Лекция: Математический анализ

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по

отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых

предикат истина.

2 Способ: Конструирование из других множеств:

AÚB = {c: cÎA Ú cÎB}, AÙB = {c: cÎA

Ù cÎB}, A\ B = {c: cÎA Ù сÏB}

U - универсальное множество (фиксированное)

U³A; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. AÚ(BÚC)=(AÚB) ÚC - ассоциативность;

AÚB=BÚA - коммутативность; AÚÆ=A; AÚU=U

2. AÚ (BÙC)=(AÚB) Ù(AÚC) & AÙ (BÚC)=(AÙB) Ú(AÙC) - дистрибутивность; АÙÆ=А

A” =A - закон исключающий третьего (AÚB)’=A’ÙB’;

(AÙB)’=A’ÚB’; AÙA’= Æ

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" cÎ(AÚB)’ => cÏAÚB => cÏA & cÏB => cÎ A’ & cÎB’ => cÎA’ÙB’

"<=" cÎA’ÙB’ => cÎA’ & cÎB’ => cÏA & cÏB => cÏAÚB => cÎ(AÚB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aÎA; bÎB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз

элемента b при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит

А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f £B)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат

одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=

Лемма 1: " nÎN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®-2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®-1/n 7®-3/n

4®+2/n ...

Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа

счетных множеств - счетно.

А1={а11, а12, а13,...}

А2={а21, а22, а23,...}

А3={а31, а32, а33,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а

12 - 3; а31 - 4; а22 - 5...) и таким образом

взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит

объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через

полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью.

Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1

a2 а3... где а0ÎZ а1,а2

,а3,... Î{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[ао],а1 а2 а3...ак (0) =

ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10

k = [ао],а1 а2 а3...а’к

(9), где а’к=ак-1

х=[хо],х1 х2 х3...хк...

у=[уо],у1 у2 у3...ук...

х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк

у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k

х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)

у”к+1 £ у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к

у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1

у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 ³ 0

10 - ук+1 - 1 / 10к+1 ³ 0

9 ³ ук+1

Определение: 1) х > у <=> $ к: х’к > у”к

2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у

у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’n³х’к>у”к³у”n у’n³

у’m>z”m³z”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АÌR и " х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у

х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х1=[х1], х11 х12 х13... |

2«х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х3=[х3], х31 х32 х33... |

... | (*)

к«хк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с1 с2 с3...

[с]¹[х1] => с¹х1

с1 Ï {9;х21} => с¹х2

с2 Ï {9;х32} => с¹х3

...

ск Ï {9;хк+1к} => с¹хк

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0¹АÍR; 2) " aÎA, " bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: " aÎA, " bÎB: а£с£b

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными

всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним

множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

" aÎA, " bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m =>

"bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ:

m<c<n => cÏА & cÏВ - невозможно по свойству 3 отсюда и

из того, что m£n

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию.

"с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с

"aÎA, "bÎB: а£с£b

8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n0: "n>n0 xN£yN

£zN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z,

то $ Lim yN=y => x=y=z.

Доказательство: "n>n0 xN£yN£zN

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNÎ(х-Е,х+Е)

& $ n”: "n>n” zNÎ(х-Е,х+Е) => "n>max{n0

,n’,n”} yNÎ(x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АÌR mÎR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аÎА а£m (а³m).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое

m, что " аÎА, выполняется а£m (а³m).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’<m => m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aÎA a£m

2) "e>0 $ aEÎA, такое, что aE>a-e

InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aÎA a³n

2) "e>0 $ aEÎA, такое, что aE<a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет

точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m1=max[10*{a-[m]:aÎA}]

m2=max[100*{a-[m],m1:aÎA}]

...

mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aÎA}]

[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10

K]ÇA¹Æ=>[m],m1...mK + 1/10

K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’K,m”K)ÇA¹0; "к "аÎА: а<m”K

Единственность(от противного):

аÎА, пусть а>m”K => $ к: а’K>m”K

=> а³а’K>m”K - это противоречит ограниченности

=> a£m

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда $ к: m’K>l”K, но так как "к [m’

K,m”K) ÇA¹0 => $ аÎ[m’K,m”

K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет

точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность аN называется

бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n0:

n>n0 |аN|<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм

последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim aN=Lim bN=0, cN=a

N+bN, dN=aN-bN. Так как вне

любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит

конечное число членов последовательности aN, т.е. $ n’:

"n>n’: |aN|<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |bN

|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN|<Е/2

& |bN|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |cN

|=|aN+bN|£|aN|+|bN|<E/2 +

E/2 = E => |dN|=|aN-bN| £ |aN

|+|bN|<E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм

последовательность.

Доказательство: Пусть aN - бм посл-ть, bN - ограниченная посл-ть zN=aN*bN.

Т.к. bN - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |bN|£с¹0

Т.к. aN - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в

частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти aN, т.е. $ n0

: "n>n0 |aN|<Е/с.Таким образом "n>n0:

|zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN

|<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть aN - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |bN|£aN => bN - бм

Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”: |aN|<Е. Для n>=max{n’,n”} |bN|£|aN|<Е

Определение: Последовательность аN называется бесконечно

большой (бб) если "Е>0 $ n0: n>n0 |аN

|>Е)

Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности

1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n

0 |aN|<1/E =>1/|aN|>Е.

"<=" 1/|aN| - бб последовательность => "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е => |aN|<Е

Теорема: Пусть aN - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность

bN³|aN| => bN - бб.

Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bN³|aN|>Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности a

N если разность aN-a является бм (обратное тоже

верно)

Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a|<Е. Пусть aN=aN-a. |aN|=|aN-a|<Е

Обратное: Пусть aN=aN-a, т.к. aN - бм => |aN|£Е. |aN|=|aN-a|<Е

Теорема: Если Lim xN=x, Lim yN=y, то:

1. $ Lim (xN+yN) и Lim (xN+yN)=х+у

2. $ Lim (xN*yN) и Lim (xN*yN)=х*у

3. "n yN¹0 & y¹0 => $ Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у

Доказательство:

Пусть xN=х+aN, aN - бм; yN=у+bN, bN - бм

1) (xN+yN)-(х+у)=aN+bN (По теореме о

сумме бм: aN+bN - бм => (xN+yn

)-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) xN*yN - х*у = х*aN+у*bN+aN

*bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти

получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) xN/yN - х/у = (у*aN-х*bN) /

(у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN

доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn -

сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся

последовательность: Lim уN=y => по определению предела получаем $

n0: "n>n0 |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно

неравенству: у-у/2<уN<у/2+у, откуда получаем: |уN

|³уN>у/2.|уN|>у/2=>1/|уN|<2/у

=> "n: 1/|уN|£max{2/у, 1/у1, 1/у2

,...1/уno}

Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $

n0: "n>n0 последовательность хN£у

N, то х£у

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в

частности Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |xN-x|<E и $n”: "n>n”

|yN-y|<E. Получаем "n>max{n’,n”} все члены посл-ти xN

будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти уN будут

лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)Ç(у-Е,у+Е)=Æ. И т.к мы предположили, что х>у, то

"n>max{n’,n”}: хN>уN - противоречие с условием

=> х£у.

5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу

хÎХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уÎУ, то

говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)|

хÎХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со

значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nÎN обозначают а

N.

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с

некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают

первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить

любой член последовательности через предидущие. Пример: а1=а; а

N+1=аN + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый

десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности а

N, если "e>0 $ n0: "n>n0 выполняется

неравенство |аN-a|<e. Обозначение Lim aN=a.

Если не существует числа а, являющегося пределом посл-ти, то говорят что

последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а

).

Геометрически существование предела последовательности означает, что любой

интервал вида (а-e,а+e), называемый эпсилон-окрестностью точки а,

содержит все члены последовательности аN начиная с

некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки

а находится ко нечное число членов последовательности аN.

Определение: Число а назывется пределом посл-ти аN

если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов

последова тельности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство(от противного):

Пусть последовательность аN имеет предел а и предел

с, причем а¹с. Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение

эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло пусто. Очевидно

достаточно взять эпсилон меньше |а-с|/2. Вне окрестности точки а

содержится конечное число членов последовательности => в ок рестности

точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с

условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность аN сходится к числу а.

Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное

число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность

так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что

последователь ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности аN, то при

отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN£yN, тогда x£y

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’

|хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n

0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |х

N-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2

интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем

(у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n0’, n0”} х

NÎ(х-Е,х+Е) & уNÎ(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у

получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN

- противоречие с условием.

Теорема: Если $n0: "n>n0 aN£b

N£cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c,

причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN

<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n

0,n’,n”} (a-E)<aN£bN£cN

<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bN

Î(a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей

(убывающей) если " n1>n2 (n1<n2

): xN1³xN2 (xN1£xN2).

Замечание: Если xN1 строго больше (меньше) xN2,

тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае

нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей

(убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая

последовательность. Х={xN: nÎN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем:

$ SupX=x, "Е>0 $xE: (х-Е)<хE => $ n0

xNo>(х-E). Из монотон ности имеем: "n>n0 xN

³xNo>(x-E), получили xN£x=SupX, значит

"n>n0 xNÎ(x-E,х]<(x-E,x+E)

10.Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 -

называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым

концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть aN монотонно возрастает, bN монотонно

убывает, "n aN£bN и (bN-aN

)-бм, тогда $! с: "n cÎ[aN,bN] (с Ç[aN

,bN])

Доказательство:

aN£bN£b1 aN монтонно возрастает & aN£b1 => $ Lim aN=a

a1£aN£bN bN монтонно убывает & a1£bN => $ Lim bN=b

aN£a b£bN aN£bN => a£b

Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда aN£c£bN

Пусть с не единственное: aN£c’£bN, с’¹с

aN£c£bN=>-bN£-c£-a

N => aN-bN£c’-c£bN-aN

=> (По теореме о предельном переходе) => Lim(aN-bN

)£Lim(c’-c)£Lim(bN-aN) =>

(a-b)£Lim(c`-c)£(b-a) =>

0£lim(c`-c)£0 => 0£(c`-c)£0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в

друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка

1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый

последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к

0 при n®¥ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков a

N и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0

Î(a;b). Точка x0, называется точкой локалниого min(max), если

для всех xÎ(a;b), выполняется

f(x0)<f(x) (f(x0)>f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0

. Если эта производная f‘(x0)>0(f‘(x0)<0), то для

значений х, достаточно близких к x0 справа, будет f(x)>f(x0

) (f(x)<f(x0)), а для значений x, достаточно близких слева, будет

f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)).

Доказательство: По определению производной,.

Если f‘(x0)>0, то найдется такая окрестность (x0-d,x

0+d) точки x0, в которой (при х¹x0) (f(x)-f(x

0))/(x-x0)>0. Пусть x0<x<x+d, так что х-х

0>0 => из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0

)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если же x-d<x<x0 и х-х

0<0, то очевидно и f(x)-f(x0)<0, т.е. f(x)<f(x0

). Ч.т.д.

