Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

1. Примеры разностных аппроксимаций. Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h , т.е. множество точек wh={xi=ih, i=0, ±1, ±2,.}. Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций Пусть u(x) – достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [xi-1 , xi+1]. Обозначим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Разностные отношения называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке x i , т.е. при фиксированном xi и при h®0 (тем самым при i®¥) пределом этих отношений является u’(xi). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим ux,i – u’(xi) = 0,5hu’’(xi) + O(h2), ux,i – u’(xi) = -0,5hu’’(xi) + O(h2), ux,i – u’(xi) = O(h2),
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u’(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная – со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
аппроксимирует u’’(xi) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение

Рассмотрим дифференциальное выражение

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(1) с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение (1) разностным отношением
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(2)
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
где a=a(x) – функция, определенная на сетке wh. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (aux)x,i аппроксимировало (ku’)’ в точке xi со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
где ui’ = u’(xi), получим С другой стороны, Lu = (ku’)’ = ku’’ + k’u’,

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

т.е. Отсюда видно, что Lhu–Lu = O(h2), если выполнены условия
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(3) Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации . При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) – дифференцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, например, следующие функции:

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Заметим, что если положить ai = k(xi), то получим только первый порядок аппроксимации. В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(4) Введем на плоскости (x1, x2) прямоугольную сетку с шагом h 1 по направлению x1 и с шагом h2 по направлению x 2, т.е. множество точек Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций wh = (xi1, xj2) , и обозначим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(5) аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е. Lh uij – Lu(xi1, xj2) = O(h 21) + O(h22). Более того, для функций u(x 1, x2), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции u(x1, x2 ) в пяти точках сетки, а именно в точках (x1i, x2 j), (x1i±1, x2 j), (x1i, x2 j± 1). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек. 2. Исследование аппроксимации и сходимости 2.1. Аппроксимация дифференциального уравнения. Ранее рассматривалась краевая задача (k(x) u’(x))’ – q(x) u(x) + f(x) = 0, 0 < x < l, (1) – k(0) u’(0) + bu(0) = m1, u(l) = m2, (2) k(x) ³ c1 > 0, b ³ 0, для которой интегро-интерполяционным методом была построена разностная схема
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(3) (4) где
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(5)
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(6)
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Обозначим через Lu(x) левую часть уравнения (1) и через Lh yi – левую часть уравнения (3), т.е.

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Пусть u(x) – достаточно гладкая функция и u(xi) – ее значение в точке xi сетки wh = {xi = ih, i = 0, 1, .,N, hN = l} (7) Говорят, что разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L в точке x=xi, если разность Lhui – Lhu(xi) стремится к нулю при h®0. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1). Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке x=xi значения ui±1 = u(xi ± h), входящие в разностное выражение Lhu i. Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций (8) выполняется соотношение
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Если кроме того, докажем, что di = q(xi) + O(h2), ji = f(xi) + O(h2) (9) то тем самым будет установлено, что оператор Lh аппроксимирует L со вторым порядком по h, т.е. Lhui – Lu(xi) = O(h2), i = 1, 2,., N–1 (10) Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k-1(x), получим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
следовательно,
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Аналогично
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Отсюда получим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
т.е. условия (8) выполнены. Условия (9) выполнены в силу того, что замена интегралов (6) значениями qi, fi соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования. 2.2. Аппроксимация граничного условия. Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим lh u(0) = –a1ux, 0 + bu0. Если u(x) – произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно lhu(0) = –k(0) u’(0) + bu(0) + O(h), т.е. имеет место аппроксимация первого порядка по h. Однако если u=u(x) – решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т.е.
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Докажем последнее утверждение. Используя разложение

ux, 0 = (u1 – u0)/h = u’(x1/2) + O(h2), x1/2 = 0,5h, a1 = k1/2 + O(h2) получим

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Отсюда имеем

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Учитывая граничное условие (2), получаем lhu(0) = 0,5h [– (ku’)’(0) + d0u0 – j0] + O(h2). Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, учитывая уравнение (1), к виду – (ku’)’(0) + d0u0 – j0 = – (ku’)’(0) + q(0)u(0) – f(0) + + (d0 – q(0))u0 – (f(0) – j0) = (d0 – q(0))u0 – (f(0) – j0). Из соотношений
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
получаем
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
что и требовалось доказать. Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов k(x), q(x), f(x) и решения u(x) разностная схема (10) аппроксимирует исходную задачу (2) со вторым порядком по h. При практическом использовании разностной схемы для нахождения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4), (6) точно. Можно воспользоваться коэффициентами, полученными путем замены этих интегралов квадратурными формулами, имеющими точность O(h2) и выше. Например, в результате применения формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты: ai = k(xi – 0,5h), di = q(xi), j i = f(xi).

