Реферат: Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p1,p2).

А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу

r = {a,`e}, где а и`e соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного

аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2`e + 1/6d

3`e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e* =e*`e. Из (1) получаем :e*

=1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной

длины вектора `e* , близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p

2) точек p1,p2 прямой А1. Поместим

начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец

вектора `е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом

вектора -`е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют

соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р

2) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в

репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка

р1*р2*, близкого к р1р2

,по отношению к р1р2.

§ 2. Отображение f.

А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R

={p,`ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения

структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=

Wjej ; d`ej= Wj

k;

DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2

в пространстве R(p1,p2):f:A2®R(p1

,p2).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется

: rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1

,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f

запишутся в виде :

Q+W=ljWj ; Q-W=mjWj (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение

f-1: R(p1,p2)®A2

обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения

f-1 имеют вид :

Wj=lj(Q+W)+mj(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

lklj+mkmj=djk

mjlj=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А

2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λjWj-W-Q)=0,

получаем :

dλj=λkWjk+1\4(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk

D(μjWj+W-Q)=0

получаем :

dμj=μkWjk+1\4(λjμk-λkμj)Wk+μjkWk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λjWj

dμj=μkWjk+1\4(λjμk-λkμj)Wk+μjkWj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={λj

,μj} является геометрическим объектом. Он называется

фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f.

Осуществим второе продолжение системы (2) :

dλk^Wjk+λkdWj

=0.

получим:

(dλjt-λktWjk-λ

jkdWk=0

получим:

(dμjt-μktWjk-μ

=0

обозначим:

λj=dλj-λtWjt

μj=dμj-μtWjt

λjk=dλjk-λtkWkt-λjtWkt

μjk=dμtkWjt-μjtWkt

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f

примет вид:

Q+W=λjWj

+μjkWk (4)

λjk

-λj)+λjkα)Wα

μjk

-λj)+μjkα)Wα

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={λ

j,μj,λjk,μjk} образует

геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом

второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2)

приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР

порядка р :

ГР={λj,μj,λj1j2,μj1j2,...,λj1j2...jp,μj1j2...jp}.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин

{λj},{μj} образует подобъекты

геометрического объекта Г1. Будем называть их основными

ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две

инвариантные прямые:

λjXj=1 ; μjXj=1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2)

вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают,

что величины {λj,μj} являются

компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных

ковекторов. Таким образом , величины {λj,μj

} охватываются объектом Г1.

Из (*) получаем:

dλj=-λkWkj-1\4(λ

j+μj)Wt

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные

объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го

порядка.

Предположение 1.Конец вектора v1=λjej

(вектора v2=μjej) лежит на прямой

(6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные

прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно

уравнениями:

λjXj=0 , μjXj = 0

(7).

Предположение 2. Основные векторы {λj} и {μ

j} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство

вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение

рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λjXj=1

V2

V1 μjXj=1

Система величин ρj=λj-μj

образует ковектор: dρj=ρkWjk

+(μjk-λjk)Wk.

Определяемая им прямая ρjXj=0 (8) проходит

через точку Р и точку пересечения прямых (6).

Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1,p2)

содержащее элементы (р1,р2) определяемое условием:

*p2*=p1p2.

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу

f-1(W) многообразия W при отображении f.

Доказательство:

] (p1*,p2*)∈W и p1*=p1+dp1+1\2d2p1+... ,

p2*=p2+dp2+1\2d2p2+... .

Тогда в репере Г: p1*p2*=e p

1p2, где e=1+2W+... является относительной длиной

отрезка р1*р2* по отношению

к р1р2. Таким образом, (р1*

р1*)∈W↔W=0.

Из (2) получим: W=ρ1Wj

Следовательно, (р1*р2*)∈W

равносильно ρjWj=0

(9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р1,р2)∈R(p1p

2) определяется функция h: (p1*p

2*)∈h(p1p2)→e∈R,

так, что р1*р2*=е р1

р2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия

f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что

(9) является дифференциальным уравнением линии f-1(W).

]W1,W2- одномерные многообразия в R(p1

p2), содержащие элемент (р1р2) и

определяемые соответственно уравнениями:

(p1*,p2*)єW1↔p2*=p2.

(p1*,p2*)єW2↔p1*=p1.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу

многообразия W2 (многообразия W1) при

отображении f.

Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно вид:

λjWj=0

μjWj=0.

Пусть W0- одномерное подмногообразие в R(p1p

2), содержащее (р1р2) и определяемое

условием: (p1*p2*)єW0

↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р1*р

2*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме

1.

Предложение 3. Прямая (λj+μj)X-j

=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1

(W0) многообразия W0 при отображении f

. Дифференциальное уравнение линии f-1(W0) имеет

вид: (λj+μj)Wj=0.

