Контрольная: Высшая математика
Государственный университет управления
Институт заочного обучения
Специальность – менеджмент
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: Высшая математика.
Вариант № 1.
Выполнил студент Ганин Д.Ю.
Студенческий билет № 1211
Группа № УП4-1-98/2
Москва, 1999 г.
Содержание
Часть I.________________________________________________________ 3
Задание №2. Вопрос №9._________________________________________________________3
Задание №3. Вопрос №1._________________________________________________________3
Задание №12. Вопрос №9.________________________________________________________5
Задание №13. Вопрос №2.________________________________________________________5
Задание №18. Вопрос №9________________________________________________________ 6
Часть II._______________________________________________________ 9
Задание №8. Вопрос №8._________________________________________________________9
Задание №12. Вопрос №9._______________________________________________________10
Задание №14. Вопрос №2._______________________________________________________10
Задание №15. Вопрос №6._______________________________________________________11
Задание №18. Вопрос №9._______________________________________________________12
Дополнительно Часть I._______________________________________ 13
Задание №7. Вопрос №1.________________________________________________________13
Задание №9. Вопрос №8.________________________________________________________13
Задание №11. Вопрос №6._______________________________________________________14
Задание №15. Вопрос №1._______________________________________________________15
Дополнительно Часть II._______________________________________ 15
Задание №7. Вопрос №1.________________________________________________________15
Задание №9. Вопрос №8.________________________________________________________16
Задание №11. Вопрос №6._______________________________________________________18
Задание №15. Вопрос №1._______________________________________________________18
Часть I. Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь
каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся
60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
| машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте. | 
| машин с водителями ежедневно уходят в рейс. | 
| водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. | 
| количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. | 
| дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
Ответ: | Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь  свободных дней. |
Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS
(P) и найдите координаты точки равновесия, если 
,  .
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения
Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
| С осью OP (Q=0): | С осью OQ (P=0): | Для Q=QS(P): | Для Q=QD(P): | | 
| 
| 
|
Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их
графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их
точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить
построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой
спрос равен предложению. Для этого решим систему:
 , из этой системы получаем: 
 , тогда  , значит координаты т.M .
Ответ: | Координаты точки равновесия равны  ,  |
Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные
следующих функций:
Решение:
Ответ: | Производная заданной функции равна  |
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
| числа: | 
|
Решение:
Ответ: | Приближенное значение заданного числа равно 1,975. |
Задание №18. Вопрос №9
| Исследуйте функцию и постройте ее график: | 
|
Решение:
1. Область определения данной функции:  .
2. Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью OY  : | С осью OX  : | 
|  , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
| Точка пересечения:  | Точки пересечения:  ,  |
3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва.
Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: 
, где:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: 
, т.е.  - уравнение
горизонтальной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую
производную:
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная
функции равна нулю, т.е. 
:
 
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. 
, отсюда  ,
следовательно  ,
значит точка  -
точка экстремума функции.
На участке производная  > 0, значит, при  , заданная функция возрастает.
На участке производная  < 0, значит, при  , заданная функция убывает (рис 2.).
Следовательно  - точка максимума заданной функции  .
6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого
найдем ее вторую производную:
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная
функции равна нулю, т.е. 
:
 , дробь равна нулю,
если ее числитель равен нулю, т.е. 
, значит  , тогда 
, отсюда 
Отсюда  ,  .
 На участке производная  >0, значит это участок вогнутости графика функции.
На участке  производная  >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.
На участке
производная  <0,
значит, при 
график заданной функции является выпуклым (рис. 3).
Следовательно, точки  ,  - точки перегиба графика заданной функции  .
Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см.
рис. 4).
Часть II. Задание №8. Вопрос №8.
Фирма производит товар двух видов в количествах
и . Задана функция
полных издержек  .
Цены этих товаров на рынке равны 
и  . Определить, при
каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.
