Лекция: Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

№1

1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г,

являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) Î D

– произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз.

наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n

частых областей D1.Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то

DSi – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн l.

В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (xi , Di) Î Di, наз.

промежуточной. Если диаметр разбиения D l à 0 , то число n областей Di

à ¥. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I

= f(xi, Di)DSi (1),

наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D

если существует конечный предел интегральной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при l

à 0. Обозн:

или

2 Понятие числового

ряда и его суммы

Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3.

Выражение u1+ u2+ u3.+ un (1) называется числовым рядом, а числа его

составляющие- членами ряда.

Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой

ряда: Sn = u1+..+un

Если сущ. конечный предел:

, то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого предела

не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет.

№ 2

1 Условие существования

двойного интеграла

Необходимое, но недостаточное:

Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.

1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на

замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.

2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в замкнутой

области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением отдельных

точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь разрыв, то она

интегрируема на D.

2 Геометрический и

арифметический ряды

Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз.

геометрическим:

или

а+ а×q +.+a×qn-1

a ¹ 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда:

следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от

величины q

Возможны случаи:

1 |q|<1

т. е. ряд схд-ся и его сумма 2 |q|>1 и предел суммы так же равен бесконечности

т. е. ряд расходится.

3 при q = 1 получается ряд: а+а+.+а. Sn = n×a ряд расходится

4 при q¹1 ряд имеет вид: а-а+а . (-1)n-1a Sn=0 при n

четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд

расходится.

Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии:

u – первый член, d – разность. Сумма ряда

при любых u1 и d одновременно ¹ 0 и ряд всегда расходится.

№3

1 Основные св-ва 2ного интеграла

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то

она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области

Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то:

4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в

виде суммы интегралов:

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в

Д. Если g(x,y) ¹ 0 то и f/g интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <=

g(x,y), то:

В частности: g(x,y) >=0 то и

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и

|f(x,y)| интегрир. в Д причем

обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует

интегрируемость f.

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (x, h)

Î Д, что:

(2), где S – площадь

фигуры Д. Значение f(x, h) опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по

области Д.

2 С-ва сходящихся рядов

Пусть даны два ряда: u1+u2+.un =(1) и v1+v2+.vn = (2)

Произведением ряда (1) на число l Î R наз ряд: lu1+lu2+.lun =(3)

Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:

(u1+v1)+(u2+v2)+.(un+vn) = (для разности там только - появица)

Т1 Об общем множителе

Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа l ряд

=l × тоже

сходится и его сумма S’ = S×l Если ряд (1) расходится и l ¹ 0, то и

ряд тоже

расходится. Т. е. общий множитель не влияет на расходимости ряда.

Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд:

тоже сходится и если s его сумма, то s = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно

почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то

их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда расходятся. то

ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn) так и сходиться

(если un=¹vn)

Для ряда (1) ряд

называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток ряда сходится, то его сумму

будем обозначать: rn =

Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток

ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма

ряда Sn + rn

Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не

влияет на сходимость (расходимость) ряда.

№4

1 Сведение

2ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая,

параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает

границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в

направлении оси оу.

Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на

отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) =

, наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл :

, наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный

интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных

интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.

2 Необходимый

признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю:

Док-во:

Sn=u1+u2+.+un

Sn-1\u1+u2+.+un-1

un=Sn-Sn-1, поэтому:

Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е.

если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при

этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является

зато достаточным условием расходимости ряда.

№5

1 Замена переменных в двойном интеграле.

Общий случай криволинейных координат

Пусть существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные

координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x =

x(u,v), y=y(u,v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными производными

первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное

соответствие между точками плоской области Д и области Д’ и определитель

преобразования, наз. Якобианом не обращается в 0:

если это выполняется можно пользоваться ф-лой:

2 Интегральный признак

Т1 Пущай дан рядт

(1), члены которого неотрицательны, и не возрастают: u1>=u2>=u3.>=un

Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая на

[1,+¥] такая, что f(n) = Un, " n Î N, то для сходимости ряда (1)

необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:

, а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот

расходился (ВАУ!).

Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он:

, a Î R Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при a >0 общий

член оного un=1/na à0 и убывает поэтому можно воспользоваться

интегральным признаком, функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/xa

(x>=1)сия ф-ция удовлетворяет условиям теоремы 1 поэтому сходимость

(расходимости) ряда Дирихле равнозначна сходимости расходимости интеграла:

Возможны три случая:

1 a >1,

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 0<a<1,

Интеграл и ряд расходится

3 a=1,

Интеграл и ряд расходится

№ 6

1 Двойной интеграл

в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j)

где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j = угол между

векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой

стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j <=2p .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r×cosj , y

= r×sinj .

Якобиан преобразования будет равен:

И формула при переходе примет вид:

2 Признаки сравнения

Т(Признаки сравнения)

Пущай и ряды с неотрицательными членами и для любого n выполняется нер-во:

un<=vn (1)тогда

1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un

2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми

русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из

сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из

расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и

не наоборот!!!

Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех номеров

n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0

неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака

сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или

геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.

Т3 Засекреченная

Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:

(0<k<+¥) тада оба эти ряда сходятся.

№7

1 Вычисление

площади плоской области

с помощью 2ного интеграла

Если Д правильная в направлении оу a<=x<=b, y1(x)<=y<=y2(x), то

Если Д огр линиями в полярных координатах, то

2 Признаки Даламбера и Коши

Т(Признак Далембера)

Пущай для ряда un с положит членами существует предел:

, то

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

Т(Признак Коши)

Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует предел:, тогда

1 Если k<1, то ряд сходится

2 Если k>1 ряд расходится

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о

сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут.

Вот.

№8

1 Вычисление объема

с помощью 2ного интеграла

Рассматривая в пространстве тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z =

f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое

криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:

если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен

объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:

z = |f(x,y)|>=0.

тогда

если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1,

f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда:

2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет разные

знаки (один ♀, другой ♂), если считать каждый член сего ряда

положительным то его можно записать в виде:

Т (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:

1) u1>=u2>=u3.>=un>=un+1.

2)

то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам:

0<=S<=un и |rn|<=un+1

Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.

Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-

нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также сходится.

№9

1 Вычисление

площади поверхности

с помощью двойного интеграла.

Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x,y) и имеющая границу Г,

проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области ф-ция

f×(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные: тогда

площадь поверхности Р вычисляется:

для ф-ций вида x = m (y,z) или y = j(x,z) там будут тока букыв в частных

производных менятца ну и dxdy.

2 Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная

сходимость рядов.

Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные числа,

а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть дан ряд:

u1+u2.+un=(1), где un

– может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий

из абсолютных значений этого ряда:

|u1|+|u2|.+|un|=(2),

Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если

ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.

Т. Признак абсолютной сходимости:

Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится, при

этом:

<=

Доквы:

т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un,

тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной

величины |Sn|=|u1+u2+.+un|<=|un| " n Î N, то переходя к пределу

получим:

<=

Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же

членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна

сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо

запущенней.

Т(Римана)

Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то каким

бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его сумма

станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка

слагаемых

№10

1 Вычисление массы,

помощью 2ного интеграла.

Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле:

, где r(х, у) – поверхностная плотность.

Координаты центра масс выч по ф-ле:

если пластина однородная, т. е. r(х, у) – const, то ф-лы упрощаются:

Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и ох

Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:

J0=Jx+Jy

если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.

2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз.

последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые

действительные значения.

Пусть задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)} Формальнг написанную

сумму: (2) называют

функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x) – его членами. Аналогично

случаю числовых рядов сумма: Sn(x) = u1(x)+u2(x)+.+un(x) называется частичной

суммой ряда n порядка, а ряд: un+1? un+2. - его n-ным остатком. при каждом

фиксированном х = х0 Î Е получим из (1) числовую последовательность

{fn(x0)}, а из (2) – числовой ряд

, которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то

сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости.

Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при " x Î E f(x) =

назывется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x)

определенная при " x Î Е равенством

S(x)=

называется суммой ряда (2).

Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если

обозначить сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn

(x)

Если ряд (2)

сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-ж Е. Множество всех

точек сходимости функционального ряда наз областью сходимости. Для определения

области сходимости можно использовать признак Даламбера и Коши. С ихнею помашшю

ф-ц ряд исследуется на абсолютную сходимость Например, если существует

и

, то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.

№11

1 Тройные интегралы

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного пространства

задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n произвольных

частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами DV1. DVn В

каждой частичной области возбмем произв. точку М с кооорд Mi(xi,hi,ci) составим

сумму:

f(xi,hi,ci)×DVi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим

за l максимальный диаметр частичной области. Если интегральная сумма при l

à 0 имеет конечный предел, то сей предел и называется тройным интегралом

от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:

2 Равномерная

сходимость функциональных

последовательностей и рядов.

Признак Вейерштрасса.

Ф-циональную последовательность {fn)x)} x Î E наз. равномерно сходящейся

ф-цией f на м-ж Е, если для Î e >0, сущ номер N, такой, что для " т х

Î E и " n >N выполняется ¹-во: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж

{fn)x)} равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем

м-ж. тогда пишут: fn à f.

наз. равномерно

сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится последовательность его

частичной суммы. , т. ен. равномерная сходимость ряда означает:Sn(x) à

f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сходящимся, но всякий

равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это наверное лет 500

выдумывали.)

Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)

Если числовой ряд: (7),

где a >=0 сходится и для " x Î E и " n = 1,2. если выполняется нер-во

|un(x)|<=an(8), ряд

(9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж Е.

Док-вы:

Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости

ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e >0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, " n

>N и вып. нерво

Следовательно: |S(x)-Sn(x)| =

Это означает, что Sn(x) à S(x) что означает равномерную сходимость ряда..

№12

1 Замена переменных

в тройном интеграле.

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно

однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно

дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует

якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:

x=rcosj, y=rsinj, z=z (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,

-¥<=z<=+¥)

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r? j q, связанными с z,y,z формулами

x=rsinq×cosj,

y=r sinqsinj, z=rcosq.

(0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,

0<=q <=2p)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r2×sinq.

Итак, в сферических координатах сие будет:

2 Свойства равномерно

сходящихся рядов

Т1 Если ф-ция un(x), где х Î Е непрерывна в т. х0 Î E и ряд

(1) равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) =

также непрерывна в т. х0.

Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) Î R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд

(3) равномерно сходится на этом отрезке, тогда какова бы ни была т. х0 Î

[a, b] (4) тоже

равномерно сходится на [a,b]. В частности: при x0 = a, х = b:

т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.

Т3 (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) Î R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд её

производных (6)

равномерно сходящийся на отр [a,b] тогда, если ряд

сходится хотя бы в одной точке x0 Î [a,b] то он сходится равномерно на

всем отрезке [a,b], его сумма S(x) =

является непрерывно дифференцируемой ф-цией и

S’(x)= (9)

В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:

()’ =

So ряд (7) можно почленно дифференцировать

№13

1 Приложения

тройных интегралов

Объем тела

Масса тела: , где r(М) = r(x,y,z) - плотность.

Моменты инерции тела относительно осей координат:

Момент инерции относительно начала координат:

Координаты центра масс:

m – масса.

Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz,

Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: r(М) =

const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.

2 Степенные ряды. Теорема Абеля

Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a0+a1x+a

2x2+. + anxn =

(1) x Î R членами которого являются степенные ф-ции. Числа an Î R,

наз коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:

a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2. + an(x-x0)n = (2)

Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в

т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к

ряду (1) по ф-ле у = х-х0.

Т Абеля

1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ¹ 0, то он сходится абсолютно при

любом х, для которого |x|<|x0|.

