод

VI. Список литературы

I. Введение

Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил реферат по теме:

«Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение

пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

II. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под

знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в

четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения.

Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или

нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную

степень обеих частей иррационального уравнения область определения не

меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим

правилом:

Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение = x – 2,

Решение.

= x – 2,

2x – 1 = x2 – 4x + 4,

Проверка:

x2 – 6x + 5 = 0,

х = 5,

= 5 – 2,

x1 = 5,

3

= 3

x2 = 1 – постор. корень

х = 1,

1 – 2 ,

Ответ: 5

пост.

к. 1 -1.

б) Решить уравнение = х + 4,

Решение.

= х + 4,

Ответ: -1

в) Решить уравнение х – 1 =

Решение.

х – 1 =

х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,

х3 – 4х2 + 4х = 0,

х(х2 – 4х + 4) = 0,

х = 0 или х2 – 4х + 4 = 0,

(х – 2)2 = 0,

х = 2

Ответ: 0; 2.

г) Решить уравнение х – + 4 = 0,

Решение.

х – + 4 = 0,

х + 4 = , Проверка:

х2 + 8х + 16 = 25х – 50, х =

11, 11 –

+ 4 = 0,

х2 – 17х + 66 = 0,

0

= 0

х1 = 11,

х = 6,

6 –

+ 4 = 0,

х2 = 6.

0

= 0.

Ответ: 6; 11.

Решение иррациональных уравнений смешанного вида:

· Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:

а) Решить уравнение =

Решение.

= , – +

x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум

системам:

или

Ответ:

б) Решить уравнение

Решение.

, – +

x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум

системам:

или

Ответ: .

· Иррациональные показательные уравнения:

а) Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

Пусть = t, t > 0

Сделаем обратную замену:

= 1/49, или = 7,

= ,

– (ур-ние не имеет решений) x = 3.

Ответ: 3

б) Решить уравнение

Решение.

Приведем все степени к одному основанию 2:

данное уравнение равносильно уравнению:

Ответ: 0,7

· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 =

x Проверка:

x x = 3,

4x

1 = 1.

x = 1,75

Ответ: 3.

· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в куб

но , значит:

возведем обе части уравнения в куб

(25 + x)(3 – x) = 27,

Ответ: –24; 2.

· Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:

а) Решить уравнение

Решение.

Пусть = t, тогда = , где t > 0

t –

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части в квадрат

Проверка: x = 2,5

Ответ: 2,5.

б) Решить уравнение

Решение.

Пусть = t, значит = , где t > 0

t+ t – 6 = 0,

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x + 8 = 16, Проверка:

x = 8,

x = 2,

x = 2.

6 = 6

Ответ: 2.

в) Решить уравнение

Решение.

Пусть = t, где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в квадрат

Проверка:

,

Ответ: –5; 2.

Решение сложных иррациональных уравнений:

· Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в куб

возведем обе части уравнения в квадрат

Пусть = t

t 2– 11t + 10 = 0,

Сделаем обратную замену: Проверка:

= 10, или = 1, x = ,

x = -пост. корень

0

Ответ: 1. x =

1,

1 = 1

· Иррациональные логарифмические уравнения:

а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

Решение.

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,

lg(3 = lg,

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Ответ: 32,75

б) Решить уравнение

Решение.

Ответ: ; – 2; 3.

IV. Иррациональные неравенства

Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит

под знак корня (радикала).

Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств:

Иррациональное неравенство вида

равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

и

Решение иррациональных неравенств стандартного вида:

а) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

+ – +

Ответ: [1; 2). 1 3 x

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

Ответ:

в) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: нет решений

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

· Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков

при умножении и делении:

а) Решить неравенство

Решение.

Учитывая то, что

и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе

неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство (2x – 5)

Решение.

(2x – 5)

Учитывая то, что и

правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе

неравенств:

Ответ:

· Решение иррациональных неравенств способом группировки:

Решить неравенство

Решение.

,

сгруппируем по два слагаемых

вынесем общий множитель за скобку

учитывая, что

> 0 и правило знаков при умножении данное

неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: ( 0; 1 )

· Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:

Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

· Решение иррациональных неравенств заменой:

Решить неравенство

Решение.

Пусть = t, тогда = , t > 0

Сделаем обратную замену:

возведем в квадрат обе части неравенства

Ответ:

Решение иррациональных неравенств смешанного вида:

· Иррациональные показательные неравенства:

а) Решить неравенство

Решение.

,

т.к. y = 0,8t , то

0,5x(x – 3) < 2,

0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,

x2 – 3x – 4 < 0,

f(x) = x2 – 3x – 4,

ОДЗ,

+ – +

Нули функции: x1 = 4; x2 = – 1.

–1 4 x

Ответ: х

б) Решить неравенство 4– 2 < 2– 32

Решение.

4– 2 < 2– 32, ОДЗ: x > 0

2– 2 2 < 2 24 – 25, выполним группировку слагаемых

2(2– 2) – 24(2–2) < 0,

(2– 2)

(2– 24)

< 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м

системам:

или

т.к. y = 2t , то т.к. y = 2t , то

Ответ: х

· Решение иррациональных логарифмических неравенств:

Решить неравенство

Решение.

уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

Ответ:

V. Вывод

Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства

следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля,

логарифмические, повышенного уровня.

Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из

вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач

по математике под редакцией М.И. Сканави.

Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и

абитуриентам технических вузов.

VI. Список литературы

1) Алгебра и начала анализа. Под редакцией

А.Н. Колмогорова

2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин,

В.П. Норин

3) Справочные материалы по математике. Авторы: В.А.

Гусев, А.Г. Мордкович

4) Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави

5) Справочный материал