Курсовая: Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МАДИ (ТУ)
КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Выполнил: Белоногов М.В.
Группа 4ВЭДС3
Проверил: Беляков Г.С.
Москва 1999-2000
Раздел 1.
Выбор оптимального маршрута поездки.
Постановка задачи:
Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты
Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт
А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности
движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения
инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А,
позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице
только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на
поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.
Порядок решения задачи:
1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов
используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.
    А 1 Б
    4 В 2
    Д 3 Г
Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.
пункт i | А | Б | В | Д | 1 | 4 | yi | 0 | ¥ | ¥ | ¥ | ¥ | ¥ | | | 28 | 13 | 17 | 8,32 | 9 | | | 16,64 | | | | |
Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а
расстояние от А до самого себя равным нулю.
Затем пересчитываем величины yi используя правило:
Если yj + lij < yi , то величина yi
= yj + lij , в противном случае yi оставляем
без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.
yA + l4A=0+9=9 < y4=¥ Þ y4=9
yA + lBA=0+13=13 < yB=¥ Þ yB=13
yA + l1A=0+8,32=8,32 < y1=¥ Þ y1=8,32
Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной
бесконечности и дуги, которые в него входят.
y4 + lB4=9+7=16 > yB=13
y4 + lД4=9+8=17 < уД=¥ Þ yД=17
yВ + lДВ=13+12=25 > yД=17
yВ + lБВ=13+15=28 < уБ=¥ Þ yБ=28
yВ + l1В=13+9=22 > у1=8,32
y1 + lВ1=8,32+10=18,32 > yВ=13
y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 < уБ=28 Þ yБ=16,64
yД + l4Д=8,32+17=25,32 > y4=9
yД + lВД=17+12,32=29,32 > yВ=13
yБ + lВБ=16,64+15,32=31 > yВ=13
yБ + l1Б=16,64+8=24,64 > y1=8,32
Теперь проверим условие lij ³ yi - yj для всех дуг сети.
l4A = у4 - уА 9=9-0
l4Д > у4 – уД 8,32>9-17
lД4 = уД – у4 8=17-9
lДВ > уД – уВ 12>17-13
lBA = yB - yA 13=13-0
lBД > yB – yД 12,32>13-17
lBБ > yB – yБ 15,32>13-16,64
lB4 > yB – y4 7>13-9
lB1 > yB – y1 10>13-8,32
lБВ > уБ - уВ 15>16,64-13
lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32
l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0
l1В > у1 – уВ 9>8,32-13
l1Б > у1 – уБ 8>8,32-16,64
Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:
lij = yi - yj
Таковыми являются:
l4A = у4 - уА 9=9-0
lД4 = уД – у4 8=17-9
lBA = yB - yA 13=13-0
lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32
l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0
Кратчайшие расстояния до пункта А равны:
| пункт | 4 | Д | Б | 1 | В | | расстояние до А | 9 | 17 | 16,64 | 8,32 | 13 |
Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.
2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.
| А | Б | В | Г | Д | | А | --- | 16 | 13,32 | --- | 17,64 | | Б | 16,64 | --- | 15 | 21 | --- | | В | 13 | 15,32 | --- | 15 | 12,32 | | Г | --- | 21,64 | 15,32 | --- | 16 | | Д | 17 | --- | 12 | 16,32 | --- |
3. Математическая модель задачи коммивояжера:
Найти минимальное значение целевой функции z
n+1 n+1
min z = S S lij * xij
i=1 j=1
при следующих ограничениях:
n из каждого города i нужно уехать только один раз
n+1
S xij = 1 i=1, ......, n+1
j=1
n в каждый город j нужно приехать только один раз:
n+1
S xij = 1 j=1, ......, n+1
i=1
n переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,
1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j
0 - в противном случае
n решение есть простой цикл
4. Решение задачи:
| А | Б | В | Г | Д | | А | --- | 16 | 13,32 | --- | 17,64 | | Б | 16,64 | --- | 15 | 21 | --- | | В | 13 | 15,32 | --- | 15 | 12,32 | | Г | --- | 21,64 | 15,32 | --- | 16 | | Д | 17 | --- | 12 | 16,32 | --- |
Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д
Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым
разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок.