2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для

которой |x|>|x0|

№14

1 Определение криволинейных

интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К.

Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть Dlk

длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку

N(xk,hk) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную

суммы:

d1 = f(xk,hk)×Dlk

d2 = Р(xk,hk)×Dхk

d3 = Q(xk,hk)×Dyk,

где Dхk = xk-xk-1, Dyk = yk-yk-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел

интегральной суммы d1 при условии, что max(Dlk) à 0

Если предел интегральной суммы d2 или d3 при l à 0, то этот предел наз.

криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и

обозначается:

или

сумму: +

принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:

в этом случае ф-ции

f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама

кривая l наз контуром или путем интегрирования А – начальной, В – конечной

точками интегрирования, dl – дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный

интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода –

по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не

зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая

l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

, для криволинейных

интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой ведет к изменению

знака:

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух

возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то

направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по

отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой

стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным.

Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит

направлении будем обозначать символом:

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

и три интеграла 2 рода:

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд:

(1) Число (конечное

или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда (1) если для любого х

такого, что |x|<R ряд (1) сходится, а для " х таких. что |x|>R ряд

расходится Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т.

е. (-R, +R) наз. интервалом сходимости.

Т1 Для всякого степенного ряда (1) существует радиус сходимости R

0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сходится

абсолютно

Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сходимости: |x-x0<R|

будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R? то ряд сходится в т. x абсолютно

иначе расходится. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или

x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сходимости решается индивидуально. У

некоторых рядов интервал сходимости может охватывать всю числовую прямую при R

= +¥ или вырождаться в одну точку при R = 0.

Т2 Если для степенного ряда (1) существует предел (конечный или бесконечный):

, то радиус сходимости будет равен этому пределу.

Док-вы: Рассмотрим ряд из абсолютных величин

и по Даламберу исследуем его на сходимость:

(5)

1)Рассмотрим случай, когда

конечен и отличен от 0. Обозначив его через R запишем (5) в виде

При числовом значении х степенной ряд становится числовым рядом, поэтому по

Даламберу ряд (1) сходится если |x|/R<1, т. е. |x|<R, тогда по признаку

абсолютной сходимости ряд (1) сходится абсолютно при |x|<R иначе ряд

расходится.

2)Пусть = ¥

тогда из(5) следует, что

для любого х Î R Итак ряд (1) сходится при любом х причем абсолютно.

3) Пусть =0 тогда из

(5) следует, что и

ряд расходится для любого х. Он сходится только при х = 0 В этом сл-е R = 0.

Т3 Если существует предел конечный или бесконечный , то (10)

№15

1 условия

криволинейных интегралов.

Кривая L наз. гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих её

параметрических уравнений:

(1)

имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой L наз

особыми точками, если они соответствуют значению параметра t Î [a,b] для

которых (j’(t))2+(y’(t))2 = 0 т. е. обе производные

обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными

(ВАУ!).

Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных

точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то

криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы

нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам

сводящим эти интегралы к обычным:

Отседова жа вытекаает штаа:

В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х)

непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:

ну и сумма там тожжа упростица.

ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)

Если АВ задана в криволинейных координатах a <= j <= b где ф-ция r(j)

непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] то имеет место частный случай, где

в качестве параметра выступает полярный угол j. x = r(j)×cos(j),

y= r(j)×sin(j).

и у второго рода так же.

Прямая L наз кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное

число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых

представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по

этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым

составляющим сию кусочно-гладкую кривую. все выше сказанное справедливо и для

пространственной кривой (с буквой зю).

2 Свойства степенных рядов

Т1 Если степенной ряд

(1) имеет радиус сходимости R>0, то на любом отрезке действительной оси вида

|x|<=r, 0<r<R (2) (или [-r,r]) целиком лежащем внутри интервала

сходимости ряд (1) сходится равномерно.

