Главная » Каталог    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефератыГлавная

рефератыБиология

рефератыБухгалтерский учет и аудит

рефератыВоенная кафедра

рефератыГеография

рефератыГеология

рефератыГрафология

рефератыДеньги и кредит

рефератыЕстествознание

рефератыЗоология

рефератыИнвестиции

рефератыИностранные языки

рефератыИскусство

рефератыИстория

рефератыКартография

рефератыКомпьютерные сети

рефератыКомпьютеры ЭВМ

рефератыКосметология

рефератыКультурология

рефератыЛитература

рефератыМаркетинг

рефератыМатематика

рефератыМашиностроение

рефератыМедицина

рефератыМенеджмент

рефератыМузыка

рефератыНаука и техника

рефератыПедагогика

рефератыПраво

рефератыПромышленность производство

рефератыРадиоэлектроника

рефератыРеклама

рефератыРефераты по геологии

рефератыМедицинские наукам

рефератыУправление

рефератыФизика

рефератыФилософия

рефератыФинансы

рефератыФотография

рефератыХимия

рефератыЭкономика

рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства

1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Прямоугольную таблицу из чисел,

содержащую произвольное число т строк и произвольное число и столбцов, называют

матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные вертикальные

черточки, либо круглые скобки. Например:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений 1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

-6 11 2 -6 11 2

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется

квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами.

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.1)

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1), называется число,

равное Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

- Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и обозначаемое символом

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Итак, по определению

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.2)

Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называют

элементами этого определителя.

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель второго

порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или

соответственно его столбцов) были пропорциональны.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из

пропорций Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

эквивалентна равенству Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, а последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и

отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.3)

(коэффициенты Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и свободные члены Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений называется

решением системы (3.3), если подстановка этих чисел на место Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений в данную систему

обращает оба уравнения (3.3) в тождества.

Умножая первое уравнение системы (3.3) на -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, а второе — на -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и

затем складывая полученные при этом равенства, получим

(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.4)

Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений соответственно получим:

(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.5)

Введем следующие обозначения:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений . (3.6)

С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка

уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3.3), принято называть

определителем этой системы. Заметим, что определители Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений получаются из

определителя системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

посредством замены его первого или соответственно второго столбца свободными

членами.

Могут представиться два случая: 1) определитель системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

отличен от нуля; 2) этот определитель равен нулю.

Рассмотрим сначала случай Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных,

называемые формулами Крамера:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений / Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.8)

Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и потому доказывают

единственность решения исходной системы (3.3). В самом деле, система (3.7)

является следствием системы (3.3), поэтому всякое решение системы (3.3) (в

случае, если оно существует!) должно являться решением и системы (3.7). Итак,

пока доказано, что если у исходной системы (3.3) существует при Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (3.8).

Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0 два числа Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на место неизвестных в

уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества. (Предоставляем читателю

самому расписать выражения для определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, и убедиться в справедливости указанных тождеств.)

Мы приходим к следующему выводу: если определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы (3.3) отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой

системы, определяемое формулами Крамера (3.8).

Рассмотрим теперь случай, когда определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы равен нулю. Могут представиться два подслучая: а) хотя

бы один из определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , отличен от

нуля; б) оба определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю. (если

определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и

один из двух определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю, то и

другой из указанных двух определителей равен нулю. В самом деле, пусть,

например Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0 Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0, т.е. Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. Тогда из этих пропорций получим, что Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

/Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

/Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , т. е. Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0).

В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.7), т. е.

система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система

(3.3) (следствием которой является система (3.7)).

В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество решений. В

самом деле, из равенств Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

=Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0 и из утверждения в конце разд. 1.1 заключаем, что второе уравнение системы

(3.3) является следствием первого и его можно отбросить. Но одно уравнение с

двумя неизвестными

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (3.9)

имеет бесконечно много решений (хотя бы один из коэффициентов Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений отличен от

нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из уравнения (3.9)

через произвольно заданное значение другого неизвестного).

Таким образом, если определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы (3.3) равен нулю, то система (3.3) либо вовсе не имеет решений (в

случае, если хотя бы один из определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений отличен от

нуля), либо имеет бесчисленное множество решений (в случае, когда Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

=Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0). В последнем

случае два уравнения (3.3) можно заменить одним и при решении его одно

неизвестное задавать произвольно.

