Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Реферат: Аркфункции

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики. Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
y
Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции
y
Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции y = arcsin(1/x) Реферат: Аркфункции
π/2
Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции
-π/2
Д(f): | 1/x | ≤ 1 , Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции | x | ≥ 1 , ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
y
Реферат: Аркфункции
x
Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )
y
Реферат: Аркфункции Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
π
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Реферат: Аркфункции Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
Реферат: Аркфункции
Реферат: Аркфункции
Реферат: Аркфункции Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
π/2
Решение: Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Д(f): [-1;1] Четная f(x) убывает на пр. [0;1] Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции
-1
0
Реферат: Аркфункции f(x) возрастает на пр. [-1;0]
1
x
Реферат: Аркфункции Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x). Реферат: Аркфункции Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0. Реферат: Аркфункции f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0. Реферат: Аркфункции Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1)) Решение: Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
y
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ ) Реферат: Аркфункции

Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции
π/2
Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции X

0< x <1< x <+∞

1
-1
u=1/(x2-1)

-1

+ ∞

- ∞

0

Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции
0
Реферат: Аркфункции
x
y=arctg(u)

- π/4

π/2

- π/2

0
Реферат: Аркфункции
Реферат: Аркфункции
-π/4
-π/2

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами: y=x и y=sin(arcsin(x))
Реферат: Аркфункции
Реферат: Аркфункции
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
Реферат: Аркфункции