 ,  , 
Решение:
Пусть  - функция прибыли, тогда
Найдем первые частные производные функции  :
 ,  . Найдем стационарные точки графика функции  . Для этого решим систему:
Следовательно  - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого
введем обозначения:  ,  ,  ,
тогда  , 
,  , 
. Т.к.  > 0, то
экстремум есть, а т.к. 
< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска 
и  , достигается
максимальная прибыль равная:
Задание №12. Вопрос №9.
| Вычислить неопределенный интеграл: | 
|
Решение:
Ответ: | 
|
Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)  .
Решение:
Ответ: | Данный несобственный интеграл – расходящийся. |
Задание №15. Вопрос №6.
| Решить уравнение | 
|
Решение:
 . Разделив обе части
на  , получим 
. Проинтегрируем полученное уравнение 
. Представим  , как 
, тогда
Ответ: | Решением данного уравнения является  . |
Задание №18. Вопрос №9.
| Найти общее решение уравнения: | 
|
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения:  , тогда  , следовательно  ,  , тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
 , 
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения,
то в качестве линейно независимых частей решений 
и  , возьмем 
,  , тогда общее
решение однородного уравнения будет иметь вид: 
Представим правую часть уравнения, как 
и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
 . Имеем 
,  , тогда т.к. 
- многочлен второй степени, то общий вид правой части: 
. Найдем частные решения:
 ,  , 
Сравним коэффициенты при  слева и справа, найдем  , решив систему:
 , отсюда  .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:  .
Ответ: |  .
|
Дополнительно Часть I. Задание №7. Вопрос №1.
Найти предел:  .
Решение:
.
Ответ: | Заданный предел равен  . |
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
 .
Решение:
1. Область определения данной функции:  .
2. Т.к. точка 
не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. 
и  , следовательно,
уравнение  –
уравнение вертикальной асимптоты.
3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид:  , где:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид:  .
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты  с осями
координат:
С осью OX: точка ,
с осью OY: точка
Ответ: |  и  – уравнения асимптот заданной функции.
|
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите:  .
Решение:
Т.к. по определению производная функции 
в точке  вычисляется
по формуле  , тогда
приращение  в точке 
:
.
Следовательно  .
Ответ: |  .
|
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя:  .
Решение:
.
Ответ: | Заданный предел равен  . |
Дополнительно Часть II. Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке 
уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: 
.
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции 
в точке  имеет вид: 
. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: 
. Подставив в полученное уравнение координаты точки 
вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения,
получим:
.
Ответ: | Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке  имеет вид  . |
Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции  в области:  .
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то
свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке
внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
 , точка 
не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек
внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией
достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена
окружностями  и 
. Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования.
Для этого составим функцию Лагранжа:
1.  ,
тогда  , 
, следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки
имеет вид:
Эта система имеет четыре решения:
 ,  , 
| Точка  – точка условного максимума, при этом функция  . |  ,  , 
| Точка  – точка условного максимума, при этом функция  . |  ,  , 
| Точка  – точка условного минимума, при этом функция  . |  ,  , 
| Точка  – точка условного минимума, при этом функция  . |
2.  , тогда  ,  ,
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной
точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
 ,  , 
| Точка  – точка условного максимума, при этом функция  . |  ,  , 
| Точка  – точка условного максимума, при этом функция  . |  ,  , 
| Точка  – точка условного минимума, при этом функция  . |  ,  , 
| В точке  – точка условного минимума, при этом функция  . |
Следовательно, заданная функция 
в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках 
и  и наименьшего в
точках  и 
при этом графики функций 
и  касаются
окружности  в
точках  , 
и  , 
соответственно (см. рис.6).
Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл:  .
Решение:
Ответ: | Заданный неопределенный интеграл равен  . |
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение:  .
Решение:
 . Разделив обе части на  , получим  . Проинтегрируем полученное уравнение:
 .
Ответ: | Решением данного уравнения является  . |
|
и достигается при объемах выпуска 
и 
.
при условии 
имеет 
и 
.
