Методические указания: Методические указания и рабочая программа по курсу «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Государственный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «ХАИ»

Международная Ассоциация выпускников ХАИ

Факультет заочного образования

Методические указания и рабочая программа по курсу

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Для студентов заочной формы обучения

Харьков ХАИ 1998

Утверждено методической

комиссией факультета № 9

(Протокол №'3 от 11 декабря 1997г.)

СОСТАВИТЕЛИ :

Брысина Ирина Викторовна Головченко Александр Васильевич Кошевой Георгий

Иванович Кощавец Петр Тихонович Крашаница Юрий Александрович Николаев Алексей

Георгиевич Проценко Владимир Сидорович Рвачев Владимир Алексеевич Томилова

Евгения Павловна Ушакова Елена Григорьевна Хоменко Владимир Васильевич

Содержание

тема НАИМЕНОВАНИЕ ТЕМЫ

Стр.

Введение. ............. 5

Программа курса по высшей математике 8

раздел 1. Матрицы и определители. Векторная алгебра.

Аналитическая геометрия.

Элементы линейной алгебры. . ... 13

Тема 1.1. 'Матрицы и определители. Системы

линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ) ................ 13

Тема 1.2. Векторная алгебра .... ....24

Тема 1.3. Прямая и плоскость. ........ 34

Тема 1.4. Преобразование координат на плоско­сти.

Элементарная теория линий второ­го порядка. 41

Тема 1.5. Некоторые сведения о линейных

векторных пространствах. Собственные

числа и собственные векторы. .... 44

Тема 1.6. Квадратичные формы. Приведение

каноническому виду уравнений линии и

поверхности второго порядка. .... 49

Дополнение 1.1. Образец выполнения и оформления

контрольной работы N 1. « Векторная алгебра и

аналитическая геометрия.

'Матрицы. Элементы линейной алгебры.» 53

раздел 2. Дифференциальное исчисление. .... 59

Тема 2.1. Введение в анализ. .......... 59

Тема 2.2. Производная и дифференциалы. .... 64

тема 2.3. Приложения производной. ....... 66

Тема 2.4. Комплексные числа. ......... 71

Дополнение 2.1. Образец выполнения и оформления

контрольной работы N 2 «Дифференци­альное

исчисление.». . . 72

раздел 3. Функции нескольких переменных.... 76

Тема 3.1. Частные производные. ........ 76

Тема 3.2. Экстремум функции. ......... 78

тема 3.3. Геометрические приложения функций

не­скольких переменных. ........ 80

раздел 4. Интегральное исчисление функции одной

переменной............. 82

Тема 4.1. Неопределенный интеграл. ...... 82

Тема 4.2. Определенный интеграл. ....... 91

Тема 4.3. Несобственный интеграл. ....... 97

раздел 5. Дифференциальные уравнения. ..... 102

Тема 5.1. Уравнения первого порядка. ..... 102

Тема 5.2. Уравнения высших порядков. . . .•. . 103

Тема 5.3. Системы дифференциальных уравнений.

105 Дополнение 5.1. Образец выполнения и оформления кон-

трольной работы

N 3. «Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных.

Интегральное исчисление функций

одной переменной. Дифференциальные

уравнения.» ............ 106

раздел б. Кратные интегралы. Элементы теории

векторного поля. .......... 112

Тема 6.1. Некоторые вспомогательные

определения. ............ 112

Тема 6.2. Двойной интеграл. .......... 112

Тема 6.3. Тройной интеграл. .......... 126

Тема 6.4. Криволинейные интегралы. ...... 132

Тема 6.5. Элементы векторного анализа. .... 137

раздел 7 Числовые и функциональные ряды. Ряды

Фурье . Интеграл Фурье....... 145

Тема 7.1. Числовые ряды. Ряды с положительными

Членами. Ряды с членами любого знака.

Знакочередующиеся ряды. .... 145

Тема 7.2. Функциональные ряды. Приложения рядов

к приближенным вычислениям. Приближенное

решение дифференциальных уравнений. ........... 148

Тема 7.3. Ряды Фурье. ............ 152

Тема 7.4. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

155 Дополнение 7.1. Образен выполнения и оформления

контрольной работы N 4. «Кратные

интегралы. Ряды. Ряды Фурье.» . . . 157

ВВЕДЕНИЕ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоя­тельная

систематическая работа над учебным материалом. Организуе­мые для студентов

лекции, практические занятия и консультации при­званы помочь им в

самостоятельной работе. Количество часов, отве­денных на аудиторную работу

составляет 25 процентов от общего чис­ла часов, отведенных на изучение курса.

Общий курс математики является фундаментом математического образования

инженера. Преподавание математики имеет целью выработ­ку у студентов умения

проводить анализ прикладных задач и овладе­ние основными математическими

методами исследования и решения та­ких задач.

В настоящем пособии приведена программа курса по высшей мате­матике с

указанием количества часов, отводимых на изучение темы, указано, в какой

последовательности надо изучать рекомендуемую ли­тературу, какие задачи

необходимо решить. Каждый раздел содержит ссылку на литературу, позволяющую

изучить основной теоретический материал, вопросы для самопроверки, номера

задач, которые рекомен­дуются к решению, краткие методические указания. После

изучения темы необходимо выполнить контрольную работу. Приведены образцы

оформления и выполнения контрольных заданий.

В пособии используется тройная нумерация формул, примеров и рисунков. Первая

цифра указывает номер раздела, вторая - номер те­мы, третья - порядковый

номер объекта на который производится ссылка.

Для изучения курса высшей математики студенту рекомендуется следующая

литература, применительно к которой и составлено настоя­щее пособие.

Список использованной и рекомендуемой литературы

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб­ры . -

М.:Наука,1985.

2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической

геометрии и линейной алгебре. -М.:Наука, 1987 .

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1972.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. -

М. : Наука,, 1980.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Крат­ные

интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М. : Нау­ка, 1981.

6. Будак В.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М., 1927.

7. Вища математика. Оснсвны означення, приклади і задачі. Навчальний

посібник. /Кулініч Г.Л., Максименко В.В. та ін./. В 2-ох кн.

-К.: Либідь, 1994.

8. Данко П.Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в упражнениях

и задачах. В 2 ч. М., 1980.

9. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2 ч.

-М.: Наука, 1982.

10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. -М. : Наука, 1982.

11. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во

Харьк. Ун-та, 1965.

12. Краснов М.Л., Киселев А.И./ Макаренко Г.И. Векторный анализ. -М. : Наука,

1978.

13. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным

дифференциальным уравнениям. -М.: Высшая школа, 1978.

14. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в приме­рах и

задачах. -М.: Наука, 1965.

15. Минорский В.Д. Сборник задач по высшей математике. -М.: Наука, 1987.

16. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. -М. : Наука, 1973.

17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2т. -М.:

Наука, 1968.

18. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. -М. : Нау­ка, 1984.

19. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и спе­циальные

функции. Преобразование Лапласа. -М. : Наука, 1980.

20. Сборник задач по математике. В 4ч. (Под редакцией Ефимова А.В.,

Демидовича Б.П.) -М.: Наука, 1981. Ч. 1-2.

21. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геомет­рии. -М.:

Наука, 1966.

22. Эльсгольц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М. :

Наука, 1961.

Учебно-методические пособия кафедры высшей математики I.

І. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

23. Найда Л.С., Рвачев В.А., Колодяжный В.М. Элементы линейной ал­гебры и

теории матриц. (Учебное пособие) ХАЙ, 1981.

24. Найда Л.С., Рвачев В.А., Колодяжный В.М. Линейные операторы и

квадратичные формы. (Учебное пособие) ХАЙ, 1982.

25. Робочий зошит з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. ХАИ, 1997.

II. Математический анализ

26. Желдакова Л.В., Ушакова Е.Г. Приложение дифференциального ис­числения к

некоторым задачам физики и механики (учебное пособие) ХАИ, 1987,. .

27. Желдакова Л.В., Ушакова Е.Г. Дифференциальные уравнения. Харьков. ХАИ, 1991.

28. Забара С.И., Крашаница Ю.А. Элементы гармонического анализа (Учебное

пособие) ХАИ, 1981.

29. Искусство вычисления интегралов (Методические указания). Сост. Мещеряков

С.Ф. ХАИ, 1989,,

30. Кошевой Г.И. Николаев А.Г. Дифференциальное и интегральное ис­числение.

Примеры и задачи. Учебное пособие ХАИ, 1991, 87 с.

31. Кошевой Г.И., Старец Г.А. Числовые и функциональные ряды. Харьков, ХАИ,

1988.

32. Краснов В.П., Крашаниця Ю.А., Щербакова Ю.А. Задачі та вправи з курсу

вищої математики. ХАИ, 1994.

33. Лекции по высшей математике для студентов-заочников ХАИ. В Зч. Харьков,

ХАИ, 1998.

34. Мещеряков С.Ф. Исследование функций и построение графиков в полярной

системе координат и заданных параметрических ХАИ, 1991.

35. Мещеряков С.Ф. Построение графиков в полярной системе коорди­нат (учебное

пособие по высшей математике) ХАИ, 1975.

36. Робочий зошит з математичного аналізу. (Інтегрування функій однієї

змінної. Звичайні диференціальні рівняння. Кратні інтеграли.) Ч. 2.

ХАИ, 1998.

37. Скибин А. А. Интегральное исчисление и его приложения к задачам

геометрии, механики и физики. -Харьков, ХАИ, 1987.

38. Скибин А.А. Кратные интегралы и их приложения к задачам гео­метрии,

механики, физики. -Харьков, ХАИ, 1988.

39. Цымбалюк В. В. Применение криволинейных интегралов в задачах теории

поля. -Харьков, ХАИ, 1987.

40. Ярмолюк В.К., Лазарев А.И. Несобственные интегралы и интегра­лы,

зависящие от параметра. (Учебное пособие) ХАИ, 1983.

ПРОГРАММА КУРСА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

(70 часов)

1. Квадратные матрицы и определители второго и третьего порядков, их

свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка.

Вычисление определителей. Системы линейных алгебраи­ческих уравнений 2-го, 3-

го и n-го порядков. Правило Крамера.

2. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица. Матричный метод решения

линейных уравнений. Ранг матрицы и его вычисление. Тео­рема о базисном

миноре. Исследование системы линейных уравнений общего вида. Теорема

Кронекера-Капелли. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических

уравнений.

3. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами и

их свойства. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение по базису.

Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Деление отрезка в

данном отношении.

4. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя

векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.

5. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение, его свойст­ва.

Векторное произведение в декартовой системе координат.

6. Смешанное произведение, его свойства. Вычисление смешанного произведения в

декартовой системе координат. Геометрический смысл определителя третьего

порядка. Компланарность трех векторов.

7. Прямая. Различные способы задания прямой на плоскости

(векторная и координатная формы) . Угол между двумя прямыми. Ус­ловия

параллельности и перпендикулярности прямых.

8. Векторная и координатная формы задания плоскости и прямой в и в

пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

9. Линии второго порядка, их канонические уравнения и свойства. Переход от

одной декартовой системы координат к другой на плос­кости.

10. Линейные пространства. Примеры. Линейная зависимость элемен­тов.

Евклидово пространство. Примеры. Неравенства Коши-Буняковского и

треугольника. Угол между векторами. Ортогональ­ность .

11. Понятие о линейном операторе и его матрице в данном базисе. Примеры

линейных операторов. Собственные векторы и собственные значения линейных

операторов.

12. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

13. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к ка­ноническому виду.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (274 часа)

1. Введение в анализ (20 часов)

1.1. Числовые множества. Точные верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение предела числовой последовательности и не­которые ее свойства.

Бесконечно малые и бесконечно большие по­следовательности. Арифметические

операции с последовательностя­ми. Существование предела монотонной

последовательности. Число е.

1.2. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши

(формулировка). Функции. График функции. Свойства пределов функций.

1.3. Замечательные пределы. Следствия из них. Бесконечно малые и 'бесконечно

большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно

малые функции, их использование при оп­ределении пределов. Непрерывность

функций в точке. Классификация точек разрыва.

2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(30 часов)

2.1. Локальные и глобальные свойства функции. Свойства функций, непрерывных

на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса и ' теорема Коши).

Определение и свойства производной функции. Геометрический и механический

смысл производной.

2.2.. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Производные обратных тригонометрических функций. Функции, задан­ные

параметрически. Их дифференцирование. Таблицы производных простейших

элементарных функций. Дифференциал и его свойства.

2.3. Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производ­ная от

функции, заданной параметрически. Производная вектор-функции и ее

геометрический смысл. Возрастание (убывание) функ­ции в точке. Теоремы Ролля,

Лагранжа, Коши. Следствия из теоремы Лагранжа. Отыскание локальных и

глобальных" экстремумов функций. Раскрытие неопределенностей по правилу

Лопиталя.

3. Применение дифференциального исчисления для исследования функ­ций и

построения графиков (26 часов)

3.1. Формула и ряд Тейлора. Бином Ньютона, формулы Тейлора для элементарных

функций. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асим­птоты функции. Построение

графиков функций.

3.2. Векторные функции скалярного аргумента и их дифферен­цирование.

Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной прямой

и- нормальной плоскости.

3.3. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

4. Элементы высшей алгебры (8 часов)

4.1. Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на

плоскости. Геометрический смысл. Модуль и аргумент ком­плексного числа.

Алгебраическая и тригонометрическая формы ком­плексного числа. Формула

Эйлера.

4.2. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложе­ние

многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные

множители. Разложение рациональных дробей на про­стейшие.

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких

переменных (20 часов)

5.1. Область определения. Предел функции, непрерывность. Дифферен-цируемость

функции нескольких переменных, частные производные и полный дифференциал,

связь с частными производными. Производные от сложных функций. Инвариантность

формы полного дифференциала. Производные неявной функции.

5.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл

полного дифференциала функции двух переменных.

5.3. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости результата

дифференцирования от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших

порядков.

5.4. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.

5.5. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремумы функций

нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный

экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области.

Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений.

6. Интегральное исчисление функций одной переменной (40 часов)

6.1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства

не­определенного интеграла. Таблица интегралов. Интегрирование по частям и

методом замены переменной.

6.2. Интегрирование рациональных дробей, простейших

триго­нометрических выражений, линейных и дробно-линейных ирра-

циональностей. Квадратичные иррациональности.

6.3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычислений. Не­собственные

интегралы. Приложения определенных интегралов в гео­метрии и механике.

7. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (44 часа)

7.1. физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися

переменными, однородные и приводящиеся к однородным, линейные уравнения,

уравнения в полных дифференциалах.

7.3. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Понятие особого решения дифференциального уравне­ния. Огибающая семейства

кривых.

7.4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Рюши. По­нятие о

краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и

единственности решения задачи Коши, Понятие об­щего и частного решений.

7.5. Уравнения допускающие понижение порядка. Линейные диф­ференциальные

уравнения высших порядков. Линейно-зависимые и ли­нейно-независимые системы

функций. Определитель Вронского, его свойства.

7.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами, линейная независимость их решений, фундаменталь­ная система

решений.

7.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с по­стоянными

коэффициентами. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации

произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами со спе­циальной правой частью.

7.8. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Реше­ние

нормальной системы методом исключения. Задача Коши для нор­мальных систем.

7.9. Элементы теории устойчивости.

8. Криволинейные интегралы (6 часов)

8.1. Криволинейные интегралы первого рода, вычисление.

8.2. Криволинейные интегралы второго рода, вычисление, приложения.

Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегриро­вания,

криволинейный интеграл от полного дифференциала, восста­новление функции по

полному дифференциалу.

9. Кратные интегралы (38 часов)

9.1 Двойной интеграл, условия существования и свойства. Вычисление двойного

интеграла в декартовой и полярной системах координат.

9.2 Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройного интеграла в

декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Приложение

кратных интегралов к решению геометрических, механи­ческих и физических

задач.

9.3 Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, вычисление. Формулы Гаусса-

Остроградского, Стокса.

9.4 Скалярное поле и его характеристики. Векторное поле. Векторные линии и

трубки, их дифференциальные уравнения. Поток векторного поля через открытую и

замкнутую поверхность, его свойства, вы­числение.

9.5 Дивергенция векторного поля, физический смысл, свойства, вы­числение.

Теорема Остроградского.

9.6 Ротор векторного поля. Физический смысл, свойства, вычисление. Линейный

интеграл, циркуляция вектора поля по контуру, вычисле­ние. Теорема Стокса.

9.7 Векторные дифференциальные операции первого и второго поряд­ков. Оператор

«набла», свойства, действия с оператором. Основные типы векторных

полей: соленоидальное, потенциальное, гармоническое, их характеристики.

Потенциал векторного поля, его вычисление. Основная теорема векторного

анализа.

10. Ряды. Преобразование Фурье (42 часа)

10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая про­грессия.

Необходимое условие сходимости ряда. Простейшие дейст­вия над рядами. Ряды с

положительными членами.

10.2. Теоремы сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Ин­тегральный

признак сходимости ряда.

10.3. Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака.

Знако­чередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка ряда.

Знако­переменные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о

сходимости абсолютно сходящегося ряда. Ряды с комплексными чле­нами .

10.4. Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходи­мость.

Признак Вейерштрасса.

10.5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости, интервал и радиус

сходимости для рядов с действительными членами. Теорема о равномерной

сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы. Ин­тегрирование и

дифференцирование степенных рядов.

10.6. Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в степенной

ряд. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Применение

степенных рядов к решению дифференциальных уравнений. Приближенные

вычисления.

10.7. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Приближение в среднем. Свой­ства

минимальности коэффициентов Фурье. Теорема о сходимости в среднем и

поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье.

10.8. Понятие ортонормированной системы функций. Разложение в ряд Фурье четных и

нечетных функций/ заданных на интервале (-ЗТ,^Г) . Разложение в

тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале (a, b).

Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла и ряда Фурье. Преобразование Фурье.

Синус- и косинус- преобразова­ния Фурье. Свойства преобразования Фурье.

Раздел 1. Матрицы и определители. Векторная алгебра. Ана­литическая

(СЛАУ)

Учебники: [1, гл.5, § 1-6], [10, дополнение к гл. 1],[16, гл. 6, 11, § 1].

Аудиторная работа: [2, N 14.4(6), 14.7(2), 14.21(9), 15.2(3), 15.5(1-3,9),

15.45(1,2), 15.65(1), 16.18(1,4,12,20), 17.2(1,3), 19.1(3,9)], [7, гл.2, §

1-3, N 1, 2(1,3), 3(1,3), 5, 19(1,2,4), 20(1,2), 22(13), 24(3,7), 25(1,4),

29(1)], [18, N 5, 11, 23, 55, 75, 82, 257, 260, 608, 609, 689, 700, 725],

[20, ч.1, гл.3, § 1-4, N 3.1, 3.8, 3.12, 3.55, 3.78, 3.80, 3.91, 3.106,

3.114, 3.121, 3.150, 3.187, 3.192, 3.198, 3.207, 3.210], [25, занятия

1(1.2.1, I.2.3, 1.2.9, 1.2.15), 2(2.2.2.-2.2.4)] 10(10.2.1.,10.2.4(6-

Д),10.2.5,10.2.7), 11(11.2.1(а,б,в), 11.2.2(а,б), 11.2.3(а,б),

II.2.4) , 12 (12.2.1 (а, б, в, г) , 1.2.2.2, 12. 2. 4, 12. 2. 5 (в) ,12.2.7

(в) )].

Самостоятельная работа: [2, N 14.7(3,4), 14.21(11,12), 15.5(7,9,13),

15.45(4,7), 15.65(2,4), 16.18(6,12,20,21), 17.2(2,4,5),

19.1(2,3,5,8,10)], [7, гл.2, §1-3, N 2(2,4), 3(2,4), 19(3,5,6,8), 20(3,4),

22(3,4), 24(4,5,7,8), 25(3,5), 29(2)], [18, N 6, 11, 17, 25, 43, 44, 83, 84,

116, 118, 258-260, 270, 554, 690, 691, 698, 726, 727, 729], [20, ч.1, гл.3, §

1-4, N 3.2, 3.13, 3.56, 3.57, 3.79, 3.91, 3.85, 3.92, 3.110, 3.119, 3.124,

3.151, 3.152, 3.208, 3.211, 3.215], [25, задания 1, 2(2.3.1-2.3.5), 10, 11,

12].

Прямоугольной матрицей называется совокупность m∙ n чисел,

расположенных в таблице из m строк и n столбцов

Числа aji , i=1,m, j=1,n, входящие в данную таблицу, называются

матричными элементами, а индексы i и j элемента aji указывают

(соответственно) номера строки и столбца, в которых расположен элемент.