Аргумент

функция

arcsin(x)arccos(x)arctg(x)arcctg(x)
sinsin(arcsin(x))=x

Реферат: Аркфункции

Реферат: Аркфункции

Реферат: Аркфункции

cos

Реферат: Аркфункции

x

Реферат: Аркфункции

Реферат: Аркфункции

tg

Реферат: Аркфункции

Реферат: Аркфункции

x1 / x
ctg

Реферат: Аркфункции

Реферат: Аркфункции

1 / xx
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: 1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x) Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Перед радикалом Реферат: Аркфункции следует взять знак “+”, т.к. дуга Реферат: Аркфункции принадлежит правой полуокружности (замкнутой) Реферат: Аркфункции , на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем Реферат: Аркфункции 2. Из тождества Реферат: Аркфункции следует: Реферат: Аркфункции 3. Имеем Реферат: Аркфункции 4. Реферат: Аркфункции Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение Реферат: Аркфункции Решение: Применяем формулу Реферат: Аркфункции , имеем: Реферат: Аркфункции Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Пример №3. Пользуясь ... Реферат: Аркфункции Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Пример №5. Положив в формулах Реферат: Аркфункции , и Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , получим: Реферат: Аркфункции , Реферат: Аркфункции Пример №6. Преобразуем Реферат: Аркфункции Положив в формуле Реферат: Аркфункции , Реферат: Аркфункции Получим: Реферат: Аркфункции Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга Реферат: Аркфункции принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества: Реферат: Аркфункции
arccos(x)
arcsin(x)
Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции
-1
1
y
x
Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (- π/2; π/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга Реферат: Аркфункции имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно Реферат: Аркфункции Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса: Реферат: Аркфункции А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса: Реферат: Аркфункции Так, например: Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Аналогично: Реферат: Аркфункции Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней). 1. Выражение Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции через арктангенс. Пусть Реферат: Аркфункции , тогда Реферат: Аркфункции Дуга Реферат: Аркфункции , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный Реферат: Аркфункции и расположена в интервале (-π/2; π/2). Дуга Реферат: Аркфункции имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2). Следовательно, Реферат: Аркфункции (1) (в интервале ( -1 : 1 ) 2. Выражение Реферат: Аркфункции через арксинус. Т.к. Реферат: Аркфункции , то Реферат: Аркфункции (2) в интервале Реферат: Аркфункции 3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства Реферат: Аркфункции следует тождество Реферат: Аркфункции (3) Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, Реферат: Аркфункции Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции. Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так, например, дуга Реферат: Аркфункции не может быть значением арксинуса. В этом случае Реферат: Аркфункции Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях. 4. Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции , то Реферат: Аркфункции . Дуга имеет косинус, равный Реферат: Аркфункции , а поэтому Реферат: Аркфункции При Реферат: Аркфункции это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае Реферат: Аркфункции , а для функции Реферат: Аркфункции имеем: Реферат: Аркфункции так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень Реферат: Аркфункции , т.е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции
Х>0 X<0 При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и Реферат: Аркфункции Таким образом, имеем окончательно: Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции если Реферат: Аркфункции , (4) Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции
Реферат: Аркфункции
График функции Реферат: Аркфункции
Реферат: Аркфункции
-1
1
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом: Реферат: Аркфункции
Реферат: Аркфункции
Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции 5. Аналогично установим, что при Реферат: Аркфункции имеем: Реферат: Аркфункции , если же Реферат: Аркфункции , то Реферат: Аркфункции Таким образом: Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции (5) Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции 6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения Реферат: Аркфункции при Реферат: Аркфункции имеем: Реферат: Аркфункции Если же х<0, то Реферат: Аркфункции Итак, Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции (6) Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции 7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если Реферат: Аркфункции , то Реферат: Аркфункции При Реферат: Аркфункции имеем: Реферат: Аркфункции Итак, Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции (7) Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции 8. Выражение арктангенса через арккотангенс. Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если х>0 (8) Реферат: Аркфункции ,если x<0 При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то Реферат: Аркфункции . 9. Выражение арксинуса через арккотангенс. Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции (9) Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции 10. Выражение арккотангенса через арксинус. Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если 0<x (10) Реферат: Аркфункции , если х<0 11. Выражение арккотангенса через арктангенс. Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если x>0 (11) Реферат: Аркфункции , если x<0 Примеры: Пример №1. Исследовать функцию Реферат: Аркфункции Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
Y
Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции y= 0 , если x>0 -π , если x<0 Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции На чертеже изображен график данной функции
Пример №2. Исследовать функцию Реферат: Аркфункции Решение: Первое слагаемое определено для значений Реферат: Аркфункции , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4). Т.к. Реферат: Аркфункции , то получаем Реферат: Аркфункции , откуда: Реферат: Аркфункции на сегменте [0;1] Пример №3. Исследовать функцию Реферат: Аркфункции Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4). Реферат: Аркфункции Приняв во внимание равенство Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции получим: Реферат: Аркфункции y = 0 , если Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями. При преобразовании выражений вида Реферат: Аркфункции следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений: Реферат: Аркфункции Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x; Реферат: Аркфункции и Реферат: Аркфункции Областью определения функции Реферат: Аркфункции служит интервал Реферат: Аркфункции , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента Реферат: Аркфункции содержится на сегменте Реферат: Аркфункции . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х. Так, например, при х=π/6 имеем: Реферат: Аркфункции но при х=5π/6 Реферат: Аркфункции В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π. Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла. Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как Реферат: Аркфункции , то имеем y=π-х; в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим: y=х-2π Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то y=-π-х Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то y=х+2π Вообще, если Реферат: Аркфункции , то y=х-2πk и если Реферат: Аркфункции , то y=(π-х)+2πk График функции Реферат: Аркфункции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев. Реферат: Аркфункции Рассмотрим функцию Реферат: Аркфункции Согласно определению арккосинуса, имеем: cos y = cos x, где Реферат: Аркфункции Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и Реферат: Аркфункции , поэтому: Реферат: Аркфункции Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x Вообще, если Реферат: Аркфункции , то y = x - 2πk Если же Реферат: Аркфункции , то y = -x + πk Графиком функции Реферат: Аркфункции является ломаная линия