Теорема Ферма: Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке

I=(a;b) и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает

наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x

0, то необходимо f‘(x0)=0.

Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение в

точке x0. Предположение, что f‘(x0)¹0, приводит к

противоречию: либо f‘(x0)>0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0

), если x>x0 и достаточно близко к x0, либо f‘(x0

)<0, и тогда f(x)>f(x0), если x<x0 и достаточно

близко к x0. В обоих случаях f(x0) не может быть

наибольшим значением функции f(x) в промежутке I=(a;b) => получили

противоречие => теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на

[a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где

производной нет, либо она равна нулю.

43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом

промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что f’(с)=0.

Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по

второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну том

промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и

нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M,

так и свое наименьшее значение m.

Рассмотрим два случая:

1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение: неравенство

m£f(x)£M в этом случае "x дает f(x)=M => f’(x)=0 во всем

промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются,

но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с

между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x)

определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0

этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x)

дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0)

следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)¹g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом

промежутке (a;b)

3) g’(x)¹0 в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -

*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -

*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с, что

h’(x)=0 => f’(c) -

*g’(c) или f’(c) =

*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)¹0) получаем требуемое

равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом

промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что

Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем:

Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+q(b-a), где

qÎ(0;1). Тогда принимая x0=a, (b-a)=h, мы получаем следующее

следствие:

Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x0

ÎI, x0+hÎI, тогда $ qÎ(0;1): f(x0+h)-f(x

0)=f’(x0+qh)*h ([x0;x0+h] h>0, [x

0+h;x0] h<0)

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN

-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®aN

и n®kN получа ем посл-ть aKn-которая наз. подпосл-тью

посл-ти aN=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная

посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число

членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0

|аN-а|<Е, ввиду того что kN®¥ существует и такое

n’, что при всех n>n’ kN>n0 тогда при тех же

значениях n будет верно |аKn-а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности

можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: хN - ограничена => "n: а£хN

£b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине

содержится бесконечное множество членов посл-ти хN (в противном

случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что

невозможно). Пусть [а1,b1] - та половиа, которая

содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а

1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий

бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до

бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [аK,bK

]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти хN.

Длина к-того промежутка равна bK-аK = (b-a)/2

K, кроме того она стремится к 0 при к®¥ и аK³аK+1

& bK£bK+1. Отсюда по лемме о вложенных

промежутках $! с: "n аN£c£bN.

Теперь построим подпоследовательность:

хN1 Î[а1,b1]

хN2 Î[а2,b2] n2>n1

. . .

хNKÎ[аK,bK] nK>nK-1

а£хNk£b. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.

xN - ограниченная последовательность =>"n аN£хN£bN

хNK®х, так как хNK-подпоследовательность => "n а£хN£b =>а£х£b

х - частичный предел последовательности хN

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (а£М£b) => $ SupM & $ InfM

Верхним пределом посл-ти xN называют SupM¹Sup{xN}: пишут Lim xN

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM¹Inf{xN}: пишут lim xN

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть х

NK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу хN.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN

$ х’ÎМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ÎМ =>

$ подпоследовательность хNS®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к)

$ s0: "s>s0 =>

х’-1/к<хNS<х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<хNS<х+1/к

Берем к=1: х-2<хNS<х+1, т.е $ s0: "s>s0

это неравенство выполняется берем член посл-ти хNS с номером больше s

0 и нумеруем его хN1

k=1: х-2/1<хN1<х+1/1

k=2: х-2/2<хN2<х+1/2 n1<n2

...

k=k: х-2/к<хNK<х+1/к nK-1<nK

При к®¥ хNK®х

13.Фундаментальные последовательности.

Определение: Последовательность {аN} - называется

фундаментальной, если "Е>0 $ n0: "n>n0 и любого

рÎN выполнено неравенство |аN+р-аN|<Е.

Геометрически это означает что "Е>0 $ n0, такой что расстояние

между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами,

меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть

сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда "Е>0 $ n0: "n>n

0 |хN-х|<Е/2. n>n0, n’>n0 |х

N-хN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN

-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть хN - фундаментальная

1) Докажем что хN ограничена: Е1=1998 $ n0: |хN-хN’|<Е, n>n0, n’>n0

"n>n0 |хN-хN0|<Е1 х N0-1998<хN<х N0+1998 => хN - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

$ подпосл-ть хNK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы

|хNK-х|<Е/2 и одновременно nк>n0.

Следовательно (из фунд-ти) |хN-хNK|<Е/2 =>

|хNK-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK<х+Е/2 => |хN-хNK|<Е/2 => хNK-Е/2<хN<хNK+Е/2 => х-Е<хN<х+Е => |хN-х|<Е

14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

nÎN

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*: к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)0=1 =>(1+х)0 =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

=

Ч.т.д

16.Последовательности (во всех пределах n®¥)

1) Lim= 0 (p>0)

- это означает что, мы нашли такое n0=: "n>n0 ||<E

2) Lim=1

xN= - 1

=1+xN

n=(1+xN)n

n=

xN2<2/(n-1)

При n®¥ ®0 => xN®0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim=Lim (1+xN)=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.

xN=; yN=; zN=yN +

xN монотонно возрастает: докажем:

xN=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +...

< 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = yN => yN<zN

<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)n³1+nx, x>-1)

(доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)n³1+n/n=2

Получили: 2 £ xN<3 => xN - ограничена,

учитывая что xN - монотонно возрастает => xN -

сходится и ее пределом является число е.