(2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент
21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение
пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в
какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент,
теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех
пор пока не останется последний разрешающий элемент.
В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:
А – Б – Г – Д – В – А
min z = 16+21+16+12+13 = 78
Раздел 2.
Определение рационального варианта размещения производственных предприятий
(на примере АБЗ).
Постановка задачи:
В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети
некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых
в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:
B1 = 50.000 т
B2 = 60.000 т
B3 = 45.000 т
B4 = 70.000 т
Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть
полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4
возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3
варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.
Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его
потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует
разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку
потребителям были минимальными.
Затраты на приготовление аб, руб
| мощность АБЗ | Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд | | т/час | тыс. т/год | 1 | 2 | 3 | 4 | | 10 | 18 | 484 | 489 | 495 | 481 | | 25 | 45 | 423 | 428 | 435 | 420 | | 50 | 90 | 405 | 410 | 416 | 401 |
Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб
| Пункт размещения | Зона-потребитель | | | 1 | 28,3 | 60,3 | 45,3 | 90,3 | | 2 | 61,3 | 30,3 | 93,3 | 48,3 | | 3 | 50,3 | 95,3 | 33,3 | 62,3 | | 4 | 99,3 | 54,3 | 65,3 | 36,3 | | | | | | | | |
Математическая модель транспортной задачи:
m n
min z = S S Cij * xij
i=1 j=1
Ограничения:
n
n S xij = ai i=1, ......, m
j=1
весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.
m
n S xij = bj j=1, ......, n
i=1
спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен
n xij ³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n
xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю
Транспортная таблица:
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | | тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=135 | Ui | Ki | | 433,3 | 440,3 < 465,3 | 449,3 < 450,3 | 437,3 < 495,3 | 0 | | | X1=90 | 50 | | | | 40 | 0 | 5/9 | | 433,3 < 471,3 | 440,3 | 449,3 < 503,3 | 437,3 < 458,3 | 0 | | | X2=90 | | 60 | | | 30 | 0 | 6/9 | | 433,3 < 466,3 | 440,3 < 511,3 | 449,3 | 437,3 < 478,3 | 0 | | | X3=90 | | | 45 | | 45 | 0 | ½ | | 433,3 < 500,3 | 440,3 < 455,3 | 449,3 < 466,3 | 437,3 | 0 | | | X4=90 | | | | 70 | 20 | 0 | 7/9 | Vj | 433,3 | 440,3 | 449,3 | 437,3 | 0 | | |
Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:
Вф=S аi - S bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год
В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на
приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kp
i + Cij
С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.
Проверяем план на вырожденность:
m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является
невырожденным.
Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал
столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в
данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы
определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui +
Vj = Сpi + E*Kpi + C
ij).
Проверяем план на оптимальность:
· число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1
· для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться
суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.
· для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :
Ui + Vj < Сpi + E*Kpi + Cij
Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки
зрения транспортной задачи.
Определяем значения коэффициентов интенсивности.
Ki = S xij / xi
S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям
xi – мощность i-го АБЗ
Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый
вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому
необходимо его улучшить.
Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой
строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае
это третья строка.
Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна
равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину
Сpi + E*Kpi + Cij для
клеток третьей строки.
