Реферат: Аркфункции
Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных
функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.
Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
  
   y = arcsin(1/x)
 
Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,
  | x | ≥ 1 ,
( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
Функция нечетная
( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )
 Заметим, что функция
y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2;
π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)
Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
 Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
  Д(f): [-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]
 
 f(x) возрастает на пр. [-1;0]
 Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
 Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.
 f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.
Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )
 
  X | 0 | < x < | 1 | < x < | +∞ | | u=1/(x2-1) | -1 | ↘ | + ∞ - ∞ | ↘ | 0 |   
 y=arctg(u) | - π/4 | ↘ | π/2 - π/2 | ↘ | 0 |
Тригонометрические операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются
алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо
тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое
выражение.
В силу определения аркфункций:
sin(arcsin(x)) = x ,
cos(arccos(x)) = x
(справедливо только для x є [-1;1] )
tg(arctg(x)) = x ,
ctg(arcctg(x)) = x
(справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:
y=x и
y=sin(arcsin(x))
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших
тригонометрических операций над аркфункциями.
Аргумент функция | arcsin(x) | arccos(x) | arctg(x) | arcctg(x) | | sin | sin(arcsin(x))=x | 
| 
| 
| | cos | 
| x | 
| 
| | tg | 
| 
| x | 1 / x | | ctg | 
| 
| 1 / x | x |
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи
рассуждений, приведенных ниже:
1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)
Перед радикалом 
следует взять знак “+”, т.к. дуга 
принадлежит правой полуокружности (замкнутой) 
, на которой косинус неотрицательный.
Значит, имеем
2. Из тождества  следует:
3. Имеем
4. 
Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством
выведения формул.
Пример №1. Преобразовать выражение 
Решение: Применяем формулу  , имеем: 
Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:
Пример №3. Пользуясь ...
Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
Пример №5. Положив в формулах
 , и 
 , получим:
 , 
Пример №6. Преобразуем 
Положив в формуле  , 
Получим:
Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга 
принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.
Соотношения между аркфункциями
Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из
зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
  
 
Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из
соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же
аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования
одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же
полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-
π/2; π/2).
Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде
арктангенса. В самом деле, дуга 
имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале
(-π/2; π/2), следовательно
Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:
А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла
бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
Так, например:
Аналогично:
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых
содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
1. Выражение   через арктангенс.
Пусть  , тогда
Дуга  , по
определению арктангенса, имеет тангенс, равный 
и расположена в интервале (-π/2; π/2).
Дуга  имеет тот же
тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).
Следовательно,
(1)
(в интервале ( -1 : 1 )
2. Выражение  через арксинус.
Т.к.  , то  (2)
в интервале 
3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства  следует тождество
(3)
Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных
промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и
т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической
функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в
первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так,
например,
Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена
посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо
промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не
может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит
другому (из этих двух) промежутку.
Так, например, дуга  не может быть значением арксинуса. В этом случае
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются
в различных полуокружностях.
4. Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть  , если  , то  . Дуга имеет косинус, равный  , а поэтому 
При  это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае
 , а для функции  имеем: 
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень 
, т.е. число неотрицательное.
Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X<0
При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и
Таким образом, имеем окончательно:
  если  , (4)
 , если 
График функции 
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон
соответствия можно выразить следующим образом:
 , если 
 , если 
5. Аналогично установим, что при  имеем:
 , если же  , то
Таким образом:
   , если  (5)
 , если 
6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
 при  имеем:
Если же х<0, то
Итак,
   , если  (6)
 , если 
7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если  , то 
При  имеем:
Итак,
   , если  (7)
 , если 
8. Выражение арктангенса через арккотангенс.
  
, если х>0
(8)
 ,если x<0
При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
 .
9. Выражение арксинуса через арккотангенс.
   , если  (9)
 , если 
10. Выражение арккотангенса через арксинус.
   , если 0<x (10)
 , если х<0
11. Выражение арккотангенса через арктангенс.
  