Замечание. В случае, когда свободные члены Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю,

линейная система (3.3) называется однородной. Отметим, что однородная

система всегда имеет так называемое тривиальное решение: Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0 (эти два

числа обращают оба однородных уравнения в тождества).

Если определитель однородной системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

отличен от нуля, то эта система имеет только тривиальное решение. Если же Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку

для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким

образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в

том случае, когда определитель ее равен нулю.

1.3. Определители третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.10)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.11)

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (3.10),

называется число, равное:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и обозначаемое символом

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Итак, по определению

(3.12)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (3.10) будем

называть элементами самого определителя. Кроме того, договоримся

называть диагональ, образованную элементами Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, главной, а диагональ, образованную элементами Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

побочной.

Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для определителя

(3.11), укажем следующее правило, не требующее большого напряжения внимания и

памяти. Для этого к матрице, из которой составлен определитель, допишем

справа еще раз первый, а затем второй столбец. В полученной при этом матрице

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

сплошной чертой соединены три тройки членов, получаемые параллельным

переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение

(3.11) со знаком «плюс»; пунктирной же чертой соединены три другие тройки

членов, получаемые параллельным переносом побочной диагонали и отвечающие

трем слагаемым, входящим в выражение (3.11) со знаком «минус».

1.4. Свойства определителей

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы

этого определителя поменять ролями, т.е.

(3.13)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители, стоящие

в левой и правой частях (3.13), по указанному в разд. 1.3 правилу и убедиться

в равенстве полученных при этом членов.

Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Поэтому

все дальнейшие свойства определителя можно формулировать и для строк, и для

столбцов, а доказывать — или только для строк, или только для столбцов.

Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя

равносильна умножению его на число -1.

Доказательство также получается из правила, указанного в предыдущем разделе.

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых

столбца), то он равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны,

определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 он изменит знак на

противоположный. Таким образом, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= -Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , т.е. 2Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0 или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого

столбца) определителя на число Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равносильно умножению определителя на это число Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

.

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или

некоторого столбца) определителя можно выносить за знак этого определителя.

Например,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что определитель

выражается в виде суммы (3.12), каждый член которой содержит один и только

один, элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого

столбца.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца)

определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из предыдущего (при Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0).

Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя

пропорциональны, то определитель равен нулю.

В самом деле, в силу свойства 4 множитель пропорциональности можно вынести за

знак определителя, после чего остается определитель с двумя одинаковыми

строками, равный нулю согласно свойству 3.

Свойство 7. Если каждый элемент п-й строки (или п-го столбца) определителя

представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен

в виде суммы двух определителей, первый из которых имеет в п-й строке (или в

п-м столбце) первые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный

определитель, в остальных строках (столбцах), а второй определитель имеет в п-й

строке (в п-м столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и

исходный определитель, в остальных строках (столбцах).

Например,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Для доказательства этого свойства снова достаточно заметить, что определитель

выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых содержит один и только

один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого

столбца.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца)

определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого

столбца), умноженные на произвольный множитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, то величина определителя не изменится.

Действительно, полученный в результате указанного прибавления определитель

можно (в силу свойства 7) разбить на сумму двух определителей, первый из

которых совпадает с исходным, а второй равен нулю вследствие

пропорциональности элементов двух строк (или столбцов) и свойства 6.

1.5. Алгебраические дополнения и миноры

Соберем в выражении (3.12) для определителя члены, содержащие какой-нибудь один

элемент этого определителя, и вынесем указанный элемент за скобки; величина,

остающаяся при этом в скобках, называется алгебраическим дополнением

указанного элемента.

Алгебраическое дополнение данного элемента мы будем обозначать прописной

латинской буквой того же наименования, что и данный элемент, и снабжать тем же

номером, который имеет данный элемент. Например, алгебраическое дополнение

элемента Курсовая: Определители и системы линейных уравнений будем

обозначать через Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

алгебраическое дополнение элемента Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

— через Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и т. д.

Непосредственно из выражения для определителя (3.12) и из того, что каждое

слагаемое в правой части (3.12) содержит один и только один элемент из каждой

строки (из каждого столбца), вытекают следующие равенства:

(3.14)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.15)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Эти равенства выражают следующее свойство определителя: определитель равен

сумме произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на

соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого

столбца).