Если m=n, то матрица называется квадратной. Квадратная матри­ца из n строк и

n столбцов, называется матрицей n-го порядка. Каждой матрице порядка n

ставится в соответствие число, которое называет­ся определителем или

детерминантом этой матрицы и обозначается од­ним из следующих символов

Числа aij (i, j=1,n) называются элементами определителя.

Если определитель матрицы равен 0, то матрица называется осо­бенной

(вырожденной), а если определитель отличен от 0 - то матри­ца неособенная

(невырожденная).

Квадратная матрица называется симметрической, если aij = aji,

т.е. равны элементы, симметричные относительно главной диагонали (главная

диагональ образована элементами aji , i=1,n

Диагональной называется матрица, у которой все элементы, не принадлежащие

главной диагонали равны 0.

Единичная матрица - это диагональная матрица, у которой все элементы

главной диагонали равны 1. Обозначается единичная матрица буквами Е или I.

Пример 1.1.1.

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одина­ковые

размерности и равные соответствующие элементы.

Матрица АТ , полученная из данной матрицы А заменой

каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной

от­носительно А . Если матрица А имеет размеры m∙ n, то

матрица АТ имеет размеры n∙m.

Пример 1.1.2.

Линейными операциями над матрицами называются операции сложе­ния (вычитания)

и умножения на число. Сложение и вычитание опреде­ляется только для матриц

одинаковых размеров.

Суммой (разностью) двух матриц А={aij}mn и В={bij}mn называется

матрица С={cij}mn, для которой cij = aij ± bij , i=1,m, j=1,n.

Произведением матрицы А={aij}mn на число α называется матрица

В= α {aij}mn для которой bij = α aij , i=1,m, j=1,n.

Пример 1.1.3.

Даны матрицы

и число α = 4. Вычислить матрицы: С=А+В, D=A-B, М = а4

Умножение матриц А и В, т.е. получение произведения этих матриц С = АВ

, возможно лишь в том случае, когда число столбцов матрицы А равно

числу строк матрицы В . Такие матрицы называются согласованными.

Произведением двух согласованных матриц Аmk={aij}mk и Вkn={bij}kn

называется такая третья матрица Сmn={cij

}mn для кoторой каждый элемент cij

, i=1,m, j=1,n.вычисляется по формуле (рис. 1.1.1.)

Пример 1.1.4. Вычислить произведение матриц

Можно ли получить произведение BA ?

Число столбцов матрицы A(3) равно числу строк матрицы В(3).

Поэтому произведение АВ= С определено. Матрица С имеет

размер­ность 2х4, а её элементы вычисляются по формуле (1.1.2)

Произведение B∙A не определено, т.к. число столбцов матрицы B(4)

не равно числу строк матрицы А(2).

Определителем (1.1.1) матрицы второго порядка называется число

Определителем матрицы третьего порядка называется число

Студенту следует обратить внимание на правила треугольника и Сильвестра

вычисления определителей третьего порядка. Пример 1.1.5. Вычислить

определитель

Минором М ij (i, j=1,n) элемента а

ij определителя называется опре­делитель, который получается из

данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых

находится элемент аij .

Алгебраическим дополнением Аij (i, j=1,n)

элемента аij определи­теля называется его минор взятый со

знаком (-1)i+j, т.е.

Аij=(-1)i+j Mij (1.1.3)

Пример 1.1.6. Записать миноры и алгебраические дополнения элементов

определителя примера 1.1.5.

и т.д. Всего можно записать 9 миноров и 9 алгебраических дополне­ний

элементов и определителя матрицы третьего порядка.

Замечание Определители матриц n-го порядка (n =1,2...) короче называют

определителями n-го порядка.

Свойства определителей:

1) определитель не изменится, если транспонировать матрицу опреде­лителя;

2) при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак;

3) определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0;

4) общий множитель для элементов строки (столбца) можно вынести за знак

определителя;

5) определитель равен 0 , если все элементы строки (столбца) равны нулю;

6) определитель не изменится, если к элементам строки (столбца), прибавить

элементы другой строки (столбца), предварительно умно­жив их на один и тот же

множитель;

7) определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на

их алгебраические дополнения

Например:

Пример 1.1.7. Вычислить определитель примера 1.1.5., исполь­зуя свойство 7

определителей (разложение произвести по элементам первого столбца)

По аналогии с формулой (1.1.4) вводятся определители n-го по­рядка

Пример 1.1.8. Используя свойства 1-7 определителей, вычислить определитель

четвертого порядка

Матрицей, обратной к матрице А, называется квадратная матри­ца

А-1, такая что A-1 А = Е

Если матрица А невырожденная (det A¹O), то обратная

матрица А-1 находится по формуле

где Aij (i, j =

1,n)

- алгебраические дополнения элементов аij (1.1.3)

Пример 1.1.9. Найти матрицу, обратную к данной матрице

Вычислим определитель матрицы А

По формуле (1.1.6) находим (вычисление алгебраических допол­нений элементов

матрицы А рассмотрено в примере 1.1.6) :

Проверка :

Студентам рекомендуется провести вычисление обратной матрицы методом

элементарных преобразований.

Рангом матрицы А размерности тхп называется наибольший из

порядков её миноров, отличных от нуля. Если ранг матрицы A равен r,

то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля ми­нор порядка

r , но всякий минор порядка большего, чем r, равен 0.

Ранг матрицы обозначается r(А) .

Свойства ранга матрицы А размерности т´ п

1) 0 ≤ r ≤ rnin(m,n);

2) r =0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая;

3) для квадратной матрицы n-го порядка r=n тогда и только тогда, когда

матрица невырожденная;

4) ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы;

5) ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть (дописать) нулевую строку

(столбец);

6) ранг матрицы не изменится, если к элементам строки матрицы при­бавить

элементы другой строки матрицы, предварительно умноженные на некоторое число;

7) ранг матрицы не изменится, если переставить любые строки (столбцы) матрицы.

Пример 1.1.9. Найти ранг матрицы А

RgA=2 т.к. имеется отличный от нуля определитель второго порядка,

например

Студент должен уметь решать системы линейных алгебраических уравнений (в

дальнейшем СЛАУ)

1) по формулам Крамера и матричным методом (в случае, когда матри­ца

А системы невырожденная) ;

2) произвольные СЛАУ с использованием теоремы Кронекера-Капелли методом Гаусса.

Рассмотрим примеры на применение этих методов.

1) Предположим СЛАУ имеет невырожденную матрицу порядка п.

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

... ... ... ...

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

Правило Крамера. Если главный определитель СЛАУ отличен от нуля

(∆≠O), то СЛАУ имеет единственное решение, которое находится по

формулам

Матричный метод. Если матрица СЛАУ невырожденная, то решение СЛАУ может

быть найдено по формуле

X = A-1B

(1.1.8)

где матрица А-1 вычисляется по формуле (1.1.6 ), либо методом

эле­ментарных преобразований.

Пример 1.1.10. Решить СЛАУ

а) по формулам Крамера;

б) методом обратной матрицы

Запишем матрицу системы А, матрицу-столбец неизвестных X и

матрицу-столбец свободных членoв Х :

б)Воспользуемся формулой Х =А-1В, где матрица A-1 вычислена в при­мере 1.1.9.

2) Предположим, что матрица СЛАУ имеет размерность mxn. В этом случае СЛАУ

имеет вид

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2

... ... ... ...

am1x1+am2x2+...+amnxn=bm __

Запишем расширенную матрицу системы А.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных .алгебраических уравнений

совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен

рангу матрицы системы.

Для решения произвольных СЛАУ применяется метод Гаусса. Сущ­ность метода

состоит в том, что расширенная матрица СЛАУ приводит­ся

к ступенчатому виду.

Пример 1.1.11. Решить систему

x1+7x2+3x3+2x4=6

2x1+5x2+2x3+3x4=4

7x1+4x2+x3+9x4=2

В этой системе m=3 - количество уравнений; n=4 - количество неиз­вестных.

Запишем расширенную матрицу системы А и преобразуем ее к сту­пенчатому виду

_

RgA=2, rgA=2. По теореме Кронекера-Капелли СЛАУ совместна. Укороченная

СЛАУ имеет вид:

x1+7x2+3x3+2x4=6

9x2+4x3+x4=8

В качестве базисных неизвестных выберем неизвестные х1 и x

2, а не­известные, x3, x4 примем за

свободные, полагая x3=C1, x4=C2.

Тогда СЛАУ может быть записана в виде

x1+7x2=6-3C1-2C2

9x2=8-4C1-C2

x3=C1

x4=C2

Откуда находим

или окончательно получим

Пример 1.1.12. Решить систему

x1+2x2-3x3+x4=-4

2x1-x2+x3-x4=2

-x1+3x2-x3+3x4=0

2x1+4x2-3x3 +2x4=3

Система линейных алгебраических уравнений несовместна.

Замечание. Однородные СЛАУ всегда совместны, т.к. ранги расширен­ной

матрицы системы и матрицы системы совпадают.

Вопросы для самопроверки

1. Какие матрицы называются равными?

2. В каких случаях возможно перемножение двух матриц ?

3. В каких случаях существуют произведения как АВ так и ВА?

4. Что называется минором и алгебраическим дополнением элементов

матрицы ? В чем отличие между ними ?

5. Сформулируйте правило Крамера.

6. Как осуществляется транспонирование матрицы ?

7. В чем суть метода элементарных преобразований получения обрат­ной матрицы ?

8. Что такое ранг матрицы ?

9. Что такое основная и расширенная матрицы системы ?

10. Сформулируйте и поясните на примерах теорему Кронекера-Капелли.

Тема 1.2. Векторная алгебра

Учебники: [1, гл.1, § 1-3], [10, гл.2]/ [16, гл.7].

Аудиторная работа: [2, N1.4, 1.10(1), 2.1(1), 2.2(1), 2.3(1)-2.8(1), 2.28,

3.1(1), 3.8, 3.19(1), 3.20(1), 3.23], [7, гл.3, N1(1), 2, 3, 8(1), 10, 11(1),

12(1), 14(1)], [20, ч.1, гл.2, N2.9, 2.35, .2.43, 2.78, 2.79, 2.100(a),

2.102, 2.106(a), 2.107, 2.118, 2.127(a), 2.132, 2.137], [25, занятия

2(2.2.9,2.2.10), 3(3.2.1, 3.2.3, 3.2.5-3.2.7), 4(4.2.4-4.2.6), 5(5.2.2,

5.2.5-5.2.7)].

