Лекция: Конспект по дискретной математики
Дискретная математика
Введение
Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач
переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных
структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению
средство формирования и организации.
Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных
формулировок.
В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе
дискретной математике 4 раздела:
1. Язык дискретной математики;
2. Логические функции и автоматы;
3. Теория алгоритмов;
4. Графы и дискретные экстремальные задачи.
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В
настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка
алгоритмических языков программирования.
Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема
сложности вычислений.
Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при
решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные
задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.
Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом
ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.
Множества и операции над ними
Одно из основных понятий математики – множество.
Определение:
Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.
Множество обозначают: M,N ...
m1, m2, mn – элементы множества.
Символика
A Î M – принадлежность элемента к множеству;
А Ï М – непринадлежность элемента к множеству.
Примеры числовых множеств:
1,2,3,. множество натуральных чисел N;
.,-2,-1,0,1,2,. - множество целых чисел Z.
 множество рациональных чисел а.
I – множество иррациональных чисел.
R – множество действительных чисел.
K – множество комплексных чисел.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является
элементом В.
А Í В – А подмножество В (нестрогое включение)
Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
A = B
Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение).
Множества бывают конечные и бесконечные.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Конечное множество имеет конечное количество элементов.
Пустое множество не содержит элементов: M = Æ.
Пример: пустое множество:
1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = Æ.
2) множество D, сумма углов которого ¹ 1800 пустое: M = Æ.
Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то
множество Е называется униварсельным.
Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества:
художественные книги, книги по математике, физики, физики .
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.
Если  , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.
Множество можно задать:
1) Списком элементов {a,b,c,d,e};
2) Интервалом 1<x<5;
3) Порождающей процедурой: xk=pk sinx=0;
Операции над множествами
1) Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется
объединенным.
А È В
Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.
Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены
элементы множества.
Объединение двух множеств 
Объединение системы множеств можно записать
 - объединение системы n множеств.
Пример: объединение множеств, когда они
заданы списком.
A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}
| Объединение трех множеств: |
|
2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов
принадлежащих одновременно множествам А и В.
A ÇB
Пересечение прямой и плоскости
1)  если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;
2) если прямые II пл., то M ¹Æ;
3) если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.
Пересечение системы множеств: 
4) Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех
элементов А, не входящих в В.
С = А \ В
  A \ B
 А \ В
  
A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.
В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;
2) не коммутативна, т.е. A\B ¹ B\A.
4) дополнение 
E – универсальное множество.
 -- дополнение
Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.
Основные законы операций над множествами.
Некоторые свойства È, Ç похожи на алгебраические операции,
однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.
Основные свойства
1) AUB=BUA; AÇB=BÇA – переместительный закон объединения и пересечения.
2) (АUB)UC = AU(BUC); (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC) – сочетательный закон.
3) АUÆ=A, AÇÆ=Æ, A \ Æ=A, A \ A=Æ
1,2,3 – есть аналог в алгебре.
3.а) Æ \ A = Æ - нет аналога.
4)  Æ; E \ A = ; A \ E=Æ; AUA=A; AÇA=A; AUE=E; AÇE=A;
5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.
5) AÇ(BUC)=(AÇB)(AÇC) – есть аналогичный
распределительный закон Ç относительно U.
Прямые произведения и функции
Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b),
таких, что аÎА, bÎB.
С=AхВ, если А=В то С=А2.
Прямыми «х» n множеств A1x,.,xAn называется множество
векторов (a1,.an) таких, что a1ÎA1
,., AnÎAn.
Через теорию множеств введем понятие функции.
Подмножество FÎMx x My называется функцией, если для
каждого элемента хÎMx найдется yÎМу не более
одного.
(x;y)ÎF, y=F(x).
Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы
Венна:
Определение: Между множествами MX и MY установлено
взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎMX
соответствует 1 элемент yÎMY и обратное справедливо.
Пример: 1) (х,у) в круге
2) x = sinx
Rà R 
Пусть даны две функции f: AàB и g: BàC, то функция y:AàC
называется композицией функций f и g.
Y=f o g o – композиция.
Способы задания функций:
1) таблицы, определены для конечных множеств;
2) формула;
3) графики;
Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.
Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!
Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.
Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними
взаимнооднозначное соответствие.
Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество
всех подмножеств 2|A|=2n.
Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить
нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.
Множество N2 – счетно.
Доказательство
Разобьем N2 на классы
  К 1-ому классу отнесем N1 (1; 1)
| | | | | | 1-ый элемент 1-го множества |
| | 1-ый элемент 2-го множества |
|
Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)}
К i-му классу Ni (a+b=i+1
Каждый класс будет содержать i пар.
Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса
упорядоченные по направлению первого элемента а.
Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2.
Аналогично доказывается счетность множеств N3,.,Nk.
Теорема Кантора:
Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.
Доказательство
Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.
 1-я 0, a11, a12 ..
2-я 0, а21, a22 ..
........
Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3
 b1 ¹ a11, b2 ¹ a22, .
Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех
чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].
Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.
Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.
Отношение
Пусть дано RÍMn – n местное отношение на множество М.
Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в
отношении R, то записывается а R b.
Проведем отношение на множество N:
А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_
Б) (9,7) не выполняется.
Пример отношения на множество R
А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат
выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö21)
Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.
Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания
множеств.
Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.
Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения
С равна
| С= | | 1 | 2 | 3 | 4 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 2 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 4 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Отношение Е заданные единичной матрицей
называется отношением равенства.
Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai
тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1
.
Свойства отношений - Если aRa ==> очн. рефлексивное и
матрица содержит на главной диагонали единицу
если ни для какого а не . ==> отношение антирефлексивное
главная диагональ содержит нули
Пр. отношнний
£ рефлексивное
< антирефлексивное
2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице
отношения элементы
сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.
Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b
- Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение
называемое транзитивным.
- Отношение называется отношением
эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пр. отношение равенства E
5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого
порядка,
если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого
б) отношение < u > для чисел отношение строгого
Лекция: Элементы общей алгебры
Р. Операции на множествах
Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j1
,., jm}, т.е. система А = {М1;j1,., jm
} называется алгеброй. W - сигнатура.
Если M1ÌM и если значения j( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;j1,., jm} подалгебра A.
Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции
бинарные и
поэтому тип этой алгебры (2;2)
- B=(Б;È;Ç) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций
запись ajb.
1. (ajb)jc=aj(bjc) – ассоциативная операция
Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно
2. ajb = bja – коммутативная операция
Пр. +,x – коммутат.
–; : – некоммут.
умножение мат A×B ¹ B×A – некоммутативно.
3. aj(bjc) = (ajb) j(ajc) –дистрибутивность слева
(ajb)jc) = (ajс) j(bjc) –дистрибутивность справа.
Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень
дистрибутивного отношения произведения справа
но не abc ¹ abac
Р. Гомоморфизм и изоморфизм
Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми
членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; jI) и B=(M; j
I) – одинакового типа.
Пусть отображение Г:KàM при условии Г(jI)= jI
(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или
сначала вып. операции jI b А и затем отображении Г, или сначала
отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение jI в В.
Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.
Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В
этом случае существует обратное отображение Г-1.
Мощности изоморфных алгебр равны.
Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение
типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр,
т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм
важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А
автоматически .. на изоморфные алгебры.
|