Применяя формулу трапеций, получим

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций k(x), q(x), f(x). 2.3. Уравнение для погрешности. Решение yi = y(xi ) разностной задачи (3), (4) зависит от шага h сетки, y(xi) = yh(xi). По существу, мы имеем семейство решений {yh(xi)}, зависящее от параметра h. Говорят, что решение yh(x) разностной задачи сходится к решению u(x) исходной дифференциальной задачи, если при h®0 погрешность y h(xi) – u(xi), i = 0, 1,., N, стремится к нулю в некоторой норме. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве C(wh), т.е. положим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Говорят, что разностная схема имеет m-й порядок точности (или сходится с порядком m), если
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
где m>0, M>0 – константы, не зависящие от h. Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности. Для этого прежде всего выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность zi = yi – u(xi). Поставим yi = zi + u(xi) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций (11) (12) где обозначено
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Функция yi, входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п.1 было доказано, что yi = O(h2) при h®0, i=1, 2,., N–1. Аналогично, величина n1 является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем n1=O(h2). Таким образом, структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), отличаются только правые части. Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи (11), (12) через правые части yi, n1, т.е. получим неравенство вида Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций (13) Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций с константой M1, не зависящей от h. Из этого неравенства и будет следовать, что Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
для разностной схемы (3), (4) при m2 = 0. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям j и m1. 2.4. Разностные тождества и неравенства. Для того, чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7). Обозначим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Справедливо следующее разностное утверждение: (y, ux) = –(u, yx) + yNuN – y0u1. (14) Действительно,
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
что и требовалось доказать. Тождество (14) называется формулой суммирования по частям.

Подставляя в (14) вместо u выражение azx и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(15)
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций Здесь В частности, если zN = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим (16)

Обозначим

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zN = 0, справедливо неравенство
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(17)

Для доказательства воспользуемся тождеством

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
и применим неравенство Коши-Буняковского
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Тогда получим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Откуда сразу следует неравенство (17). 2.5. Доказательство сходимости. Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешность z i = yi – u(xi). Для этого умножим уравнение (11) на hzi и просуммируем по i от 1 до N–1 . Тогда получим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Далее, согласно (12) имеем
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
следовательно, справедливо тождество
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(18) Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13).

Заметим прежде всего, что если

k(x) ³ c1 > 0, b ³ 0, q(x) ³ 0, то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам ai ³ c1 > 0, b ³ 0, di ³ 0. (19) Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6). Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом:
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Тогда придем к неравенству

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций (20) Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), получим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
т.е.
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Окончательно
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(21)
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Поскольку из неравенства следует, что погрешность zi = yi – u(xi) также является величиной O(h2) при h®0. Итак, справедливо следующее утверждение. Пусть k(x) – непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) – непрерывные функции при xÎ[0, l], решение u(x) задачи (1), (2) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при h®0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
где M – постоянная, не зависящая от h. 3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0 < x < 1, 0 < t £ T} требуется найти решение уравнения
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(1) удовлетворяющее начальному условию u(x, 0) = u0(x) (2) и граничным условиям u(0, t) = m1(t), u(1, t) = m2(t). (3) Здесь u0(x), m1(t), m2(t) – заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)–(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) – (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных. 3.2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т.е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т.е. wh = {xi = ih, i = 0, 1,., N, hN = 1} и сетку по переменному t с шагом t, которую обозначим wt = {tn = nt, n = 0, 1,., K, Kt = T} Точки (xi, tn), i = 0, 1,., N, n = 0, 1,., K, образуют узлы пространственно-временной сетки wh, t = w h x wt. Узлы (xi, tn), принадлежащие отрезкам I0 = {0 £ x £ 1, t = 0}, I 1 = {x = 0, 0 £ t £ T}, I2 = {x = 1, 0 £ t £ T}, называются граничными узлами сетки wh, t, а остальные узлы – внутренними. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние – кружочками.

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций Слоем называется множество всех узлов сетки wh, t, имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов

(x0, tn), (x1, tn),., (xN, tn). Для функции y(x, t), определенной на сетке wh, t, введем обозначения yni = y(xi, tn ),
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(4) Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций (xi, tn+1) (xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1)
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi, tn) (xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1) (xi, tn+1)
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(xi-1, tn) (xi, tn) (x i+1, tn) (xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi, tn-1) Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (xi, tn), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (xi ±1, tn), (xi, tn), (xi , tn+1). Производную ¶u/¶t заменим в точке (xi, tn ) разностным отношением ynt, i, а производную ¶2 u/¶2x – второй разностной производной ynxx, i. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией jn i, в качестве jni можно взять одно из следующих выражений:
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

