Лекция: Метод Гаусса

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ . Пусть дана система линейных уравнений (1) Коэффициенты a11,12,..., a1n, ... , an1 , b2 , ... , bn считаются заданными . Вектор -строка íx1 , x2 , ... , xn ý - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство. Определитель n-го порядка D=çAê=ça ij ç, составленный из коэффициентов при неизвестных , называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи. a). Если D¹0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено методом ГАУССА . б). Если D=0 , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет.

1. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. (2). Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем: Разделим все члены первого уравнения на , а затем ,умножив полученное уравнение на , вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное будет исключено ,и получиться система вида:

(3) Теперь разделим второе уравнение системы (3) на , умножим полученное уравнение на и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное будет исключено и получиться система треугольного вида : (4) Из последнего уравнения системы (4) находим ,подставляя найденное подставляя найденное значение в первое уравнение , находим . 3. ПРИМЕР. Методом Гаусса решить систему: Решение: Разделив уравнение (а) на 2 , получим систему Вычтем из уравнения (b) уравнение , умноженное на 3, а из уравнения (c) - уравнение , умноженное на 4.

зделив уравнение() на -2,5 , получим : Вычтем из уравнения () уравнение , умноженное на -3: Из уравнения находим Z=-2; подставив это значение в уравнение , получим Y=0,2-0,4Z=0,2-0,4(-2)=1; наконец , подставив значение Z=-2 и Y=1 в уравнение(a1) , находим X=0,5-0,5Y-Z=0,5-0,5 1 - (-2)=2. Итак, получаем ответ X=2, Y=1, Z=-2 . Проверка: