Контрольная: Ряды
Фун 2 числовых аргументов.
Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi)
ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi;yi
) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi=F(х;у),
где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).
Пусть точка (х0;у0)ÎЕ дельта окрест-ю точки (х0
;у0) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у
Ö[(х-х0)+(y-y0)] <d.
Точка (х0;у0) наз внутренней точкой множества Е,
если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому
множеству.
Точка (х0;у0) наз граничной точкой множ-ва Е, если
в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е.
Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.
Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.
Точка (х0;у0)Î множ-ву Е наз изолированной
точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни
одной точки из множества Е.
Фун 2 переменных.
Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных
величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z,
то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся
в обл D.
Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю
z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2
переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на
плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает
поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.
Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у
при котором определяется фун-я z=f(х;у).
Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.
Предел фун 2 переменных.
Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при х®х0, у®у
0, М(х;у)®М0. limх®х0 (у
®у0)f(х;у)=A
Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х0;у0)
такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х
0)2+(y-y0)2] <d.
êА-f(х;у)ê<e, A-e<f(х;у)<A+e.
Основные теоремы о пределах:
1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn;
Xn ± Yn = (a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).
2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).
3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn
) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban
-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn
=> $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).
Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.
Непрерывность фун в точке.
Опр: Пусть точка М0(х0;у0) Î обл
опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М0
(х0;у0), если имеет место равенство limх
®х0(у®у0)f(х;у)=f(х0;у0
) или limDх®0(D
у®0)f(х0+Dх;у0+Dу)= f(х0
;у0), где х=х0+Dх и у=у0+Dу, причем точка
М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0)
произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.
Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон;
3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x0
;у0).
Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.
Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.
Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2
(х;у) непрерывны в точке (х0;у0), то сумма (разность)
f(х;у)=f1(х;у)±f2(х;у), произведение f(х;у)=f1
(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1
(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.
Док-во (суммы): По определению получаем, что limх®
х0(у®у0)f1(х;у)=f1(х0
;у0), limх®х0(у®у0)
f2(х;у)=f2(х0;у0) на основании
св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: lim
х®х0(у®у0)f(х;у)=limх
®х0(у®у0)[f1(х;у)+f2
(х;у)]=
=limх®х0(у®у0)f1(х;у)+limх®х0(у®у0)f2(х;у)=
=f1(х0;у0)+f2(х0;у0
)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая
непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если
фун z=j(m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z)
непрерывна в соот-й точке z0=j(х0;у0), то фун
y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х0;у0).
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то
говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на
концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале
или отрезке (а,в).
Точки разрыва.
Если в некоторой точке N(х0;у0) не выполняется условие lim
х®х0(у®у0)f(х;у)= f(х0
;у0), то точка N(х0;у0) наз точкой разрыва
фун z=f(х;у).
Условие limDх®0(Dу
®0)f(х0+Dх;у0+Dу)=f(х0;у0
) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках
некоторой окрестности точки N(х0;у0), за исключением
самой точки N(х0;у0); 2)фун z=f(х;у) определена во всех
точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), но не сущ-ет
предела limх®х0(у®у0)
f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х
0;у0) и сущ-ет предел limх®х0(у
®у0)f(х;у), но limх®х0(у®
у0)f(х;у)¹f(х0;у0).
Классификация точек разрыва:
Если (х0;у0) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со
всех сторон, то (х0;у0) – 1 род.
Если (х0;у0) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех
сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со
всех сторон, то (х0;у0) – 2 рода.
Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.
Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз
непрерывной в этой замкнутой области.
Св-ва: 1)Если фун f(x;y.) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х
0;у0.) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е
f(х0;у0.)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х
0;`у0.) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е
f(`х0;`у0.)£f(х;у.). Фориулируется так:
Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз
наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y.) непрерывна в
замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y.)