Равенства (3.14) принято называть разложением определителя по элементам

соответственно первой, второй или третьей строки, а равенства (3.15) —

разложением определителя по элементам соответственно первого, второго или

третьего столбца.

Введем теперь важное понятие минора данного элемента определителя

Минором данного элемента определителя n-го порядка (в нашем случае n = 3)

называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый из данного определителя

путем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит

данный элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого

элемента, взятому со таком «плюс», если сумма номеров строки и столбца, на

пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное, и со знаком

«минус» — в противном случае.

Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор могут

отличаться только знаком.

Следующая таблица дает наглядное представление о том, каким знаком связаны

соответствующие алгебраическое дополнение и минор:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Установленное правило позволяет в формулах (3.14) и (3.15) разложения

определителя по элементам строк и столбцов всюду вместо алгебраических

дополнений писать соответствующие миноры (с нужным знаком).

Так, например, первая из формул (3.14), дающая разложение определителя по

элементам первой строки, принимает вид

(3.16)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений - Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

В заключение установим следующее фундаментальное свойство определителя.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на

соответствующие алгебраические дополнения элементов этого {другого) столбца

равна величине этого определителя (равна нулю).

Конечно, аналогичное свойство справедливо и в применении к строкам

определителя. Случай, когда алгебраические дополнения и элементы отвечают

одному и тому же столбцу, уже рассмотрен выше. Остается доказать, что сумма

произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраические

дополнения элементов другого столбца равна нулю.

Докажем, например, что сумма произведений элементов первого или второго

столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего

столбца равна нулю.

Будем исходить из третьей формулы (3.15), дающей разложение определителя по

элементам третьего столбца:

(3.17)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Так как алгебраические дополнения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

элементов третьего столбца не зависят от самих элементов Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

этого столбца, то в равенстве (3.17) числа Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

можно заменить произвольными числами Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, сохраняя при этом в левой части (3.17) первые два столбца определителя, а в

правой части — величины Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

алгебраических дополнений.

Таким образом, при любых Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений справедливо равенство:

(3.18)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Беря теперь в равенстве (3.18) в качестве Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

сначала элементы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений первого столбца,

а затем элементы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений второго столбца и

учитывая, что определитель с двумя совпадающими столбцами в силу свойства 3

равен нулю, мы придем к следующим равенствам:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

Тем самым доказано, что сумма произведений элементов первого или второго

столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего

столбца равна нулю: Аналогично доказываются равенства:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0

и соответствующие равенства, относящиеся не к столбцам, а к строкам:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

2. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными

2.1. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными с

определителем, отличным от нуля.

В качестве приложения изложенной выше теории рассмотрим систему трех линейных

уравнений с тремя неизвестными:

(3.19)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

(коэффициенты Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , и свободные

члены Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений считаются

заданными). Тройка чисел Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

называется решением системы (3.19), если подстановка этих чисел на место Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

в систему (3.19) обращает все три уравнения (3.19) в тождества.

Фундаментальную роль в дальнейшем будут играть следующие четыре определителя:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

принято называть определителем системы (3.19) (он составлен из коэффициентов при

неизвестных). Определители Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

получаются из определителя системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго

и третьего столбцов.

Для исключения из системы (3.19) неизвестных Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений умножим уравнения

(3.19) соответственно на алгебраические дополнения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, элементов первого столбца определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы, и после этого сложим полученные при этом уравнения. В результате

получим:

(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +(Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений )Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =

(3.20)

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца определителя на

соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца

равна определителю (нулю) (см. свойство 9), получим:

(3.21)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

(3.22)

Кроме того, посредством разложения определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

по элементам первого столбца получается формула:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

С помощью формул (3.21) и (3.22) равенство (3.20) перепишется в следующем (не

содержащем неизвестных Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ) виде:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Совершенно аналогично выводятся из системы (3.19) равенства Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

(3.23)

Таким образом, мы установили, что система уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

является следствием исходной системы (3.19).

В дальнейшем мы отдельно рассмотрим два случая:

1) когда определитель системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений отличен от нуля,

2) когда этот определитель равен нулю.

