Лекция: Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний
2. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний
Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не
отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных
уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов,
положенных в основу работы объекта.
Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного
тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную нагрузку с вязким
трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем напряжение на якоре
U(t), выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=j(t). Уравнение
электрической цепи имеет вид
 ,
где  - противо ЭДС, 
- угловая скорость вала двигателя, 
- единый электромагнитный коэффициент.
Уравнение моментов будет иметь следующий вид
 ,
где  , J - момент
инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f - коэффициент вязкого трения.
Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=w, x3=j.
Получим
 ,
 .
Запишем эти уравнения относительно переменных  ,  , 
 ,
 ,
 ,
 .
Запишем матричные уравнения
 ,
 ,
где
 ,  ,  .
Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем
постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.
Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем
постоянного тока
Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей собой
груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим
демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения x(t),
управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем из
уравнения равновесия сил
 ,
где  - инерционная
сила, f - коэффициент вязкого трения, 
- сила сопротивления демпфера, 
- сила сопротивления пружины.
Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и 
- перемещение и скорость перемещения соответственно.
Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и
вязкий демпфер
Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество
переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза
можно записать в виде двух уравнений
где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.
Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода
 .
Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной механической
системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде
 ,
 .
Запишем это уравнение в другом виде
 ,
 ,
где  ,  ,  ,  ,  .
С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную схему,
где двойными линиями показаны векторные переменные.
Рис. 2.3. Структурная схема
Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния RLC цепи
Рис. 2.4. RLC цепь
Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется при
t³t0, если известны начальные значения: i(t0), e
c(t0) и входное напряжение e(t) при t³t0,
следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и
ec(t). При указанных переменных состояния i(t) и ec(t)
имеем следующие уравнения
где  ,  .
Введем следующие обозначения
В соответствии с этими обозначениями получаем
причем  .
Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно-
матричном виде
 ,
 .
Запишем матричные уравнения
 ,
 ,
где  ,  ,  ,  . |