в обл, то для любого числа m, удовл усл m<m<М, найдется в обл такая точка
N*(x*;y*.), что будет выполн рав-во f(x*
0;y*0.)=m. Следствие из св2: Если фун f(x;y.)
непрерывна в замкнутой огран обл и принимает как положит, так и отрицательные
значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x;y.)
обращается в нуль.
Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.
Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение
∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по
x. ∆xz=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное
приращение по y ∆yz=f(x,y+∆y)-f(x,y).
Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции
z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆xz к
приращ-ю ∆x при ∆x®0.
∂z/∂x=lim(∆x®0)∆
xz/∆x=lim(∆x®0)
(f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y.
∂z/∂y=lim(∆y®0) ∆
yz/∆y=lim(∆y®0)
(f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y.
Част диф-л фун: dxz(x;y)=[(¶z/¶x)*Dx] и dуz(x;y)=[(¶z/¶у)*Dу].
Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.
Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а
аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот
наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).
Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные
производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л
dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y.
Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x
0,y0), если её полное приращение ∆z можно представить
в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(r), где
r=Ö(∆x2+∆y2), т.е. lim(D
х®0,Dу®0,
r®0)0(r)/r=0 бесконечная величина более высокого
порядка малости, чем r. (A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x
,∆y.
Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0
,y+∆y)»f(x,y)+[¶f(x,y)/¶x]*Dx+[¶f(x,y)/¶y]*Dy.
Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0
,y0), то сущ. конечные частные производные
(∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0, y=y0.
A=∂z(х0;у0)/∂x; B=∂z(х0;у
0)/∂y.
Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0,y
0) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные
(∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма.
Производные высших порядков.
∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая
производная: ∂φ/∂x=∂2z/∂x2;z
``xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;
∂φ/∂y=∂z/∂x∂y; z``xy;
∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z``yx;
∂φ/∂y=∂2z/∂y2; z``
yy;
Третья производная: ∂3z/∂x3; ∂3
z/∂x2∂y; ∂3z/∂x∂y¶х; ∂
3z/∂y∂x2; ∂3
z/∂y∂x∂y; ∂3z/∂y2∂x;
∂3z/∂y3.
Производная сложной ф-ии.
z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v
диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶
z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶
z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y).
z=f(x;u;v)=F(x)
Полная производная по х:
dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);
Полная производная по у:
dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);
Экстремумы фун 2 переменных.
Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0
,y0), если f(x0,y0)> f(x,y) {f(x0
,y0)<f(x,y)} для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x
0,y0) и отличных от неё.
Определение max и min при предположении, что х=х0+Dх и у=у0+Dу, тогда
f(x;y)-f(x0;y0)=f(х0+Dх;у0+Dу)-f(x
0;y0)=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях
независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М0(х
0;у0); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях
независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х
0;у0);
Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при
x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка
от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.
Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а
именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного
переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно
(∂z/∂x) при x=x0,y=y0 или равно нулю или не
сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0, y=y0
или равно нулю или не сущ.
Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0
,y0), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до
третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0
) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0,y0
)/∂x=0, ∂f(x0,y0)/∂y=0.
Тогда при x=x0, y=y0:
1)f(x,y) имеет максимум, если
∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2
f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0
,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x
0,y0)/¶x2<0
2)f(x,y) имеет максимум, если
∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2
f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0
,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x
0,y0)/¶x2>0
3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.
∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2 f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2<0
4)Если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂
2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x
0,y0)/∂x∂y)2=0, то экстремум может быть,
а может и не быть.
Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.
Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует
z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль.
F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢
x=0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)];
Продифф. аналогично по у ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)]
Двойной интеграл.
Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в
области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1
,DS2,DS3.DSn). На каждой площадке возьмем по
точке Pi (P1,P2,P3.Pn).
f(Pi) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений
вида: f(Pi)DSi. Vn=nå
i=1f(Pi)DSi – это интегральная сумма
для функции f(x,y) по обл D.