17. Последовательности (во всех пределах n®¥)

1) Lim=1, a>0

a) a³1:

xN=xN+1==> $ Lim xN=x

xN+1=xN *

xN=xN+1 *

xN=xN+1*xN*(n+1)

Lim xN=Lim (xN+1*xN*(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0<a<1 b=1/a xN=

Lim=1 b=1/a =>= 1/=> Lim= 1/1 = 1

2) Lim = 0, a>1

xN=xN+1=

т.к. Lim= Lim=Lim=1

=> $ n0: "n>n0 xn+1/xn<1 => СТ x=limxn

xN+1=xN*

Lim xN+1 = Lim xN* => x = x*1/a => x=0

Докажем, что если xN®1 => (xN)a®1:

a) "n: xN³1 и a³0

(xN) [a]£(xN)

a<(xN)[a]+1 => по лемме

о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (xN)[a

]=Lim (xN)[a]+1=1 (по теореме

о Lim произведения) получаем Lim (xN)a =1

б) "n: 0<xN<1 и a³0

yN=1/xN => yn>1 Lim yN=lim1/xN

=1/1=1 => (по (а)) Lim (yN)a =1 => lim 1/(xN

)a =1 => Lim (xN)a =1

Объединим (а) и (б):

xN®1 a>0

xN1,xN2,...>1 (1)

xM1,xM2,...<1 (2)

Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число

точек (2) => конечное число точек xN.

в) a<0

(xN)a =1/(xN)- a a<0 =>

-a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim 1/(xN)- a

= 1 => Lim (xN) a = 1

15. Доказательство формулы e=...

yN=; zN=yN +

1) yN монотонно растет

2) yN<zN

3) zN-yN®0

4) zN монотонно убывает

Доказателство:

zN-zN+1 = yN + - yN+1 -= +-=

2=y1<yN<zN<z1=3

e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных

промежутках имеем: yN<e<zN = yN +

1/(n*n!)

Если через qN обозначить отношение разности e - yN

к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN = qN

/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = y

N + qN/(n*n!), qÎ(0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mÎZ, nÎN

m/n = e = yN + qN/(n*n!)

m*(n-1)!= yN*n! + qN/n, где (m*(n-1)! & yN*n!)ÎZ, (qN/n)ÏZ => противоречие

23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х0 если

"Е>0 $d>0: 0<|х-х0|<d & хÎDf =>

|f(x)-А|<Е

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "

последовательности хN®х0, хN¹х0

f(xN)®А

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости

по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует

сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

"Е>0 $d>0: 0<|х-х0|<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

хN®х0, хN¹х0, т.к. хN

®х0 => $ n0: "n>n0 0<|xN-x

0|<Е (Е=d) => 0<|xN-x0|<d => по

определению Коши |f(xN)-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует

отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К): $ Е>0: "d >0 $ x: 0<|x-x0|<d => |f(x)-A|³E

Отрицание (Г): $ хN®х0, хN¹х0: |f(xN)-A|³E

$ хN®х0, хN¹х0 => $ n0

: "n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=d) => по

отрицанию определения Коши |f(xN)-А|³Е

Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале (а,+¥), определяется предел при

хN®¥ следующим образом: limf(х) при хN®¥ =

Limf(1/t) t®+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN

®-¥ = Lim f(1/t) t®-0 и хN®¥ = lim f(1/t) t®0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.

Lim(х0±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым

пределом) ф-ции f(x) в точке х0

Теорема: Пусть интервал (x0-d,x0+d)\{x0}

принадлежит области определения ф-ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в

точке х0 существует <=> когда cуществуют правый и левый предел

f(x) в точке х0 и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $ d

>0: -d<х-х0<d => |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как

только х попадает в d-окрестность точки x0 сразу f(х) попадает в

интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x0+d) =>

x попадает в интервал (x0-d,x0+d) => f(х) попадает в

интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х

попадает в интервал (x0-d,0) => x попадает в интервал (x0

-d,x0+d) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый

предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х0±|h|) при h®0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А

"Е>0 $ d’ >0: 0<х-х0<d’ => |f(х)-А|<Е

"Е>0 $ d” >0: -d”<х-х0<0 => |f(х)-А|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d <х-хо<d => |f(х)-А|<Е

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0

если при х®х0 Lim f(х)=f(х0). Заменяя в определениях

предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х0) получаем определения

по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х0. Поскольку в

опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х0)|<Е выполнено и при х=х0

=> в определении можно снять ограничение х¹х0 => получим

второе равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0,

если "Е>0 $d>0: -d <х-хо<d => |f(х)-f(а)|<Е

Аналогично сняв ограничение х¹х0 - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0,

если " посл-ти хN®х0, f(xN)®f(a)

Если при х®х0 limf(х)¹f(х0), то говорят что функция

f(x) имеет разрыв в точке х0. Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х0

б) Предел f(х) в точке х0 не существует

в) f(х) определена в х0 и limf(х) в точке х0 существует но

равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется

Различают:

1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы

(либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х0)

2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х0 совпадают, то х0 называют

устранимой точкой разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х0

- точка бесконечного разрыва.

Пусть x0 - точка разрыва, x0 называется изолированной,

если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в точке х0 совпадает со

значением f(x0), то f(x) называется непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в точке х0 не существует, а предел

слева (справа) существует и равен значению f(х0), то говорят что

функция f(x) имеет в точке х0 разрыв справа (слева). Такие разрывы

называют односторонними разрывами f(x) в точке х0.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в

каждой точке х этого множества.

26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.

Теорема: Все пределы в точке х0: Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R

(ХÍR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда

1) Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G

2) Lim f(x)*Lim g(x) = F*G

3) Если G¹0 и g(x)¹0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G

Доказательство:

1) "Е>0(в частности Е/2) $d’>0: -d’<х-х0<d’ => |f(х)-F|<Е & $d”>0: -d”<х-х0<d” => |g(х)-G|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d<х-х0<d =>-Е/2 -

Е/2<f(х)-F+g(х)-G<Е/2 + Е/2 => |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е

2) Пусть посл-ть хN®х0 (хN¹х0,

xNÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при

n®¥ Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об

арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(xN)*g(x

N)=Lim f(xN)*Lim g(xN)= F*G => по определению

предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть хN®х0 (хN¹х0,

xNÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при

n®¥ Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об

арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(xN)/g(x

N)=Lim f(xN)/Lim g(xN)=F/G => по определению

предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G¹0 и

g(x)¹0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x), при х®х0 A=Lim f(x), B=Lim g(x), то A£B

Доказательство(от противного):

Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2):

$d’>0: |х-х0|<d’ => |f(x)-A|<E & $d”>0: |х-х

0|<d” => |g(х)-B|<Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0|<d =>

|f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-B|/2, учитывая что А>В и что

(А-Е,А+Е)Ç(В-Е,В+Е)=Æ, получаем что для

хÎ(х0-d, х0+d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) и при х®х0 Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А

Доказательство:

"Е>0 $d’>0: |х-х0|<d’ => A-E<f(x) & $d”>0: |х-х0|<d” => h(х)<A+Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0|<d => A-E<f(x)

& h(x)<A+E, так как " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) =>

A-E<f(x)£g(x)£h(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E

27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х®0.

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x0 (при х®х0)

|Sin x-Sin x0|=2*|Sin((x-x0)/2)|*|Cos((x+x0

)/2)| < 2*|(x-x0)/2|=|x-x0| => -|x-x0

|<Sin x-Sin x0<|x-x0| при х®х0 =>

-|x-x0|®0 & |x-x0|®0 => (по теореме о порядковых

св-вах предела) (Sin x-Sin x0)®0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x0 (при х®х0)

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x0 = Sin (П/2 - x0) = Sin y0

|Sin y-Sin y0|=2*|Sin((y-y0)/2)|*|Cos((y+y0

)/2)| < 2*|(y-y0)/2|=|y-y0| => -|y-y0

|<Sin y-Sin y0<|y-y0| при y®y0 -|y-yo|®0

& |y-yo|®0 => (Sin y-Sin y0)®0 => производим обратную

замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x0)]®0 => (Cos x-Cos x0

)®0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кÎZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кÎZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0<x<П/2

Доказательство:

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R

2) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x <

(Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos

x£Lim (Sin x)/x£1 при x®0, 0<x<П/2. Испльзуем непрерывность

Сos1£Lim (Sin x)/x£1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2

28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 -

называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее

между f(а) и f(b), тогда существует х0Î[a,b]: f(х0

)=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая

х0=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х0)=f(х0

)-с=0 => f(х0)=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не

обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а

1)*g(b1)<0, делим его пополам если в точке деления функция

g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция

g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот

для которого g(а2)*g(b2)<0... продолжая процесс до

бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в

ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число

вложенных друг в друга промежутков. Для n-го промежутка [aN

,bN] будем иметь: g(aN)<0, g(bN)>0,

причем длина его равна bN-aN=(b-a)/2n®0 при

n®¥. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о

вложенных промежутках => $ точка x0 из промежутка [a,b], для

которой Lim aN=Lim bN= x0. Покажем, что x

0-удовлетворяет требованию теоремы: g(aN)<0, g(bN

)>0 => переходим к пределам: Lim g(aN)£0, Lim g(bN

)³0, используем условие непрерывности: g(x0)£0 g(x0

)³0 => g(x0)=0 => f(х0)-c=0 => f(х0

)=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество

У=f(Х)={f(х):хÎХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево

дит промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у1,у2ÎУ; у1

£у£у2, тогда существуют х1,х2

ÎХ: у1=f(х1), у2=f(х2).

Применяя теорему к отрезку [х1,х2]ÍХ (если х

1<х2) и к отрезку

[х2,х1]ÍХ (если х2<х1)

получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению

промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется

функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления

ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim

f(g(x))=f(b) (при x®a)

Доказательство:

Пусть xN: xN¹a - произвольная посл-ть из области

определения ф-ции х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN

: yN=g(xN) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim

f(yN)=f(b) (n®¥) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне.

Т.о. Lim f(g(xN))=Lim f(yN)=f(b) (n®¥). Заметим что в

посл-ти yN - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b.

Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения yN¹b

в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN)®f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x0, а функция f

непрерывна в точке у0=g(x0), тогда ф-ция f(g(x))

непрерывна в точке х0.

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у

однозначно разрешимо относительно уÎf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция

однозначно сопоставляющая каждому уо такое х0 что f(х0)=у

0 - называется обратной к функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена

и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго

убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по

следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения

непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для

каждого значения у0 из этого промежутка найдется хоть одно такое

значение х0ÎХ, что f(х0)=у0. Из

строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно:

если х1> или <х0, то соответственно и f(х1

)> или <f(х0). Сопоставля именно это значение х0

произвольно взятому у0 из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у)

- обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно

возрастает. Пусть y’<y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f

=> у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с

условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0)

при у®у0. Пусть f`(у0)=х0. Возьмем произвольно

Е>0. Имеем "уÎУ: |f`(у)-f`(у0)|<Е <=> х0

-Е<f`(у)<х0+Е <=> f(х0-Е)<у<f(х0

+Е) <=> f(х0-Е)-у0<у-у0<f(х0

+Е)-у0 <=> -d’<у-у0<d”, где d’=у0

-f(х0-Е)>у0-f(х0)=0, d”=f(х0+Е)-у

0>f(х0)-у0=0,

полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у0|<d => -d’<у-у0<d” <=> |f`(у)-f`(у0)|<Е