Самостоятельная работа: [2, N1.5, 1.7, 1.10(2,3), 2.1(2-5), 2.2(2), 2.3(2,

3)-2.8 (2,3) , 2.29, 2.30, 3.1(2,3), 3.19(2,3), 3.20(2)], [7, гл.3,

N1(2), 4, 6, 7, 8(2), 9, 11(2), 12(2), 14(2)], [20, ч.1, гл.2, N2.11,

2.32, 2.44-2.46, 2.82-2.84, 2.86, 2.100(б, в), 2.106(6,в), 2.108,

2.119, 2.127(6), 2.133, 2.134], [25, задания 2(2.3.6, 2.3.7), 3, 4, 5].

Для отвлеченного изображения конкретных векторных величин ис­пользуются

векторы. Вектором (геометрическим) называется направ­ленный отрезок прямой.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую

длину. Положение начальной точки таких векторов не играет никакой роли.

Поэтому геометрические век­торы называются свободными.

При изучении темы «Векторная алгебра» студенту следует обра­тить внимание на

ниже рассмотренные вопросы.

1. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).

Векторы необходимо уметь складывать как по правилу треугольни­ка, так и по

правилу параллелограмма.

2. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость

векторов. Базисные векторы. Декартов базис.

Пример 1.2.1. Указать при каких значениях α и β возможно ра­венство

αa + βb = 0, где а° и b° единичные векторы

(a0=a / |a|, b0=b / |b| ). Для решения приведенной задачи необходимо

рассмотреть возможное расположение векторов а и b :

Рис .1.2.1 Pис .1.2.2

Рис .1.2.3

a) векторы а и b сонаправлены (Рис. 1.2.1), тогда α=-β;

b) векторы а и b имеют противоположное направление (рис.1.2.2).

В этом случае α=β ;

с) векторы а и b образуют между собой угол φ. При этом угол

φ от­личен от 0 и π радиан (рис.1.2.3). Приведенное в условии

равен­ство возможно лишь при α=β=0.

Рассмотренный пример дает представление о линейной зависимо­сти и

независимости векторов (важнейшее положение темы «Векторная алгебра»).

Линейной комбинацией п векторов хi (i=1,n)

называется сумма произведений этих векторов на действительные числа а

i (i=1,n), а именно

(В рассмотренном примере записана линейная комбинация 2х единичных

векторов а° и b° ) .

Векторы хi (i=l,n) называются линейно-зависимыми, если их

ли­нейная комбинация (1.2.1) равна нулю, а среди коэффициентов ai

(i=l,n) имеется хотя бы один отличный от нуля. На рис. 1. 2 .1-1. 2 . 2

изображены два линейно зависимых вектора. Они могут быть располо­жены на одной

прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора, расположенные на одной либо на двух параллельных прямых, называются

коллинеарными.

Условие коллинеарности векторов а = λb , где λÎR.

Если три вектора расположены в одной либо в параллельных

плоскостях, то они называются компланарными.

Компланарные векторы линейно зависимы. Необходимое и достаточное условие -

компланарности векторов:

с = αа+βb .

Векторы xi (i=l,n) называются линейно-независимыми, если ра­венство

нулю их линейной комбинации (1.2.1) возможно лишь в том случае, когда

коэффициенты ai(i=l,n) одновременно равны 0.

Случай двух линейно-независимых векторов представлен на

рис. 1.2.3 (линейная комбинация αа+βb равна нулю лишь при

одновре­менном обращении в ноль α и β) .

Пример 1.2.2. Векторы а,b,с некомпланарны (линейно независи­мы).

Доказать, что векторы m=a+2b-c, п=За-b+с и р=а+5b-Зс

компланарны и найти их линейную зависимость.

Приравняем к нулю линейную комбинацию векторов т,п,р (αт+

βn+γk = 0) и подставим в равенство разложения векторов т,п,р

по векторам а, b,с .

γ)a+(2 α - β+5 γ)b+(- α+ β-3 γ)c=0

Равенство нулю линейной комбинации векторов а,b,с возможно лишь в том

случае, когда коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Из этого условия

получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую решим методом Гауса

(пример 1.1.11)

Коэффициенты равной нулю линейной комбинации векторов т,п,р могут быть

отличны от нуля, следовательно векторы т,п,р линейно зависимы

(компланарны). Подставляя α, β, γ в равенствo

αт+βп+γp=0 и сокращая на С, получим -2т+ n+k = 0 .

С понятием линейной независимости векторов тесно связано та­кое фундаментальное

понятие как базис.

Базисом на плоскости Q называется любая упорядоченная пара неколлинеарных

векторов, параллельныx плоскости Q. Любой вектор с,

параллельный плоскости Q, можно представить в виде с= αа+ βb.

Базисом в трехмерном пространстве называется любая упорядо­ченная тройка

некомпланарных (линейно-независимых) векторов. Если а,b,с- базис в

пространстве, то любой вектор d пространства можно единственным образом

разложить по этому базису по формуле:

d= αа+ βb+γc

Декартовым базисом на плоскости (рмс 1.2.4) называются два единичных,

взаимно-перпендикулярных вектора i и j (| i| = |j| =1,

i^j ), совпадающих с положительным направлением осей ОХ и ОУ

соот­ветственно.

рис.1.2.4 рис.1.2.5

Любой вектор плоскости а может быть единственным образом представлен в

виде a=ax i+ay j , где числа аx

и аy называются координатами вектора а .

Декартовым базисом в пространстве (рис.1.2.5.) называются три

единичных взаимноперпендикулярных вектора i,j,k, совпадающих с

по­ложительным направлением осей OX,OY и OZ соответственно. Любой

вектор а может быть единственным образом представлен в виде

a=ax i+ay+az k , где числа аx

, аy , аz называются координатами вектора а.

Если вектор a=АВ задается координатами начальной точки A(xa

, ya, za ) и конечной B(xb, y

b, zb ), то его координаты имеют вид:

a=(xb-xa, yb-ya, zb-za ).

Два вектора а и b равны в том и только в том случае, когда

координаты их равны, т.е. ax=bx, ay=b

y, az=bz.

3.Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением век­торов

а и b называется число равное произведению длин этих век­торов на

косинус угла между ними, т.е.

a b=|a||b|cos(a,b)

(1.2.2 )

Из формулы (1.2.2) для ненулевых векторов можно вычислить ко­синус угла между

векторами

Длина вектора |а| определяется по формуле

|a| =

(1.2.4 )

Из свойств скалярного произведения следует обратить внимание

на коммутативный (перестановочный) закон аb=bа.

Пример 1.2.3. Вычислить угол между векторами а и b , если

а =2т+ Зп , b = т- 2n , |т|=2 , |п|=3, (m,n)=

π/3 . Угол между векторами вычисляется по формуле (1.2.3).

(2т+3n)(m-2n)=2mm-4-тп+Зпт-6пп=2тт-тп-6пп=2·2·3·cos0-2·3·cos(

π/3)--6·3·3·cos0=12-3-54=-45;

Предположим в пространстве задан декартов базис { i , j, k } и два вектора

а = аx i+ ay j+ аz k , b = bx i + by j+ bz k .

В декартовом базисе скалярное произведение векторов и длина векто­ра

вычисляются по формулам:

а b = axbx+ ayby + аzb

z

(1.2.5)

|а| = (1.2.6)

Условие перпендикулярности векторов: аb=0 или

axbx+ ayby + аzbz

=0

(1.2.7)

Условие коллинеарности векторов:

a=λb или

(1.2.8)

Пример 1.2.4. При каком значении α векторы a(2,3,4) и

b(3, α,-1) перпендикулярны?

Используя (1.2.7), имеем ab=6+3α -4=0 или 3α =-2 , α =-2/3

Пример1.2.5.При каких значениях α и β векторы а(2,4,

α) и b(4,β,1)коллинеарны?

Используя условие коллинеарности векторов (1.2.8), имеем:

2/4=4/β=α/1. Откуда 4/β =1/2 или α/1=1/2, β

= 8, а α =1/2

Пример 1.2. 6. Найти вектор b, коллинеарный вектору a(l,-2,-2)

образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |b| =15.

Пусть вектор b имеет координаты bx , by, b

z, Из условия коллинеар­ности (1.2.8) имеем b = λа

или bx = λаx = λ , by

= λаy =-2λ , bz= λа

z=-2λ.

По формуле (1.2.6) вычисляем

Откуда |λ|=5 или λ=±5. Получаем два вектора b; b1

(5,-10,-10) и b2 (-5,10,10). Так угол между вектором b

и ортом j острый, то cos(b,j)>0 и ко­ордината by

>0. Поэтому в качестве вектора b выбираем вектор b2

т.е. b =-5 i+10 j+10k .

4. Векторное произведение векторов.

Необходимо обратить внимание студентов на определение правой и ле­вой троек

векторов (рис.1.2.6 и 1.2.7).

Рис.1.2.6

Рис.1.2.7

Тройка некомпланарных векторов a,b,c называется правой (рис.1.2.6) или

левой (рис.1.2.7), если будучи приведены к общему началу, эти векторы

располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой,

указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Векторным произведением векторов а и b называется вектор с,

который обозначается символом с=а´b и удовлетворяет

следующим трем условиям:

1) вектор с перпендикулярен плоскости векторов а и b;

2)образует с векторами а и b правую тройку;

3)длина вектора с

численно равна площади параллелограмма, постро­енного на векторах а

и b, т.е.

|с|= |a|×|b|sin(a b)

(1.2.9)

Из свойств векторного произведения следует обратить внимание на

антикоммутативность, т.е. a´b=-b´a

Пример 1. 2.7. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах

а=2т+п и b = т- п , если |т|=2, |n|=1, (m,n)=

π/6

Вычислим векторное произведение векторов a, и b и воспользуемся формулой (1.2.9)

a´b =(2т+ п)-(т- n)= 2m´т- 2m´n+n´m-п´п =0-3m´n-0=-3m´n

В декартовом базисе { i,j,k} векторное произведение векторов а(аx,аy,аz ) и

b(bx, by ,bz) вычисляется по формуле

Пример1.2.8. Найти координаты вектора b=(bx,by,bz

), если он перпендикулярен векторам a1 (2,-3,1) и a

2 (1,-2,3) и удовлетворяет условию;

b(i +2j-7k) = 10.

Вектор b перпендикулярен векторам a1 и a2. Поэтому его можнo искать в виде:

Удовлетворим условию b(i + 2j-7k)=10; -7λ -10λ +

7λ =10; -10λ=10, λ=-1.

