Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Содержание.

1. Введение. Постановка задачи..............2стр.

2. Вывод формулы...................3стр.

3. Дополнительный член в формуле прямоугольников....5стр.

4. Примеры.......................7стр.

5. Заключение......................9стр.

6. Список литературы...................10стр.

Постановка задачи.

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики.

В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций,

первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в

приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами

подынтегральные функции не являются элементарными.

Распространенными

являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или

таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют

различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что

интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и

позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется

вычислить интеграл Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

при условии, что a и b конечны и f(x) является

непрерывной функцией на всем интервале (a, b). Значение интеграла

I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x

и прямыми x=a, x=b. Вычисление I проводится путем

разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов,

приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком

разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

Вывод формулы прямоугольников.

Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:

З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников - некоторые точки

сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся точка Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

такая, что среднее арифметическое Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

.

В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции

f(x) на сегменте [a, b]. Тогда для любого номера k

справедливы неравенства Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

. Просуммировав эти неравенства по всем номерам Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

и поделив результат на n, получим

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое

между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

такая, что

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего

получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

, мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.

Прежде всего, вторично используя эту мысль, которая привела к самому понятию об

определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на полоски, скажем,

одной и той же ширины Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

, а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту

которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников (1)

где Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

, а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры

заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры

(или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта

формула и называется формулой прямоугольников.

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

(рис.1)

На практике обычно берут Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

; если соответствующую среднюю ординату Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

обозначить через Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников ,

то формула перепишется в виде

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

Дополнительный член в формуле прямоугольников.

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте

[a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая

точка

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников , что дополнительный член R в формуле (1) равен

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников (2)

Доказательство.

Оценим Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников , считая, что

функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную

Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из

следующих двух интегралов:

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Для первого из этих интегралов получим

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Для второго из интегралов аналогично получим

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Полусумма полученных для Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников и Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников выражений приводит к следующей формуле:

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников (3)

Оценим величину Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников ,

применяя к интегралам Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

и Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников формулу среднего

значения и учитывая неотрицательность функций Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

и Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников . Мы получим, что

найдутся точка Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников на

сегменте [-h, 0] и точка Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

на сегменте

[0 ,h] такие, что

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

такая, что Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Поэтому для полусуммы Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников мы получим следующее выражение:

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников (4)

где

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников . (5)

Так как величина Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

(рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

указанной площадью, имеет порядок Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Таким образом, формула Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа

n интегралов

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом,

что длина сегмента Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

равна Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников , мы получим

формулу прямоугольников (1), в которой

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Здесь Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Примеры вычисления определённых интегралов

по формуле прямоугольников.

Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле Ньютона-

Лейбница, а затем по формуле прямоугольников.

П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить интеграл Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

По формуле Ньютона-Лейбница, получим

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Теперь применим формулу прямоугольников

1. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

2. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

3. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

4. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

5. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

6. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

7. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

8. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

9. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

10. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

Сумма Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

Таким образом, Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции

формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.

П р и м е р 2. Вычислим интеграл Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников с точностью до 0,001.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

Теперь воспользуемся формулой прямоугольников.

Так как для Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников имеем Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников (если Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников ), то Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Если взять n=10, то дополнительный член нашей формулы будет Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Нам придётся внести ещё погрешность, округляя значения функции; постараемся,

чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

С этой целью достаточно вычислять значение функции Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:

1. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

2. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

3. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

4. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

5. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

6. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

7. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

8. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

9. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

10. Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Сумма 6,9284.

Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников .

Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно и к их среднему

арифметическому) содержится между Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

, а также принимая во внимание оценку дополнительного члена Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

, найдём, что Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

содержится между границами Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

и Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников , а

следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694. Таким образом, Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

.

Заключение.

Изложенный выше метод вычисления определенных интегралов содержит четко

сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью

изложенного метода является стереотипность тех вычислительных операций,

которые приходится производить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности

обеспечивают широкое применение изложенного метода для проведения вычислений

на современных быстродействующих вычислительных машинах.

Выше для приближенного вычисления интеграла от функции f(x)

мы исходили из разбиения основного сегмента [a, b] на достаточно большое

число n равных частичных сегментов одинаковой длины h и из

последующей замены функции f(x) на каждом частичном сегменте

многочленом соответственно нулевого, первого или второго порядка.

Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает индивидуальных

свойств функции f(x). Поэтому, естественно, возникает идея о

варьировании точек разбиения основного сегмента [a, b] на n,

вообще говоря, не равных друг другу частичных сегментов, которое обеспечивало

бы минимальную величину погрешности данной приближённой формулы.

Список литературы.

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в

3-х томах, том II. (§§ 332, 335).

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I.

Москва «Наука», 1982г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011