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция х

M/N - где mÎZ, nÎN. Очевидно степенная функция явл-ся

cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций хM и

х1/M => ф-ция хM/N - непрерывна при х>0. Если х=0,

то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию хN, nÎN: она непрерывна так как равна

произведению непрерывных функций у=х.

n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N=1/хN, учитывая что:

1) 1/х - непрерывная функция при х¹0

2) хN (nÎN) - тоже непрерывная функция

3) х-N=1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х¹0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N -

непрерывная при х¹0, т.о. получили что хMmÎZ -

непрерывная ф-ция при х¹0. При х>0 ф-ция хN nÎN строго

монотонно возрастает и ф-ция хNнепрерывна=>$ функция обратная

данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой

функцией будет функция х1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и

строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные

тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел:

Функция вида аX, а>0, а¹1 xÎQ.

Свойства: для mÎZ nÎN

1) (аM)1/N = (а1/N)M

(аM)1/N=(((а1/N)N)M)1/N = ((а1/N)N*M)1/N = (((а1/N)M)N)1/N = (а1/N)M

2) (аM)1/N=b <=> аM=bN

3) (аM*K)1/N*K=(аM)1/N

(аM*K)1/N*K=b <=> аM*K=bN*K <=> аM=bN <=> (аM)1/N=b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если

обозначить: aM/N=(аM)1/N=(а1/N)

M, a-M/N=1/aM/N, а0=1

Св-ва: x,yÎQ

1) aX * aY = aX+Y

aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/a

K/N = b => aM/N = b * aK/N => aM =

bN * aK => aM-K = bN => a

(M-K)/N = b => aX+Y = b

2) aX/aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

(aX)Y=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N)K/S

=b => (aM/N)K=bS => (a1/N)

M*K=bS => (aM*K)1/N=bS

=> aM*K=bS*N => a(M*K)/(S*N)=b => a

X*Y=b

4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность

z=y-x>0; aY=aZ+X => aY-aX=aZ+X-aX=aX*aZ-aX=aX*(aZ-1) => если aZ>1 при z>0, то aX<aY.

z=m/n => aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x®0 aX®1 (xÎR)

Т.к. Lim a1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N

=Lim1/a1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0: "n>n0

1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь

|x|<1/n0, то

a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел:

Функция вида аX, а>0, а¹1 xÎR.

Свойства: x,yÎR.

1) aX * aY = aX+Y

xN®x, yN®y => aXn * aYn = a

Xn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn

=> Lim aXn * lim aYn = Lim aXn+Yn => a

X * aY = aX+Y

2) aX / aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

xN®x, yK®y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n®¥) (aX)Yk=aX*Yk =>(k®¥) (aX)Y=aX*Y

4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’ÎR; xN®x x’N®x’ xN,x’NÎQ => xN<x’N => aXn < aX’n => (n®¥) aX£aX’- монотонна

x-x`>q>0 => aX-X’ ³ aQ>1 => aX-X’¹1 => aX<aX’ - строго монотонна

5) при x n®0 aX ®1

Т.к. Lim a1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N

=Lim1/a1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0: "n>n0

1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь

|x|<1/n0, то

a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)

6) aX - непрерывна

Lim aX=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность aX в

точке 0 => aX-aXo= aXo(aX-Xo -

1) при х®x0 x-x0 n®0 => aX-x0

n®1 => при х®x0 lim(aX - aXo)=

Lim aXo*Lim(aX-Xo - 1) = x0 * 0 = 0 => aX - непрерывна

33.Предел функции (1+x)1/X при x®0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)1/X = e при x®0

У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n®¥

Лемма: Пусть nK®¥ nKÎN Тогда (1+1/nK)Nk®e

Доказательство:

"E>0 $k0: "n>n0 0<e-(1+1/n)n<E => nK®¥ $ k0: "k>k0 => nK>n0 => 0<e-(1+1/nk)Nk<E

Lim (1+xK)1/Xk при x®0+:

1/xK=zK+yK, zKÎN =>

0£yK<1 => (1+1/zK+1)Zk<(1+x

K)1/Xk < (1+1/zK)Zk+1=(1+1/zK

)Zk*(1+1/zK)=>(1+1/zK+1)Zk=(1+1/z

K+1)Zk+1)/(1+1/zK+1) => (1+1/zK+1)

Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk <

(1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®¥ учитывая, что:

(1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => получаем:

e£Lim (1+xK)1/Xk£e => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+

Lim (1+xK)1/Xk при x®0-:

yK=-xK®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e при x®0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x®0

2) n®¥ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX

3) x®xa aÎR - непрерывна

xa=(eLn x) a=ea*Ln x

непр непр непр непр

x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x

4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1

4’) x®0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a

5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a

6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x)

-1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в

каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на

этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее

значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xÎ[a,b]}. Если f не ограничена сверху на

[a,b], то m=¥, иначе mÎR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть

(сN), такую что Lim cN=m. Т.к. "nÎN: cN

<m то $ xNÎ[a,b]: cN<f(xN)£m.

xN - ограничена => $ xKn®a. Т.к. a£xКn

£b => aÎ[a,b].

Для mÎR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен

пределу посл-ти получаем cKn®m.