Таким образом вектор имеет вид: b= 7i+5j+k.

Пример 1.2.9.Вычислить площадь треугольника, вершины которого расположены в

точках A(1,2,3), B(2,1,-1), С(3,-1,1).

SΔABC =1/2 |ABxAC|.Вычислим координаты векторов АВ и АС и

векторное произведение АВ´АС .

5.Смешанное произведение трех векторов.

Смешанным произведением трех векторов а,b,с называется число, которое

обозначается символом ахb-с (смешанное произведение иногда

называют векторно-скалярным).

Если векторы а,b,с некомпланарны, то смешанное произведение а

´b-с равно объему параллелепипеда, построенного на векторах

а,b,с, взятому со знаком "+", если упорядоченная тройка векторов а,b,с

-правая, и со знаком "-", если эта тройка - левая.

Из свойств смешанного произведения трех векторов следует от­метить следующие:

1)при круговой перестановке векторов смешанное произведение не ме­няется, т.е. (

aх b)× с = (сха)× b = (bхс)× а;

2)если в смешанном произведении поменять местами два соседних сомножителя, то

произведение изменит знак, т.е. (aх b)× с = -(ах

с)× b ;

3) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы

компланарны, т.е. условием компланарности векторов являет­ся равенство нулю

смешанного произведения этих векторов.

Смешанное произведение векторов в декартовом базисе

{i,j,k}.Если а(ax, ay, az), b(bx, by, bz,) и с(сx, cy, cz), то

Условие компланарности векторов (1.2.12)

Наиболее распространенные задачи, решаемые при помощи смешанного произведения:

1)найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с:

V = |а х b× с|,

2) найти объем тетраэдра, построенного на векторах а,b,с:

V=1/6 (|а х b× с|)

3) проверить компланарны ли векторы а,b,с, если а х b×

с=0, то векторы компланарны, если а х b× с¹ 0,

то векторы некомпланарны;

4)проверить правую или левую тройку образуют векторы а,b,с,

>0 -тройка векторов - правая ,

а х b× с=.

<0 - тройка векторов левая.

Замечание: смешанное произведение векторов а,b,с, как правило,

записывают в виде а× b× с .

Пример1.2.10. Вычислить длину высоты тетраэдра ABCD, прове­денную из

вершины D к основанию АВС, если вершины тетраэдра имеют

координаты:

А (1,2,0), B(2,1,1), С(0,-3,-1), D(3,3,4). Найдем координаты векторов,

выходящих из вершины А:

АВ(1,-1,1), AC(-1,-5,-1), AD(2,1,4), Vтетр=1/6(|АВ×АС×AD|); Vтетр =1/3(SDABC×HD);

SDABC=1/2 (|AB´AC|); HD= . Отсюда

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте правила треугольника и параллелограма сложения векторов.

2.Укажите принципиальное различие в формулах для вычисления длины

вектора в произвольном и декартовом базисах.

З. Чему равно скалярное произведение базисных векторов в декартовом

базисе?

4.Чему равно векторное произведение базисных векторов в декартовом

базисе?

5.Запишите условие компланарности векторов. Приведите пример.

6.Можно ли построить треугольник на векторах а,b,а+b ?

7.Приведите пример условия, при выполнении которого из трех векторов a, b,с

можно образовать треугольник.

8. Докажите, что объем тетраэдра вычисляется по формуле V=| а× b× с|

9. Вычислите угол между векторами, совпадающими со скрещивающимися ребрами

тетраэдра.

10.Как Вы считаете, произведение векторов axbxc

(двойное векторное) является векторной величиной или скалярной?

Тема 1.3. Прямая и плоскость

Учебники:[1, гл.2, §1-3; 10, гл.4/ гл.5, §2-5; 16, гл.2, §1, 2, гл.10, §1,

2 (п.5), §3(п.7)].

Аудиторная работа: [2, 6.17(1-4), 6.18, 6.19(1), 6.20(3 6.21(1), 6.23(1),

6.25(1), 6.29, 6.34, 6.44(1)-6.47 (1), 6.50(1 6.51(1), 6.60(1) ,-6.62 (1)

,6.70(1) , 6.72J, [7, гл.З,Н15, 18(1— 19(1-4), 23(1),24(1), 26, 28(1),

30(1), 38, 41(1), 47(1) [20,ч.1, гл.2, N2.180(a)-2.184(a) , 2.185, 2.186,

2.189, 2.197(a 2.198, 2.199(a), 2.203(a)], [25, занятия 7(7.2.1-7.2.9),

8(8.2. 8.2.12), 6(6.2.1-6.2.2)] .

Самостоятельная работа: [2, 6.19(2,3), 6.20(2-5 6.21(2,3),

6.23(2,3), 6.24, 6.25(2-5), 6.26, 6.30, 6.44(2 6.47(2), 6.50(2-4),

6.51(2,3), 6. 60 (2, 3)-6. 62 (2, 3) , 6.70(2,3 6.73], [7, гл.З,М16, 18(4-

13), 19(5-11), 20, 21, 23(2,3), 24(2,3 30(2), 41(2), 47(2,4), 48], [20, ч.1,

гл.2, N2.180 (б)-2.184 (б 2.187- 2.188, 2.197(6), 2.200, 2.201, 2.203(6),

2.124], [2 занятия 7, 8, 6(6.2.1-6.2.4)].

При изучении аналитической геометрии в пространстве возникают

затруднения, связанные с недостаточностью пространственных

представлений. В таких случаях полезно пользоваться

пространственными моделями (тетрадь-плоскость; карандаш, ручка-прямая,

отрезок прямой) и использовать их при разборе теоретического материала

наравне с рисунками, приведенных в задачниках.

Различные виды уравнения плоскости

1.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0(x0

,у0,z0) перпендикулярно вектору n(А,В,С) :

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

(1.3.1)

Пример 1.3.1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0

(1, 2, 3), перпендикулярно вектору n(2,-1,4). Используя уравнение (1.3.1),

получим 2(x-l)-l(y-2)+4(z-3)=0 или 2x-y+4z-l2-0.

Пример 1. 3 . 2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0

(1,2,3) пареллельно векторам a(3,-1.,0) и b(2,l,2).

Плоскость пареллельна векторам а и b, поэтому вектор нормали к

плоскости n(А,В,С) равен векторному произведению векторов)

а и b и находится по формуле (1.2.10):

Уравнение искомой плоскости (1.3.1) имеет вид

-2(x-l)-6(y-2)+5(z-3)=0 или -2x-6y+5z-l=0 .

2.Общее уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D=0

(1.3.2)

В этом уравнении коэффициенты А, В,С -координаты вектора п(А,В,С)

перпендикулярного плоскости.

3.Уравнение плоскости в отрезках

Числа a,b,c равны величинам направленных отрезков, отсекаемых на осях координат.

4.Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(x1

) , М3(x3, у3, z3), не

лежащие на одной прямой

Пример 1.3.3.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M

1(1,2,3), M2(-1,1,1) , М3(0,2,1) .

В соответствии с уравнением (1.3.4) получаем

т.е. 2x-2y-z+5=0

и есть уравнение искомой плоскости.

Различные видах уравнений прямой в пространстве

1.Общее уравнение прямой A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0 (1.3.5)

Прямая задана пересечением двух плоскостей с нормалями n1(A1, B1, C1) и

n2 (A2, B2, C2)

2.Канонические (стандартные) уравнения прямой, проходящей через точку

М0 (x0, y0, z0) и имеющей направляющий вектор а(т,п,р)

Пример 1.3.4.Перейти от общих уравнений прямой

2x+3y-z+2=0

x-y-3z+6=0 к каноническим уравнениям. Прежде всего выберем какую-

нибудь точку М0 , например М0 (0,0,2), удовлетворяющую

общим уравнениям прямой. Если сразу не удается подобрать координаты точки М

0 , то эту точку можно найти из решения системы линейных уравнений (см.

пример 1.1.11), которой задаются общие уравнения прямой.

Направляющий вектор прямой а может быть выбран в виде a=n1

xn2 (см. 1.3.5), где n1(2,3,-l) и n

2(1,-1,-3) -нормальные векторы к плоскостям, пересечением которых

и задается прямая

'Канонические уравнения прямой имеют вид

3. Параметрические уравнения прямой

x = x0 + mt, y = y0 + pt, z = z0 + ut,

t є R (1.3.7)

Пример 1.3.5.В примере 1.3.4 от канонических уравнений прямой перейти к

параметрическим уравнениям.

Ряд равных отношений в канонических уравнениях прямой примера 1.3.4

приравняем к t:

Откуда получим параметрическиe

уравнения x=-t, y=t, z=2-t, t є R .

4.Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1, z1), М2(х2, у2, z2) .

Замечание. В уравнениях прямой (1.3.6) и (1.3.8) допускаете равенство нулю одной

или двух координат вектора а(т,п,р). В этом случае нуль в

знаменателе воспринимается только лишь как информация о координатах вектора

а .

Задачи, относящиеся к плоскостям

Пусть заданы две плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0

1.Взаимное расположение двух плоскостей:

а)условие перпендикулярности плоскостей:

A1A2+B1B2+C1C2

=0

(1.3.9)

б)условие параллельности плоскостей

2.Угол между плоскостями:

3. Расстояние от точки М0 (х0, у0, z0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0:

Пример 1. 3 . 6 . Найти расстояние между параллельными плоскостям

2х+3у-z+1=0 2x+3y-z+4=0.

Это расстояние равно расстоянию от любой точки одно плоскости до другой.

Выберем на первой плоскости произвольную точку, например М0 (0,

0,1). По формуле (1.3.12) находим

Пример 1.3.7.Найти угол между плоскостями х- 3у+z-1= 0 и y+z+2=0. По

формуле (1.3.11) находим

Замечание. Как правило, вычисляется острый угол между плоскостями.

Задачи относящиеся к прямым в пространстве

Пусть заданы две прямые в пространстве

1.Взаимное расположение двух прямых:

а) условие перпендикулярности прямых:

m1m2+n1n2+p1p2

=0

(1.3.14)

б) условие параллельности прямых:

2.Угол между прямыми :

3. Расстояние от точки М (x1,y1,z1) до прямой

а векторное произведение вычисляется по формуле (1.2.10).