Реферат: Аркфункции

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции. Сказанное пояснено ниже на числовых примерах. Примеры. Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму Реферат: Аркфункции Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции В данном случае Реферат: Аркфункции (т.к. Реферат: Аркфункции , а следовательно, Реферат: Аркфункции ), а также Реферат: Аркфункции , поэтому Реферат: Аркфункции . Вычислив синус дуги γ, получим: Реферат: Аркфункции Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то Реферат: Аркфункции Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем: Реферат: Аркфункции Откуда Реферат: Аркфункции Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму Реферат: Аркфункции Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. Реферат: Аркфункции , а Реферат: Аркфункции . Вычисляем Реферат: Аркфункции В рассматриваемом примере Реферат: Аркфункции , так как дуги γ и Реферат: Аркфункции заключены в различных интервалах, Реферат: Аркфункции , а Реферат: Аркфункции В данном случае Реферат: Аркфункции Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса. Решение: имеем Реферат: Аркфункции Обе дуги γ и Реферат: Аркфункции расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: Реферат: Аркфункции Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях. Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов. Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть): Реферат: Аркфункции , и Реферат: Аркфункции Сумма α + β заключена в верхней полуокружности Реферат: Аркфункции , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса: Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции Разность α – β заключена в правой полуокружности: Реферат: Аркфункции Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса: Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса. Ниже приведены образцы соответствующих преобразований. 1. Преобразуем в арккосинус Реферат: Аркфункции , где Реферат: Аркфункции и Реферат: Аркфункции Имеем: Реферат: Аркфункции Откуда Реферат: Аркфункции 2. Аналогично Реферат: Аркфункции , где 0 < x < 1, 0 < y < 1 Реферат: Аркфункции , где 0 < x < 1, 0 < y < 1 Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов. 1. Выразить сумму Реферат: Аркфункции через арксинус По определению арксинуса Реферат: Аркфункции и Реферат: Аркфункции , откуда Реферат: Аркфункции Для дуги γ возможны следующие три случая: Случай 1: Реферат: Аркфункции Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1. В самом деле, при Реферат: Аркфункции и Реферат: Аркфункции , имеем: Реферат: Аркфункции , и Реферат: Аркфункции , откуда Реферат: Аркфункции При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств: а) Реферат: Аркфункции б) Реферат: Аркфункции Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства: Реферат: Аркфункции в случае а) и Реферат: Аркфункции в случае б) В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия Реферат: Аркфункции и Реферат: Аркфункции (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений. Вычислив Реферат: Аркфункции , получим: Реферат: Аркфункции При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. Реферат: Аркфункции или Реферат: Аркфункции Откуда Реферат: Аркфункции и, следовательно, Реферат: Аркфункции Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств Реферат: Аркфункции ; но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому Реферат: Аркфункции или Реферат: Аркфункции Случай 2. Реферат: Аркфункции В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия Реферат: Аркфункции получим Реферат: Аркфункции Случай 3. Реферат: Аркфункции Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и Реферат: Аркфункции Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю: Реферат: Аркфункции откуда Реферат: Аркфункции Дуги γ и Реферат: Аркфункции имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) Реферат: Аркфункции , следовательно в случае 1 Реферат: Аркфункции ; в случае 2 Реферат: Аркфункции и в случае 3 Реферат: Аркфункции . Итак, имеем окончательно: Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , Реферат: Аркфункции или Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; x > 0, y > 0, и Реферат: Аркфункции (1) Реферат: Аркфункции ; x < 0, y < 0, и Реферат: Аркфункции Пример: Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции 2. Заменив в (1) x на –x получим: Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , Реферат: Аркфункции или Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; x > 0, y > 0, и Реферат: Аркфункции (2) Реферат: Аркфункции ; x < 0, y < 0, и Реферат: Аркфункции 3. Выразить сумму Реферат: Аркфункции через арккосинус Реферат: Аркфункции и Реферат: Аркфункции имеем Реферат: Аркфункции Возможны следующие два случая. Случай 1: Реферат: Аркфункции если Реферат: Аркфункции , то Реферат: Аркфункции Приняв во внимание, что обе дуги Реферат: Аркфункции и Реферат: Аркфункции расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим Реферат: Аркфункции и следовательно, Реферат: Аркфункции , откуда Реферат: Аркфункции Случай 2: Реферат: Аркфункции . Если Реферат: Аркфункции , то Реферат: Аркфункции , откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим Реферат: Аркфункции . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если Реферат: Аркфункции , а случай 2, если Реферат: Аркфункции . Из равенства Реферат: Аркфункции следует, что дуги Реферат: Аркфункции и Реферат: Аркфункции имеют одинаковый косинус. В случае 1 Реферат: Аркфункции , в случае 2 Реферат: Аркфункции , следовательно, Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , Реферат: Аркфункции (3) 4. Аналогично Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , Реферат: Аркфункции (4) пример: Реферат: Аркфункции 5. Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; xy < 1 Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; x > 1, xy > 1 (5) Реферат: Аркфункции ; x < 0, xy > 1 При xy=1 не имеет смысла 6. Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; xy > -1 Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; x > 0, xy < -1 (6) Реферат: Аркфункции ; x < 0, xy < -1 7. Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции (7) Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции 8. Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции (8) Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции 9. Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции ; x > 1 (9) Реферат: Аркфункции ; x < -1 10. Реферат: Аркфункции (10) Реферат: Аркфункции (11) Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции (12) Реферат: Аркфункции , если Реферат: Аркфункции
рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011