Для m=+¥ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб

посл-тью получаем cKn®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn

<f(xKn)£m, получим

Lim f(xKn)=b n®¥, но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(x

Kn)=f(a) => f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и

достигает верхней

граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xÎ[a,b]} доказывается

аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: "Е>0 $ d>0: "х’,х”: |х’-х”|<d =>

|f(x’)-f(x”)|<Е => функция называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то

здесь d не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0:

$ х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|³Е>0

Рассмотрим множество , IÍDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется

колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf(d) = +¥; Sin x - Wf(d) = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому:

"Е>0 $ d>0: Wf(d)£Е Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”:

|х’-х”|<d=>|f(x’)-f(x”)|³Е. Возьмем d =1/к, кÎN $хK

, х’KÎ[a,b]: |хK-х’K|<1/к |f(xK

)-f(x’K)|³E

Т.к хK - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса

можно выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем:

|хKs-х’Ks|<1/к

хKs-1/k<х’Ks<хKs-1/k по Лемме о зажатой

посл-ти х’Ks®х0 kS®¥ |f(xKs

)-f(x’Ks)|³E кS®¥ => 0³E - противоречие с

условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x0 к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х

соединим x0 и х - получим секущую. Касательной назовем предельное

положение секущей при х®x0, если это предельное положение

существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x0,f(x0

) => уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x

0)+f(x0). Необходимо только опр-ть наклон k

касательной. Возьмем произвольное число Dх¹0 так, чтобы x0

+DхÎХ. Рассмотрим секущую МОМ, МО(x0,f(x

0)), М(x0+Dх,f(x0+Dх)). Уравнение секущей имеет вид:

у=к(Dх)(х-x0)+f(x0), где k=f((x0+Dх)-f(x0

))/Dх - наклон секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве

искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=¥ при Dх®0,

то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x0))+x0

перейдя к пределам при Dх®0, получим x=x0 (Lim x=Lim x0

Dх®0 => x = Lim x0)

Определение: Производным значением функции f в точке х0

называется число f’(х0)=Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/

Dх x®x0, если этот предел существует.

Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке

(x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0

)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+Dх)-f(x

0))/Dх=¥ Dх®0, то пишут f`(x0)=¥ касательная в этом

случае вертикальна и задается уравнением х=x0. f`(x0

)=lim(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх x®x0=>(f(x0

+Dх)-f(x0))/Dх=f’(x0)+a(x), a(x)®0 при x®x0.

f(x0+Dх)-f(x0)=f`(x0)*Dх+a(x)*Dх учитывая, что

x0+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0) получим

f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0).

Необхо димо заметить, что o(x-x0) уменьшается быстрее чем (x-x0

) при x®x0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0

)

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0

если $сÎR: в некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0

)+f(x0)+o(x-x0)

Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 <=> $ f’(x0)

Доказательство:

<=: f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => f`(x0)=C

=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) =>

(f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x-x0

)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0.

Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x

0)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по

определению C=f`(x0)

Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0,

то линейная функция Dх®f’(x0)*Dх называется дифференциалом функции f

в точке x0 и

обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x

0):Dх®f`(x0)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0)=f’(x0

)*dх => df(x0)/dх: Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f’(x0)

при Dх¹0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх

- обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной

переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.

Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x

0)®f(x0) при x®x0 => f непрерывна в точке x0

.

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая

перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что

тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)=

-Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x0

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда

ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x0)¹0) дифференцируемы в точке x

0 и:

1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)

2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)

3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2

Доказательство:

1) Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)

Dg(x0)=g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)=Df(x0)+Dg(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0

+Dx)-g(x0))/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx+(g(x0

+Dx)-g(x0))/Dx®f’(x0)+g’(x0) при Dx®0

2) D(f*g)(x0)=f(x0+Dx)*g(x0+Dx)-f(x0

)*g(x0)=(f(x0)+Df(x0))*(g(x0)+D(x

0))-f(x0)*g(x0)=g(x0)*Df(x0

)+f(x0)*Dg(x0)+Df(x0)*Dg(x0)

D(f*g)(x0)/Dx=g(x0)*(Df(x0)/Dx)+f(x0

)*(Dg(x0)/Dx)+(Df(x0)/Dx)*(Dg(x0)/Dx)*Dx®f’(x

0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при Dx®0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в

точке x0 => "Е>0 (Е=|g(x0)|/2) $d>0: |Dx|< d

=> |g(x0+Dx)-g(x0)|<|g(x0)|/2.

g(x0)-|g(x0)|/2<g(x0+Dx)<g(x0

)+|g(x0)|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|Dx|<d) видим что

g(x0+Dx)¹0.

Рассмотрим разность (1/g(x0+Dx)-1/g(x0))/ Dx = -(g(x0

+Dx)-g(x0))/Dx*g(x0+Dx)*g(x0) ® -g’(x0

)/g(x0)2 при Dx®0

(f/g)’(x0)=(f*1/g)’(x0) => (2) = f’(x0

)*1/g(x0)+f(x0)*(1/g)’(x0)=f`(x0

)*1/g(x0)+f(x0)*(-g’(x0)/g(x0)2

)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x

0)2

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x0) = Cos (x0)

2) Cos’(x0) = -Sin (x0)

Доказательство:

1) Df/Dx=(Sin(x0+Dx)-Sin(x0))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) *

Cos(x0+Dx/2) ® Сos x0 при Dx®0

2) Dg/Dx=(Cos(x0+Dx)-cos(x0))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x

0+Dx/2) ® -Sin x0 при Dx®0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos

по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x0, а ф-ция f диф-ма в

точке y0=g(x0), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x

0 и h’(x0)=f`(y0)*g’(x0)

Доказательство:

Dy=y-y0, Dx=x-x0, Df(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx), y=g(x0+Dx)