Для ряда отрезком

равномерной сходимости будет отрезок |x-x0|<=r или ([x0-r,x0+r])

Т2 На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Т3 Радиусы сходимости R, R1, R2 соответственно рядов×

(5), (6),

(7) равны: R1=R2=R3. Итак ряды (6) и (7) полученные с помощью формального

интегрирования и дифференцирования имеют те же радиусы сходимости, что и

исходный ряд.

Пусть ф-ция f(x) является суммой степенного ряда (9)

Т4 Дифференцирование степенного ряда

Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда (9), то она

дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится

дифференцированием ряда (9):

f’(x)= При этом радиус сходимости полученного ряда = R

Т5 О интегрировании степенного ряда

Степенной ряд (9) можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком

принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет

тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

Последовательное применение Т4 приводит к утверждению, что ф-ция f имеет на

интервале сходимости производные всех порядков, которые могут быть найдены из

ряда (9) почленным дифференцированием. При интегрировании и дифференцировании

степенного ряда внутри интервала сходимости радиус сходимости R не меняется,

однако на концах интервала может изменяться.

№16

1 Свойства

криволинейных интегралов

Св-ва криволинейных интегралов 1 рода:

1.Константа выносится за знак интеграла, а интеграл суммы можно представить в

виде суммы интегралов:

2. Если дуга АВ состоит из двух дуг Ас и Св не имеющих общих внутренних точек

и если для ф-ции f(x,y) сущ криволинейный интеграл по АВ, то для для сей ф-

ции сущ криволинейные интегралы по АС и по ВС причем:

3.

4.Ф-ла среднего значения

если ф-ция f(x,y) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется

точка М, такая, что:

, где l – длина кривой

Криволинейный интеграл 2 рода обладает всеми свойствами интегралов 1 рода, и

исчо при изменении направления прохождения кривой он меняет знак. .И вапще

все сказанное выше справедливо и для пространственной кривой (этта та которая

с буквой зю)

2 Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть(1) сходится при

|x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)=

(2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1) .

Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то

и справедлива формула:

(15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной

ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой

точке производные всех порядков, тогда ряд:

(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0

При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6’) и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расходится всюду, кроме х=х0

2 Сходится, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сходится к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является

необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является

достаточным. Для введения дополнительных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) раз дифференцируема на интервале (x0-h, x0+h) h>0,

то для всех x Î (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток rn(x) можно записать:

(8)

(9) Формула (8) наз

остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой

Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все

они ограниченны одним и тем же числом С, т е " x Î U(x0) |f(

n)(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x)

для всех х из этой окрестности.

№17

1 Формула Грина

Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между

криволинейными и двойными интегралами.

Пусть имеется некоторая правильная замкнутая область Д, ограниченная контуром L

и пущая ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными

производными: в

данной области. тогда имеет место ф-ла:

И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.

Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х =

х1(у), х=х2(у) с<=y<=d x1(y)<=x2(y) или

y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).

Рассмотрим область Д ограниченную неравенствами: a<=x<=b и

y1(x)<=y2(x). и преобразуем двойной интеграл

к криволинейным для чего сведем его к повторному и ф-ле Невтона-Лыебница

выполним интегрирование по у и получим:

каждый из 2

определенных интегралов в правой части последнего равенства = криволинейному

интегралу 2 рода взятому по соответствующей кривой а именно:

Итак двойной интеграл:

Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую

можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных

замкнутых областей.

2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)

1Разложение ф-ции ех

ряд Маклорена.

радиус сходимости:

R=¥ следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

2Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена

сходится на всей числовой оси

сходится на всей числовой оси

3. f(x) = (1+x)a

Наз. биномиальный ряд с показателем a Различают 2 случая:

1- a Î N, тогда при любом х все члены ф-лы исчезают, начиная с (a +2)

поэтому ряд Маклорена содержит конечное число членов и сходится при всех х.

Получается формула Бинома Невтона:

, где биномиальный

коэффициент.