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | | тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=90 | Ui | Ki | | 433,3 | 424,3 < 465,3 | 450,3 | 421,3 < 495,3 | -16< 0 | | | X1=90 | 50 | | 40 | | | -16 | 1 | | 449,3 < 471,3 | 440,3 | 466,3 < 503,3 | 437,3 < 458,3 | 0 | | | X2=90 | | 60 | | | 30 | 0 | 6/9 | | 449,3 < 485,3 | 440,3 < 530,3 | 466,3 < 468,3 | 437,3 < 497,3 | 0 | | | X3=45 | | | | | 45 | 0 | 0 | | 449,3 < 500,3 | 440,3 < 455,3 | 466,3 | 437,3 | 0 | | | X4=90 | | | 5 | 70 | 15 | 0 | 15/18 | Vj | 449,3 | 440,3 | 466,3 | 437,3 | 0 | | |
Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во
втором пункте.
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | | тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=45 | Ui | Ki | | 433,3 | 439,3 < 465,3 | 450,3 | 421,3 < 495,3 | -18< 0 | | | X1=90 | 50 | | 40 | | | -16 | | | 452,3 < 489,3 | 458,3 | 469,3< 521,3 | 440,3 < 476,3 | 1 > 0 | | | X2=45 | | 45 _ | | | + | 3 | | | 451,3 < 485,3 | 457,3 < 530,3 | 468,3 | 439,3 < 497,3 | 0 | | | X3=45 | | | 0 + | | _ 45 | 2 | | | 449,3 < 500,3 | 455,3 | 466,3 | 437,3 | -2 < 0 | | | X4=90 | | 15 + | 5 _ | 70 | | 0 | | Vj | 449,3 | 455,3 | 466,3 | 437,3 | -2 | | |
Для одной свободной клетки не выполняется условие
Ui + Vj < С
pi + E*Kpi + Cij поэтому план
необходимо улучшить.
Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для
остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем
эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в
клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом
изменений.
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | | тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=45 | Ui | Ki | | 433,3 | 440,3 < 465,3 | 450,3 | 422,3 < 495,3 | -18 < 0 | | | X1=90 | 50 | | 40 | | | -18 | 1 | | 451,3 < 489,3 | 458,3 | 468,3 < 521,3 | 440,3 < 476,3 | 0 | | | X2=45 | | 40 | | | 5 | 0 | 8/9 | | 451,3 < 485,3 | 458,3 < 530,3 | 468,3 | 440,3 < 497,3 | 0 | | | X3=45 | | | 5 | | 40 | 0 | 1/9 | | 448,3 < 500,3 | 455,3 | 465,3 < 466,3 | 437,3 | -3 < 0 | | | X4=90 | | 20 | | 70 | | -3 | 1 | Vj | 451,3 | 458,3 | 468,3 | 440,3 | 0 | | |
План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности.
Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность
завода в 3-м пункте.
| Мощность АБЗ | Спрос зон-потребителей, тыс.т/год | | тыс.т/год | B1=50 | B2=60 | B3=45 | B4=70 | Bф=18 | Ui | Ki | | 433,3 | 439,3 < 465,3 | 450,3 | 421,3 < 495,3 | -78 < 0 | | | X1=90 | 50 | | 40 | | | -16 | 1 | | 452,3 < 489,3 | 458,3 | 469,3 < 521,3 | 440,3 < 476,3 | -59 < 0 | | | X2=45 | | 45 | | | | 3 | 1 | | 511,3 < 545,3 | 517,3 < 590,3 | 528,3 | 499,3 < 557,3 | 0 | | | X3=18 | | | 0 | | 18 | 62 | 0 | | 449,3 < 500,3 | 455,3 | 466,3 | 437,3 | -62 < 0 | | | X4=90 | | 15 | 5 | 70 | | 0 | 1 | Vj | 449,3 | 455,3 | 466,3 | 437,3 | -62 | | |
План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности.
Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является
наилучшим.
Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и
построить таблицу.
| Вариант размещения | Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год | Значение целевой функции, zi, тыс.руб. | | М1 | М2 | М3 | М4 | | | 1 | 50 | 60 | 45 | 70 | 98912,5 | | 2 | 90 | 60 | 0 | 75 | 99037,5 | | 3 | 90 | 40 | 5 | 90 | 100067,5 | | 4 -наилучший | 90 | 45 | 0 | 90 | 100072,5 |
|