4. Условие пересечения

прямых. Прямые задаются уравнениями (1.3.13). Рассмотрим смешанное

произведение a1 a2 M1M2 ,

a1 ≠ λa2

Если a1 a2

M1M2 = 0

(1.3.18)

то прямые пересекаются, если

a1 a2 M1M2 ≠ 0

(1.3.19)

то прямые скрещиваются. Смешанное произведение векторов вычисляется по

формуле (1.2.11).

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Прямые заданы уравнениями (1.3.13). Если a1 a2 M

1M2 ≠ 0 то расстояние d между прямыми вычисляется по

формуле

Пример 1.3.8.Исследовать взаимное расположение прямых

Первая прямая проходит через точку M1(1,-1,-2), a вторая прямая через

точку М2(2,1,1) . Направляющие векторы прямых a1

(2,3,4) и a2(3,-1,1) .

Вычислим смешанное произведение a1 a2 M1M2

Так как выполняется условие (1.3.19), то прямые скрещиваются.

Пример 1.3.9.Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми примера

1.3.8. Используем формулу (1.3.20).

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть плоскость задана уравнением (1.3.2), а прямая-уравнением (1.3.6) , либо

уравнением (1.3.7), тогда n(A,B,C)— нормаль к плоскости,

a(т,п,р) направляющий вектор прямой.

Рис.1.3.1 Рис.1.3.2

1.Условие перпендикулярности прямой и плоскости

2.Условие параллельности прямой и плоскости:

па = 0 или Am + Вп + Ср = 0 .

(1.3.22)

3.Угол между прямой и плоскостью (рис.1.3.1)

4.Координаты точки пересечения прямой и плоскости находятся из

системы уравнений (1.3.2) и (1.3.7), а именно

Ax+By+Cz+D=0

y=y0+nt

(1.3.24)

z=z0+pt

5. Проекция точки M1(x1,y1,z1)

на прямую (рис. 1.3.2). Координаты точки Р определяются из системы

где плоскость (α) проведена через точку M1 перпендикулярно прямой L.

Прямая линия на плоскости

Уравнение прямой линии на плоскости может быть получено из канонических

уравнений прямой в пространстве (1.3.6), если положить z0 =

0 и р=0

В зависимости от условий задачи уравнение прямой на плоскости может быть

записано в виде:

a)y=kx+b-

(1.3.27)

уравнение прямой с угловым коэффициентом;

б)ах+bу+с=0 -

(1.3.28)

общее уравнение прямой

в)y=y0+k(x-x0)-

(1.3.29)

уравнение прямой, проходящей через точку Мо(хо,

yо) и имеющей заданный угловой коэффициент k;

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между двумя

прямыми у = k1x+b1 и у = k2x+ b2

определяется по формуле

Условия параллельности и перпендикулярности прямых имеет вид:

k1 = k2

(параллельности) (1.3.32)

k2 = -1/k1 (перпендикулярности) (1.3.33)

Пример 1. 3.10. Треугольник задан координатами вершин A1(1,2), А

2(4,0), A3(6,3) . Написать уравнения:

1) стороны А1А3 ;

2) медианы, проведенной из вершины А2 ;

3) высоты, проведенной из вершины А2

1) Воспользуемся уравнением (1.3.30)

2) Пусть точка К -точка пересечения медианы треугольника, проведенной из А2

со стороной А1А3 . Точка К-середина отрезка А

1А3. Поэтому ее координаты равны полусумме координат концов

отрезка, а именно

Воспользуемся уравнением (1.3.30)

3)Высота, проведенная из вершины А2 перпендикулярна стороне А1

А3, поэтому угловой коэффициент k определяется из условия (1.3.33):

Воспользуемся уравнением (1.3.29):

у = y2 + k(x-x2); y=0-5(x-4);

y=-5x +20, т.е. высота треугольника А1А2А3 ,

проведенная из вершины A2 совпадает с медианой, проведенной из этой

вершины.

Вопросы для самопроверки

1.Запишите условия перпендикулярности и параллельности:

а)прямых;

б)плоскостей;

в)прямой и плоскости.

2.Получите координаты точки К делящей данный отрезок АВ в отношении

3.Какие особенности имеет уравнение плоскости, если она:

а)параллельна осям координат ОХ; ОУ; OZ;

б)перпендикулярна осям координат ОХ; ОУ; OZ;

в)параллельна плоскостям ОХУ; OXZ; OYZ .

4. Как найти точку, симметричную точке М0(x0,у0

,z0) относительно плоскости Ах+ Ву+ Cz+D = 0 .

5. Составьте уравнение плоскости , проходящей через точку М0 (x0

,y0,z0) параллельно двум прямым с направляющими векторами

а1 и а2 , причем а1 ≠ а2

6.Получите нормальное уравнение плоскости.

7.Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2 ,

параллельно вектору а .

8.Выведите формулы для нахождения расстояния от точки до прямой, между двумя

скрещивающимися прямыми.

9.Получите уравнение биссектрисы угла треугольника.

10.Получите формулу для нахождения угла между прямыми, лежащими в плоскости

ХОУ.

Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Эле­ментарная теория линий

Тема выносится на самостоятельное изучение

Учебники: [ 1, гл.2, §4, гл.3, §1-3], [10, гл.6, §1-5] , [16, гл.2, §3, п.

10-13].

Самостоятельная работа : [ 2, N7.25, 7.38, 7.54, 8.1(1, 3, 6), 9.1(1,2),

9.3(1, 4), 9.4(1-3], [7, гл.3, N49, 50, 51, 54, 62(1,2), 63(1/2) ], [20, ч.1,

гл..2, N2.247, 2.249(1, 2), 2.256(a), 2.257, 2.258, 2.267, 2.269(a), 2.278,

2.279, 2.286/ 2.288(в), 4.226, 4.227 (в двух последних заданиях

преобразование координат проводить по формулам 1.4.1-1.4.3) ], [25, занятие

16(16.2.6-16.2.7) ].

Простейшими преобразованиями координат на плоскости есть пре­образование

поворота и параллельного переноса. Одна и та же точка имеет различные

координаты в разных системах декартовых коорди­нат. Существует связь между

координатами точки в различных системах координат.

Рис.1.4.1 Рис.1.4.2

Параллельный перенос. Заданы две системы координат: старая ОХУ

и новая О1Х1У1 (рис . 1. 4 .1) . Начало новой

системы координат находится в точке O1(а,в) .

Старые координаты х, у точки М через новые координаты x

1y1 вы­ражаются формулами

x=x1 +a, y=y1+b (1.4.1)

откуда х1 =х-а, y1 =y- b,

(1.4.2)

Поворот координатных осей. Новая система координат OX1Y1

полу­чена поворотом старой на угол α вокруг точки О (рис.1.4.2).Старые

координаты х, у точки М через новые координаты x1, y

1 выражаются фор­мулами

x=x1cosα - y1sinα

y=x1sinα + y1cosα

(1.4.3)

В общем случае, когда заданы преобразования параллельного переноса и поворота

осей координат, связь между старыми и новыми координа­тами имеет вид:

x=x1cosα - y1sinα+a

y=x1sinα + y1cosα+b

(1.4.4)

Студент должен уметь общее уравнение кривой второго порядка

a11х2 + 2а12 ху + а22 у2 + c1x + с2 у + d = 0, (1.4.5)

путем преобразования системы координат (параллельный перенос, по­ворот)

приводить к простейшему (каноническому) уравнению. В новой системе координат

уравнением кривой (1.4.5) будет одно из следую­щих канонических уравнений:

Общее уравнение второй степени (1.4.5) при повороте осей ко­ординат на угол

α преобразуется в уравнение

a΄11х12 + а΄22 у1

+ d΄ = 0 ( 1.4.7)

формулы преобразования координат имеют вид (1.4.3), угол α опре­деляется

по формуле

Уравнение (1.4.7) приводится к каноническим уравнениям (1.4.6)

выделением полных квадратов и применением фoрмул парал­лельного переноса

(1.4.1) .

Пример 1.4.1.Кривая второго порядка задана уравнением Зх2 +4xy-4x-8y= 0

Записать каноническое уравнение этой линии. В данном случае а11

= 3, 2а12 = 4, a22 = 0 . По формуле (1.4.8)

находим ctg2α=3/4 > 0 . Сле­довательно,

Тогда sinα >0 и cosα >0, cos2α >0. По формулам (1.4.9) вычисляем

Замечание: если предположить, что

то sinα > 0, cosα < 0, cos2α < 0 и по формулам (1.4.9) имеем:

Вычисленные значения sinα и cosα подставляем в (1.4.3):

Подставим полученные выражения в исходное уравнение и преоб­разуем его.

В последнем уравнении выделим полные квадраты

Используя формулы (1.4.1), положим

В новых координатах последнее уравнение имеет вид

Это уравнение определяет сопряженную гиперболу (действительная ось ОУ) с

полуосями а=1, b=2.

Построим гиперболу в новой системе координат O1Х2У2.

Вначале вы­числим старые координаты точки O1 в которой находится

центр гиперболы.

Рис.1.4.3

Для этой точки х2 = 0; у2 = 0.По формулам (1.4.1) находим

С помощью формул (1.4.3) вычисляем

Так, точка O1 имеет координаты O1 (2,-2).Через точку O

1 проводим ось OX 2 , для которой tgα = 1/2 и ось

OY2 перпендикулярно оси OX2. Строим гиперболу

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение эллипса, гиперболы, параболы.

2.Дайте определение директриссы и эксцентриситета кривых второго порядка.

3. Какие линии определяют уравнения 9х2 ± 4у2

= 36 . Вычислите параметры кривых.

4.Получите уравнения асимптот гиперболы.

5.Чему равен эксцентриситет для окружности?

6.Докажите,что произведение расстояний от произвольной точки гиперболы

до ее асимптот есть величина постоянная. а Ь

Тема 1.5.Некоторые сведения о линейных векторных пространствах. Собственные

числа и собственные векторы

Учебники: [16, гл.16, §1.2].

Аудиторная работа: [7, гл.2, §4, N34(1.2), 37(2), 39(1), 40(1,2), 41(1,2)],

[20, ч.1, гл.4, N4.83.4.86, 4.90, 4.106(a), 4.183], [25, занятия

14(14.2.1, 14.2.4), 15 (15.2.1, 15.2.4, 15.2.7)].

Самостоятельная работа: [7, гл.2, §4, N35, 37(1,3,4), 39(2), 40(3),

41(3,4)], [20, ч.1, гл.4, N4.84,4.87, 4.91, 4.92, 4.106(6), 4.184]/

[25, занятия 14(14.3.3, 15 (15.3.1, 15.3.5, 15.3.8, 15.3.9)].