, если x>0
(11)
 , если x<0
Примеры:
Пример №1. Исследовать функцию 
Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения
х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8)
получим:
  y= 0 , если x>0
-π , если x<0
 На чертеже изображен график
данной функции
Пример №2. Исследовать функцию 
Решение: Первое слагаемое определено для значений 
, второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле
(4).
Т.к.  , то получаем
 ,
откуда:
 на сегменте [0;1]
Пример №3. Исследовать функцию 
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по
абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех
значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
Приняв во внимание равенство
   , если 
 , если 
получим:
 y = 0 , если 
 , если 
Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими
функциями.
При преобразовании выражений вида
следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком
промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое
из данных выражений:
Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая),
синус которой равен sin x;
 и 
Областью определения функции 
служит интервал  ,
так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента 
содержится на сегменте 
. При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от
значения х.
Так, например, при х=π/6 имеем:
но при х=5π/6
В силу периодичности синуса функция arcsin x также является
периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте
[-π/2; 3π/2] величиной 2π.
Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом
сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае
дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как
 , то имеем y=π-х;
в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если
значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь
периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2π
Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то
y=-π-х
Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то
y=х+2π
Вообще, если  , то
y=х-2πk
и если  , то
y=(π-х)+2πk
График функции 
представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных
звеньев.
Рассмотрим функцию 
Согласно определению арккосинуса, имеем:
cos y = cos x, где 
Областью определения данной функции является множество всех действительных
чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х
принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту
[π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и 
, поэтому:
Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x
Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π
Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x
Вообще, если  , то y = x - 2πk
Если же  , то y = -x + πk
Графиком функции  является ломаная линия
Формулы сложения
Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких)
аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций;
над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В
соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной
аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут
получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется
значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где
 ; 
В данном случае  (т.к.  , а следовательно,  ), а также  , поэтому  .
Вычислив синус дуги γ, получим:
Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то
Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в
виде арктангенса. Имеем:
Откуда
Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму 
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во
второй четверти, т.к. 
, а  . Вычисляем 
В рассматриваемом примере 
, так как дуги γ и 
заключены в различных интервалах,
 , а 
В данном случае 
Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в
виде арккосинуса.
Решение: имеем
Обе дуги γ и 
расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно,
эти дуги равны: 
Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи
произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы
сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений.
Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим
образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2
(первая четверть):
 , и 
Сумма α + β заключена в верхней полуокружности 
, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой
выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде
арккотангенса:
 ;
Разность α – β заключена в правой полуокружности: 
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде
арктангенса:
 ;
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в
интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов
можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а
разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде
арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1. Преобразуем в арккосинус  , где  и 
Имеем:
Откуда
2. Аналогично
 , где 0 < x < 1, 0 < y < 1
 , где 0 < x < 1, 0 < y < 1
Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
1. Выразить сумму  через арксинус
По определению арксинуса
 и  ,
откуда
Для дуги γ возможны следующие три случая:
Случай 1: 
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно
нулю, то имеет место случай 1.
В самом деле, при  и  , имеем:
 , и  ,
откуда
При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из
следующих двух систем неравенств:
а)  б) 
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого
случаи а) и б), является выполнение неравенства:
 в случае а) и  в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой
взаимно исключающие следствия 
и  (соответственно),
а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия
данных соотношений.
Вычислив  , получим:
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е.  или
Откуда
 и, следовательно, 
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
 ;
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
 или 
Случай 2. 
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия  получим 
Случай 3. 
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и 
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
откуда 
Дуги γ и 
имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) 
, следовательно в случае 1 
;
в случае 2  и в случае 3  .
Итак, имеем окончательно:
  ,  или 
  ; x > 0, y > 0, и  (1)
 ; x < 0, y < 0, и 
Пример:
 ; 
2. Заменив в (1) x на –x получим:
  ,  или 
  ; x > 0, y > 0, и  (2)
 ; x < 0, y < 0, и 
3. Выразить сумму  через арккосинус
 и 
имеем
Возможны следующие два случая.
Случай 1:  если  , то
Приняв во внимание, что обе дуги 
и  расположены в
промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
и следовательно,  , откуда 
Случай 2:  . Если  , то
 ,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим 
. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если 
, а случай 2, если
 .
Из равенства  следует, что дуги
 и  имеют одинаковый косинус.
В случае 1  , в случае 2  , следовательно,
   , 
 ,  (3)
4. Аналогично
   , 
 ,  (4)
пример: 
5.
  ; xy < 1
 
; x > 1, xy > 1
(5)
 ; x < 0, xy > 1
При xy=1 не имеет смысла
6.
  ; xy > -1
  ; x > 0, xy < -1 (6)
 ; x < 0, xy < -1
7.
  ; 
  ;  (7)
 ; 
8.
   ;  (8)
 ; 
9.
  ; 
 
; x > 1
(9)
 ; x < -1
10.  (10)
(11)
   , если  (12)
 , если 
|
