|
Курсовая: Система Лотка-Вольтерра
Вариант № 7
Задание:
1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.
2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в
зависимости от параметров системы.
3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их
существование/несуществование.
4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах
системы.
5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.
1. Вводим новые переменные x à Ax, y à By, t à Tt и переписываем систему:
2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы
2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)
2.2 
P
2.3 
Q
3. Характеристики неподвижных точек
Запишем Якобиан нашей системы
3.1
3.2
3.3
Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете
возможные области значений 
.
а) точка О – сток, как было показано выше;
б) точка Р :
Область 1: 
Область 2: 
Точка Р – исток (неуст. узел)
Область 3: 
Точка Р – седло
в) точка Q :
Область 1: 
Область 2: 
Область 3: 
Точка Q – исток ( неустойчивый узел)
Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение
Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое
решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался
математический пакет Maple 6. При фиксированном значении 
были рассмотрены точки (
)области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно
из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0
выполняется в области 3 – 3’ , где вещественные части собственных значений
будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус.
Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:
\Область Точка | 1 | 2 | 3 | 3 – 3’ | | O | сток | сток | сток | сток | | P | не сущ. | исток | седло | седло | | Q | не сущ. | не сущ. | исток | неуст. фокус |
4.1 Параметрические области системы
4.2 Область 1: 
4.3 Область 2: 
4.3 Область 3’ : 
4.5 Область 3 – 3’ : 
5. Биологическая интерпретация модели.
Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух
животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба
вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники.
Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция
динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует
число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников
(характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение
численности популяции хищников).
|
|
|