(3.24)

Итак, пусть Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0. Тогда из системы (3.23) мы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые

формулами Крамера:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений / Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений /Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Полученные нами формулы Крамера дают решение системы (3.23) и потому

доказывают единственность решения исходной системы (3.19), ибо система (3.23)

является следствием системы (3.19), и всякое решение системы (3.19) обязано

быть решением и системы (3.23).

Итак, мы доказали, что если у исходной системы (3.19) существует при Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера

(3.24).

Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны подставить в

исходную систему (3.19) на место х, у и z их значения, определяемые формулами

Крамера (3.24), и убедиться в том, что все три уравнения (3.19) обращаются

при этом в тождества. Убедимся, например, что первое уравнение (3.19)

обращается в тождество при подстановке значений х, у и z, определяемых

формулами Крамера (3.24). Учитывая, что

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

получим, подставив в левую часть первого из уравнений (2.19) значения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, определяемые формулами Крамера:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

.

Группируя внутри фигурной скобки члены относительно A,, А2 и Л3, получим, что:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны нулю, а

круглая скобка равна определителю Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. Таким образом, мы получим Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, и обращение в тождество первого уравнения системы (3.19) установлено.

Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего уравнений

(3.19).

Мы приходим к следующему выводу: если определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы (3.19) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение

этой системы, определяемое формулами Крамера (3.24).

2.2. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными

(3.25)

В этом и в разделе мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения

неоднородной системы (3.19) с определителем, равным нулю. Сначала рассмотрим

однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0

Если все три определителя второго порядка, которые можно составить из матрицы

(3.26)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 коэффициенты первого из

уравнений (3.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам второго из этих

уравнений. Стало быть, в этом случае второе уравнение (3.25) является

следствием первого, и его можно отбросить. Но одно уравнение с тремя

неизвестными Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, естественно,

имеет бесчисленное множество решений (двум неизвестным можно предписывать

произвольные значения, а третье неизвестное определять из уравнения).

Рассмотрим теперь систему (3.25) для случая, когда хотя бы один из

определителей второго порядка, составленных из матрицы (3.26), отличен

от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что отличен от нуля

определитель

(3.27)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений 0

Тогда мы можем переписать систему (3.25) в виде

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений =Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и утверждать, что для каждого z существует единственное решение этой системы,

определяемое формулами Крамера (см. разд. 1.2, формулы (3.8)):

(3.28)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Далее удобно использовать алгебраические дополнения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

элементов третьей строки определителя:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

В силу результатов разд. 1.5 о связи алгебраических дополнений и миноров

можно записать

(3.29)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Основываясь на (3.29), мы можем переписать формулы (3.28) в виде

(3.30)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Для того чтобы получить решение в виде, симметричном относительно всех

неизвестных х, у, и z, положим Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(отметим, что в силу (3.27) определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

отличен от нуля). Поскольку z может принимать любые значения, то и новая

переменная t может принимать любые значения.

(3.31)

Мы приходим к выводу, что в случае, когда определитель (3.27) отличен от

нуля, однородная система (3.25) имеет бесчисленное множество решений,

определяемых формулами

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

в которых t принимает какие угодно значения, а алгебраические дополнения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

определяются формулами (3.29).

2.3. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим теперь однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными:

(3.32)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

Очевидно, что эта система всегда имеет так называемое тривиальное решение: х

= 0, у = 0, z = 0.

В случае, когда определитель системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, это тривиальное решение является единственным (в силу разд. 2.1).

Докажем, что в случае, когда определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равен нулю, однородная система (3.32) имеет бесчисленное множество решений.

Если все определители второго порядка, которые можно составить из матрицы

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 соответствующие коэффициенты всех

трех уравнений (3.32) пропорциональны. Но тогда второе и третье уравнения

(3.32) являются следствиями первого и могут быть отброшены, а одно уравнение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0, как уже

отмечалось в разд. 2.2, имеет бесчисленное множество решений.

Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрицы (3.33)

отличен от нуля. Так как порядок следования уравнений и неизвестных находится в

нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем считать, что отличен

от нуля определитель (3.27). Но тогда, как установлено в разд. 2.2, система

первых двух уравнений (3.32) имеет бесчисленное множество решений,

определяемых формулами (3.31) (при любом t).

