№522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Понизим порядок дифференциального уравнения, т.е. введем новую функцию , тогда и получаем уравнение

Это линейное уравнение первого порядка. Введем новые функции u=u(x) и v=v(x).

Пусть , тогда , т.е.

(1)

Предположим, что функция такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в круглых скобках уравнения (1) т.е., что она является решением дифференциального уравнения.

это уравнение с разделяющимися переменными

Здесь Подставляем значение v в уравнение (1), получаем

Следовательно,

а т.к. , то

решим отдельно интеграл Контрольная: Контрольная работа

, тогда

общее решение данного дифференциального уравнения. Найдем частное решение при заданных условиях

Т.к. , то

Т.к. , то

- частное решение при заданных условиях. №543. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Составим характеристическое уравнение

Т.к. , то общее решение запишется в виде

Найдем частное решение т.к. в правой части стоит , то

Найдем и Контрольная: Контрольная работа

Подставим значение и в данное уравнение, получим:

Общее решение данного дифференциального уравнения. Найдем частное решение при заданных начальных условиях

, т.к. , то

, т.к. , то решаем систему

- частное решение при заданных начальных условиях.