Dh(x0)=f(g(x0+Dx))-f(g(x0))=f(y)-f(y0

)=f’(y0)*Dy+o(Dy)=f’(y0)*(g(x0+Dx)-g(x0

))+o(Dg)==f’(y0)*(g’(x0)*Dx+o(Dx))+o(Dy)= f’(y0

)*g’(x0)*Dx+f’(y0)*o(Dx)+o(Dy)

Dh(x0)/Dx=f’(y0)*g’(x0)+r, r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx

r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y0

)*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y0)*a(x)+a’(x)*Dy/Dx®f’(y0

)*0 + 0*g’(y0) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)

Производная:

1) xa=a*xa-1

Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)a-xa)/Dx = Lim xa-1*

((1+Dx/x)a-1)/Dx/x. Используя замечательный предел x®0 Lim ((1+x)

a-1)/x=a, получим Dx®0

Lim xa-1*Lim((1+Dx/x)a-1)/Dx/x = a*xa-1

2) (aX)’=aX*Ln a (x®aX)’=(x®eX*Ln a)’

x®eX*Ln a - композиция функций x®еX и x®x*Ln a обе

непрерывны на R => (x®aX)’=(x®е X*Ln a)’=(x®еX

*Ln a)’*(x®x*Ln a)’=aX*Ln a

Д-во : (eX)’=eX

Lim(Dy/Dx)=Lim(eX+DX-eX)/Dx=Lime

X*(eDX-1)/Dx, используя зам-ный предел при x®0 Lim(e

X-1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=eX

3) (LogA(x))’=1/x*Ln a

Lim(Dy/Dx) = Lim (LogA(x+Dx) - LogA(x))/Dx = Lim 1/x*Log

A(1+Dx/x)/Dx/x, используя замечательный предел при x®0 Lim LogA

(1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim LogA(1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в

точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0

=f(x0)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в

(а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно

отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0Î(a,b) и

f’(x0)¹0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и

g’(y0)=1/f’(x0)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN

®y0, yN¹y0 => $ посл-ть xN:

xN=g(yN), f(xN)=yN

g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-x

O/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO

)/xN-xO ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN

®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO

®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)

Производные:

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что

Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к.

Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит

Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)

1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x2

4) x®Arcctg’x= -1/1+x2

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO

, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO

или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется

второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и

обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и

так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) -

производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0

(xO)=f(xO).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы

существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO

(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f

N-1(x) непрерывна в точке xO, а при n³2 все производные

порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO

называют функцию dх®fN(x)*dх и обозначают dNf(x). Таким

образом dNf(x):dх®fN(x)dxN.

Так как fN(x)dхN:dх®fN(x)dxN, то d

Nf(x)=fN(x)dхN. В силу этого соотношения производную fN

(x) обозначают также dNf(x)/dхN

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию

у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная

у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx.

Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t):

dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх -

видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может

быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого

дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию

у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная

у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме

dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2

y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла

dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2

x+y’(x)*d2x, в то время как при независимой переменной х второй

диф-ал имел вид д2y=у’(х2)*dx2x =>

неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x)

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х

- получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые

произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком

произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0

*vN+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0

N=1. Произведение uN+1*v0 входит только в первую

сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные произведения

входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое

произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k.

Сумма соотв. коэффициентов будет

=>

получаем fN+1(x)=u0*vN+1++ uN+1*v0=

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в

открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть x£b, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем:

f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0<q<1 => т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b),

то f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хÎ(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в

открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=>

f’(x)³0(f’(x)£0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго

возрастает(убывает) в [a;b].

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”Î(a;b), тогда по теореме Лагранжа

(f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), сÎ(x’,x”). По условию имеем

f’(x)³0(f’(x)£ 0) в (a;b) => f’(c)³0(f’(c)£ 0) =>

f(x”)³f(x’)( f(x”)£f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом

смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие

получим (2).

Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f.

f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то x

O-экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума: (+)®xO®(-) => локальный min, (-)®x

O®(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство

Определение: Множество М выпукло <=> если " А,ВÎМ [А,В]ÌМ

[А,В]ÌМ => [А,В]={А+t(В-А):tÎ[0,1]} => А(1-t)+tВÎМ

[А,В]ÌМ => А,ВÎМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1,l2³0 => l1А+l2ВÎМ

Рассмотрим точки: А1,А2,...АNÎМ l1,l2³0 S(i=1,n): lI = 1

Докажем что S(i=1,n): lI*АI ÎМ

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) lN=1 => приравниваем l1=...=l N-1=0 => верно

б) lN<1 l1*А1 +...+ lN-1*А

N-1 + l N*А N= (1-l N)((l1

/1-l N)*А1+...+(lN-1/1-l N)*А

N-1) + l N*А N = (1-l N)*B + l N

*А N

BÎМ - по индуктивному предположению А NÎМ - по условию=>(1-l N)*B + l N*А N ÎМ Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хÎDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: АIÎМ lI³0 S(i=1,n): l

I =1 => S(i=1,n): lI*АI ÎМ, xI

³0, f(xI)£yI => S(i=1,n): lI*А

I = (SlI*xI;SlI*yI) => f(Sl

I*xI)£SlI*yI

Неравенство Йенсена: АIÎМ lI³0 SlI =1f(SlI*xI)£SlI*f(xI)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия

эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO

,x”Î(a;b) x’<xO<x” =>

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)£(f(x”)-f(xO))/(x”-x

O). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей

растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)³(f(xO)-f(x’))/(x

O-x’) => y³f(xO); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-xO

)£(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>y£f(xO

)

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)£(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)

“<=”