Опр: Предел limmax di®0n
åi=1f(Pi)DSi интегральной
суммы nåi=1f(Pi)DSi
, если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и
от выбора точек PiÎDi наз двойным интегралом
зад фун z=f(x;y) по обл D.
Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет
предел limmax di®0nåi
=1f(Pi)DSi
т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax
di®0nåi=1f(P
i)DSi=óóD f(x;y)dxdy=(или)=
=óóD f(x;y)dS/¶
Св-ва:
1)óóD(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóDf1(x,y)dxdy+óóDf2(x,y)dxdy
2) ó óDa f(x,y)dxdy=aó óD f(x,y)dxdy.
3) Если область D=D1ÈD2, то
ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).
Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2.
ó óDf(Pi)DSi=ó ó
D1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi
)DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D
1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В самом деле, т.к. двойной
интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D
так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей
площадок DSi. Переходя в равенство
ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi к пределу при DSi®0, получаем равенство
ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).·
4) Если фун f(x,y)=1, то ó óD1dxdy=SD
5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц
(полож) не может быть
ó óD f(x,y)dxdy³(£)0
6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то
óóDf1(x,y)dxdy³óóDf2(x,y)dxdy
7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y)
по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в
некоторой точке P области D.
вó а ( j2(x)ó j1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.
Док-во: Из соот-я
mS£вóа(j2(x)
ój1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS
получаем mS£1/S*ID£MS. Число 1/S*ID заключено
между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун
f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*I
D .
Двукратный интеграл
Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей
пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями
y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)). Пусть f(x,y) непрерывна
в области D.
Рассмотрим ID=вóаf2(x)óf1(x)f(x,y)dydx=вóаФ(х)dx
-это двукратный интеграл.
Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:
óóDf(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½=
=óóDf(pcosj;psinj)pdpdj=
=j2ój1 dj p2(j)óp1(j)(pcosj ;psinj)pdp.
Геометрическое приложение двойного интеграла.
1) Площадь плоской поверхности.
óóD f(x,y)dxdy=SD
2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на
элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и
найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма
DVi=nåi=1f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей
из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область
D.
limmax di®0nåi=1
f(xi,yi)*DSi=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела
(цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил
2) Площадь поверхности.
Sпов.= óó[Ö1+(dz/dx)2+(dz/dy)2dxdy].
Диф-е ур-я (осн понятия).
Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”.уn)=0. Наивысший порядок производ-й в
ур-и F(x;y;y’;у”.уn)=0 наз порядковым ур-ем.
Решением ур F(x;y;y’;у”.уn)=0 наз любая фун вида у=j(х),
которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”.уn)=0 вместе со своими
произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”. j(х)n)=0.
Фун вида у=j(х;С1;С2;.Сn) наз общим
решением ур F(x;y;y’;у”.уn)=0, если выполняется: 1) эта фун-я
яв-ся решением при любых С1;С2;.Сn; 2) для
любых начальных усл х0, у0, у’0, у
n0 можно найти конкретную совокупность С1 0;С2
0;С3 0;.Сn 0 при которых фун у=j(х;С
1 0;С2 0;С3 0;.Сn 0), что эта
фун будет удвл начальному условиям.
Соот-е вида j(х;С1;С2;С3;.Сn)=0
полученная при решении ур F(x;y;y’;у”.уn)=0 наз общим интегралом
ур F(x;y;y’;у”.уn)=0 (т.е. решение ур находиться в неявной
форме).
Дифф. ур. 1-го порядка
Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=j(x), кот.
обращает ур. в тождество.
Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением, если она
удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти
такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям.
Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом
дифф. ур-я.
Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из
общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред.
значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом
ур.
Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:
1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y)
f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е
с разделяющимися переменными f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0
все разделим на j2(y)*f1(x)
{f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0
∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные
диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0, то линейное
уравнение y’+p(x;y)=0.
Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;
2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем)
dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-∫Pdx
V= C1e–∫Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
V(x)= e–∫Pdx, где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная
V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫
Q(x)/V(x)dx+CV(x)
Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)
y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.)
n¹0,1. Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим
преобразованием.
Разделим на yn с наибольшим значением n, получим
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q,
Сделаем далее замену z=(y–n+1), тогда
dz/dx=(-n+1)(y-n)y’. Подставляя эти значения в ур-е
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е
dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q
Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y–n
+1), получим общий инт. ур.Бернулли
Однородные ур-я
Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)
–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е.
f(tx;ty)=(t0)f(x;y).
Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл.
f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0;
f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x)
след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=j(U)
(dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=[∫dU/(j(U)-U)] + C Þ
вместо U подст. y/x и получим общий инт.
Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y)
и N(x;y) однородные k-го порядка.
Дифф. ур. 2-го порядка
Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз.
любая фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;j(x);j’(x);j’’(x))=0
 Общим решением наз. ур.
вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых
x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20)
будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.
j(x0;С10;С20)=y0 ,
j’(x0; С10;С20)=y0’
Линейные дифф. ур-я 2-го порядка
Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)
Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)
– линейное однородное урав.
Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.
1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну
вырозить через др, т.е.
y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2
2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e
–∫P(x)dx)]/(y
12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2
3) y1 находим подбором.
Структура общего реш. неоднородного ур.
1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное
реш. самого ур.
2)Метод вариации произ. постоянной
y*= C1(x)y1+C2(x)y2
3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.
сист. ур-ий. 0 y2
 C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 Þ C1’(x)= f(x) y2’
C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2
y1’ y2’
Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx
y1 0
C2’(x)= y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx
y1 y2
y1’ y2’
Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.
Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1
y1+c2y2+y*, где y1, y
2 – два лин-но незав. реш.
(1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.
y=ekx k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).
Рассмотрим 3 случия:
1. D>0, k1,2=(-p±Ö(p2-4q))/2, k1¹k2 y1=ek1x, y2=ek2x.
Т.к. y1/y2¹const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x.
2. D=0 k1,2=-p/2
y1=e-px/2, y2=y1∫(e--∫pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x).
3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2=a±bi, y1
=eaxCosbx, y2=eaxSinbx, y
1/y2¹const, y=eax(c1
Cosbx+c2Sinbx)
Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.
1. f(x)=Pn(x)eax 1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия
y*=(A0xn+A1xn-1 ++...+An)=Qn(x)eax.
3) a - однократный корень y*=xQn(x)eax.
3) a - двукрат. корень y*=x2Qn(x)eax.
2. f(x)=p(x)eaxCosbx+q(x)eaxSinbx
1) a+bi – не корень y*=U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx.
2) a+bi – корень y*=x[U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx].
3. f(x)=MCosbx+NSinbx
1)bi – не корень, y*=ACosbx+BSinbx.
2)bi – корень, y*=x(ACosbx+BSinbx).
РЯДЫ
Числовые ряды. Основные определения.
Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2...Un
,... Выражение U1+U2+...+Un+... наз-ся
числовым рядом,
U1, U2...Un – члены ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся
n-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+...+Un.
Если сущ-ет конечный предел limn®¥Sn=S, то этот предел наз суммой ряда.
Если предел limn®¥Sn равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.
Если сущ-ет предел limn®¥Sn, то ряд сходится.
Некоторые очевидные свойства числовых рядов:
1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа
его членов.
Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck
– сумма k отброшенных членов, Dn-k – сумма
членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck.
Тогда имеем: Sn=Ck+Dn-k,
где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего
соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k,
то сущ-ет и limSn; если сущ-ет lim Sn, то сущ-ет limD
n-k, а это доказ-ет справедливость теоремы.
2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+...(1) сходится, и его
сумма равна S, то ряд ca1+ca2+...(2), где c=const, также
сходится и его сумма равна сS.
Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn,
а ряда (2) – через Dn. Тогда Dn=ca1+...+ca
n=c(a1+...+an)=cSn. Отсюда ясно, что
передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.
lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д.
3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+...(5) и b1
+b2+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1и
S2, то ряды (a1+b1)+(a2+b2
)+...(7) и (a1–b1)+(a2–b2)+...(8)
также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1+S2 и
S1–S2.
Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную
сумму через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно
через S1n и S2n, получим: Dn
=(a1+b1)+...+(an+bn)=(a1
+...+an)+(b1+...+bn)=S1n
+S2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:,
получим limDn=lim(S1n+S2n
)= limS1n+limS2n=S1n
+S2n.
Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n.
4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 n®¥.
Док-во: пусть ряд U1+U2+...+Un
+... сходится, т.е. limSn=S n®¥, тогда имеет место равенство limS
n-1=S.
limSn–limSn-1=0, lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д.
Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.
1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+...+U
n+...(1), S1n; V1+V2+...+Vn
+...(2) S2n; Известно,что Vn³Un
при n³N0.
1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;
2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.
Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $ lim S2
n=S. S1n=U1+U2+...+UN
0+UN0+1+...+Un=SN0
+VN0+1+...+Vn. limS1n
=lim(SN0+Dn-N0
)=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть,
ограниченная числом SN0+D => $ lim S1n
=Sn1.
2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn
=L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково.
3) Признак Даламбера. Если $ lim(Un+1
/Un)=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)
расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1.
Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и
соотношения (2) следует, что для всех n, n³ N, будет иметь место нер-во (U
n+1/Un)<q (2’). Действительно, т.к.
величина Un+1/Un стремится к пределу L, то
разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера
N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше,
чем q–L, т.е.
 | Un+1/U
n – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая
нер-во (2’) для различных значений n, начиная с номера N, получим
UN+1<qUN
,
UN+2<qUN+1< q2UN
Рассмотрим теперь два ряда:
U1+U2+...+UN+Un+1+... (1)
UN+qUN+q2UN+... (1’
). Ряд (1’) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1.
Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN+1
, меньше членов ряда (1’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д.
2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un+1/Un
)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место
нер-во (Un+1/Un)>1, или Un
+1>Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда
возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к
нулю. Значит, ряд расходится.
4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limn
ÖUn=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если
L>1.
Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1.
Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение
| nÖUn–L|<q–L; осюда следует, что n
ÖUn<q или Un<qn для всех n³N.
Рассмотрим теперь два ряда: U1+U2+...+UN+U
N+1+... (1) и qN+qN+1+qN
+2+... (1’). Ряд (1’) сходится, т.к. его члены
обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с UN, меньше членов
ряда (1’). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда,
начиная с некот номера n=N, будем иметь: nÖUn>1
или Un>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN
, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.
5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥å
n=1Un, где члены ряда убывают Un>Un+1
>0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая,
что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.
Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx –
сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥
ò1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.
Знакочередующиеся ряды.
Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно
то положительны, то отрицательны.
Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной
величине U1>U2>U3. и предел его общего
члена при n®¥ равен 0 (Lim n®¥
Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U
1³S.
Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:
S2m=(U1-U2)+(U3-U4
)+.+(U2m-1-U2m). Эта
последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака
существования придела последовательность S2m имеет предел
Limm®¥S2m=S.
Переходя к пределу в неравенстве S2m<U1 при
m®¥, получим, что U1³S. Рассмотрим последовательность
частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S2
m+1=S2m+A2m+1
; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Lim m®
¥ S2m+1=
=Limm®¥ S2m+ Lim
m®¥ А2m+1
=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim n®
¥ Sn=S, т.е. ряд сходится.
Знакопеременные ряды.
Пусть U1+U2+U3..+Un+ знакопеременный
ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным,
так и отрицательным.
Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд,
составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд
¥ån=1½Un½; |U1
|+|U2|+.+|Un|+.(1), сходится и наз абс. сходящимся.
Обратное утверж не справедливо.