Остается доказать, что х, у, z, определяемые формулами (3.31) (при любом t,

обращают в тождество и третье уравнение (3.32). Подставляя в левую часть

третьего уравнения (3.32) х, у и z, определяемые формулами (3.31), получим

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых скобках равно

определителю Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

системы (3.32). Но определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

по условию равен нулю, и поэтому при любом t мы получим Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

+Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 0.

Итак, доказано, что однородная система (3.32) с определителем А. равным

нулю, имеет бесчисленное множество решений. Если отличен от нуля минор

(3.27), то эти решения определяются формулами (3.31) при произвольно взятом t.

Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная система

(3.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда

определитель ее равен нулю.

2.4. Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

с определителем, равным нулю.

Теперь мы располагаем аппаратом для рассмотрения неоднородной системы (3.19) с

определителем Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, равным нулю. Могут представиться два случая: а) хотя бы один из определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений или Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

- отличен от нуля; б) все три определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равны нулю.

В случае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.23), т. е.

система (3.23) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная

система (3.19) (следствием которой является система (3.23)).

Переходим к рассмотрению случая б), когда все четыре определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю. Начнем

с примера, показывающего, что и в этом случае система может не иметь ни одного

решения. Рассмотрим систему:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Ясно, что эта система не имеет решений. В самом деле, если бы решение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

существовало, то из первых двух уравнений мы получили бы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , а отсюда,

умножая первое равенство на 2, получили бы, что 2 = 3. Далее, очевидно, что все

четыре определителя Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений равны нулю.

Действительно, определитель системы

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

имеет три одинаковых столбца, определители Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

получаются путем замены одного из этих столбцов свободными членами и, стало

быть, имеют по два одинаковых столбца. В силу свойства 3 все эти определители

равны нулю.

Докажем теперь, что если система (3.19) с определителем Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, равным нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесчисленное множество

различных решений.

Предположим, что указанная система имеет решение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. Тогда справедливы тождества

(3.32)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений + Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений +Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Вычитая почленно из уравнений (3.19) тождества (3.34), получим систему уравнений

(3.35)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

эквивалентную системе (3.19). Но система (3.35) является однородной

системой трех линейных уравнений относительно трех неизвестных Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

с определителем Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, равным нулю. Согласно разд. 2.3 последняя система (а стало быть, и система

(3.19)) имеет бесчисленное множество решений. Например, в случае, когда отличен

от нуля минор (3.27), мы с помощью формул (3.31) получим следующее бесконечное

множество решений системы (3.19):

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(t принимает любые значения).

Сформулированное утверждение доказано, и мы можем сделать следующее заключение:

если Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 0, то неоднородная система уравнений (3.19) либо совсем не имеет решений,

либо имеет их бесконечное множество.

3. Понятие об определителях любого порядка и о линейных системах с

любым числом неизвестных

Установленное нами свойство разложения определителя третьего порядка до

элементам любой (например, первой) строки может быть положено в основу

последовательного введения по индукции определителя четвертого, пятого и всех

последующих порядков.

Предположим, что нами уже введено понятие определителя порядка (n-1), и

рассмотрим произвольную квадратную матрицу состоящую из Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

элементов

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Назовем минором любого элемента Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

матрицы (3.36) уже введенный нами определитель порядка (n-1), отвечающий матрице

(3.36), у которой удалены i-я строка и j-й столбец. Договоримся обозначать

минор элемента Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

символом Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Например, минор любого элемента Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

первой строки матрицы (3.36) является следующим определителем порядка (n-1):

Назовем определителем порядка n, отвечающим матрице (3.36), число Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, равное сумме

(3.37)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и обозначаемое символом

(3.38)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Заметим, что при n = 3 разложение (3.37) совпадает с разложением (3.16)

определителя третьего порядка по первой строке.

Рассмотрим теперь неоднородную систему n уравнений с n неизвестными:

(3.39)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Определитель порядка n, составленный из коэффициентов при неизвестных системы

(3.39) и совпадающий с определителем Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

из равенства (3.38), называется определителем этой системы При любом j, равном

1, 2, ..., n, обозначим символом Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

определитель порядка n, полученный из определителя системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

путем замены его j-го столбца столбцом свободных членов Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , ..., Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

.

В полной аналогии со случаем n = 3 оказывается справедлив следующий результат:

если определитель Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

неоднородной системы (3.39) отличен от нуля, то эта система имеет единственное

решение, определяемое формулами Крамера:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Далее можно доказать, что если определитель системы Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

равен нулю, а хотя бы один из определителей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , ..., Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

отличен от нуля, то система (3.39) не имеет решений.

