Контрольная: Понятие функции

ИНСТИТУТ БИЗНЕСА, ПРАВА И ИНФОРМАЦИОННЫХ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

МАТЕМАТИКА

на тему

Понятие функции. Область определения функции.

Способы задания функции

Выполнил: Мальский Эдуард Александрович,

студент 2 курса

юридического факультета

заочного отделения

группа 25-ЮЗП

Преподаватель:

Оценка:_______________

Подпись преподавателя:_______________

2004 г.

Оглавление

контрольной работы по дисциплине «Математика»

на тему «Понятие функции. Область определения функции.

Способы задания функции»

Введение...............................3

1. Функция и её свойства......................4

2. Способы задания функции...........................5

3. Виды функций и их свойства....................6

Заключение............................11

Список использованной литературы...................12

Введение.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло

и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание

обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между

величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для

нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые

(4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является

функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r

2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические

таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания

функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его

диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые

выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Раздел 1. Функция и её свойства.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если

каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая

переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые

принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения

функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области

определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х1 и х2

, таких, что х1< х2, выполняется

неравенство f(х1)<f(х2)

Убывающая функция- если для любых х1 и х2

, таких, что х1< х2, выполняется

неравенство f(х1)>f(х2)

Раздел 2. Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого

значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее

употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x)

, где f(x)- с переменной х. В таком случае говорят, что функция

задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При

этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в

таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются

таблица квадратов, таблица кубов.

Раздел 2. Виды функций и их свойства.

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где

b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая,

параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx,

где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности

.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где

k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то

получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую

пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х,

где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной

пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке

(-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на

промежутке (0;+¥).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x2 - четная функция

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x3 -нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой

y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию

y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2;

y=x3. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция

y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2.

График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при

|х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее

прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае

функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x

3. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная

формулой y=x-n, где n- натуральное число.

При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x

-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция

y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x-2:

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x-2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Öх

Свойства функции y=Öх:

1. Область определения - луч [0;+¥).

2. Функция y=Öх - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция y=3Öх

Свойства функции y=3Öх:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y=3Öх нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=nÖх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх

. При нечетном n функция y=nÖх обладает теми же

свойствами, что и функция y=3Öх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция,

заданная формулой y=xr, где r- положительная

несократимая дробь.

Свойства функции y=xr:

1. Область определения- луч [0;+¥).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+¥).

На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между

графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке

[0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr

, где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график

любой степенной функции y=xr , где 0<r<1

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция,

заданная формулой y=x-r, где r-

положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x-r:

1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+¥)

14)Обратная функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo

уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный

корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и

областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная

функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x),

надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно

прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2.

Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Заключение.

Понятие функции

является одним из ос

новных понятии ма

­тематики вообще. Оно не во

зникло сразу в таком виде, как мы им пользуем

ся сейчас, а как и другие

фундаментальные понятия прошло длинный путь

диа­лектического и исторического развития. Идея

функциональной зависимости восходит к древнегре

­ческой математике.

Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик

и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал

вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение

ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом,

понятие функции носит у него "геометрический налет".

Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более

общее определение функции, освобождая последнее от геометрических

представлений и терминов: "функцией переменной величины называется

количество, образованное каким угодно способом из этой величины и

постоянных".

03.02.2004 года

Список использованной литературы

в контрольной работе по дисциплине «Математика»

на тему «Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции»

1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва:

"Дрофа", 2000 года.

2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: "Проспект", 2003 года.

3. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: "Просвещение", 1990 года.

4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2.

Москва: "НГТУ", 2002 года.

5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва:

"Физматлит", 2002 года.