Д: Обозначим Sn+ и Sn- суммы
абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус.
Тогда частичная сумма данного ряда Sn1=Sn
+-Sn- , а ряда составленного из абсолютных величин
его членов Sn2= Sn++Sn
- . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел Limn
®¥Sn2=S. Последовательности S
n+ и Sn- являются возрастающими и
ограниченными (Sn+ ≤ S Sn-
≤ S ), значит существуют пределы
Limn®¥Sn+ и Limn®¥Sn-, и соответственно предел частичной суммы данного ряда
Limn®¥Sn1=Lim n®¥Sn+ -Lim n®¥ Sn- , т.е. ряд (*) сходится.·
Если ряд |U1|+|U2|+.+|Un|+.сходиться, то ряд U1+U2+U3..+Un+ наз абс. сходящимся.
Если ряд U1+U2+U3..+Un+ сходиться,
а ряд |U1|+|U2|+.+|Un|+.расходиться, то ряд U
1+U2+U3..+Un+ наз усл. сходящимся.
Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1+U2+U3
..+Un+ абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов
ряда и группировка.
Степенные ряды.
C0+C1X+C2X2+.+CnXn..-степенной ряд (*)
Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X
0≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких
что |Х|<|X0|, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1
, то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х1|.
Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0≠0,
следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Limn
®¥Un=Limn®¥
CnX0n=0. Значит последовательность |Cn
X0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех
n выполняется неравенство |CnX0n
|<M. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)
|С0|+ |C1X0||Х/X0|+.+ |Cn
X0n||X/X0|n+.(1). Члены ряда (1)
меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X0|+.+М|X/X0|
n+. представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его
знаменатель q=|X/X0|<1, т.е. при|X|<|X0|, на
основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е.
при|X|>|X1| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен
сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что
противоречит условию.·
Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при
│Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится.
Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)-
интервала сходимости степенного ряда.
2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу
сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд
можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.
4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+.+аnх2+.+аn+1хn+1+. и
а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+.+аn(х-х0)2+. сходяться равномерно.
5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.
Функциональные ряды
Ряд U1+U2+..+Un+.. называется функциональным, если
его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U1
(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых
функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.
Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд
сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где
rn(x) есть сумма ряда Un+1(x)+Un
+2(x) +., т.е. rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x)
+. В этом случае величина rn(x) называется остатком ряда (1).
Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение
Limn→∞ rn(x)= Lim
n→∞[S(x)-Sn(x)]=0, т.е. остаток rn
(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.
Функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+.. (1)
называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует
такой сходящийся числовой ряд а1+а2+а3+.+а
n..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области
выполняются соотношения │U1(x)│≤a1,
.,│Un(x)│≤an ,. Иначе, ряд называется
мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше
соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.
Ряд Тейлор.
Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в
окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора:
f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a)
2/2!]+.
.+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x), (1)
где остаточный член Rn(х)={[(x-a)n+1]/[(n+1)!]}f(
n+1)[a+q(x-a)], где 0<q<1. Для того, чтобы ряд сходился к
ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n®¥ остаток ряда стремился к 0,
т.е. Rn(x)®o. Переходя в формуле (1) к пределу при
n®¥, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора
:
f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+.+fn(a)[(x-a)n/n!]+.
Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f
(x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x2/2!]+.
.+fn(0)[xn/n!]+..
Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:
ex=1+x+x2/2!+.+xn/n!+. (-¥;¥)
sinX=x-x3/3!+x5/5!+.+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+. (-¥;¥)
cosX=1-x2/2!+x4/4!-.+[(-1)nX2n]/(2n)!+. (-¥;¥)
(1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)*
*(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+. (-1;1)
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+[(-1)nxn+1]/(n+1)+.. (-1;1]
1/(1-x)=1+x+x2+.+xn+..
1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+.
arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+.+[(-1)n+1x2n-1]/2n-1+.
|
