Реферат: Геометрия в пространстве
Введение.
В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с
необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных
фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими
масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел
геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от
греческого «стереос»- объемный, пространственный).
 Может показаться
парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в планиметрии- геометрии на
плоскости - не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости
многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки
существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние:
все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам
приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют
свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к
точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо
описывать отдельно.
План.
I. Основные аксиомы стереометрии--------------- 4 II. Прямые,
плоскости, параллельность------------ 6
 III. Изображение
пространственных фигур------ 7 IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния----- 12
V. Несколько задач на построение, воображение, изображение и
соображение------------------------ 17
I.Основные аксиомы стереометрии
Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно -
плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения»
плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических
действий» новое, третье измерение:
· Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)
     
Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно.
Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается
второй аксиомой- аксиомой плоскости:
· Через любые три точки проходит плоскость.
 
    
С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все
знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
 Аксиома пересечения плоскостей звучит так:
·
Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
· (рис.2)
Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через
них плоскость единственная.
 Действительно, если
через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки
можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются.
Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.
Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль
в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в
пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной
точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы,
переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с
одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две
различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в
стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки
пространства.
В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая,
имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.
  
Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости
α (рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С
(по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через
А,В и С можно провести плоскость β. Она отлична
от плоскости α, так как содержит С и имеет с α
две общие точки. Значит, β пересекается с α по прямой,
которой, как и l, принадлежат А, В. По аксиоме прямой,
линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в
плоскости α, что и требовалось доказать.
Путем несложных доказательств мы находим, что:
· На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
II. Прямые, плоскости, параллельность.
Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом
определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной
плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из
излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две
параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению
параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности
параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают
главное свойство параллельных прямых в пространстве:
· Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и
только одну прямую параллельно данной.
Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое
транзитивностью параллельности:
· Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то
они параллельны друг другу.
Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные
прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны
третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют
непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных
плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.
       
 
На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны,
а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к
помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен
из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его
свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹,
потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.
В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две
плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.
Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в
плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:
· Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они
параллельны между собой.
· Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или
плоскости), то они параллельны друг другу.
Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой
и плоскости:
· Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой
прямой в этой плоскости.
А вот признак параллельности плоскостей:
· Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и
плоскости параллельны.
Часто используется и такая простая теорема:
· Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются
третьей, параллельны друг другу.
Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и
плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости
АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные
грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по
признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в
одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее
простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и
СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и
A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти
прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D.
Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб
по треугольникам.
III. Изображение пространственных фигур.
Есть такой афоризм «Геометрия — это искусство правильно рассуждать на
неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к изложенным выше
рассуждениям, то окажется:
 единственная польза, которую мы
извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том, что он сэкономил
нам место на объяснении обозначений. С тем же успехом можно было изобразить
его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нём «нечто» не
только не куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена
лишь часть правды. Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое
доказательство, надо его придумать. А для этого нужно ясно представлять себе
заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое
представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в
стереометрии удачный чертёж может стать не просто иллюстрацией, а основой
решения задачи.
              
Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким, каким мы его
видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или центральной проекции. При
центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а произвольная
точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с прямой ОХ (рис. 6).
Центральная проекция сохраняет прямолинейное расположение точек, но, как
правило, переводит параллельные прямые в пересекающиеся, не говоря уже о том,
что изменяет расстояния и углы. Изучение её свойств привело к появлению
важного раздела геометрии (см. статью «Проективная геометрия»).
 Но в геометри-ческих
чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно сказать, что она получается из
централь-ной когда центр О уда-ляется в бесконечность и прямые ОХ становятся
параллельными.
 Выберем плоскость а и
пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х прямую, параллельную l. Точка
X', в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на
плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7). Проекция фигуры состоит из проекций всех
её точек. В геометрии под
   
изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.
В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в
исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка.
На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными, сохраняется
здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины и изменяются.
Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного
свойства параллельной проекции:
· Если АВ =k CD, а A¹,B¹,C¹ и D¹- проекции
точек A,B,C и D, то A¹B¹= k C¹D¹.
Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство — совпадение
не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если задать
изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех
точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной
проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не
лежащих на одной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек
проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не
находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек
пространства.
 В то же время изображением
данной тройки точек, т. е. треугольника, может служить треугольник любой
заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного
треугольника
ЛВС любую плоскость а, построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и
спроектируем треугольник АВС на α вдоль прямой l = СС¹ (рис. 8).
Взяв в качестве А В С равнобедренный прямоу-гольный треугольник и достроив
его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко
превращае-тся в любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что
изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть любые четыре
точки, не лежащие на одной прямой, вместе с соединяющими их отрезками.
Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём, например,
отношения, в которых треугольное сечение A¹BD нашего куба (рис. 9, а)
делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В¹С¹.
Посмотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря,
спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно, что
проекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведённым в нём
отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;
 