В случае же, если n > 2 и все определители Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, ..., Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , равны нулю,

система (3.39) может также не иметь решений, но если она имеет хотя бы одно

решение, то она имеет их бесчисленное множество.

4. Отыскание решения линейной системы методом Гаусса

Рассмотрим неоднородную систему (3.39), в которой мы теперь для сокращения

записи переобозначим свободные члены Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , ..., Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, используя для них обозначение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

при i = 1, 2 ..., n. Изложим один из самых простых методов решения этой системы,

заключающийся в последовательном исключении неизвестных и называемый

методом Гаусса.

Выберем из коэффициентов Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

при неизвестных коэффициент, отличный от нуля, и назовем его ведущим. Не

ограничивая общности, будем считать, что таким коэффициентом является Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(иначе мы могли бы поменять порядок следования неизвестных и уравнений).

(3.40)

Поделив все члены первою уравнения (3.39) на Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

, получим первое приведенное уравнение

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

в котором Курсовая: Определители и системы линейных уравнений при j = 1, 2, ..., (n+1).

Напомним, что Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , и, в частности, Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Для исключения неизвестного Курсовая: Определители и системы линейных уравнений вычтем из i-го уравнения системы (3.39)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений (i = 2, 3 ..., n)

умноженное на Курсовая: Определители и системы линейных уравнений приведенное уравнение (3.40).

В результате получим для любого i = 2, 3, ..., n уравнение

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

в котором

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений при j = 2, 3, ..., (n+1).

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Таким образом, мы получаем первую укороченную систему:

(3.42)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

коэффициенты которой определяются по формулам (3.41).

В системе (3.42) находим отличный от нуля ведущий коэффициент. Пусть это будет Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

. Тогда, поделив первое уравнение (3.42) на этот

коэффициент, мы получим второе приведенное уравнение и, исключив с помощью этого

уравнения по описанной выше схеме неизвестноеКурсовая: Определители и системы линейных уравнений

, придем ко второй укороченной системе, не содержащей Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Продолжая рассуждения по этой

схеме, называемой прямым ходом метода Гаусса, мы либо завершим ее

реализацию, дойдя до линейного уравнения, содержащего только одно неизвестное,

либо не сможем завершить ее реализацию (вследствие того, что исходная система

(3.39) не имеет решений). В случае, если исходная система (3.39) имеет решения,

мы получим цепочку приведенных уравнений

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

из которой обратным xодом метода Гаусса последовательно находятся неизвестные

(3.43)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Подчеркнем, что все операции при обратном ходе метода Гаусса (1.43)

выполняются без деления,

В качестве примера рассмотрим неоднородную систему трех уравнений с тремя

неизвестными

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

(3.44)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Конечно, можно убедиться в том, что определитель системы (3.44) отличен от нуля,

и найти Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений по формулам

Крамера, но мы применим метод Гаусса.

Поделив первое уравнение системы (3.44) на 2, получим первое приведенное

уравнение:

(3.45)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений Вычитая из второго

уравнения системы (3.44) приведенное уравнение (3.45), умноженное на 3, и

вычитая из третьего уравнения системы (3.44) приведенное уравнение (3.45),

умноженное на 4, мы получим укороченную систему двух уравнений с двумя

неизвестными:

(3.46)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

Поделив первое уравнение (3.46) на Курсовая: Определители и системы линейных уравнений , получим второе приведенное уравнение:

(3.47)

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений .

Вычитая из второго уравнения (3.46) приведенное уравнение (3.47), умноженное

на 8, получим уравнение:

Курсовая: Определители и системы линейных уравнений ,

которое после сокращения на Курсовая: Определители и системы линейных уравнений дает Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 3.

Подставляя это значение Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

во второе приведенное уравнение (3.47), получим, что Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= -2. Наконец, подставляя найденные значения Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= -2 и Курсовая: Определители и системы линейных уравнений = 3 в первое

приведенное уравнение (3.45), получим, что Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

= 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А., Куркина А.В. – «Высшая математика», М.:ТК Велби, изд-во

Проспект, 2004г. – 600с.

рефераты Рекомендуем рефератырефераты

     
Рефераты @2011