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1

(W1), f-1(W2), f-1(W),

f-1(W0) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.

Рассмотрим отображения:

П1: (р1,р2)∊R(p1,p2)→p1∊A1 (5.1)

П2: (р1,р2)∊R(p1,p2)→p2∊A1 (5.2)

Отображение f: A2→R(p1,p2) порождает точечные отображения:

φ1=П1∘f: A2→A1 (5.3)

φ2=П2∘f: A2→A1 (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ

1 и φ2 меют соответственно вид (2.5 а)

и (2.5 б). Подобъекты Г1,2={λj,λ

jk} и Г2,2={μj,μjk}

объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго

порядка отображений φ1 и φ2.

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет

соответственно вид:

x=1+λjXj+1/2λjkXjXk+1/4λyρkXjXk+<3>, (5.5)

y=-1+μjXj+1/2μjkXjXk+1/4μyρkXjXk+<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λjk=λjk+1/4(λjρk+λkρj),

Μjk=μjk+1/4(μjρk+μkρj)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λjXj+1/2ΛjkXjXk+<3> (5.7)

y=-1+μjXj+1/2ΜjkXjXk+<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:

λ1 λ2 1 0

μ1 μ2 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f

является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X1+1/2ΛjkXjXk+<3> (5.9),

y=-1+X2+1/2ΜjkXjXk+<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

Gjk=1/2(λjμk+λkμj)

Из (3.1) получим:

dGjk=1/2(dλjμk+λj

μk+dλkμj+λk

dμj)=1/2(μkλtWjt

+1/4λjμkμtWt

-1\4μkμtλtWt+μ

kλjtWt+λjμtW

kt+

+1/4λjλkμtWt

-1/4μjλkμtWt

-1/4μjλtμkWt+μ

jλktWt+λkμtW

jt+1/4λkλjμtW

t-1/4λkλtμjWt+

+λkμjtWt),

dGjk=1/2(μkλt+λk

t,

где Gjkt=1/2(μkλjt+λ

yμkt+μjλkt+λk

μjt-1/2μjμkλt

+1/2λjλkμt-1/4λj

μkλt+1/4λjμk

μt+1/4μjλkμt-

-1/4μjλkλt) (6.3).

Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный

тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G:

dS2=GjkWjWk (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4)

соответствует при отображении f метрике dS2=θ2

-W2 (6.5) в R(p1,p2).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или

λjWjμkWk=0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V1 и V2

определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На

проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U)

и (y,U’) расстояние между ними определяется как двойное

отношение W=(xy,UU’)

Теорема: Метрика dS2=θ2-W2 совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1+dp1,p2+dp2

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS2=θ2-W2

Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной

группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2

}.

Он определяется формулой: Гljk=λj

k.

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

gjk=λjλk+μjμk (7.1)

Из (3.1) получаем:

dgjk=dλjλk+dλk

λj+dμjμk+dμk

μj=λkλtWjt

+1/4λkλjμtWt

-1/4λjλtμjWt+λ

kλjtWt+λjλtW

kt+

+1/4λjλkμtWt

-1/4λjλtμkWt+λ

jλktWt+μkμtW

jt+1/4μkλjμtW

t-1/4μkλtμjWt

+μkμjtWt+

+μjμtWkt+1/4μj

λkμtWt-1/4μjλ

tμkWt+μjμktW

t.

dgjk=(λkλt+μk

t, (7.2)

где gjkt=1/2λjλkμt

+μkμjt+μjμkt (7.3)

Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный

тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g:

dS2=gjkWjWk (6’.4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6’.4)

соответствует при отображении f метрике:

dS2=2(θ2+W2) (6’.5)

в R(p1,p2)

Из (6’.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6’.6)

или (λjXj)2+(μjXj)2=1 (6’.7)

Из (6’.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке

Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых,

параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью

определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.

V1

V2 рис.3.

Пусть gjk=λjλk+μjμk (6.8)

В силу (2.7) имеем:

gjtgtk=(λjλt+μ

μk=δkj (6’.9)

Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к g

jk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному

полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {λj}

(вектора {μj}) соответствует в метрике g полю

основного ковектора {λj} (ковектора {μj

}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину

в метрике g.

Доказательство:

λjλkgjk=λjλkλjλk+λjλkμjμk=1,

μjμkgjk=μjμkλjλk+μjμkμjμk=1,

λjμkgjk=λjμkλjλk+λjμkμjμk=0.

Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2,gf).

В работе <2> был построен охват объекта

γjkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г2={λj,μj,Λjk,Μjk}

Он определяется формулой:

γjkl=λlΛjk+μ

-λjλk),

где Gjk=1/2(λjμk+λkμj).