В результате получим разносное уравнение

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(5) которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi , tn) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность jni – f(xi, tn) имеет тот же порядок малости. Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(6) Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y0 i = u0(xi), i = 0, 1,., N. Если решение y ni, i = 0, 1,., N, на слое n уже найдено, то решение yin+1 на слое n+1 находится по явной формуле
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(7) Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций а значения доопределяются из граничных условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yi n+1 при заданных yin требуется решать систему уравнений. Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zi n = yin – u(xi, tn) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) yin = zin + u(xi, tn ), получим уравнение для погрешности
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(8) Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций где – погрешность аппроксимации разностной схемы (6) на решении задачи (1) – (3), yin = O(t + h 2). Можно оценить решение zin уравнения (8) через правую часть yin и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым – по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t £ 0,5h2, означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

Рассмотрим уравнение

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(9) т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид yjn (j) = qneijhj, (10) где i – мнимая единица, j – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на eijhj, получим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
откуда найдем
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(11)
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого j множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®¥. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| £ 1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми. Для уравнения (9) неравенство |q| £ 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g £ 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t £ 0,5h 2. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t/h2 £ 0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10-2. Тогда шаг t не должен превосходить 0,5 * 10-4, и для того чтобы вычислить решение yjn при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t-1 ³ 2 * 10 4, т.е. провести не менее 2 * 104 вычислений по формулам (7). 3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (xi, tn), (xi ±1, tn+1), (xi, tn+1) и имеющая вид
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(12) Здесь jni = f(xi, tn+1) + O(t + h2). Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения y in+1 по известным yin требуется решить систему уравнений
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(13) где g = t/h2, Fin = yin + tjin. Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены. Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
имеющие вид (10). Тогда получим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
следовательно, |q| £ 1 при любых j, t, h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т.е. устойчива при любых шагах t и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг t слишком малым, можно взять, например, t = h = 10 -2. Величина шагов сетки t, h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости. Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема (14) для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке. Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(15) При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 – чисто неявную схему и при s = 0,5 – симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи (15) в виде yin = u(xi, tn) + zi n, где u(xi, tn) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(16) i = 1, 2,., N – 1, n = 0, 1,., K – 1, z0n+1 = zNn+1 = 0, n = 0, 1,., K – 1, zi0 = 0, i = 0, 1,., N. Сеточная функция yin, входящая в правую часть уравнения (16) и равная Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций (17) Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции yin по степеням h и t. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для yin, по формуле Тейлора в точке (xi, tn + 0,5t). Учитывая разложения где
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
получим

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

Отсюда, проводя разложение в точке (xi, tn+1/2) и обозначая u = u (xi, tn+1/2), будем иметь

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Учитывая уравнение (1) u’’ – u = – f и следствие из него uIV – u’’ = –f’’, окончательно можно записать, что
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(18) Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертый – по h . Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и при jin º 0 в виде (10), то получим
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
и |q| £ 1 при всех j, если
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(19) Отсюда видно, в частности, что все схемы с s ³ 0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (s = s*) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно. При s ¹ 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения yin+1 по заданным yin требуется решать систему уравнений
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(20) Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций где Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при s ¹ 0 сводятся к неравенству |1 + 2sg| ³ 2 |s| g и выполнены при s ³ – 1/(4g). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы. 3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(21) где r(x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям 0 < c1 £ k(x, t) £ c2, r(x, t) ³ c3 > 0. (22)
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Дифференциальное выражение при каждом фиксированном t аппроксимируем в точке (xi, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

(23) где разностный коэффициент теплопроводности a(xi, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Наиболее употребительны следующие выражения для a(xi, t):
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

(24) Здесь в качестве t можно взять любое значение t Î [tn, t n+1], например t = tn + 0,5t. Если в уравнении (24) t = tn + 0,5t, s = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй – по h . При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с s = 0 и f(xi, t) º 0, т.е. схему
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(25) Предположим, что коэффициенты r(xi, t), a(xi, t) – постоянные, r(xi, t) º r = const, a(xi, t) º a = const. Тогда уравнение (25) можно записать в виде
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций или Из п.2 известно, что последнее уравнение устойчиво при t’ £ 0,5h2, т.е. при
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(26) Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(xi, t), r(xi, t), т.е. если при всех x, t выполнены неравенства
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(27) Если известно, что 0 < c1 £ a(xi, t) £ c2, r(xi, t) ³ c3 > 0, то неравенство (27) будет выполнено при
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2. Если параметр s ³ 0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24). Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(28) В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно yin+2, i = 1, 2,., N – 1 , имеет вид
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
(29) где ai = 0,5 (k(yni) + k(yn i-1)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение yi n+1, i = 1, 2,., N – 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
где ki = k(yin). Часто используется нелинейная схема

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

(30) Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой: Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций (31) Здесь s – номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для yi n+1 выбирается yin. Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг t. Число итераций M задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при k(u) ³ c 1 > 0 часто бывает достаточно провести две – три итерации. Значения yi(S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29). Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор – корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге – Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя n на слой n+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений
Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций
из которой находятся промежуточные значения yin+1/2, i = 0, 1,., N. Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты a(y), f(y) вычисляются при y = yin+1/2, т.е. схема

Курсовая: Примеры разностных аппроксимаций

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011