В теории линейных векторных пространств обобщается понятие вектора,

введенного в курсе векторной алгебры.

Упорядоченная совокупность n чисел х={х1,х2,...хn

} называется n - мерным вектором, а числа х1, i=1,n,

составляющие эту совокупность на­зываются координатами вектора х;

n - мерный вектор можно рассматривать как матрицу-строку или матри­цу

столбец, состоящую из n элементов.

Линейным векторным пространством называется множество векто­ров (любой природы),

для которых определено два действия-сложение и умножение на произвольное число.

Линейные n-мерные векторные пространства будем обозначать Ln.

Если х={х1,х2,...хn} є Ln и у={у1, у2,... уп}є L, то

1. х = у , если хі = уі , i = 1, n

2. х+у = {х1 + y1,х2 + у2,. ...хп +уп „ } є Ln.

3. mх = {mx1, тх2,..., mxп} є Ln.

Приведенные определения позволяют рассматривать векторы обще­го вида не

обязательно геометрической природы.

Примеры линейных пространств:

а) множество геометрических векторов R3;

б) множество всех многочленов Рп(х), степени не превосходящей n;

в) множество матриц Amn, размерности mn;

г) пусть хi, i = 1,n -количество i-го сырьевого продукта,

измеренного в подходящих единицах, тогда векторы вида х={х1,х

2,...хn}могут задавать суточную потребность предприятия в

сырье, запасы сырья, хранящего­ся на складе и т.д.

Любая совокупность n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве

образует базис в этом пространстве (определение линей­ной зависимости и

независимости векторов см. в теме 1.2).

Пример 1.5.1.Показать, что система векторов

образует базис в пространстве квадратных матриц

Представить матрицу А22 в виде линейной комбинации векторов Si, i=l,4.

Составим линейную комбинацию

Mы получили, что линейная комбинация векторов Si , i=1,n

равна нулю лишь в том случае, когда все коэффициенты этой линейной комбинации

равны нулю. Согласно определения (см. тему 1.2) векторы Si ,

i=1,n линейно независимы и могут быть использованы в качестве базисных

векторов.

Разложение матрицы А22 по базису Si , i=1,n имеет вид:

Линейное пространство называется евклидовьм, если в нем каж­дой паре

векторов х, y сопоставлено число, которое называется ска­лярным

произведением этих векторов, обозначается (х, у ) и удовле­творяет

аксиомам:

1.(х,у)=(у,х)

2. ( х1+ х2 , у ) = ( х1, у ) + (х2 , у)

3. (αх , у ) = α (х , у ) ;

4. (х, х )>0, х ≠ 0 и (x,x)=0, если х=0.

называется нормой вектора в евклидовом про­странстве.

Неравенство |(х,y)|≤║x

║х║y║называется неравенством Коши-Буняковского.

Два вектора евклидового пространства называются ортогональны ми, если их

скалярное произведение равно нулю, т.е. (х, у )=0.

Линейные преобразования. Если указано правило f, по

которому каждому вектору х линейного пространства Ln

ставится в соответствие единственный вектор у этого пространства,

то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор).

Преобразование f линейного пространства L называется

линейным (линейным оператором), если для любых векторов этого пространств х

1, х2 , х и любого λєR выполняются условия

Если линейное пространство L n-мерное пространство, а f

линейное преобразование (оператор) осуществляющее отображениe y=f(x), x(x

n) є L, тo можно построить матрицу этого преобразования

Замечание. Если вектор геометрический, то над ним ставится стрелка.

Пример 1.5.2. Показать, что преобразование y=a x x,

где а(а1,а2, а3) -постоянный

вектор, х(х1, x2, x3), y(y1,

y2, y3 ecть линейное в ли­нейном пространстве L3

и построить его матрицу А .

Чтобы доказать линейность преобразования y=a x x достаточно

проверить свойства (1.5.1).

Пусть x1, x2 є L3 , λєR ,

тогда у(х1+ х2) =а х (х1+ х

2) = а х х1 + а х х2

у(λх)= а х (λх)= λ (а х х), т.е. свойства

линейности (1.5.1) выполнены и преобразование y=a x x линейно.

Построим матрицу преобразования

Предположим в линейном пространстве Ln заданы базисы еi,

i=1,n и mi, i=1, а также матрица A линейного преобразования f

в базисе еi, i=1. Тогда матрица линейного преобразования в

базисе mi, i=1, будет иметь вид

B=T-1 AT,

(1.5.3)

где T -матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример 1.5.3. В базисе e1 ,e2 преобразование f имеет матрицу

Найти матрицу преобразования f в базисе m1=е1 - е2 , т2=2ё2+3е2.

Матрица

(координаты векторов m1 и т2

записываются в столбцы, соответственно в первый и второй).

Собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования

(оператора)

Всякий ненулевой вектор х(а1,а2,...,аn

называется собственным вектором линейного преобразования, если

Ах=λx,

(1.5.4) где λ -некоторое число, называемое собственным значением

(числом) линейного преобразования.

Если матрица А имеет вид (1.5.2), то равенство (1.5.4) запи­сывается в

виде системы линейных алгебраических уравнений (Дц - Л)а^ -ь

a^a^+...+а^а^ = О

(a11- λ)a1+a12a2+...+a1nan=0

a21a1+(a22- λ)a2+...+a2nan=0

-----------------------------------

(1.5.5)

an1a1+an2a2+...+(ann- λ)an=0

Система (1.5.5), однородная СЛАУ, имеет отличные от нуля (нетривиальные)

решения только тогда, когда определитель равен нулю. Отсюда следует, что

det(A- λE)=0.

(1.5.6)

Уравнение (1.5.6) называется характеристическим уравнением матрицы данного

линейного преобразования. Каждый действительный корень λ уравнения

(1.5.6) является собственным числом. Соответствующие собственному числу

координаты собственного вектора находятся из системы (1.5.5) методом,

изложенном в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).

Пример 1.5.4.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы линейного

преобразования

Система однородных линейных алгебраических уравнений (1.5.5) для

нахождения собственных векторов имеет вид

(11-λ)а1+2а2-8а3=0

2а1+(2-λ)а2+10а3=0

(1.5.7)

-8а1+10а2+(5-λ)а3=0

Вычислим определитель (1.5.6) и решим соответствующее характеристическое

уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид

λ3-18 λ2-81 λ+1458=0, а его решение λ

1=9, λ2=18, λ3=-9. Найденные

зна­чения λі, і=1,3 подставим в (1.5.7)

Решение этой системы х1= С(2,2,1)Т, С єR, а

соответствующий еди­ничный вектор х01 =(2/3, 2/3,

1/3) Т

При λ 2=18: х02=(-2/3, 1/3, 2/3)Т при λ3=-9 х03 =(1/3, -2/3, 2/3)

Решения систем линейных уравнений рассмотрены в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).

Необходимо отметить следующие свойства собственных значений и собственных

векторов симметрической матрицы.

1.Корни характеристического уравнения вещественной симметрической матрицы

вещественны.

2.Собственные векторы вещественной симметрической матрицы, отве­чающие

различным собственным значениям ортогональны. (Проверьте на собственных

векторах матрицы примера 1.5.4).

Вопросы для самопроверки

1.Приведите примеры n-мерных векторов.

2.Что такое линейное векторное пространство, какое пространство

называется евклидовым?

З. Что такое базис в n -мерном пространстве?

4 . Как определяется линейное преобразование?

5.Докажите неравенство Коши-Буняковского.

6. Докажите неравенство ||x+y||≤||x||+||y||

7. При каком условии матрица линейного преобразования имеет диаго­нальный вид?

8.Сформулируйте алгоритм нахождения собственных векторов.

Тема 1. 6 . Квадратичные формы. Приведение к кано­ническому виду уравнений

линии и поверхности второго по­рядка

Учебники:[1, гл.3, §4],[10, гл.7, §2], [16, гл.11, §3].

Аудиторная работа:[2, N9.4(1, 3), 11.22(1)], [7,гл.3, §5, 6, N63(1,2)],

[20, ч.1, гл.4, §3, N4.226, 4.227, 4.233],[25, за­нятия 16(16.2.6(а,б)) ,

17(17.2.1, 17.2.2) ].

Самостоятельная работа: [2, N9.4(4-6), 11.22(2)], [7, гл.3, §5, 6,

N63(3-5)], [20, ч.1, гл.4, §3, N4.228, 4.289, 4.234],[25, задания

16(16.3.3(а,б, в) ) , 17(17.3.2, 17.3.3, 17.3.4(а,б,в)) ].

Квадратичной формой от трех переменных x,y,z называется одно­родный

многочлен второй степени относительно этих переменных.

F(x,y,z)= a11x2 + 2a12xу+ а22у

2 + 2a13xz+ 2a23yz+a22 z2

(1.6.1)

Если учесть, что а12 =a21, a13=a31, a23=a32 , то F(x,y,z) записывается

в виде

F(x, у, z) = а11х2 + а12ху + а

21ух + а22 у2 + a13xz + a31

zx + a23 yz + a32 zy + a22z2 .

называется матрицей квадратичной формы. Квадратичная форма имеет канонический

вид, если она содержит члены только с квадратами пе­ременных, т.е. аij

= 0; i,j = 1,3; i≠ j . Матрица (1.6.2) квадратичной формы

(1.6.1) будет иметь диагональный вид, если в трехмерном про­странстве перейти к.

новому базису, состоящему из собственных век­торов (см. тему 1.5) матрицы

А, при этом на главной диагонали бу­дут стоять собственные числа матрицы

А.

Квадратичная форма в новом базисе будет иметь вид

F(x1, y1, z1)=λ1x1

2 + λ2 y12 + λ

3z12

(1.6.3)

В случае двух переменных х, у квадратичная форма F(x,y) имеет вид

F(х,у) = а11х2 + 2а12 ху + а22

y2,

(1.6.4)

причем а12 = a21 .

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду применяются при

решении задач на приведение к каноническому виду уравнений кривых второго

порядка

a11x2 + 2а12 ху + а22 у2 + b1х + b2 y + с = 0

и уравнений поверхностей второго порядка

a11x2 + 2а12 ху + а22 у2 + 2a13 xz+2a23 yz+a22 z2 +b1х + b2 y +b3 z + с = 0

Канонические уравнения основных кривых второго' порядка были рассмотрены в

теме 1.4 (1.4.6)

Поверхности второго порядка делятся на центральные и нецен­тральные.

Канонические уравнения некоторых поверхностей второго порядка приведены ниже.

