: История открытия комплексных чисел
“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и
снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как
обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое
распространение” Ф. Клейн.
Автор: Соловьев Алексей 12а.
ревнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа.
Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных
чисел.
В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного
как  . Наряду с
натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа
долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до
н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат
измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения
таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил,
что “. элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом
является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен
открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата
несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей
недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.
Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра
теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью
опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных
чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э.
Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант,
знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно
изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью
отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже
в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа
имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел
квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа 
, чтобы  .
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым
извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения
кубических уравнений вида 
кубические и квадратные корни: 
.
Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один
действительный корень (
), а если оно имеет три действительных корня (
), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось,
что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного
корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й
степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени.
Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное
уравнение пятой степени 
нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные
величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение,
вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень
которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее
всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n
корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены
еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но
лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой
природы. Он показал, что система уравнений 
, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида 
,  , нужно только
условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и
считать что  .
Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “
софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не
употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат
измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в
1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были
установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть
до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в
1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из
крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую
букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа 
(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу
. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году.
Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание,
совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых
чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и
XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из
отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей
формуле английского математика А. Муавра (1707):  
. С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и
синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : 
, которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С
помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную
степень. Любопытно, например, что 
. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких
чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что
математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых
чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории
колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский
математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие
вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией,
гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования
теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что
результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение,
приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми
доказательствами.
“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях
с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические
формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.
В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование
комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс
независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число 
точкой  на
координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не
самой точкой M, а вектором 
, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и
вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор 
можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом
j, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом 
,  и число z
принимает вид  ,
который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r
называют модулем комплексного числа z и обозначают 
. Число  называют
аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если 
, значение ArgZ не определено, а при 
оно определено с точностью до кратного 
. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде 
(показательная форма комплексного числа).
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие
понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их
применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с
величинами, которые изображаются векторами 
на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании
“гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую
систему вида  , где 
, построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их
“кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной
алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности
(переместительности): например, 
, а  .
Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь
упоминаю об их существовании.
Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли
русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к
упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н.
Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.
Список используемой литературы:
“Энциклопедический словарь юного математика”
“Школьный словарь иностранных слов”
“Справочник по элементарной математике” М. Я Выгодский
|