               
рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а
точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на нашем
рисунке A¹Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства
параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же проекция
позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка, на
которые он рассекается плоскостью A¹BD: в частности, отрезок KQ, где К —
середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диагональ АС, — в отношении
1:2.
Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в
пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения
некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить
треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О
так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов АОВ, ВОС к СОА
точки Р, Q и R.
   
     
     
Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её чертёж
(рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на его
гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение сечения
этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б; кстати
сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из произвольной
точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость ОАВ; получаем
точки R¹ и Q¹. Плоскость искомого сечения пересекает плоскость ОАВ
по прямой МР. Дальнейшее очевидно.
IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.
До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными
геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам
достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех
их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность
изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны
соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие
перпендикулярности, известное из планиметрии.
Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р,
то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.
Например, ясно, что ребро АА¹ нашего куба перпендикулярно основанию
АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой
прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того,
что АА¹ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно
признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
· Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и
b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.
Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l:
считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны
параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в
частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно
сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой
лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:
· Через данную точку в пространстве можно провести одну и
только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и только
одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой
называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость.
Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно ортогональную
проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у неё
есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о
расстояниях и углах в пространстве.
 Из признака
перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная
теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):
·    
   
Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда,
когда её проекция а¹ на плоскость перпендикулярна l.
Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную
ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому, что плоскость,
содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.
Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC¹ на
основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх
перпендикулярах, и сама диагональ АС¹ перпендикулярна BD. По такой же
причине перпендикулярны АС¹ и А¹В. Отсюда следует, что диагональ
перпендикулярна «треугольному сечению» A¹BD.
В стереометрии помимо обычных плоских
 
     
     
углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между
скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися
прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен
углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и
плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из углов
между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися
плоскостями измеряется углом между перпендикулярами, проведёнными в этих
плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все названные углы принимают
значения в промежутке от 0                   
 до 90°.
Найдём, например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего
куба (рис. 14). Заменим прямую В¹С на параллельную ей диагональ A¹D
противоположной грани; искомый угол равен углу BA¹D, т. е. 60°
(треугольник BA¹D равносторонний). Угол между диагональю АС¹ и
основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой ас¹ и её проекцией АС
на основание, т.е. arctg (C¹C/AC) = arctg (1/√2]. А угол между
плоскостями BDA¹ и BDC¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М
— середина BD, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих плоскостях и
перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos
(1/3)).
Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину отрезка,
концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от точки до
плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, — он
короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного треугольника короче
катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию
от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).
 Более интересен вопрос
о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а
плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения
А ортогональной проекции b¹ прямой b на α и точку В прямой b, которая
проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому
является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и
равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.
            
Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно
находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На
рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и:
прямоугольник размером
 а * а√2 (проекция на
диагональную плоскость АСС¹А¹ или, что то же, вдоль диагонали BD
основания): и правильный шестиугольник со стороной а√2/3 (проекция
вдоль диагонали куба АС¹; мы видели, что прямая АС¹ перпендикулярна
плоскости BDA¹, а потому правильный треугольник BDA, со стороной а√2
в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти,
например, угол между плоскостями BDA¹ и BDC¹ — он равен углу между
красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние r между
двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В¹С равно расстоянию на рис.
16, а от точки В до прямой В¹С (В и B¹C — изображения первой и второй
диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что общий
перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти, что r=
а/√3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD
и АС¹ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС¹
превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до BD
равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/√6.
         
    
Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её проекции
и угол между плоскостями:
· Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна
площади S многоугольника, умноженной на cos φ, где φ- угол между его
плоскостью и плоскостью проекции:
        
Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с линией
пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой многоугольник
можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные фигуры
многоу-гольниками, получим, что формула площади проекции справедлива и для
них.
V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.
ЗАДАЧА 1.
     
По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника,
расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и сверху
выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении нет-
значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?
ЗАДАЧА 2.
 
 
   
        
Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя
четырехугольными гранями и двумя треугольными?
ЗАДАЧА 3.
На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два
отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку
определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно, то
как?
ОТВЕТЫ.
  1.
2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.
   
     
3. Можно. Отрезки пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и только
тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ, либо они
параллельны.
|