Уравнения центральных поверхностей второго порядка

λ=0-точка

λ =1-эллипс,

λ.=-1-мнимый эллипс.

λ =1-однополостный гиперболоид

λ =-1-двуполостный гиперболоид;

λ =0 эллиптический конус.

Нецентральные поверхности

λ =l-эллиптический параболоид,

λ =-1 гиперболический параболоид.

2.Цилиндрические поверхности:

λ=1- эллиптический цилиндр,

λ=1- гиперболический цилиндр.

-мнимый эллиптический цилиндр(уравнению не удовлетворяет ни одна точка),

-пара плоскостей,

г) х2 = 2ру, у2 = 2рх, z2 = 2рх , (1.6.12)

и т.д. параболические цилиндры .

Плоскости

х2 = λа2 , а ≠0, λ=1 пара параллельных плоскостей;

λ=-1 мнимые плоскости (уравнению не удовлетворяет ни одна точка

пространства);

λ=0 - пара совпадающих плоскостей.

Пример 1.6.1. Записать каноническое уравнение кривой второго порядка Зх2

+4xу - 4х- 8y = 0 (сравните с решением примера 1.4.1 темы 1.4).

Квадратичная форма, содержащаяся среди слагаемых левой части уравнения имеет

вид F(x,y)= Зх2+ 4xy , а ее матрица

Вычислим собственные числа и собственные векторы матрицы А (см.

тему 1.5)

Пусть собственные векторы Х

i(а1(i), а2(i)) i.=1,2,

где а1(i), а2(i -

коор­динаты. Система (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид

(3-λ)a1+2a2=0

2a1-λa2=0

(1.6.14)

Найдем собственные числа λ , решив характеристическое уравнение (1.5.6) .

Подставим первое собственное число λ1=4 в систему

(1.6.4).

и соответствующий единичный вектор X10 имеет вид

Подставим второе собственное число λ2=-1 в систему (1.6.14):

Перейдем в двумерное пространство R2 к новому базису состав­ленному

из собственных векторов матрицы А Х10 и Х

20. При этом мат­рица квадратичной формы В в новом

базисе будет иметь вид (1.5.3)

где матрица Т составлена из координат собственных векторов, запи­санных в

столбцы. Связь между старыми координатами х, у (в базисе i,

j ) и новыми координатами x1, y1 (в новом базисе)

реализуется по формуле

квадратичная форма в новом базисе имеет вид (1.6.3) (случай двух переменных)

F(x1, y1) = 4x12 - у1

2 .

Запишем равнение кривой второго порядка в новых координатах, приведем подобные.

Уравнение совпало с уравнением, полученным в примере 1.4.1. темы 1.4 и

поэтому дальнейшие преобразования идентичны.

сопряженная гипербола с полуосями а=1, b=2.

Пример 1.6.2.Записать каноническое уравнение поверхности вто­рого порядка

11x2 + 4ху + 2y2 - 16xz + 20yz + 5z2 + 6x + l2y -6=0.

Запишем квадратичную форму, входящую в состав левой части уравнения

F(x,y,z)=llxг + 4ху+2у2 - 16xz + 20yz + 5z2

Собственные числа этой матрицы λ1 = 9, λ2 = l8,

λ 3 = -9 и единичные cобст-венные векторы X10

= (2/3, 2/3, 1/3)T, X20 =(-2/3, 1/3, 2/3)Т

, X30=(1/3, -2/3, 2/3)Т

найдены в примере 1.5.4 (см. тему 1.5). Связь между координатами x, y,z в

старом базисе (i,j,k) и координатами x1,y1,z

1 в новом базисе (X10,X20

,X30) имеет вид

Выше записанная матрица, как в примере 1.6.1,образована из коорди­нат

собственных векторов, записанных в столбцы. Матрица квадратичной формы В

в новом базисе - диагональная

F(x,y,z) =9x12 +18y12 -9z12

Запишем уравнение поверхности второго порядка в новых коорди­натах, приведем

подобные члены и выделим полные квадраты

9x12 +18y1 2 - 9z12 + 2(2x1 - 2y1 + z1) + 4(2x1 +y1 -2z1) - б = 0;

9x12 + I8y12 - 9z12 +12x1 - бz1 - б = 0;

Перейдем к новым координатам (параллельный перенос)

Полученное уравнение является каноническим уравнением однополо стного

гиперболоида (1.6.7) с параметрами а =1, b =√2/2, с=1.

После изучения материала, содержащегося в разделе 1, студент должен выполнить

контрольную работу N1.

Вопросы для самопроверки

1. Изобразите схематично основные поверхности второго порядка.

2. Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собою:

а) плоскость;

б) пустое множество?

Привести примеры.

3. Назовите типы и выпишите канонические уравнения цилиндрических

поверхностей второго порядка.

4.Докажите, что всякое уравнение F(x,y,z)=0, где F-однородный

многочлен второй степени, определяет конус с вершиной в начале ко­ординат .

После изучения тем 1.1-1.6 раздела 1 студенту необходимо вы­полнить

контрольную работу N1.

Дополнение 1.1.Образец выполнения и оформления контрольной работы N1

алгебры."

Задача N1.Вычислить :

a) |m+2n| ;

б) угол между векторами т+ п и -m+ п , если |т|= 2 ,|п| = 3 , (т,п)=60 o .

а)Согласно определения модуля |т+2п| =

б) угол между векторами a и b вычисляется по формулам

Вычислим отдельно числитель и знаменатель

(т+2n)(-m+3n)=-m2+mn+6n2 = -2∙2

|m+2n| =2√13 (см. пункт а) ;

Задача N2.Заданы координаты четырех вершин пирамиды ABCD .

А(-2,0,0), B(1,1,-1), С(-1,3,0), D(-1,0,2).

Вычислить АВ; (АВ,АС); площадь ΔAВС, объем пирамиды;

длину высоты DH пирамиды, проведенной к плоскости грани АВС.

Записать уравнения: прямой АВ; плоскости АВС; высоты пирамиды

DH; медианы AM треугольника АВС, высоты АК

треугольника АВС, биссектрисы AL треугольника АВС .

1. Вектор АВ имеет координаты: АВ (3,1,-1) . Поэтому его длина

рав­на: АВ= √9+l+l = √11 (ед) .

2.Угол φ между векторами АВ и АС определяется по формуле

(1.2.3).Вычислим длину вектора ВС :

BC=√4+4+1= 3 (ед) .

Скалярное произведение вычислялось по формуле (1.2.5)

3.Площадь треугольника АВС вычислена в примере 1.2.9.

4.Объем пирамиды ABCD вычислен в примере 1.2.10

5.Длина высоты DH пирамиды, проведенной из вершины D к

грани АВС также вычислена в примере 1.2.10.

6.Уравнение прямой АВ будем искать в виде (1.3.8), т.к. заданы

две точки этой прямой А и В.

Подставляя в последнее уравнение координаты точек А и В, получим (x+2)/3=y=-z

7.Уравнение плоскости АВС можно записать в виде (1.3.4), т.к.

за­даны координаты тpeх точек А,В,С

Уравнение плоскости АВС: 3x- y-8z+6 =0

8.Уравнение высоты пирамиды DH ищем в виде (1.3.6)

Координаты точки D известны/ а направляющий вектор прямой а(т,п,р)

коллинеарен вектору нормали к плоскости АВС . Вектор норма­ли к

плоскости АВС N имеет координаты N(3,-1,8)

(см. пункт 7 дан­ной задачи). Поэтому уравнение прямой DH имеет вид

9. Уравнение медианы AM ищем в виде (1.3.8)

Точка М- середина отрезка В С имеет координаты

10. Уравнение высоты АК ищем в виде

Направляющий вектор прямой АК, вектор a(m,n,p) перпендикулярен

вектору N(3,-1,8)-нормали к плоскости АВС и вектору BС(-2,2,1)

(рис.Д.1.1). Поэтому вектор а может быть вычислен по формуле (1.2.10)

11.Точка L-точка пересечения биссектрисы AL со стороной ВС

делит отрезок ВС на части, длины которых пропорциональны длинам

прилежащих сторон, т.е.

По формулам деления отрезка в данном отношении находим коор­динаты точки L

Уравнение биссектрисы AL ищем в виде (1.3.8)

Подставляя в последнее уравнение координаты точек А и L, получим

Задача N3.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (3,-1,2) и

прямую

Рис.Д.1.2

Уравнение искомой плоскости ищем в виде (1.3.1)

А(х-x0 ) +B(y-y0 )+C(z-z0 )= 0 , где (x0, у0, z0) координаты точки M0(1,-4,1),

расположенной на прямой L и принадлежащей плоскости Р .

Вектор нормали п к плоскости Р определим из условия n = М0

М1 x а , где М0М1 (2,3,1),

а (2, -1, 2 ) .

Таким образом п(А,В,С) = n(7,-2,-8) и уравнение плоскости имеет вид

7(х-1)-2(y+4)-8(z-1)=0

7х-2y-8z-7=0

Задача N4.Найти расстояние между прямыми

Прямая L1, проходит через точку M1(2,-2,1) и имеет направляющий вектор

a1 (3,-2,4). Уравнение прямой L2 запишем в виде

(1.3.8), пред­варительно определив какие-либо две точки, например: К1

(1,-6,0) и K2(1,0,9):

Направляющий вектор прямой L2 a2 (0,2,3). Прямые L

1 и L2 не параллель­ны, т.к. a1≠λa

2 , "λÎR. Проверим пересекаются ли прямые L1, и

L2 использовав условие (1.3.18)

Смешанное произведение векторов отлично от нуля, поэтому прямые L1, и

L2 не пересекаются, а являются скрещивающимися прямыми. Расстоя­ние

между скрещивающимися прямыми находим по формуле (1.3.20), предварительно

вычислив |a1 x a2| по формулам (1.2.10)

и (1.2.6)

Задача N5.Вычислить значение многочлена f(A) от матрицы А, если

Задача N6.Матричным методом решить систему линейных алгебраическиx уравнений.

x1+2x2+4x3=17

x1+x2+6x3=21

2x1+3x2+3x3=17

Решение системы находим по формуле (1.1.8) X= А-1В, где

а обратная матрица вычисляется по формуле (1.1.6) .

Таким образом, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3

Задача N7. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка Зx

2 + 4xy - 4х- 8y = 0 .

Определить тип кривой.

Решение задачи приведено в примерах 1.4.1 и 1.6.1.

Метод решения студент выбирает сам.