2- a Î R>N (a ¹ 0 х ¹ 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1

4 Разложение ф-ции ln(1+x)

сходится при –1<x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сходится при -1<=x<=1

№18

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода.

1.Интеграл - длине дуги АВ

2.Механический смысл интеграла 1 рода.

Если f(x,y) = r(x,y) – линейная плотность материальной дуги, то ее масса:

для пространственной там буква зю добавляется.

3.Координаты центра масс материальной дуги:

4. Момент инерции дуги лежащей в плоскости оху относительно начала координат

и осей вращения ох, оу:

5. Геометрический смысл интеграла 1 рода

Пусть ф-ция z = f(x,y) – имеет размерность длины f(x,y)>=0 во всех точках

материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:

, где S – площадь

цилиндрической поверхности, кот состоит из перпендикуляров плоскости оху, восст

в точках М(x,y) кривой АВ.

2 Геометрические и арифметические ряды.

№19

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Вычисление площади плоской области Д с границей L

2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается

вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:

при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю.

2 Свойства сходящихся рядов

№20

1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.

Плоская область W наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.

Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны

в некоторой замкнутой, односвязной области W тогда следующие 4 условия

эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.

1. Для " замкнутой кусочногладкой кривой L в W значение криволинейного

интеграла:

2. Для все т. А и т. В области W значение интеграла

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в W.

3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций

определенных в W существует ф-ция E=c(х,у) опред в W такая, что dE = Pdx+Pdy

4. В области W

Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием

при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.

2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле.

№21

1 Интегрирование в полных дифференциалах

Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y)

- непрерывны в замкнутой области W и выражение P(x,y) + Q(x,y) есть полный

дифееренциал некоторой ф-ции F(x,y) в W , что равносильно условию:

, тогда dF=Pdx+Qdy.

Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют обозначение:

или

А(x0,y0) Î l , В = (х,у) Î l

поэтому

F(x,y)=

где (х0,у0) – фиксированная точка Î l, (x,y) – произвольная точка

Î l , с – const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в

подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит

от пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой

параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду.

2 Признаки сравнения

№22

1 Сведение 2-ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая,

параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает

границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в

направлении оси оу.

Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на

отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) =

, наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл :

, наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный

интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных

интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.

2 Признаки Даламбера и Коши

№23

1 2 ной интеграл

в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j)

где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j = угол между

векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой

стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j <=2p .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r×cosj , y

= r×sinj .

Якобиан преобразования будет равен:

И формула при переходе примет вид:

2 Знакочередующиеся ряды признак Лейбница

№24

1 Замена переменных

в тройном интеграле

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно

однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно

дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует

якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:

x=rcosj, y=rsinj, z=z (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,

-¥<=z<=+¥)

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилитндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r? j q, связанными с z,y,z формулами

x=rsinq×cosj,

y=r sinqsinj, z=rcosq.

(0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,

0<=q <=2p)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r2×sinq.

Итак, в сферических координатах сие будет:

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

№25

1 Условия

существования и вычисления криволинейных интегралов

Кривая L наз. гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих её

параметрических уравнений:

(1)

имет на отрезке [a,b] непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой L наз

особыми точками, если они соответствуют значению параметра t Î [a,b] для

которых (j’(t))2+(y’(t))2 = 0 т. е. обе производные

обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными

(ВАУ!).

Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных

точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то

криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы

нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам

сводящим эти интегралы к обычным:

Отседова жа вытекаает штаа:

В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х)

непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:

ну и сумма там тожжа упростица.

ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)

Если АВ задана в криволинейных координатах a <= j <= b где ф-ция r(j)

непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] то имеет место частный случай, где

в качестве параметра выступает полярный угол j. x = r(j)×cos(j),

y= r(j)×sin(j).

и у второго рода так же.

Прямая L наз кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное

число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых

представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по

этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым

составляющим сию кусочно-гладкую кривую.

все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).

2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена).